Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn các công thức tính đạo hàm rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về đạo hàm của ln, đạo hàm của hàm hợp, đạo hàm tanx cũng như công thức đạo hàm cơ bản bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
I. CÔNG THỨC ĐẠO HÀM
1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Cho các hàm số $u=u\left( x \right)$ và $v=v\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm $x$ thuộc khoảng xác định. Ta có:
a. $\left( u+v \right)’=u’+v’$2. $\left( u-v \right)’=u’-v’$
b. $\left( u.v \right)’=u’v+v’u$4. ${{\left( \frac{u}{v} \right)}^{\prime }}=\frac{{u}’v-{v}’u}{{{v}^{2}}}\Rightarrow {{\left( \frac{1}{v} \right)}^{\prime }}=-\frac{{{v}’}}{{{v}^{2}}}$
Mở rộng:
c. ${{\left( {{u}_{1}}\pm {{u}_{2}}\pm …\pm {{u}_{n}} \right)}^{\prime }}={{u}_{1}}^{\prime }\pm {{u}_{2}}^{\prime }\pm …\pm {{u}_{n}}^{\prime }$.2.${{\left( u.v.\text{w} \right)}^{\prime }}={u}’.v.\text{w}+u.{v}’.\text{w}+u.v.\text{{w}’}$
2. Đạo hàm của hàm số hợp
Cho hàm số $y=f\left( u\left( x \right) \right)=f\left( u \right)$ với $u=u\left( x \right)$. Khi đó: $y{{‘}_{x}}=y{{‘}_{u}}.u{{‘}_{x}}$
Phương pháp:
Cho hàm số $y=f\left( u \right)$ và $u=u\left( x \right)$
$y_{x}^{‘}=u_{x}^{‘}.f_{u}^{‘}$
Bảng tổng hợp đạo hàm các hàm cơ bản
| Hàm số | Đạo hàm | Hàm số | Đạo hàm |
| $y=c$ | ${y}’=0$ | ||
| $y=x$ | ${y}’=1$ | $y=u$ | ${y}’={u}’$ |
| $y={{x}^{n}}$ | ${y}’=n.{{x}^{n-1}}$ | $y={{u}^{n}}$ | ${y}’=n.{{u}^{n-1}}.{u}’$ |
| $y=\sqrt{x}$ | ${y}’=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | $y=\sqrt{u}$ | ${y}’=\frac{{{u}’}}{2\sqrt{u}}$ |
| $y=\frac{1}{x}$ | ${y}’=-\frac{1}{{{x}^{2}}}$ | $y=\frac{1}{u}$ | ${y}’=-\frac{u’}{{{u}^{2}}}$ |
| $y=\sin x$ | $y’=\cos x$ | $y=\operatorname{sinu}$ | $y’={u}’.\operatorname{cosu}$ |
| $y=\cos x$ | $y’=-\sin x$ | $y=\operatorname{cosu}$ | $y’=-{u}’\operatorname{sinu}$ |
| $y=\tan x$ | $y’=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}$ | $y=\operatorname{tanu}$ | $y’=\frac{{{u}’}}{{{\cos }^{2}}u}$ |
| $y=\cot x$ | $y’=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}$ | $y=\operatorname{cotu}$ | $y’=-\frac{{{u}’}}{{{\sin }^{2}}u}$ |
3. Bảng công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
| Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản | Đạo hàm các hàm hợp $u=u\left( x \right)$ |
| ${{\left( c \right)}^{\prime }}=0$, c là hằng số
$\begin{align} & {{\left( x \right)}^{\prime }}=1 \\ & {{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{x}^{2}}} \\ & {{\left( \sqrt{x} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\ & {{\left( {{x}^{\alpha }} \right)}^{\prime }}=\alpha .{{x}^{\alpha -1}} \\\end{align}$ |
$\begin{align} & {{\left( \frac{1}{u} \right)}^{\prime }}=-\frac{{{u}’}}{{{u}^{2}}} \\ & {{\left( \sqrt{u} \right)}^{\prime }}=\frac{{{u}’}}{2\sqrt{u}} \\ & {{\left( {{u}^{\alpha }} \right)}^{\prime }}=\alpha .{u}’.{{u}^{\alpha -1}} \\\end{align}$
|
Chú ý: Với các hàm số đã cho trong bảng được xác định với điều kiện đầy đủ.
