Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về công thức cấp số cộng cấp số nhân rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về công thức cấp số cộng và cấp số nhân bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VỀ CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN
Để có thể làm được tất cả các dạng bài tập của cấp số nhân cấp số cộng lớp 11 một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức cấp số cộng và cấp số nhân cũng như tính chất của dạng này như sau:
1. CẤP SỐ CỘNG:
I. ĐỊNH NGHĨA CẤP SỐ CỘNG:
1. Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hay hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d không đổi, nghĩa là:
(${{{u}_{n}}}$) là cấp số cộng ${\Leftrightarrow \forall n\ge 2,{{u}_{n}}={{u}_{n-1}}+d}$
Số $d$ được gọi là công sai của cấp số cộng.
2. Định lý 1: Nếu (${{{u}_{n}}}$) là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng ( trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là ${{{u}_{k}}=\frac{{{u}_{k-1}}+{{u}_{k+1}}}{2}}$
Hệ quả: Ba số ${a, b, c}$ (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng ${\Leftrightarrow a+c=2b}$.
3. Định lý 2: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu ${{{u}_{1}}}$ và công sai d thì số hạng tổng quát ${{{u}_{n}}}$ của nó được xác định bởi công thức sau: ${{{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d}$
4. Định lý 3: Giả sử ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ là một cấp số cộng có công sai $d$.
Gọi ${{{S}_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{u}_{k}}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+…+{{u}_{n}}}$
( ${{{S}_{n}}}$ là tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng). Ta có:
${{{S}_{n}}=\frac{n\left( {{u}_{1}}+{{u}_{n}} \right)}{2}=\frac{n\left[ 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right]}{2}}$.
DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT DÃY SỐ ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ LÀ CẤP SỐ CỘNG.
Để chứng minh dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ là một cấp số cộng, ta xét ${A={{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}}$
${\bullet }$ Nếu $A$ là hằng số thì ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ là một cấp số cộng với công sai ${d=A}$.
${\bullet }$ Nếu $A$ phụ thuộc vào $n$ thì ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ không là cấp số cộng.
DẠNG 2: TÌM SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN, CÔNG SAI CỦA CẤP SỐ CỘNG, TÌM SỐ HẠNG THỨ K CỦA CẤP SỐ CỘNG, TÍNH TỔNG K SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN.
Ta thiết lập một hệ phương trình gồm hai ẩn ${{{u}_{1}}}$ và d. Sau đó giải hệ phương trình này tìm được ${{{u}_{1}}}$ và $d$.
Muốn tìm số hạng thứ $k$, trước tiên ta phải tìm ${{{u}_{1}}}$ và $d$. Sau đó áp dụng công thức: ${{{u}_{k}}={{u}_{1}}+\left( k-1 \right)d}$.
Muốn tính tổng của k số hạng đầu tiên, ta phải tìm ${{{u}_{1}}}$ và $d$. Sau đó áp dụng công thức: ${{{S}_{k}}=\frac{k\left( {{u}_{1}}+{{u}_{k}} \right)}{2}=\frac{k\left[ 2{{u}_{1}}+(k-1)d \right]}{2}}$
DẠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN CẤP SỐ CỘNG.
Xem thêm: Lý thuyết và bài tập mẫu cấp số nhân
2. CẤP SỐ NHÂN:
I. ĐỊNH NGHĨA CẤP SỐ NHÂN:
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi $q.$
Số $q$ được gọi là công bội của cấp số nhân.
Nếu $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số nhân với công bội $q,$ ta có công thức truy hồi:
${{u}_{n+1}}={{u}_{n}}q$ với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$
Đặc biệt:
$\bullet $ Khi $q=0,$ cấp số nhân có dạng ${{u}_{1}},\text{ }0,\text{ }0,\text{ }…,\text{ }0,\text{ }…$
$\bullet $ Khi $q=1,$ cấp số nhân có dạng ${{u}_{1}},\text{ }{{u}_{1}},\text{ }{{u}_{1}},\text{ }…,\text{ }{{u}_{1}},\text{ }…$
$\bullet $ Khi ${{u}_{1}}=0$ thì với mọi $q,$ cấp số nhân có dạng $0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }…,\text{ }0,\text{ }…$
1. Số hạng tổng quát:
Định lí 1. Nếu cấp số nhân có số hạng đầu ${{u}_{1}}$ và công bội $q$ thì số hạng tổng quát ${{u}_{n}}$ được xác định bởi công thức
${{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}$ với $n\ge 2.$
2. Tính chất:
Định lí 2. Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
$u_{k}^{2}={{u}_{k-1}}.{{u}_{k+1}}$, với $k\ge 2.$
3. Tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân
Định lí 3. Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ với công bội $q\ne 1.$ Đặt ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+…+{{u}_{n}}.$
Khi đó $$
Chú ý: Nếu $q=1$ thì cấp số nhân là ${{u}_{1}},\text{ }{{u}_{1}},\text{ }{{u}_{1}},\text{ }…,\text{ }{{u}_{1}},\text{ }…$ khi đó ${{S}_{n}}=n{{u}_{1}}.$
DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT DÃY $(u_{n})$ LÀ CẤP SỐ NHÂN.
Chứng minh $\forall n\ge 1,{{u}_{n+1}}={{u}_{n}}.q$ trong đó $q$ là một số không đổi.
Nếu $u_{n}\neq0$ với mọi $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ thì ta lập tỉ số $T=\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}$
$*$ T là hằng số thì $(u_{n})$ là cấp số nhân có công bội $q=T$.
$*$ T phụ thuộc vào n thì $(u_{n})$ không là cấp số nhân.
DẠNG 2: XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG ĐẦU CÔNG BỘI, XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG THỨ K, TÍNH TỔNG CỦA N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN.
Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công bội q và số hạng đầu ${{{u}_{1}}}$, giải hệ phương trình này tìm được q và ${{{u}_{1}}}$.
Để xác định số hạng thứ k, ta sử dụng công thức: ${{{u}_{k}}={{u}_{1}}.{{q}^{k-1}}}$.
Để tính tổng của n số hạng, ta sử dụng công thức: ${{{S}_{n}}={{u}_{1}}.\frac{1-{{q}^{n}}}{1-q},q\ne 1}$. Nếu ${q=1}$ thì ${{{u}_{1}}={{u}_{2}}={{u}_{3}}=…={{u}_{n}}}$, do đó ${{{S}_{n}}=n{{u}_{1}}}$.
DẠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN CẤP SỐ NHÂN.
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về các công thức cấp số cộng và cấp số nhân mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ về công thức cấp số cộng cấp số nhân thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất bởi các chuyên viên có kinh nghiệm nhé!
Xem thêm:
