Bảng công thức đạo hàm và một số bài tập cơ bản

Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn các công thức tính đạo hàm rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về đạo hàm của ln, đạo hàm của hàm hợp, đạo hàm tanx cũng như công thức đạo hàm cơ bản bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!

I. CÔNG THỨC ĐẠO HÀM

1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Cho các hàm số $u=u\left( x \right)$ và $v=v\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm $x$ thuộc khoảng xác định. Ta có:

a. $\left( u+v \right)’=u’+v’$2. $\left( u-v \right)’=u’-v’$

b. $\left( u.v \right)’=u’v+v’u$4. ${{\left( \frac{u}{v} \right)}^{\prime }}=\frac{{u}’v-{v}’u}{{{v}^{2}}}\Rightarrow {{\left( \frac{1}{v} \right)}^{\prime }}=-\frac{{{v}’}}{{{v}^{2}}}$

Mở rộng:

c. ${{\left( {{u}_{1}}\pm {{u}_{2}}\pm …\pm {{u}_{n}} \right)}^{\prime }}={{u}_{1}}^{\prime }\pm {{u}_{2}}^{\prime }\pm …\pm {{u}_{n}}^{\prime }$.2.${{\left( u.v.\text{w} \right)}^{\prime }}={u}’.v.\text{w}+u.{v}’.\text{w}+u.v.\text{{w}’}$

2. Đạo hàm của hàm số hợp

Cho hàm số $y=f\left( u\left( x \right) \right)=f\left( u \right)$ với $u=u\left( x \right)$. Khi đó: $y{{‘}_{x}}=y{{‘}_{u}}.u{{‘}_{x}}$

Phương pháp:

Cho hàm số $y=f\left( u \right)$ và $u=u\left( x \right)$

$y_{x}^{‘}=u_{x}^{‘}.f_{u}^{‘}$

Bảng tổng hợp đạo hàm các hàm cơ bản

Hàm số Đạo hàm Hàm số Đạo hàm
$y=c$ ${y}’=0$
$y=x$ ${y}’=1$ $y=u$ ${y}’={u}’$
$y={{x}^{n}}$ ${y}’=n.{{x}^{n-1}}$ $y={{u}^{n}}$ ${y}’=n.{{u}^{n-1}}.{u}’$
$y=\sqrt{x}$ ${y}’=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ $y=\sqrt{u}$ ${y}’=\frac{{{u}’}}{2\sqrt{u}}$
$y=\frac{1}{x}$ ${y}’=-\frac{1}{{{x}^{2}}}$ $y=\frac{1}{u}$ ${y}’=-\frac{u’}{{{u}^{2}}}$
$y=\sin x$ $y’=\cos x$ $y=\operatorname{sinu}$ $y’={u}’.\operatorname{cosu}$
$y=\cos x$ $y’=-\sin x$ $y=\operatorname{cosu}$ $y’=-{u}’\operatorname{sinu}$
$y=\tan x$ $y’=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}$ $y=\operatorname{tanu}$ $y’=\frac{{{u}’}}{{{\cos }^{2}}u}$
$y=\cot x$ $y’=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}$ $y=\operatorname{cotu}$ $y’=-\frac{{{u}’}}{{{\sin }^{2}}u}$

3. Bảng công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản

Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm các hàm hợp $u=u\left( x \right)$
${{\left( c \right)}^{\prime }}=0$, c là hằng số

$\begin{align}  & {{\left( x \right)}^{\prime }}=1 \\ & {{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{x}^{2}}} \\ & {{\left( \sqrt{x} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\ & {{\left( {{x}^{\alpha }} \right)}^{\prime }}=\alpha .{{x}^{\alpha -1}} \\\end{align}$

$\begin{align}  & {{\left( \frac{1}{u} \right)}^{\prime }}=-\frac{{{u}’}}{{{u}^{2}}} \\ & {{\left( \sqrt{u} \right)}^{\prime }}=\frac{{{u}’}}{2\sqrt{u}} \\ & {{\left( {{u}^{\alpha }} \right)}^{\prime }}=\alpha .{u}’.{{u}^{\alpha -1}} \\\end{align}$

 

Chú ý: Với các hàm số đã cho trong bảng được xác định với điều kiện đầy đủ.