4. Đạo hàm lượng giác
Bảng công thức tính đạo hàm các hàm lượng giác
| ${{\left( \sin \,x \right)}^{\prime }}=\cos x$ | ${{\left( \sin \,u \right)}^{\prime }}={u}’.\cos u$ |
| ${{\left( \cos \,x \right)}^{\prime }}=-\sin x$ | ${{\left( \cos \,u \right)}^{\prime }}=-{u}’.\sin u$ |
| ${{\left( \tan \,x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}$ | ${{\left( \tan \,u \right)}^{\prime }}=\frac{{{u}’}}{{{\cos }^{2}}u}$ |
| ${{\left( \cot \,x \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}$ | ${{\left( \cot \,u \right)}^{\prime }}=-\frac{{{u}’}}{{{\sin }^{2}}x}$ |
II. BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1:
Tính đạo hàm
a.$y=\left( 1-x \right)\left( 1-2x \right)\left( 1-3x \right)$ b. $y=\left( x+\sqrt{x} \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)$
c. $y={{x}^{2}}{{\left( x+4 \right)}^{3}}$ d.$y=\left( 1-\frac{1}{x} \right)\left( x-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)$ e.$y=\left( {{x}^{3}}+3x \right)\left( 2-x \right)$
Lời giải
a.$y=\left( 1-x \right)\left( 1-2x \right)\left( 1-3x \right)=\left( 1-3x+2{{x}^{2}} \right)\left( 1-3x \right)$$\begin{align} & =1-3x-3x+9{{x}^{2}}+2{{x}^{2}}-6{{x}^{3}}=1-6x+11{{x}^{2}}-6{{x}^{3}} \\ & \Rightarrow {y}’=-6+22x-18{{x}^{2}} \\\end{align}$
b.$y=\left( x+\sqrt{x} \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x-{{x}^{2}}\sqrt{x}-x\sqrt{x}-\sqrt{x}$
${y}’=3{{x}^{2}}+2x+1-\frac{5}{2}\sqrt{{{x}^{3}}}-\frac{3}{2}\sqrt{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}$
c.$y={{x}^{2}}{{\left( x+4 \right)}^{3}}={{x}^{2}}\left( {{x}^{3}}+12{{x}^{2}}+48x+64 \right)={{x}^{5}}+12{{x}^{4}}+48{{x}^{3}}+64{{x}^{2}}$
${y}’=5{{x}^{4}}+48{{x}^{3}}+144{{x}^{2}}+128x$
d.$y=\left( 1-\frac{1}{x} \right)\left( x-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)=x-\frac{1}{{{x}^{2}}}-1+\frac{1}{{{x}^{3}}}\Rightarrow {y}’=1+\frac{2}{{{x}^{3}}}-\frac{3}{{{x}^{4}}}$
e.$y=\left( {{x}^{3}}+3x \right)\left( 2-x \right)=2{{x}^{3}}-{{x}^{4}}+6x-3{{x}^{2}}\Rightarrow {y}’=6{{x}^{2}}-4{{x}^{3}}+6-6x$
Bài tập 2:
Tính đạo hàm
a.$y=\frac{2}{x}$ b. $y=\frac{x+2}{2x-1}$
c. $y=\frac{{{x}^{2}}+4x-1}{2x+3}$ d.$y=\frac{\sqrt{x}}{x+1}$
e. $y=\frac{1+x-{{x}^{2}}}{1-x+{{x}^{2}}}$ f. $y=\frac{3}{2x-1}$
Lời giải
a.${y}’=\frac{-2}{{{x}^{2}}}$
b.${y}’=\frac{2x-1-2\left( x+2 \right)}{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}=\frac{5}{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}$
c.${y}’=\frac{\left( 2x+3 \right)\left( 2x+4 \right)-2\left( {{x}^{2}}+4x-1 \right)}{{{\left( 2x+3 \right)}^{2}}}=\frac{4{{x}^{2}}+14x+12-2{{x}^{2}}-8x+2}{{{\left( 2x+3 \right)}^{2}}}=\frac{2{{x}^{2}}+6x+14}{{{\left( 2x+3 \right)}^{2}}}$
d.${y}’=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\left( x+1 \right)-\sqrt{x}}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\frac{1-x}{2\sqrt{x}{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$
e.$y=\frac{2}{1-x+{{x}^{2}}}-1\Rightarrow {y}’=-\frac{2\left( -1+2x \right)}{{{\left( 1-x+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}=\frac{2\left( 1-2x \right)}{{{\left( 1-x+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}$
