Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn thông tin lý thuyết và bài tập chuyên đề tổ hợp xác suất lớp 11 rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về chuyên đề xác suất cũng như bài tập chuyên đề tổ hợp xác suất bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán lớp 11 nhé!
I. LÝ THUYẾT
1. QUY TẮC ĐẾM
a, Quy tắc cộng
Định nghĩa: Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong $k$ phương án khác nhau
$\left. \begin{align} & {{A}_{1}}…………….{{n}_{1}} \\ & {{A}_{2}}…………….{{n}_{2}} \\ & …………………… \\ & {{A}_{k}}…………….{{n}_{k}} \\ \end{align} \right\}\Rightarrow$ có ${{n}_{1}}+{{n}_{2}}+…+{{n}_{k}}=\sum\limits_{i=1}^{k}{{{n}_{i}}.}$
b, Quy tắc nhân
Định nghĩa: Giả sử một công việc phải thực hiện theo $k$ công đoạn liên tiếp nhau, trong đó
$\left. \begin{align} & {{A}_{1}}………….{{n}_{1}} \\ & {{A}_{2}}………….{{n}_{2}} \\ & ……………….. \\ & {{A}_{k}}………….{{n}_{k}} \\ \end{align} \right\}\Rightarrow$ có ${{n}_{1}}.{{n}_{2}}…{{n}_{k}}=\prod\limits_{i=1}^{k}{{{n}_{i}}.}$
2. HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
a, Hoán vị
Giai thừa: $n!=n.(n-1)(n-2)……1$
Quy ước: $0!=1$, $1!=1$
Ví dụ:
– 3 chữ số lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau.
– 3 bạn A, B, C xếp thành một hàng, hỏi có bao nhiêu cách.
Khái niệm và công thức:
Cho tập hợp A gồm n (n ≥ 1) phần tử $(n\ge 1)$. Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo 1 thứ tự (quy luật) nào đó ta được 1 hoán vị của n phần tử. Số hoán vị của n phần tử là:
${{P}_{n}}=n!(n-1)(n-2)……1$
Đặc điểm: có thứ tự, số phân tử trong nhóm bằng n.
b, Chỉnh hợp
Cho tập hợp A gồm $n$ phần tử ($n\ge 1$). Mỗi cách sắp xếp $k(1\le k\le n)$ phần tử nào đó của A theo một thứ tự nhất định (quy luật) cho ta được một chỉnh hợp chập $k$của $n$ phần tử (gọi tắt là chỉnh hợp chập $k$của A).
Số chỉnh hợp chập $k$của A: $A_{n}^{k}=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)=\frac{n!}{\left( n-k \right)!}$
Đặc điểm: có thứ tự, sô phân tử trong nhóm bằng $k:1\le k\le n$
c, Tổ hợp
Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử ($n\ge 1$). Mỗi tập hợp con của $A$ gồm $k$ phần tử$\left( 1\le k\le n \right)$ gọi là tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử trong $A$.
Số tổ hợp chập $k$ của $n$: $C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}$
Dấu hiệu: Số phần tử trong nhóm: $k\,\,\,\,\left( 1\le k\le n \right)$.
Không có thứ tự.
Các tính chất của tổ hợp:
$C_{n}^{0}=C_{n}^{n}=1;\,\,C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k};\,\,C_{n+1}^{k}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}$
3. NHỊ THỨC NEWTON
Nhắc lại các hằng đẳng thức
$\begin{align} & {{\left( a+b \right)}^{0}}=1 \\ & {{\left( a+b \right)}^{1}}=a+b \\ & {{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}} \\ & {{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}} \\ & ……… \\\end{align}$
Định nghĩa
${{\left( a+b \right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}+C_{n}^{1}{{a}^{n-1}}b+…+C_{n}^{n-1}a{{b}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{b}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}}$
Tính chất của Nhị thức Newton
1. Số các số hạng của công thức là $n+1$
2.Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức: $\left( n-k \right)+k=n$
3. Số hạng tổng quát của nhị thức là: ${{T}_{k+1}}=C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}$
(Đó là số hạng thứ k+1 trong khai triển ${{\left( a+b \right)}^{n}}$)
Tam giác pascal trong khai triển nhị thức
| ${{\left( a+b \right)}^{0}}$ | 1 | |||||
| ${{\left( a+b \right)}^{1}}$ | 1 | 1 | ||||
| ${{\left( a+b \right)}^{2}}$ | 1 | 2 | 1 | |||
| ${{\left( a+b \right)}^{3}}$ | 1 | 3 | 3 | 1 | ||
| ${{\left( a+b \right)}^{4}}$ | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |
| ${{\left( a+b \right)}^{5}}$ | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1. |
4. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
a, Phép thử ngẫu nhiên
Là 1 phép thử hay 1 hành động hay 1 thí nghiệm.