4. Đạo hàm lượng giác

Bảng công thức tính đạo hàm các hàm lượng giác

${{\left( \sin \,x \right)}^{\prime }}=\cos x$ ${{\left( \sin \,u \right)}^{\prime }}={u}’.\cos u$
${{\left( \cos \,x \right)}^{\prime }}=-\sin x$ ${{\left( \cos \,u \right)}^{\prime }}=-{u}’.\sin u$
${{\left( \tan \,x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}$ ${{\left( \tan \,u \right)}^{\prime }}=\frac{{{u}’}}{{{\cos }^{2}}u}$
${{\left( \cot \,x \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}$ ${{\left( \cot \,u \right)}^{\prime }}=-\frac{{{u}’}}{{{\sin }^{2}}x}$

Xem thêm: Lý thuyết và bài tập của quy tắc tính đạo hàm

II. BÀI TẬP MẪU VỀ ĐẠO HÀM

Bài tập 1: Tính đạo hàm

a.$y=\left( 1-x \right)\left( 1-2x \right)\left( 1-3x \right)$                         b. $y=\left( x+\sqrt{x} \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)$

c. $y={{x}^{2}}{{\left( x+4 \right)}^{3}}$                         d.$y=\left( 1-\frac{1}{x} \right)\left( x-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)$                         e.$y=\left( {{x}^{3}}+3x \right)\left( 2-x \right)$

Lời giải

a.$y=\left( 1-x \right)\left( 1-2x \right)\left( 1-3x \right)=\left( 1-3x+2{{x}^{2}} \right)\left( 1-3x \right)$$\begin{align}  & =1-3x-3x+9{{x}^{2}}+2{{x}^{2}}-6{{x}^{3}}=1-6x+11{{x}^{2}}-6{{x}^{3}} \\ & \Rightarrow {y}’=-6+22x-18{{x}^{2}} \\\end{align}$

b.$y=\left( x+\sqrt{x} \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x-{{x}^{2}}\sqrt{x}-x\sqrt{x}-\sqrt{x}$

${y}’=3{{x}^{2}}+2x+1-\frac{5}{2}\sqrt{{{x}^{3}}}-\frac{3}{2}\sqrt{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}$

c.$y={{x}^{2}}{{\left( x+4 \right)}^{3}}={{x}^{2}}\left( {{x}^{3}}+12{{x}^{2}}+48x+64 \right)={{x}^{5}}+12{{x}^{4}}+48{{x}^{3}}+64{{x}^{2}}$

${y}’=5{{x}^{4}}+48{{x}^{3}}+144{{x}^{2}}+128x$

d.$y=\left( 1-\frac{1}{x} \right)\left( x-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)=x-\frac{1}{{{x}^{2}}}-1+\frac{1}{{{x}^{3}}}\Rightarrow {y}’=1+\frac{2}{{{x}^{3}}}-\frac{3}{{{x}^{4}}}$

e.$y=\left( {{x}^{3}}+3x \right)\left( 2-x \right)=2{{x}^{3}}-{{x}^{4}}+6x-3{{x}^{2}}\Rightarrow {y}’=6{{x}^{2}}-4{{x}^{3}}+6-6x$

Bài tập 2: Tính đạo hàm

a.$y=\frac{2}{x}$                                                                                b. $y=\frac{x+2}{2x-1}$                                  

c. $y=\frac{{{x}^{2}}+4x-1}{2x+3}$                                                                     d.$y=\frac{\sqrt{x}}{x+1}$                               

e. $y=\frac{1+x-{{x}^{2}}}{1-x+{{x}^{2}}}$                                                                       f. $y=\frac{3}{2x-1}$

Lời giải

a.${y}’=\frac{-2}{{{x}^{2}}}$

b.${y}’=\frac{2x-1-2\left( x+2 \right)}{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}=\frac{5}{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}$

c.${y}’=\frac{\left( 2x+3 \right)\left( 2x+4 \right)-2\left( {{x}^{2}}+4x-1 \right)}{{{\left( 2x+3 \right)}^{2}}}=\frac{4{{x}^{2}}+14x+12-2{{x}^{2}}-8x+2}{{{\left( 2x+3 \right)}^{2}}}=\frac{2{{x}^{2}}+6x+14}{{{\left( 2x+3 \right)}^{2}}}$

d.${y}’=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\left( x+1 \right)-\sqrt{x}}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\frac{1-x}{2\sqrt{x}{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$

e.$y=\frac{2}{1-x+{{x}^{2}}}-1\Rightarrow {y}’=-\frac{2\left( -1+2x \right)}{{{\left( 1-x+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}=\frac{2\left( 1-2x \right)}{{{\left( 1-x+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}$

f.${y}’=-\frac{6}{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}$

Bài tập 3: Tính đạo hàm

a) $y={{\left( -{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-1 \right)}^{10}}$                 b) $y=\frac{1}{{{\left( x+\sqrt{x} \right)}^{5}}}$

c) $y={{\left( \frac{{{x}^{2}}+x-1}{x-1} \right)}^{8}}$                d) $y=\frac{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}{{{\left( x-1 \right)}^{3}}}$                e) $y={{\left( 2-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{3}}$

Lời giải

a) ${y}’=10{{\left( -{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-1 \right)}^{\prime }}{{\left( -{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-1 \right)}^{9}}=10\left( -3{{x}^{2}}+2x \right){{\left( -{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-1 \right)}^{9}}$

b) $y=\frac{1}{{{\left( x+\sqrt{x} \right)}^{5}}}={{\left( x+\sqrt{x} \right)}^{-5}}$

$\begin{align}  & \Rightarrow {y}’=-5.\frac{{{\left( x+\sqrt{x} \right)}^{\prime }}}{{{\left( x+\sqrt{x} \right)}^{6}}}=-5.\frac{1+\frac{1}{2\sqrt{x}}}{{{\left( x+\sqrt{x} \right)}^{6}}} \\ & =-5.\frac{\frac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}}{{{x}^{3}}{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{6}}}=-5.\frac{2\sqrt{x}+1}{2{{x}^{3}}\sqrt{x}{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{6}}} \\\end{align}$

c) ${y}’=8{{\left( \frac{{{x}^{2}}+x-1}{x-1} \right)}^{\prime }}{{\left( \frac{{{x}^{2}}+x-1}{x-1} \right)}^{7}}$

$=8.\frac{\left( 2x+1 \right)\left( x-1 \right)-\left( {{x}^{2}}+x-1 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{{\left( \frac{{{x}^{2}}+x-1}{x-1} \right)}^{7}}=8.\frac{{{x}^{2}}-2x}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{{\left( \frac{{{x}^{2}}+x-1}{x-1} \right)}^{7}}$

d) ${y}’=\frac{{{\left[ {{\left( 2x+1 \right)}^{2}} \right]}^{\prime }}{{\left( x-1 \right)}^{3}}-{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}{{\left[ {{\left( x-1 \right)}^{3}} \right]}^{\prime }}}{{{\left( x-1 \right)}^{6}}}$

$\begin{align}  & =\frac{4\left( 2x+1 \right){{\left( x-1 \right)}^{3}}-{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}3{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{{{\left( x-1 \right)}^{6}}}=\frac{4\left( 2x+1 \right)\left( x-1 \right)-{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}3}{{{\left( x-1 \right)}^{4}}} \\ & =\frac{-4{{x}^{2}}-16x-7}{{{\left( x-1 \right)}^{4}}} \\\end{align}$

e) $y=3{{\left( 2-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}{{\left( 2-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{2}}=\frac{6}{{{x}^{3}}}{{\left( 2-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{2}}$

Bài tập 4: Tính đạo hàm

a) $y=\sqrt{2{{x}^{2}}-5x+2}$                     b) $y=\sqrt{{{x}^{3}}-x+2}$

c) $y=\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{3}}}$           d) $y=\sqrt{\frac{{{x}^{3}}}{x-1}}$                    e) $y=\frac{1-\sqrt[3]{2x}}{1+\sqrt[3]{2x}}$

Lời giải

a) ${y}’=\frac{{{\left( 2{{x}^{2}}-5x+2 \right)}^{\prime }}}{2\sqrt{2{{x}^{2}}-5x+2}}=\frac{4x-5}{2\sqrt{2{{x}^{2}}-5x+2}}$

b) ${y}’=\frac{{{\left( {{x}^{3}}-x+2 \right)}^{\prime }}}{2\sqrt{{{x}^{3}}-x+2}}=\frac{3{{x}^{2}}-1}{2\sqrt{{{x}^{3}}-x+2}}$

c) ${y}’=\frac{{{\left( {{\left( x-2 \right)}^{3}} \right)}^{\prime }}}{2\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{3}}}}=\frac{3{{\left( x-2 \right)}^{2}}}{2\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{3}}}}=\frac{3}{2}\sqrt{x-2}$

d) ${y}’=\frac{{{\left( \frac{{{x}^{3}}}{x-1} \right)}^{\prime }}}{2\sqrt{\frac{{{x}^{3}}}{x-1}}}=\frac{\frac{3{{x}^{2}}\left( x-1 \right)-{{x}^{3}}}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}{2\sqrt{\frac{{{x}^{3}}}{x-1}}}=\frac{\frac{{{x}^{2}}\left( 2x-3 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}{2\sqrt{\frac{{{x}^{3}}}{x-1}}}=\frac{1}{2}\left( 2x-3 \right)\sqrt{\frac{{{x}^{3}}}{x-1}}$

e) ${y}’=\frac{{{\left( 1-\sqrt[3]{2x} \right)}^{\prime }}\left( 1+\sqrt[3]{2x} \right)-\left( 1-\sqrt[3]{2x} \right){{\left( 1+\sqrt[3]{2x} \right)}^{\prime }}}{{{\left( 1+\sqrt[3]{2x} \right)}^{2}}}$

