Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về tìm chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về cách tìm chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác cũng như bài tập chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
I. CÁCH GIẢI
Định nghĩa: Hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập $D$ được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số $T\ne 0$ sao cho với mọi $x\in D$ ta có
$x\pm T\in D$ và $f(x+T)=f(x)$.
Nếu có số $T$ dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì $T$.
* y = sin(ax + b) có chu kỳ ${{T}_{0}}\,\,=\,\,\frac{2\pi }{\left| a \right|}$
* y = cos(ax + b) có chu kỳ ${{T}_{0}}\,\,=\,\,\frac{2\pi }{\left| a \right|}$
* y = tan(ax + b) có chu kỳ ${{T}_{0}}\,\,=\,\,\frac{\pi }{\left| a \right|}$
* y = cot(ax + b) có chu kỳ ${{T}_{0}}\,\,=\,\,\frac{\pi }{\left| a \right|}$
$\bullet $ y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2
Thì hàm số $y\,\,=\,\,{{f}_{1}}(x)\,\,\pm \,\,{{f}_{2}}(x)$ có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2.
II. BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1:
Tìm chu kì tuần hoàn các hàm số sau
a) $y=1-\sin 5x$
b) $y=2{{\cos }^{2}}2x$
c) $y=\tan \left( -3x+1 \right)$
d) $y=2-3\cot (2x-1)$
Bài giải
a) $T=\frac{2\pi }{5}$.
b) $y=2\frac{1+\cos 4x}{2}=1+\cos 4x\Rightarrow T=\frac{\pi }{2}$.
c) $T=\frac{\pi }{\left| -3 \right|}=\frac{\pi }{3}$.
d) $T=\frac{\pi }{2}$.
Bài tập 2:
Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của các hàm số sau:
a) $y=1-\sin 5x.$
b) $y={{\cos }^{2}}x-1$.
c) $y=\sin \left( \frac{2}{5}x \right).\cos \left( \frac{2}{5}x \right)$.
d) $y=\cos x+\cos \left( \sqrt{3}.x \right)$
Bài giải
Ta có hàm số $y=k\sin \left( ax+b \right)+c$; $y=k\cos \left( ax+b \right)+c$ là hàm số tuần hoàn và có chu kỳ$T=\frac{2\pi }{\left| a \right|}$
a) Hàm số $y=1-\sin 5x$ tuần hoàn và có chu kỳ ${{T}_{1}}=\frac{2\pi }{5}$.
b) Hàm số $y={{\cos }^{2}}x-1=\frac{\cos 2x-1}{2}$ tuần hoàn và có chu kỳ ${{T}_{2}}=\pi $.
c) Hàm số $y=\sin \left( \frac{2}{5}x \right).\cos \left( \frac{2}{5}x \right)=\frac{1}{2}\sin \left( \frac{4}{5}x \right)$ tuần hoàn và có chu kỳ ${{T}_{2}}=\frac{5\pi }{2}$.
d) Hàm số $y=\cos x+\cos \left( \sqrt{3}.x \right)$ không tuần hoàn
Vì ta có hàm số $y=\cos x$ có chu kỳ ${{T}_{1}}=2\pi $và hàm số $y=\cos \left( \sqrt{3}.x \right)$ có chu kỳ ${{T}_{2}}=\frac{2\pi }{\sqrt{3}}$nhưng không tồn tại bội số chung nhỏ nhất của ${{T}_{1}}=2\pi $và ${{T}_{2}}=\frac{2\pi }{\sqrt{3}}$
Bài tập 3:
Tìm chu kỳ của hàm số $y=\sin 3x+3\cos 2x$.
Lời giải
Ta có hàm số $y=\sin 3x$ có chu kỳ ${{T}_{1}}=\frac{2\pi }{3}$và hàm số $y=\cos 2x$ có chu kỳ ${{T}_{2}}=\pi $
$\Rightarrow $ chu kỳ $T$của hàm số $y=\sin 3x+3\cos 2x$là bội chung nhỏ nhất của ${{T}_{1}}=\frac{2\pi }{3}$và ${{T}_{2}}=\pi $
$\Rightarrow $$T=2\pi $.
Bài tập 4:
Chứng minh rằng hàm số T thỏa mãn $\sin (x+T)=\operatorname{sinx}$với mọi $x\in \mathbb{R}$ phải có dạng $T=k2\pi $, k là một số nguyên nào đó. Từ đó suy ra, số T nhỏ nhất thỏa mãn $\sin (x+T)=\operatorname{sinx}$với mọi $x\in \mathbb{R}$là $2\pi $.
Bài giải
Nếu $\sin \left( x+T \right)=\sin x$ với mọi $x$, thì khi $x=\frac{\pi }{2}$, ta được $\sin \left( \frac{\pi }{2}+T \right)=\sin 1$. Số U mà $\sin U=1$ thì $U$ phải có dạng $U=\frac{\pi }{2}+k2\pi $ nên $\frac{\pi }{2}+T=\frac{\pi }{2}+k2\pi \Rightarrow T=k2\pi $.
