Tổng hợp lý thuyết: Con lắc lò xo

TÓM TẮT LÍ THUYẾT

+ Phương trình dao động: $x=A\cos (\omega t+\varphi )$

Phương trình vận tốc:

$v=\frac{dx}{dt}=x’;\text{ }v=-\omega A\sin (\omega t+\varphi )=\omega A\cos (\omega t+\varphi +\frac{\pi }{2})$

+ Phương trình gia tốc:

$a=\frac{dv}{dt}=v’;\text{ }a=\frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}=x”;\text{ }a=-{{\omega }^{2}}A\cos (\omega t+\varphi );\text{ }a=-{{\omega }^{2}}x$

Hay $a={{\omega }^{2}}A\cos (\omega t+\varphi \pm \pi )$

+ Tần số góc, chu kì, tần số và pha dao động, pha ban đầu:

a. Tần số góc

b. Tần số: $f=\frac{1}{T}=\frac{N}{t}(Hz);\text{ }f=\frac{\omega }{2\pi }=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}$

c. Chu kì: $T=\frac{1}{f}=\frac{t}{N}(s);\text{ }T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

d. Pha dao động: $(\omega t+\varphi )$

e. Pha ban đầu: $\varphi $tìm được bằng cách dùng đường tròn

MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP THƯỜNG GẶP

+ Chọn gốc thời gian ${{t}_{0}}=0$là lúc vật qua vị trí cân bằng ${{x}_{0}}=0$ theo chiều dương ${{v}_{0}}>0$:

Pha ban đầu $\varphi =-\frac{\pi }{2}$

+ Chọn gốc thời gian ${{t}_{0}}=0$là lúc vật qua vị trí cân bằng ${{x}_{0}}=0$ theo chiều âm${{v}_{0}}<0$:

Pha ban đầu $\varphi =\frac{\pi }{2}$

+ Chọn gốc thời gian ${{t}_{0}}=0$là lúc vật qua biên dương${{x}_{0}}=A$: Pha ban đầu $\varphi =0$

+ Chọn gốc thời gian ${{t}_{0}}=0$là lúc vật qua biên âm${{x}_{0}}=-A$: Pha ban đầu $\varphi =\pi $

+ Chọn gốc thời gian ${{t}_{0}}=0$là lúc vật qua vị trí ${{x}_{0}}=\frac{A}{2}$ theo chiều dương ${{v}_{0}}>0$

Pha ban đầu $\varphi =-\frac{\pi }{3}$

+ Chọn gốc thời gian ${{t}_{0}}=0$là lúc vật qua vị trí ${{x}_{0}}=-\frac{A}{2}$ theo chiều dương ${{v}_{0}}>0$

Pha ban đầu $\varphi =-\frac{2\pi }{3}$

+ Chọn gốc thời gian ${{t}_{0}}=0$là lúc vật qua vị trí ${{x}_{0}}=\frac{A}{2}$ theo chiều âm ${{v}_{0}}<0$

Pha ban đầu $\varphi =\frac{\pi }{3}$

+Chọn gốc thời gian ${{t}_{0}}=0$là lúc vật qua vị trí ${{x}_{0}}=-\frac{A}{2}$ theo chiều âm ${{v}_{0}}<0$:

Pha ban đầu $\varphi =\frac{2\pi }{3}$

+ Chọn gốc thời gian ${{t}_{0}}=0$là lúc vật qua vị trí ${{x}_{0}}=\frac{A\sqrt{2}}{2}$ theo chiều dương ${{v}_{0}}>0$:

Pha ban đầu $\varphi =-\frac{\pi }{4}$

+ Chọn gốc thời gian ${{t}_{0}}=0$là lúc vật qua vị trí ${{x}_{0}}=-\frac{A\sqrt{2}}{2}$ theo chiều dương ${{v}_{0}}>0$

Pha ban đầu $\varphi =-\frac{3\pi }{4}$

+ Chọn gốc thời gian ${{t}_{0}}=0$là lúc vật qua vị trí ${{x}_{0}}=\frac{A\sqrt{2}}{2}$ theo chiều âm ${{v}_{0}}<0$

Pha ban đầu $\varphi =\frac{\pi }{4}$

+ Chọn gốc thời gian ${{t}_{0}}=0$là lúc vật qua vị trí ${{x}_{0}}=-\frac{A\sqrt{2}}{2}$ theo chiều âm ${{v}_{0}}<0$