f.${y}’=-\frac{6}{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}$
Bài tập 3:
Tính đạo hàm
a) $y={{\left( -{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-1 \right)}^{10}}$ b) $y=\frac{1}{{{\left( x+\sqrt{x} \right)}^{5}}}$
c) $y={{\left( \frac{{{x}^{2}}+x-1}{x-1} \right)}^{8}}$ d) $y=\frac{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}{{{\left( x-1 \right)}^{3}}}$ e) $y={{\left( 2-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{3}}$
Lời giải
a) ${y}’=10{{\left( -{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-1 \right)}^{\prime }}{{\left( -{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-1 \right)}^{9}}=10\left( -3{{x}^{2}}+2x \right){{\left( -{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-1 \right)}^{9}}$
b) $y=\frac{1}{{{\left( x+\sqrt{x} \right)}^{5}}}={{\left( x+\sqrt{x} \right)}^{-5}}$
$\begin{align} & \Rightarrow {y}’=-5.\frac{{{\left( x+\sqrt{x} \right)}^{\prime }}}{{{\left( x+\sqrt{x} \right)}^{6}}}=-5.\frac{1+\frac{1}{2\sqrt{x}}}{{{\left( x+\sqrt{x} \right)}^{6}}} \\ & =-5.\frac{\frac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}}{{{x}^{3}}{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{6}}}=-5.\frac{2\sqrt{x}+1}{2{{x}^{3}}\sqrt{x}{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{6}}} \\\end{align}$
c) ${y}’=8{{\left( \frac{{{x}^{2}}+x-1}{x-1} \right)}^{\prime }}{{\left( \frac{{{x}^{2}}+x-1}{x-1} \right)}^{7}}$
$=8.\frac{\left( 2x+1 \right)\left( x-1 \right)-\left( {{x}^{2}}+x-1 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{{\left( \frac{{{x}^{2}}+x-1}{x-1} \right)}^{7}}=8.\frac{{{x}^{2}}-2x}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{{\left( \frac{{{x}^{2}}+x-1}{x-1} \right)}^{7}}$
d) ${y}’=\frac{{{\left[ {{\left( 2x+1 \right)}^{2}} \right]}^{\prime }}{{\left( x-1 \right)}^{3}}-{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}{{\left[ {{\left( x-1 \right)}^{3}} \right]}^{\prime }}}{{{\left( x-1 \right)}^{6}}}$
$\begin{align} & =\frac{4\left( 2x+1 \right){{\left( x-1 \right)}^{3}}-{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}3{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{{{\left( x-1 \right)}^{6}}}=\frac{4\left( 2x+1 \right)\left( x-1 \right)-{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}3}{{{\left( x-1 \right)}^{4}}} \\ & =\frac{-4{{x}^{2}}-16x-7}{{{\left( x-1 \right)}^{4}}} \\\end{align}$
e) $y=3{{\left( 2-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}{{\left( 2-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{2}}=\frac{6}{{{x}^{3}}}{{\left( 2-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{2}}$
Bài tập 4:
Tính đạo hàm
a) $y=\sqrt{2{{x}^{2}}-5x+2}$ b) $y=\sqrt{{{x}^{3}}-x+2}$
c) $y=\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{3}}}$ d) $y=\sqrt{\frac{{{x}^{3}}}{x-1}}$ e) $y=\frac{1-\sqrt[3]{2x}}{1+\sqrt[3]{2x}}$
Lời giải
a) ${y}’=\frac{{{\left( 2{{x}^{2}}-5x+2 \right)}^{\prime }}}{2\sqrt{2{{x}^{2}}-5x+2}}=\frac{4x-5}{2\sqrt{2{{x}^{2}}-5x+2}}$
