TÓM TẮT LÍ THUYẾT
- Phương trình chuyển động của con lắc đơn
+ Con lắc đơn gồm một vật nặng treo vào sợi dây không dãn, vật nặng kích thước không đáng kể so với chiều dài sợi dây, sợi dây khối lượng không đáng kể so với khối lượng của vật nặng.
+ Khi dao động nhỏ ( (rad)), con lắc đơn dao động điều hòa với phương trình: $s=A\cos \left( \omega t+\varphi \right)$ hoặc $\alpha ={{\alpha }_{\max }}\left( \omega t+\varphi \right);$ Với $\alpha =\frac{s}{\ell };{{\alpha }_{\max }}=\frac{A}{\ell }$
+ Chu kỳ, tần số, tần số góc: $T=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}};f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{g}{\ell }};\omega =\sqrt{\frac{g}{\ell }}$
+ Lực kéo vê khi biên độ góc nhỏ: $F=-\frac{mg}{\ell }s.$
+ Xác định gia tốc rơi tự do nhờ con lắc đơn : $g=\frac{4{{\pi }^{2}}\ell }{{{T}^{2}}}$
+ Chu kì dao động của con lắc đơn phụ thuộc độ cao, vĩ độ địa lí và nhiệt độ môi trường.
* Các yếu tố ảnh hưởng đến chu kỳ dao động của con lắc đơn: Vì $T=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}};f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{g}{\ell }};\omega =\sqrt{\frac{g}{\ell }}$
nên chu kỳ dao động của con lắc đơn thay đổi khi chiều dài của dây treo con lắc hoặc gia tốc rơi tự do thay đổi. Chiều dài l phụ thuộc vào nhiệt độ môi trường, còn gia tốc rơi tự do thì phụ thuộc vào vĩ độ địa lý và độ cao độ sâu so với mặt đất nên chu kỳ dao động của con lắc đơn phụ thuộc vào các yếu tố này.
Nếu ngoài trọng lực ra, con lắc đơn còn chịu thêm một lực không đổi khác (lực điện trường, lực quán tính, lực đẩy Acsimet, …),
2. Năng lượng của con lắc đơn
+ Cơ năng:\[\text{W}={{W}_{d}}+{{W}_{t}}=mg\ell \left( 1-\cos {{\alpha }_{\max }} \right)=\frac{1}{2}mg\ell \alpha _{\max }^{2}\] .
Cơ năng của con lắc đơn được bảo toàn nếu bỏ qua ma sát.
+ Động năng : Wđ =$\frac{1}{2}m{{v}^{2}}$ .
+ Thế năng: Wt =$mg\ell \left( 1-\cos \alpha \right)\approx \frac{1}{2}\ell {{\alpha }^{2}}\left( \alpha \le {{10}^{0}}\approx 0,17\,rad \right);\alpha \,\left( rad \right)$ .
Vận tốc: $v=\pm \sqrt{v_{0}^{2}-2gl(1-\cos \alpha )}=\pm \sqrt{2gl(\cos \alpha -\cos {{\alpha }_{0}})}$
Lực căng dây: $\tau =mg(3\cos \alpha -2\cos {{\alpha }_{0}})$
Thay đổi chu kì theo nhiệt độ: \[t=\frac{1}{2}.\alpha .\Delta t.\theta (s)\]
Thay đổi chu kì theo độ cao: \[{{t}_{cham}}=\frac{h}{R}.\theta (s)\]
Thay đổi chu kì theo độ sâu: \[{{t}_{cham}}=\frac{1}{2}.\frac{z}{R}.\theta (s)\]
Thay đổi chu kì theo vị trí địa lý: \[{{t}_{nhanh,cham}}=\frac{1}{2}.\frac{\left| \Delta g \right|}{g}.\theta (s)\]
Thay đổi chu kì theo điều chỉnh: \[{{t}_{nhanh,cham}}=\frac{1}{2}.\frac{\left| \Delta \ell \right|}{\ell }.\theta (s)\]
Thay đổi chu kì do lực Acsimet: \[{{t}_{nhanh,cham}}=\frac{1}{2}.\frac{\rho }{D}.\theta (s)\]
Thay đổi chu kì do điện trường , quán tính :
Thường gặp: Lực điện trường $\overset{\to }{\mathop{F}}\,$= q$\overset{\to }{\mathop{E}}\,$ ; lực quán tính: $\overset{\to }{\mathop{F}}\,$ = – m$\overset{\to }{\mathop{a}}\,$.