Pha ban đầu $\varphi =\frac{3\pi }{4}$

+ Chọn gốc thời gian ${{t}_{0}}=0$là lúc vật qua vị trí ${{x}_{0}}=\frac{A\sqrt{3}}{2}$ theo chiều dương ${{v}_{0}}>0$

Pha ban đầu $\varphi =-\frac{\pi }{6}$

+ Chọn gốc thời gian ${{t}_{0}}=0$là lúc vật qua vị trí ${{x}_{0}}=-\frac{A\sqrt{3}}{2}$ theo chiều dương ${{v}_{0}}>0$

Pha ban đầu $\varphi =-\frac{5\pi }{6}$

+ Chọn gốc thời gian ${{t}_{0}}=0$là lúc vật qua vị trí ${{x}_{0}}=\frac{A\sqrt{3}}{2}$ theo chiều âm ${{v}_{0}}<0$

Pha ban đầu $\varphi =\frac{\pi }{6}$

+ Chọn gốc thời gian ${{t}_{0}}=0$là lúc vật qua vị trí ${{x}_{0}}=-\frac{A\sqrt{3}}{2}$ theo chiều âm ${{v}_{0}}<0$

Pha ban đầu $\varphi =\frac{5\pi }{6}$

+ $\cos \alpha =\sin (\alpha +\frac{\pi }{2})$; $\sin \alpha =\cos (\alpha -\frac{\pi }{2})$

1. Phương trình độc lập với thời gian:

${{A}^{2}}={{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}\text{ }$;  ${{A}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{4}}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}\text{ }$

Chú ý:

2. Lực đàn hồi, lực hồi phục:

a. Lực đàn hồi:

b. Lực hồi phục

lực hồi phục luôn hướng vào vị trí cân bằng.

Chú ý: Khi hệ dao động theo phương nằm ngang thì lực đàn hồi và lực hồi phục là như nhau ${{F}_{\tilde{n}h}}={{F}_{hp}}$.

3. Thời gian, quãng đường, tốc độ trung bình ( dùng đường tròn để tính )

Chú ý:

Gọi O là trung điểm của quỹ đạo CD và M là trung điểm của OD; thời gian đi từ O đến M là ${{t}_{OM}}=\frac{T}{12}$, thời gian đi từ M đến D là ${{t}_{MD}}=\frac{T}{6}$.

Từ vị trí cân bằng $x=0$ ra vị trí $x=\pm A\frac{\sqrt{2}}{2}$ mất khoảng thời gian $t=\frac{T}{8}$.

Từ vị trí cân bằng $x=0$ ra vị trí $x=\pm A\frac{\sqrt{3}}{2}$ mất khoảng thời gian $t=\frac{T}{6}$.

Chuyển động từ O đến D là chuyển động chậm dần ($av<0;\text{ }\overrightarrow{a}\uparrow \downarrow \overrightarrow{v}$), chuyển động từ D đến O là chuyển động nhanh dần ($av>0;\text{ }\overrightarrow{a}\uparrow \uparrow \overrightarrow{v}$)

Vận tốc cực đại khi qua vị trí cân bằng (li độ bằng không), bằng không khi ở biên (li độ cực đại).công thức con lắc lò xo

4.

m = m1 + m2 —-> T2 = (T1)2 + (T2)2                           m = m1 – m2 —-> T2 = (T1)2 – (T2)2

+ Ghép nối tiếp các lò xo $\frac{1}{k}=\frac{1}{{{k}_{1}}}+\frac{1}{{{k}_{2}}}+…$ Þ cùng treo một vật khối lượng như nhau thì: T2 = T12 + T22

+ Ghép song song các lò xo: k = k1 + k2 + … Þ cùng treo một vật khối lượng như nhau thì:$\frac{1}{{{T}^{2}}}=\frac{1}{T_{1}^{2}}+\frac{1}{T_{2}^{2}}+…$

+ Tần số góc: $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$; chu kỳ: $T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$; Tần số: $f=\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2\pi }=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}$

Điều kiện dao động điều hoà: Bỏ qua ma sát, lực cản và vật dao động trong giới hạn đàn hồi

5. Cơ năng:\[\text{W}=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}=\frac{1}{2}k{{A}^{2}}\]

6. Độ biến dạng của lò xo thẳng đứng khi vật ở VTCB:

$\Delta l=\frac{mg}{k}$Þ$T=2\pi \sqrt{\frac{\Delta l}{g}}$

* Độ biến dạng của lò xo khi vật ở VTCB với con lắc lò xo  nằm trên mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng α:

$\Delta l=\frac{mg\sin \alpha }{k}$Þ$T=2\pi \sqrt{\frac{\Delta l}{g\sin \alpha }}$

+ Chiều dài lò xo tại VTCB: lCB = l0 + Dl      (l0 là chiều dài tự nhiên)

+ Chiều dài cực tiểu (khi vật ở vị trí cao nhất): lMin = l0 + Dl – A

+ Chiều dài cực đại (khi vật ở vị trí thấp nhất):  lMax = l0 + Dl + A  => lCB = (lMin + lMax)/2

+ Khi A >Dl (Với Ox hướng xuống):

– Thời gian lò xo nén 1 lần là thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí x1 = –Dl đến x2 = -A.

– Thời gian lò xo giãn 1 lần là thời gian ngắn nhất để vật đi  từ vị trí x1 = –Dl đến x2 = A,

Trong một dao động (một chu kỳ) lò xo nén 2 lần và giãn 2 lần!

7. Lực kéo về hay lực hồi phục F = -kx = -mw2x

Đặc điểm:       * Là lực gây dao động cho vật.

* Luôn hướng về VTCB

* Biến thiên điều hoà cùng tần số với li độ

8. Lực đàn hồi là lực đưa vật về vị trí lò xo không biến dạng. Độ lớn Fđh = kx* (x* là độ biến dạng của lò xo)

* Với con lắc lò xo nằm ngang thì lực kéo về và lực đàn hồi là một (vì tại VTCB lò xo không biến dạng)

* Với con lắc lò xo thẳng đứng hoặc đặt trên mặt phẳng nghiêng. Độ lớn lực đàn hồi có biểu thức:

* Fđh = k|Dl + x| với chiều dương hướng xuống

* Fđh = k|Dl – x|  với chiều dương hướng lên

+ Lực đàn hồi cực đại (lực kéo): FMax = k(Dl + A) = FKmax  (lúc vật ở vị trí thấp nhất)

+ Lực đàn hồi cực tiểu:

* Nếu A < Dl Þ FMin = k(Dl – A) = FKMin

* Nếu A ≥ Dl Þ FMin = 0 (lúc vật đi qua vị trí lò xo không biến dạng)

9. Một lò xo có độ cứng k, chiều dài l được cắt thành các lò xo có độ cứng k1, k2, … và chiều dài tương ứng là l1, l2, … thì có: kl = k1l1 = k2l2 = …

10. Đo chu kỳ bằng phương pháp trùng phùng

Để xác định chu kỳ T của một con lắc lò xo (con lắc đơn) người ta so sánh với chu kỳ T0 (đã biết) của một con lắc khác (T » T0).

Hai con lắc gọi là trùng phùng khi chúng đồng thời đi qua một vị trí xác định theo cùng một chiều.

Thời gian giữa hai lần trùng phùng $\theta =\frac{T{{T}_{0}}}{\left| T-{{T}_{0}} \right|}$

Nếu T > T0 => q = (n+1)T = nT0.

Nếu T < T0 => q = nT = (n+1)T0. với n Î N*

Trong một chu kì, chất điểm qua vị trí $\left| x \right|={{x}_{0}}$ là 4 lần, nên $\left( \omega t+\varphi  \right)=\alpha +k\frac{\pi }{2}$

11. Năng lượng trong dao động điều hòa: $E={{E}_{\tilde{n}}}+{{E}_{t}}$

a. Động năng: ${{E}_{\tilde{n}}}=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}{{\sin }^{2}}(\omega t+\varphi )=E{{\sin }^{2}}(\omega t+\varphi )$

b. Thế năng: ${{E}_{t}}=\frac{1}{2}k{{x}^{2}}=\frac{1}{2}k{{A}^{2}}{{\cos }^{2}}(\omega t+\varphi )=E{{\cos }^{2}}(\omega t+\varphi );\text{ }k=m{{\omega }^{2}}$công thức cơ năng của con lắc lò xo

Thế năng và động năng của vật biến thiên tuấn hoàn với thế năng của con lắc lò xocủa dao động

Trong một chu kì, chất điểm qua vị trí $\left| x \right|={{x}_{0}}$ là 4 lần, nên $\left( \omega t+\varphi  \right)=\alpha +k\frac{\pi }{2}$