Bài viết sau đây giới thiệu đến các cách giải bài tập cách chia 2 số phức cùng với các bài tập mẫu để luyện tập. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt môn Toán lớp 12!
I. CÁCH GIẢI DẠNG BÀI CHIA 2 SỐ PHỨC
$\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=\frac{{{z}_{1}}.{{{\bar{z}}}_{2}}}{{{z}_{2}}.{{{\bar{z}}}_{2}}}=\frac{{{z}_{1}}.{{{\bar{z}}}_{2}}}{{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}}=\frac{\left( a+b.i \right).\left( c-d.i \right)}{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}=\frac{\left( ac+bd \right)+\left( bc-ad \right)i}{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}=\frac{ac+bd}{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}+\frac{bc-ad}{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}i.$
II. BÀI TẬP MẪU DẠNG BÀI CHIA 2 SỐ PHỨC
Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ thỏa mãn điều kiện
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để số phức $z=\frac{m+2i}{m-2i}$ có phần thực dương
A. $m>2$. B. 
C. $-2<m<2$. D. $m<-2$.
Lời giải
$z=\frac{m+2i}{m-2i}$$=\frac{\left( m+2i \right)\left( m+2i \right)}{{{m}^{2}}+4}$$=\frac{{{m}^{2}}-4}{{{m}^{2}}+4}+\frac{4m}{{{m}^{2}}+4}i$.
Vì $z$ có phần thực dương $\Rightarrow {{m}^{2}}-4>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m>2 \\& m<-2 \\\end{align} \right.$.
Câu 2: Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn điều kiện
Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+1-2i \right|=\left| \overline{z}+3+4i \right|$ và $\frac{z-2i}{\overline{z+i}}$ là một số thuần ảo
A. $0$. B. Vô số. C. $1$. D. $2$.
Lời giải
Đặt $z=x+yi\,(x,y\in \mathbb{R})$
Theo bài ra ta có
$\begin{align}& \left| x+1+\left( y-2 \right)i \right|=\left| x+3+\left( 4-y \right)i \right| \\& \Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}={{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}\Leftrightarrow y=x+5 \\\end{align}$
Số phức $\text{w}=\frac{z-2i}{\overline{z}+i}=\frac{x+\left( y-2 \right)i}{x+\left( 1-y \right)i}=\frac{{{x}^{2}}-\left( y-2 \right)\left( y-1 \right)+x\left( 2y-3 \right)i}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}$
$w$ là một số ảo khi và chỉ khi 
Vậy $z=-\frac{12}{7}+\frac{23}{7}i$.Vậy chỉ có $1$ số phức $z$ thỏa mãn.
Câu 3: Tổng phần thực và phần ảo của $z$ là
Cho $z=\frac{3+i}{x+i}$. Tổng phần thực và phần ảo của $z$ là
A. $\frac{2x-4}{2}$. B. $\frac{4x+2}{2}$. C. $\frac{4x-2}{{{x}^{2}}+1}$. D. $\frac{2x+6}{{{x}^{2}}+1}$.
Lời giải
Ta có: $z=\frac{3+i}{x+i}=\frac{\left( 3+i \right)\left( x-i \right)}{(x+i)(x-i)}=\frac{3x-3i+xi+1}{{{x}^{2}}+1}=\frac{3x+1}{{{x}^{2}}+1}+\frac{(x-3)i}{{{x}^{2}}+1}$.
Suy ra tổng phần thực và phần ảo của số phức $z$ là: $\frac{3x+1}{{{x}^{2}}+1}+\frac{x-3}{{{x}^{2}}+1}=\frac{4x-2}{{{x}^{2}}+1}$.
Xem thêm: Cách giải phương trình số phức và bài tập mẫu chi tiết
Câu 4: Tìm tọa độ điểm biểu diễn của số phức $z$ trên mặt phẳng $Oxy$
Cho số phức $z=\frac{\left( 2-3i \right)\left( 4-i \right)}{3+2i}$. Tìm tọa độ điểm biểu diễn của số phức $z$ trên mặt phẳng $Oxy$.
A. $\left( 1;\,4 \right)$. B. $\left( -1;\,4 \right)$. C. $\left( -1;\,-4 \right)$. D. $\left( 1;\,-4 \right)$.
Lời giải
Ta có $z=\frac{\left( 2-3i \right)\left( 4-i \right)}{3+2i}$$=\frac{\left( 8-3 \right)-\left( 2+12 \right)i}{3+2i}$$=\frac{5-14i}{3+2i}$$=\frac{\left( 5-14i \right)\left( 3-2i \right)}{\left( 3+2i \right)\left( 3-2i \right)}$
$=\frac{\left( 15-28 \right)-\left( 10+42 \right)i}{9+4}$$=\frac{-13-52i}{13}$$=-1-4i$.
Vậy điểm biểu diễn số phức $z$trên mặt phẳng $Oxy$ là $M\left( -1;\,-4 \right)$.
Câu 5: Tìm số phần tử của $S$
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để tồn tại duy nhất số phức $z$ thỏa mãn $z.\overline{z}=1$ và $\left| z-\sqrt{3}+i \right|=m$. Tìm số phần tử của $S$.
A. $2$. B. $4$. C. $1$. D. $3$.
Lời giải
Chọn A
Gọi $z=x+yi\,,\,(x,y\in \mathbb{R})$, ta có hệ $\left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\text{ }(1) \\& {{\left( x-\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}={{m}^{2}}\text{ }(m\ge 0) \\\end{align} \right.$
Ta thấy $m=0\Rightarrow z=\sqrt{3}-i$ không thỏa mãn $z.\overline{z}=1$ suy ra $m>0$.