b) ${y}’=\frac{{{\left( {{x}^{3}}-x+2 \right)}^{\prime }}}{2\sqrt{{{x}^{3}}-x+2}}=\frac{3{{x}^{2}}-1}{2\sqrt{{{x}^{3}}-x+2}}$
c) ${y}’=\frac{{{\left( {{\left( x-2 \right)}^{3}} \right)}^{\prime }}}{2\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{3}}}}=\frac{3{{\left( x-2 \right)}^{2}}}{2\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{3}}}}=\frac{3}{2}\sqrt{x-2}$
d) ${y}’=\frac{{{\left( \frac{{{x}^{3}}}{x-1} \right)}^{\prime }}}{2\sqrt{\frac{{{x}^{3}}}{x-1}}}=\frac{\frac{3{{x}^{2}}\left( x-1 \right)-{{x}^{3}}}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}{2\sqrt{\frac{{{x}^{3}}}{x-1}}}=\frac{\frac{{{x}^{2}}\left( 2x-3 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}{2\sqrt{\frac{{{x}^{3}}}{x-1}}}=\frac{1}{2}\left( 2x-3 \right)\sqrt{\frac{{{x}^{3}}}{x-1}}$
e) ${y}’=\frac{{{\left( 1-\sqrt[3]{2x} \right)}^{\prime }}\left( 1+\sqrt[3]{2x} \right)-\left( 1-\sqrt[3]{2x} \right){{\left( 1+\sqrt[3]{2x} \right)}^{\prime }}}{{{\left( 1+\sqrt[3]{2x} \right)}^{2}}}$
$\begin{align} & =\frac{-\frac{2}{3\sqrt[3]{4{{x}^{2}}}}\left( 1+\sqrt[3]{2x} \right)-\left( 1-\sqrt[3]{2x} \right)\frac{2}{3\sqrt[3]{4{{x}^{2}}}}}{{{\left( 1+\sqrt[3]{2x} \right)}^{2}}}=\frac{-2\left( 3\sqrt[3]{4{{x}^{2}}}+3.2x \right)-2\left( 3\sqrt[3]{4{{x}^{2}}}-3.2x \right)}{3\sqrt[3]{4{{x}^{2}}}{{\left( 1+\sqrt[3]{2x} \right)}^{2}}} \\ & =\frac{-12\sqrt[3]{4{{x}^{2}}}}{3\sqrt[3]{4{{x}^{2}}}{{\left( 1+\sqrt[3]{2x} \right)}^{2}}}=\frac{-4}{{{\left( 1+\sqrt[3]{2x} \right)}^{2}}} \\\end{align}$
Bài tập 5:
Tính đạo hàm
a) $y=\frac{1}{3}\sin 3x$ b) $y=\frac{\sin x}{x}+\frac{x}{\sin x}$
c) $y=\tan 2x-\frac{1}{3}\cot 4x+\sqrt{\sin x}$ d) $y=\sqrt{\cos 3x}-\frac{1}{\sin 2x}$ e) $y={{\left( \frac{\sin x}{1+\cos 2x} \right)}^{2}}$
Lời giải
a) ${y}’=\frac{1}{3}{{\left( \sin 3x \right)}^{\prime }}=\cos 3x$
b) ${y}’={{\left( \frac{\sin x}{x} \right)}^{\prime }}+{{\left( \frac{x}{\sin x} \right)}^{\prime }}=\frac{x\cos x-\sin x}{{{x}^{2}}}+\frac{\sin x-x\cos x}{{{\sin }^{2}}x}$
c) ${y}’={{\left( \tan 2x \right)}^{\prime }}-\frac{1}{3}{{\left( \cot 4x \right)}^{\prime }}+{{\left( \sqrt{\sin x} \right)}^{\prime }}=\frac{2}{{{\cos }^{2}}2x}+\frac{4}{3{{\sin }^{2}}4x}+\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$
d) ${y}’={{\left( \sqrt{\cos 3x} \right)}^{\prime }}-{{\left( \frac{1}{\sin 2x} \right)}^{\prime }}=\frac{-3\sin 3x}{2\sqrt{\cos 3x}}+\frac{2\cos 2x}{{{\sin }^{2}}2x}$
e) ${y}’={{\left[ {{\left( \frac{\sin x}{1+\cos 2x} \right)}^{2}} \right]}^{\prime }}=2.\frac{\sin x}{1+\cos 2x}{{\left( \frac{\sin x}{1+\cos 2x} \right)}^{\prime }}$
$\begin{align} & =2.\frac{\sin x}{1+\cos 2x}.\frac{\cos x\left( 1+\cos 2x \right)+2\sin 2x\sin x}{{{\left( 1+\cos 2x \right)}^{2}}}=\frac{\sin 2x\left( 1+\cos 2x \right)+4\sin 2x{{\sin }^{2}}x}{{{\left( 1+\cos 2x \right)}^{3}}} \\ & =\frac{\sin 2x\left( 1+\cos 2x \right)+2\sin 2x\left( 1-\cos 2x \right)}{{{\left( 1+\cos 2x \right)}^{3}}}=\frac{\sin 2x\left( 3-\cos 2x \right)}{{{\left( 1+\cos 2x \right)}^{3}}} \\ \end{align}$
Bài tập 6:
Cho $f\left( x \right)=3x+\frac{60}{x}-\frac{64}{{{x}^{3}}}+5$. Giải phương trình ${f}’\left( x \right)=0$.