Bài tập 5:
Chứng minh các hàm số sau đây là hàm số tuàn hoàn, tìm chu kì và xét tính chẵn lẻ của mỗi hàm số.
a) $y={{\sin }^{2}}2x+1$
b) $y={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x$
c) $y={{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x$
Bài giải
a) $y={{\sin }^{2}}2x+1=\frac{1-\cos 4x}{2}+1=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\cos 4x$
Hàm số $y$tuần hoàn với chu kì $T=\frac{\pi }{2}$. Đây là hàm số chẵn.
b) $y={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x=\cos 2x$ là một hàm số chẵn, tuần hoàn với chu kì $T=\pi $.
c) $y={{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x=1$ với mọi $x$ nên $y$ là một hàm hằng, là một hàm số chẵn. Vì với mọi $T$, ta luôn có ${{\cos }^{2}}\left( x+T \right)+{{\sin }^{2}}\left( x+T \right)={{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x=1$ nên hàm số $y$ tuần hoàn nhưng không có chu kì tuần hoàn.
Bài tập 6:
Chứng minh rằng hàm số sau là hàm số tuần hoàn và tìm chu kì của nó: $y=\frac{1}{\sin x}$.
Lời giải
+ Tập xác định $\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$
+ Hàm số $y=\frac{1}{\sin x}$là hàm số tuần hoàn vì $\exists T=2\pi $ thỏa mãn: ${{y}_{\left( x+2\pi \right)}}=\frac{1}{\sin \left( x+2\pi \right)}=\frac{1}{\sin x}={{y}_{\left( x \right)}}\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$
+$T=2\pi $ là số dương nhỏ nhất thỏa mãn ${{y}_{\left( x+2\pi \right)}}=\frac{1}{\sin \left( x+2\pi \right)}=\frac{1}{\sin x}={{y}_{\left( x \right)}}\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$
Thật vậy: Giả sử nếu $\exists T\in \left( 0;2\pi \right):\frac{1}{\sin \left( x+T \right)}=\frac{1}{\sin x}\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sin \left( \frac{\pi }{2}+T \right)}=\frac{1}{\sin \frac{\pi }{2}}\Leftrightarrow \cos T=1\Leftrightarrow T=k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)$
Vì $T\in \left( 0;2\pi \right)$ $\Rightarrow $ Không tồn tại số nguyên $k$thỏa mãn $T=k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)$ $\Rightarrow $Điều giả sử là sai.
Vậy hàm số $y=\frac{1}{\sin x}$ là hàm số tuần hoàn và có chu kì $T=2\pi $
Bài tập 7:
Trong bốn hàm số: $(1)\text{ }y=\cos 2x$, $(2)\,\,y=\sin \,x$; $(3)\,\,y=\tan 2x$; $(4)\,\,y=\cot 4x$ có mấy hàm số tuần hoàn với chu kỳ $\pi $?
A. $1$. B. $0$. C. $2$. D. $3$.
Lời giải
Do hàm số $y=\cos x$ tuần hoàn với chu kỳ $2\pi $ nên hàm số $(1)\text{ }y=\cos 2x$ tuần hoàn chu kỳ $\pi $.
Hàm số $(2)\,\,y=\sin \,x$ tuần hoàn với chu kỳ $2\pi $.
Do hàm số $y=\tan \,x$ tuần hoàn với chu kỳ$\pi $ nên hàm số $(3)\,\,y=\tan 2x$ tuần hoàn chu kỳ $\frac{\pi }{2}$.
Do hàm số $y=\cot x$ tuần hoàn với chu kỳ $\pi $ nên hàm số $(4)\,\,y=\cot 4x$ tuần hoàn chu kỳ $\frac{\pi }{4}$.
Bài tập 8:
Hai hàm số nào sau đây có chu kì khác nhau?
A. $y=\cos \,x$ và $y=\cot \frac{x}{2}$. B. $y=\sin x$ và $y=\tan 2x$.
C. $y=\sin \frac{x}{2}$ và $y=\cos \frac{x}{2}$. D. $y=\tan 2x$ và $y=\cot 2x$
Lời giải
Xét: Hai hàm số $y=\cos \,x$ và $y=\cot \frac{x}{2}$ có cùng chu kì là $2\pi .$
Xét: Hai hàm số $y=\sin x$ có chu kì là $2\pi $, hàm số $y=\tan 2x$ có chu kì là $\frac{\pi }{2}.$ $\Rightarrow $ Chọn
Xét: Hai hàm số $y=\sin \frac{x}{2}$ và $y=\cos \frac{x}{2}$ có cùng chu kì là $4\pi .$
Xét: Hai hàm số $y=\tan 2x$ và $y=\cot 2x$ có cùng chu kì là $\frac{\pi }{2}.$