$\begin{align}  & =\frac{-\frac{2}{3\sqrt[3]{4{{x}^{2}}}}\left( 1+\sqrt[3]{2x} \right)-\left( 1-\sqrt[3]{2x} \right)\frac{2}{3\sqrt[3]{4{{x}^{2}}}}}{{{\left( 1+\sqrt[3]{2x} \right)}^{2}}}=\frac{-2\left( 3\sqrt[3]{4{{x}^{2}}}+3.2x \right)-2\left( 3\sqrt[3]{4{{x}^{2}}}-3.2x \right)}{3\sqrt[3]{4{{x}^{2}}}{{\left( 1+\sqrt[3]{2x} \right)}^{2}}} \\ & =\frac{-12\sqrt[3]{4{{x}^{2}}}}{3\sqrt[3]{4{{x}^{2}}}{{\left( 1+\sqrt[3]{2x} \right)}^{2}}}=\frac{-4}{{{\left( 1+\sqrt[3]{2x} \right)}^{2}}} \\\end{align}$

Bài tập 5: Tính đạo hàm

a) $y=\frac{1}{3}\sin 3x$                    b) $y=\frac{\sin x}{x}+\frac{x}{\sin x}$

c) $y=\tan 2x-\frac{1}{3}\cot 4x+\sqrt{\sin x}$                    d) $y=\sqrt{\cos 3x}-\frac{1}{\sin 2x}$                    e) $y={{\left( \frac{\sin x}{1+\cos 2x} \right)}^{2}}$

Lời giải

a) ${y}’=\frac{1}{3}{{\left( \sin 3x \right)}^{\prime }}=\cos 3x$

b) ${y}’={{\left( \frac{\sin x}{x} \right)}^{\prime }}+{{\left( \frac{x}{\sin x} \right)}^{\prime }}=\frac{x\cos x-\sin x}{{{x}^{2}}}+\frac{\sin x-x\cos x}{{{\sin }^{2}}x}$

c) ${y}’={{\left( \tan 2x \right)}^{\prime }}-\frac{1}{3}{{\left( \cot 4x \right)}^{\prime }}+{{\left( \sqrt{\sin x} \right)}^{\prime }}=\frac{2}{{{\cos }^{2}}2x}+\frac{4}{3{{\sin }^{2}}4x}+\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$

d) ${y}’={{\left( \sqrt{\cos 3x} \right)}^{\prime }}-{{\left( \frac{1}{\sin 2x} \right)}^{\prime }}=\frac{-3\sin 3x}{2\sqrt{\cos 3x}}+\frac{2\cos 2x}{{{\sin }^{2}}2x}$

e) ${y}’={{\left[ {{\left( \frac{\sin x}{1+\cos 2x} \right)}^{2}} \right]}^{\prime }}=2.\frac{\sin x}{1+\cos 2x}{{\left( \frac{\sin x}{1+\cos 2x} \right)}^{\prime }}$

$\begin{align}  & =2.\frac{\sin x}{1+\cos 2x}.\frac{\cos x\left( 1+\cos 2x \right)+2\sin 2x\sin x}{{{\left( 1+\cos 2x \right)}^{2}}}=\frac{\sin 2x\left( 1+\cos 2x \right)+4\sin 2x{{\sin }^{2}}x}{{{\left( 1+\cos 2x \right)}^{3}}} \\  & =\frac{\sin 2x\left( 1+\cos 2x \right)+2\sin 2x\left( 1-\cos 2x \right)}{{{\left( 1+\cos 2x \right)}^{3}}}=\frac{\sin 2x\left( 3-\cos 2x \right)}{{{\left( 1+\cos 2x \right)}^{3}}} \\ \end{align}$

Bài tập 6: Giải phương trình

Cho $f\left( x \right)=3x+\frac{60}{x}-\frac{64}{{{x}^{3}}}+5$. Giải phương trình ${f}’\left( x \right)=0$.