Lời giải
Ta có ${f}’\left( x \right)={{\left( 3x+\frac{60}{x}-\frac{64}{{{x}^{3}}}+5 \right)}^{\prime }}=3-\frac{60}{{{x}^{2}}}+\frac{192}{{{x}^{4}}}$
${f}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow 3-\frac{60}{{{x}^{2}}}+\frac{192}{{{x}^{4}}}=0\text{ }\left( 1 \right)$. Đặt $t=\frac{1}{{{x}^{2}}},\left( t>0 \right)$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow 192{{t}^{2}}-60t+3=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{4}\vee t=\frac{1}{16}$
Với $t=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \frac{1}{{{x}^{2}}}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=4\Leftrightarrow x=\pm 2$
Với $t=\frac{1}{16}\Leftrightarrow \frac{1}{{{x}^{2}}}=\frac{1}{16}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=16\Leftrightarrow x=\pm 4$
Vậy ${f}’\left( x \right)=0$ có 4 nghiệm $x=\pm 2$, $x=\pm 4$
Bài tập 7:
Cho hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}-2x}$. Giải bất phương trình ${f}’\left( x \right)\le f\left( x \right)$
Lời giải
Ta có ${f}’\left( x \right)=\frac{x-1}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}$. Khi đó ${f}’\left( x \right)\le f\left( x \right)\Leftrightarrow \frac{x-1}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}\le \sqrt{{{x}^{2}}-2x}$ (1)
Đk: $x\in \left( -\infty \,;\,0 \right)\cup \left( 2\,;\,+\infty \right)$.
(1) $\Leftrightarrow x-1\le {{x}^{2}}-2x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+1\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x\ge \frac{3+\sqrt{5}}{2} \\ & x\le \frac{3-\sqrt{5}}{2} \\\end{align} \right.$.
Kết hợp với điều kiện trên suy ra $x<0$ hoặc$x\ge \frac{3+\sqrt{5}}{2}$.
Bài tập 8:
Tính đạo hàm
a) $y=\frac{1}{3}\sin 3x$ b) $y=\frac{\sin x}{x}+\frac{x}{\sin x}$ c) $y=\tan 2x-\frac{1}{3}\cot 4x+\sqrt{\sin x}$
d) $y=\sqrt{\cos 3x}-\frac{1}{\sin 2x}$ e) $y={{\left( \frac{\sin x}{1+\cos 2x} \right)}^{2}}$
Lời giải
a) ${y}’=\frac{1}{3}{{\left( \sin 3x \right)}^{\prime }}=\cos 3x$
b) ${y}’={{\left( \frac{\sin x}{x} \right)}^{\prime }}+{{\left( \frac{x}{\sin x} \right)}^{\prime }}=\frac{x\cos x-\sin x}{{{x}^{2}}}+\frac{\sin x-x\cos x}{{{\sin }^{2}}x}$
c) ${y}’={{\left( \tan 2x \right)}^{\prime }}-\frac{1}{3}{{\left( \cot 4x \right)}^{\prime }}+{{\left( \sqrt{\sin x} \right)}^{\prime }}=\frac{2}{{{\cos }^{2}}2x}+\frac{4}{3{{\sin }^{2}}4x}+\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$
d) ${y}’={{\left( \sqrt{\cos 3x} \right)}^{\prime }}-{{\left( \frac{1}{\sin 2x} \right)}^{\prime }}=\frac{-3\sin 3x}{2\sqrt{\cos 3x}}+\frac{2\cos 2x}{{{\sin }^{2}}2x}$
e) ${y}’={{\left[ {{\left( \frac{\sin x}{1+\cos 2x} \right)}^{2}} \right]}^{\prime }}=2.\frac{\sin x}{1+\cos 2x}{{\left( \frac{\sin x}{1+\cos 2x} \right)}^{\prime }}$
$\begin{align} & =2.\frac{\sin x}{1+\cos 2x}.\frac{\cos x\left( 1+\cos 2x \right)+2\sin 2x\sin x}{{{\left( 1+\cos 2x \right)}^{2}}}=\frac{\sin 2x\left( 1+\cos 2x \right)+4\sin 2x{{\sin }^{2}}x}{{{\left( 1+\cos 2x \right)}^{3}}} \\ & =\frac{\sin 2x\left( 1+\cos 2x \right)+2\sin 2x\left( 1-\cos 2x \right)}{{{\left( 1+\cos 2x \right)}^{3}}}=\frac{\sin 2x\left( 3-\cos 2x \right)}{{{\left( 1+\cos 2x \right)}^{3}}} \\ \end{align}$