Xét trong hệ tọa độ $Oxy$ tập hợp các điểm thỏa mãn $\left( 1 \right)$ là đường tròn $({{C}_{1}})$ có $O(0;0),{{R}_{1}}=1$, tập hợp các điểm thỏa mãn $\left( 2 \right)$ là đường tròn $({{C}_{2}})$ tâm $I\left( \sqrt{3};-1 \right),{{R}_{2}}=m$, ta thấy $OI=2>{{R}_{1}}$ suy ra $I$ nằm ngoài $({{C}_{1}})$.
Để có duy nhất số phức $z$ thì hệ có nghiệm duy nhất khi đó tương đương với $({{C}_{1}}),({{C}_{2}})$ tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trong, điều này xảy ra khi $OI={{R}_{1}}+{{R}_{2}}\Leftrightarrow m+1=2\Leftrightarrow m=1$ hoặc ${{R}_{2}}={{R}_{1}}+OI\Leftrightarrow m=1+2=3$
Câu 6: Tính tổng $S={{a}_{0}}-{{a}_{2}}+{{a}_{4}}-{{a}_{6}}+…-{{a}_{4034}}+{{a}_{4036}}$
Khai triển của biểu thức ${{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2018}}$ được viết thành ${{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{4036}}{{x}^{4036}}$. Tổng $S={{a}_{0}}-{{a}_{2}}+{{a}_{4}}-{{a}_{6}}+…-{{a}_{4034}}+{{a}_{4036}}$ bằng
A. ${{2}^{1009}}$. B. $-{{2}^{1009}}$. C. $0$. D. $-1$.
Lời giải
${{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2018}}$$={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{4036}}{{x}^{4036}}$.
Thay $x=i$ với ${{i}^{2}}=-1$ ta được:
${{\left( -1 \right)}^{1009}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}i+{{a}_{2}}{{i}^{2}}+{{a}_{3}}{{i}^{3}}+…+{{a}_{4034}}{{i}^{4034}}+{{a}_{4035}}{{i}^{4035}}+{{a}_{4036}}{{i}^{4036}}$.
Đối chiếu phần thực ở hai vế ta được: $-1={{a}_{0}}-{{a}_{2}}+{{a}_{4}}-{{a}_{6}}+…-{{a}_{4034}}+{{a}_{4036}}$.
Nhận xét: Ngoài cách trên ta có thể thay $2018$ bằng $2$, $4$ để tính trực tiếp $S$.
Câu 7: Tính giá trị S
Tính $S=i+2{{i}^{2}}+3{{i}^{3}}+…+2019{{i}^{2019}}$
A. $S=-1010-1010i$. B. $S=1010-1010i$. C. $S=2019i$. D. $S=1010+1010i$.
Lời giải
Chọn A
$S=i+2{{i}^{2}}+3{{i}^{3}}+…+2019{{i}^{2019}}$
$=i-2-3i+4+…+2016+2017i-2018-2019i$
$=\left( 4+8+…+2016 \right)+\left( -2-6-…-2018 \right)+\left( i+5i+…+2017i \right)+\left( -3i-7i-…-2019i \right)$
$=\left( 4+8+…+2016 \right)+\left( -2-6-…-2018 \right)+\left( i+5i+…+2017i \right)+\left( -3i-7i-…-2019i \right)$$=\frac{4+2016}{2}\left( \frac{2016-4}{4}+1 \right)-\frac{2+2018}{2}\left( \frac{2018-2}{4}+1 \right)\,\,\,$ $+\frac{1+2017}{2}\left( \frac{2017-1}{4}+1 \right)i-\frac{3+2019}{2}\left( \frac{2019-3}{4}+1 \right)i$
$=-1010-1010i.$
Câu 8: Tính giá trị của $T$
Gọi $T$ là tổng phần thực, phần ảo của số phức $w=i+2{{i}^{2}}+3{{i}^{3}}+…+2018{{i}^{2018}}$. Tính giá trị của $T$
A. $T=0.$ B. $T=-1.$ C. $T=2.$ D. $T=-2.$
Lời giải
$w=i\left( 1+2i+3{{i}^{2}}+…+2018{{i}^{2017}} \right)$
Xét $f(x)=x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}}+…+{{x}^{2018}}=x\frac{{{x}^{2018}}-1}{x-1}=\frac{{{x}^{2019}}-x}{x-1}$
$f'(x)=1+2x+3{{x}^{2}}+…+2018{{x}^{2017}}=\frac{\left( 2019{{x}^{2018}}-1 \right)(x-1)-\left( {{x}^{2019}}-x \right)}{{{(x-1)}^{2}}}$
$w=i\left( 1+2i+3{{i}^{2}}+…+2018{{i}^{2017}} \right)=i.f(i)=i\frac{\left( 2019{{i}^{2018}}-1 \right)(i-1)-\left( {{i}^{2019}}-i \right)}{{{(i-1)}^{2}}}$
$=i\frac{-2020(i-1)+2i}{-2i}=-1010+1009i$
$T=-1010+1009=-1$.
Xem thêm:
Lý thuyết và dạng bài tập mẫu của max min số phức
Cách giải và bài tập mẫu dạng cộng, trừ và nhân số phức
Cách giải và bài tập mẫu tập hợp điểm biểu diễn số phức
Các dạng bài tập số phức đầy đủ và chi tiết