Lời giải

Ta có ${f}’\left( x \right)={{\left( 3x+\frac{60}{x}-\frac{64}{{{x}^{3}}}+5 \right)}^{\prime }}=3-\frac{60}{{{x}^{2}}}+\frac{192}{{{x}^{4}}}$

${f}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow 3-\frac{60}{{{x}^{2}}}+\frac{192}{{{x}^{4}}}=0\text{ }\left( 1 \right)$. Đặt $t=\frac{1}{{{x}^{2}}},\left( t>0 \right)$

$\left( 1 \right)\Leftrightarrow 192{{t}^{2}}-60t+3=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{4}\vee t=\frac{1}{16}$

Với $t=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \frac{1}{{{x}^{2}}}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=4\Leftrightarrow x=\pm 2$

Với $t=\frac{1}{16}\Leftrightarrow \frac{1}{{{x}^{2}}}=\frac{1}{16}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=16\Leftrightarrow x=\pm 4$

Vậy ${f}’\left( x \right)=0$ có 4 nghiệm $x=\pm 2$, $x=\pm 4$

Bài tập 7: Giải bất phương trình

Cho hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}-2x}$. Giải bất phương trình ${f}’\left( x \right)\le f\left( x \right)$

Lời giải

Ta có ${f}’\left( x \right)=\frac{x-1}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}$. Khi đó ${f}’\left( x \right)\le f\left( x \right)\Leftrightarrow \frac{x-1}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}\le \sqrt{{{x}^{2}}-2x}$ (1)

Đk: $x\in \left( -\infty \,;\,0 \right)\cup \left( 2\,;\,+\infty  \right)$.

(1) $\Leftrightarrow x-1\le {{x}^{2}}-2x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+1\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x\ge \frac{3+\sqrt{5}}{2} \\ & x\le \frac{3-\sqrt{5}}{2} \\\end{align} \right.$.

Kết hợp với điều kiện trên suy ra $x<0$ hoặc$x\ge \frac{3+\sqrt{5}}{2}$.

Bài tập 8: Tính đạo hàm

a) $y=\frac{1}{3}\sin 3x$                    b) $y=\frac{\sin x}{x}+\frac{x}{\sin x}$                    c) $y=\tan 2x-\frac{1}{3}\cot 4x+\sqrt{\sin x}$                    

d) $y=\sqrt{\cos 3x}-\frac{1}{\sin 2x}$                    e) $y={{\left( \frac{\sin x}{1+\cos 2x} \right)}^{2}}$

Lời giải

a) ${y}’=\frac{1}{3}{{\left( \sin 3x \right)}^{\prime }}=\cos 3x$

b) ${y}’={{\left( \frac{\sin x}{x} \right)}^{\prime }}+{{\left( \frac{x}{\sin x} \right)}^{\prime }}=\frac{x\cos x-\sin x}{{{x}^{2}}}+\frac{\sin x-x\cos x}{{{\sin }^{2}}x}$

c) ${y}’={{\left( \tan 2x \right)}^{\prime }}-\frac{1}{3}{{\left( \cot 4x \right)}^{\prime }}+{{\left( \sqrt{\sin x} \right)}^{\prime }}=\frac{2}{{{\cos }^{2}}2x}+\frac{4}{3{{\sin }^{2}}4x}+\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$

d) ${y}’={{\left( \sqrt{\cos 3x} \right)}^{\prime }}-{{\left( \frac{1}{\sin 2x} \right)}^{\prime }}=\frac{-3\sin 3x}{2\sqrt{\cos 3x}}+\frac{2\cos 2x}{{{\sin }^{2}}2x}$

e) ${y}’={{\left[ {{\left( \frac{\sin x}{1+\cos 2x} \right)}^{2}} \right]}^{\prime }}=2.\frac{\sin x}{1+\cos 2x}{{\left( \frac{\sin x}{1+\cos 2x} \right)}^{\prime }}$

$\begin{align}  & =2.\frac{\sin x}{1+\cos 2x}.\frac{\cos x\left( 1+\cos 2x \right)+2\sin 2x\sin x}{{{\left( 1+\cos 2x \right)}^{2}}}=\frac{\sin 2x\left( 1+\cos 2x \right)+4\sin 2x{{\sin }^{2}}x}{{{\left( 1+\cos 2x \right)}^{3}}} \\  & =\frac{\sin 2x\left( 1+\cos 2x \right)+2\sin 2x\left( 1-\cos 2x \right)}{{{\left( 1+\cos 2x \right)}^{3}}}=\frac{\sin 2x\left( 3-\cos 2x \right)}{{{\left( 1+\cos 2x \right)}^{3}}} \\ \end{align}$

Xem thêm:

Lý thuyết và bài tập mẫu đạo hàm cấp 2