Các trường hợp đặc biệt:
$\overset{\to }{\mathop{F}}\,$ có phương ngang thì g’ = $\sqrt{{{g}^{2}}+{{(\frac{F}{m})}^{2}}}$. Khi đó vị trí cân bằng mới lệch với phương thẳng đứng góc a có: tana = $\frac{F}{P}$.
$\overset{\to }{\mathop{F}}\,$ có phương thẳng đứng hướng lên thì g’ = g – $\frac{F}{m}$.
$\overset{\to }{\mathop{F}}\,$ có phương thẳng đứng hướng xuống thì g’ = g + $\frac{F}{m}$.
Chu kì của con lắc đơn treo trong thang máu:
Khi thang máy đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều : T = 2p$\sqrt{\frac{l}{g}}$.
Khi thang máy đi lên nhanh dần đều hoặc đi xuống chậm dần đều với gia tốc có độ lớn là a ($\overset{\to }{\mathop{a}}\,$ hướng lên):
T = 2p$\sqrt{\frac{l}{g+a}}$.
Khi thang máy đi lên chậm dần đều hoặc đi xuống nhanh dần đều với gia tốc có độ lớn là a ($\overset{\to }{\mathop{a}}\,$hướng xuống):
T = 2p$\sqrt{\frac{l}{g-a}}$.
3. Lực hồi phục
$F=-mg\sin \alpha =-mg\alpha =-mg\frac{s}{l}=-m{{\omega }^{2}}s$
+ Với con lắc đơn lực hồi phục tỉ lệ thuận với khối lượng.
+ Với con lắc lò xo lực hồi phục không phụ thuộc vào khối lượng. 
4. Phương trình dao động:
a. Phương trình li độ góc: $\alpha ={{\alpha }_{0}}\cos (\omega t+\varphi )$(rad)
b. Phương trình li độ dài: $s={{s}_{0}}\cos (\omega t+\varphi )$ với s = αl, S0 = α0l
c. Phương trình vận tốc dài: $v=\frac{ds}{dt}=s’;\text{ }v=-\omega {{s}_{0}}\sin (\omega t+\varphi )$
=> v = s’ = -wS0sin(wt + j) = -wlα0sin(wt + j)
d. Phương trình gia tốc tiếp tuyến: ${{a}_{t}}=\frac{dv}{dt}=v’;\text{ }{{a}_{t}}=\frac{{{d}^{2}}s}{d{{t}^{2}}}=s”;\text{ }{{a}_{t}}=-{{\omega }^{2}}{{s}_{0}}\cos (\omega t+\varphi );\text{ }{{a}_{t}}=-{{\omega }^{2}}s$
Chú ý: $\alpha =\frac{s}{l};\text{ }{{\alpha }_{\text{0}}}=\frac{{{s}_{0}}}{l}$
e. Tần số góc, chu kì, tần số và pha dao động, pha ban đầu:
f. Tần số góc: $\omega =2\pi f=\frac{2\pi }{T}(rad/s);\text{ }\omega =\sqrt{\frac{g}{l}}$
g. Tần số: $f=\frac{1}{T}=\frac{N}{t}(Hz);\text{ }f=\frac{\omega }{2\pi }=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{g}{l}}$
h. Chu kì: $T=\frac{1}{f}=\frac{t}{N}(s);\text{ }T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$
i. Pha dao động: $(\omega t+\varphi )$
k. Pha ban đầu: $\varphi $
Chú ý: Tìm $\varphi $, ta dựa vào đường tròn lúc ${{t}_{0}}=0$
Lưu ý: S0 đóng vai trò như A còn s đóng vai trò như x
5. Hệ thức độc lập: a = -w2s = -w2αl; \[S_{0}^{2}={{s}^{2}}+{{(\frac{v}{\omega })}^{2}}\] \[\alpha _{0}^{2}={{\alpha }^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{gl}\]
6. Khi con lắc đơn dao động với a0 bất kỳ.
Cơ năng: W = mgl(1-cosa0);
Tốc độ: v2 = 2gl(cosα – cosα0)
Lực căng: T = mg(3cosα – 2cosα0)
Khi con lắc đơn dao động điều hoà (a0 << 1rad) thì:
\[\text{W=}\frac{1}{2}mgl\alpha _{0}^{2};\text{ }{{v}^{2}}=gl(\alpha _{0}^{2}-{{\alpha }^{2}})\] ;${{T}_{C}}=mg(1-1,5{{\alpha }^{2}}+\alpha _{0}^{2})$