Kết quả không đoán trước được.
Có thể xác định được tập hợp các kết quả xảy ra của phép thử đó.
Phép thử ký hiệu là $T$.
Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả của phép thử, ký hiệu là: $\Omega $
Số phần tử trong không gian mẫu ký hiệu là: $\left| \Omega \right|$
b, Biến cố
Biến cố liên quan tới phép thử $T$ là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra $A$ phụ thuộc vào kết quả của phép thử $T$.
Mỗi kết quả của phép thử $T$ làm cho $A$ xảy ra thì gọi là một kết quả thuận lợi cho A.
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được ký hiệu là: $\Omega _{A}^{{}}$
Số phần tử trong $\Omega _{A}^{{}}$ ký hiệu là: $\left| \Omega _{A}^{{}} \right|$
(Biến cố chắc chắn là biến cố chắc chắn xảy ra khi thực hiện phép thử $T$, là không gian mẫu. Biến cố không thể là biến cố không thể xảy ra khi thực hiện phép thử $T$, là biến cố rỗng.)
5. QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT
A. Quy tắc cộng xác suất
a) Biến cố hợp:
Cho 2 biến cố A và Biến cố “A hoặc B xảy ra” gọi là hợp của 2 biến cố
Kí hiệu là $\text{A}\cup \text{B}$
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được gọi là: ${{\Omega }_{\text{A}}}$
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho B được kí hiệu là: ${{\Omega }_{B}}$
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố $\text{A}\cup \text{B}$ là: ${{\Omega }_{\text{A}}}\cup {{\Omega }_{B}}$
VD: A = “ chiều nay em đi học toán”, B = “ chiều nay em đi học văn”, C = “ chiều nay em đi học”
VD: A = “ học sinh giỏi toán”, B = “học sinh giỏi văn ”, C = “ học sinh giỏi văn hoặc giỏi toán”
b) Biến cố xung khắc:
Cho 2 biến cố A và Hai biến cố gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra và ngược lại. $\text{A}\cap \text{B=}\varnothing $
c) Quy tắc cộng xác suất:
Cho A và B là hai biến cố xung khắc, thì xác suất để A hoặc B xảy ra là: $\text{P}\left( \text{A}\cup B \right)=\text{P}\left( \text{A} \right)+\text{P}\left( B \right)$
d) Biến cố đối:
Cho biến cố A, biến cố “ không xảy ra biến cố A” là biến cố đối của biến cố A và kí hiệu là $\overline{\text{A}}$
Công thức xác suất: $\text{P}\left( \overline{\text{A}} \right)=1-\text{P}\left( \text{A} \right)$
Chú ý: ${{\Omega }_{\text{A}}}\cup {{\Omega }_{\overline{\text{A}}}}=\Omega \text{ }{{\Omega }_{\text{A}}}\cap {{\Omega }_{\overline{\text{A}}}}=\varnothing \text{ }$
( Học sinh suy nghĩ mối quan hệ giữa biến cố đối và biến cố xung khắc ) – Trả lời trong tiết luyện tập.
B. Quy tắc nhân xác suất.
a, Biến cố giao:
Cho $2$ biến cố $A$ và $B$. Biến cố “ cả $A$ và $B$ đều xảy ra” kí hiệu là $AB$ gọi là giao của hai biến cố $A$ và $B$.
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho $A$ được kí hiệu là: ${{\Omega }_{A}}$.
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho $B$ được kí hiệu là: ${{\Omega }_{B}}$.
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho $AB$ được kí hiệu là: ${{\Omega }_{A}}\cap {{\Omega }_{B}}$.
Ví dụ: Biến cố $A=$ “Từ $3-4$h em đi học toán” $B=$ “ Từ $4-5$h em đi học văn”
Biến cố $C=$“Chiều nay em đi học toán và văn”
Ví dụ: $A=$ “ A là học sinh giỏi toán” $B=$ “ A là học sinh giỏi văn”
Biến cố $C=$“ A giỏi cả toán và văn”
Tổng quát: Cho $k$ biến cố ${{A}_{1}},{{A}_{2}},…,{{A}_{k}}$. Biến cố “ tất cả các biến cố ${{A}_{1}},{{A}_{2}},…,{{A}_{k}}$ xảy ra gọi là giao của $k$ biến cố. Kí hiệu là ${{A}_{1}}\cap {{A}_{2}}\cap …\cap {{A}_{k}}$.
b, Biến cố độc lập:
Hai biến cố gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra biến cố kia.
Ví dụ: Gieo $1$ đồng xu $2$ lần liên tiếp, hai biến cố $A=$ “ Lần $1$ gieo được mặt sấp” và $B=$ “ Lần $2$ gieo được mặt ngửa” là độc lập.
Nhận xét: Nếu $A$ và $B$là các biến cố độc lập thì $A$ và $\overline{B}$,$B$ và $\overline{A}$, $\overline{B}$ và $\overline{A}$cũng là các biến cố độc lập.
c, Qui tắc nhân xác suất:
Nếu $A$ và $B$là hai biến cố độc lập thì $P\left( AB \right)=P\left( A \right).P\left( B \right)$
Chú ý: Nếu $P\left( AB \right)\ne P\left( A \right).P\left( B \right)$thì $A$ và $B$không phải hai biến cố độc lập.
II. BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1:
Cho các số tự nhiên sau : $1,\text{ }2,\text{ }5,\text{ }6,\text{ }7,\text{ }9$.
a, Hỏi lập được bao số lẻ có 3 chữ số khác nhau?
b, Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết
c, Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2
Lời giải.
a, Gọi số cần lập là $\overline{abc},(a\ne 0)$.
Vì số cần lập là số lẻ nên c có thể là $1;5;7;9\Rightarrow c$ có 4 cách chọn.
Vì khác $a;\text{ }b;\text{ }c$ nhau nên b có 5 cách chọn và a có 4 cách chọn.
Vậy số số lẻ có 3 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là $4.5.4=80$ số.
b, Gọi số cần lập là $\overline{abc},(a\ne 0)$.
Vì số cần lập là số chia hết cho 5 nên $c$ có thể là có 1 cách chọn.
Vì $a;\text{ }b;\text{ }c$ khác nhau nên $b$ có 5 cách chọn và $a$ có 4 cách chọn.
Vậy số số có 3 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là $5.4=20$ số.
c, Các số tự nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2
TH1: Các số tự nhiên có 3 chữ số chỉ có mặt 1 chữ số 2
- Số 2: có 3 vị trí đặt, 5 số còn lại mỗi số có 2 vị trí đặt
- Có 3.5.5 số có 3 chữ số có mặt 1 chữ số 2
TH2: Các số tự nhiên có 3 chữ số chỉ có mặt 2 chữ số 2
- Số 2: có 3 vị trí đặt, 5 số còn lại mỗi số có 1 vị trí đặt
- Có 3.5 số có 3 chữ số có mặt 2 chữ số 2
TH3: Các số tự nhiên có 3 chữ số chỉ có mặt 3 chữ số 2, suy ra có 1 số: 222. Vậy số số tự nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2 thành lập từ các số đã cho là:$3.5.5+3.5+1=91$ số.
Bài tập 2:
Có $10$ quyển sách toán giống nhau, $11$ quyển sách lý giống nhau và $9$ quyển sách hóa giống nhau. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng cho $15$ học sinh có kết quả thi cao nhất của khối A trong kì thi thử lần hai của trường THPT Lục Ngạn số 1, biết mỗi phần thưởng là hai quyển sách khác loại?
A. $C_{15}^{7}C_{9}^{3}$. B. $C_{15}^{6}C_{9}^{4}$. C. $C_{15}^{3}C_{9}^{4}$. D. $C_{30}^{2}$.
Lời giải
Có duy nhất một cách chia $30$ quyển sách thành $15$ bộ, mỗi bộ gồm hai quyển sách khác loại, trong đó có:
+ $4$ bộ giống nhau gồm $1$ toán và $1$ hóa.
+ $5$ bộ giống nhau gồm $1$ hóa và $1$ lí.
+ $6$ bộ giống nhau gồm $1$ lí và toán.
Số cách trao phần thưởng cho $15$ học sinh được tính như sau:
+ Chọn ra $4$ người (trong $15$người) để trao bộ sách toán và hóa $\Rightarrow $ có $C_{15}^{4}$ cách.
+ Chọn ra $5$ người (trong $11$ người còn lại) để trao bộ sách hóa và lí $\Rightarrow $ có $C_{11}^{5}$ cách.
+ Còn lại $6$ người trao bộ sách toán và lí $\Rightarrow $ có $1$ cách.
Vậy số cách trao phần thưởng là $C_{15}^{4}.C_{11}^{5}=C_{15}^{6}.C_{9}^{4}=630630$ (cách).
Do đó, đáp án chính xác ở câu này ta chọn được chính là B.
Bài tập 3:
Gọi $n$ là số nguyên dương thỏa mãn: $\frac{1}{1!\left( n-1 \right)!}+\frac{1}{3!\left( n-3 \right)!}+\frac{1}{5!\left( n-5 \right)!}+…..+\frac{1}{\left( n-1 \right)!1!}=\frac{1024}{n!}$
Tìm mệnh đề đúng.
A. $n$ là số chia hết cho $10$. B. $n$ là số nguyên tố.
C. $n$ là số chia hết cho $3$. D. $n$ là số chia hết cho $4$.
Lời giải
Chọn B
$\Leftrightarrow \frac{n!}{1!\left( n-1 \right)!}+\frac{n!}{3!\left( n-3 \right)!}+\frac{n!}{5!\left( n-5 \right)!}+….+\frac{n!}{\left( n-1 \right)!1!}=1024$
$\Leftrightarrow C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+C_{n}^{5}+…..+C_{n}^{n}=1024$.
Ta chứng minh đẳng thức $C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+C_{n}^{5}+…..+C_{n}^{n}={{2}^{n-1}}$ (2).
Thật vậy, xét ${{\left( 1+x \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}{{x}^{2}}+….+C_{n}^{n}{{x}^{n}}$.
Với $n$ là số nguyên dương
Thay $x=1$thì ${{2}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+…..+C_{n}^{n}$.
Thay $x=-1$thì $0=C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-C_{n}^{3}+……-C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n}$
$\Rightarrow \underbrace{C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+C_{n}^{4}+……+C_{n}^{n}}_{A}=\underbrace{C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+…..+C_{n}^{n-1}}_{B}$.
Từ đó ta có: $\left\{ \begin{align} & A=B \\ & A+B={{2}^{n}} \\\end{align} \right.\Leftrightarrow 2B={{2}^{n}}\Leftrightarrow B={{2}^{n-1}}$.
Do đó đẳng thức (2) được chứng minh.
Thay vào (1) ${{2}^{n-1}}=1024={{2}^{10}}$ nên $n=11$, chọn đáp án B
Bài tập 4:
Cho tập $X=\left\{ 1;2;3;…….;8 \right\}$. Lập từ $X$ số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để lập được số chia hết cho 1111 là
A. $\frac{A_{8}^{2}A_{6}^{2}A_{4}^{2}}{8!}$. B. $\frac{4!4!}{8!}$.
C. $\frac{C_{8}^{2}C_{6}^{2}C_{4}^{2}}{8!}$. D. $\frac{384}{8!}$.
Lời giải
Không gian mẫu : $\left| \Omega \right|=8!$
Gọi số cần lập có dạng $A=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}\text{ }\text{, }{{a}_{i}}\in X,{{a}_{i}}\ne {{a}_{j}}$ với $i\ne j$.
Nhận xét $X$ có 8 phần tử và tổng các phần tử là 36 nên $A$ chia hết cho 9, do $\left( 9,11 \right)=1$ nên $A$ chia hết cho 9999.
$A=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}{{.10}^{4}}+\overline{{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}$=$\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}.\left( 9999+1 \right)+\overline{{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}$
$=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}.9999+\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}+\overline{{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}$
Do $A$ chia hết cho 9999 nên $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}+\overline{{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}$ chia hết cho 9999.
${{a}_{i}}\in X$ nên $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}+\overline{{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}<2.9999$, từ đó $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}+\overline{{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}=9999$
Với mỗi cách chọn ${{a}_{i}}$ sẽ có duy nhất cách chọn ${{a}_{i+4}}$ sao cho ${{a}_{i}}+{{a}_{i+4}}=9$ với $i\in \text{ }\!\!\{\!\!\text{ 1}\text{,2}\text{,3}\text{,4 }\!\!\}\!\!\text{ }$.
Chọn ${{a}_{1}}$ có 8 cách, chọn ${{a}_{2}}$ có 6 cách, chọn ${{a}_{3}}$ có 4 cách, chọn ${{a}_{4}}$ có 2 cách.
Do đó, đáp án chính xác ở câu này ta chọn được chính là D.
Bài tập 5:
Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học của lớp mình. Bảng gồm $10$ nút, mỗi nút được ghi một số từ $0$ đến $9$ và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở cửa cần nhấn $3$ nút liên tiếp khác nhau sao cho $3$ số trên $3$ nút theo thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng và có tổng bằng $10$. Học sinh B chỉ nhớ được chi tiết $3$ nút tạo thành dãy số tăng. Tính xác suất để B mở được cửa phòng học đó biết rằng để nếu bấm sai $3$ lần liên tiếp cửa sẽ tự động khóa lại.
A. $\frac{631}{3375}$. B. $\frac{189}{1003}$. C. $\frac{1}{5}$. D. $\frac{1}{15}$.
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( \Omega \right)=A_{10}^{3}=720$.
Gọi $A$ là biến cố cần tính xác suất. Khi đó: các bộ số có tổng bằng $10$ và khác nhau là:
$\left\{ \left( 0;1;9 \right);\left( 0;2;8 \right);\left( 0;3;7 \right);\left( 0;4;6 \right);\left( 1;2;7 \right);\left( 1;3;6 \right);\left( 1;4;5 \right);\left( 2;3;5 \right) \right\}$.
TH1: Bấm lần thứ nhất là đúng luôn thì xác suất là $\frac{8}{C_{10}^{3}}=\frac{8}{120}$.
TH2: Bấm đến lần thứ hai là đúng thì xác suất là: $\left( 1-\frac{8}{120} \right).\frac{8}{119}$ ( vì trừ đi lần đâu bị sai nên không gian mẫu chỉ còn là $120-1=119$).
TH3: Bấm đến lần thứ ba mới đúng thì xác suất là: $\left( 1-\frac{8}{120} \right)\left( 1-\frac{8}{119} \right)\frac{8}{118}$.
Vậy xác suất cần tìm là: $\frac{8}{120}+\left( 1-\frac{8}{120} \right).\frac{8}{119}+\left( 1-\frac{8}{120} \right)\left( 1-\frac{8}{119} \right)\frac{8}{118}=\frac{189}{1003}$.