Cách giải và bài tập mẫu chia 2 số phức

Bài viết sau đây giới thiệu đến các cách giải bài tập cách chia 2 số phức cùng với các bài tập mẫu để luyện tập. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt môn Toán lớp 12!

I. CÁCH GIẢI

$\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=\frac{{{z}_{1}}.{{{\bar{z}}}_{2}}}{{{z}_{2}}.{{{\bar{z}}}_{2}}}=\frac{{{z}_{1}}.{{{\bar{z}}}_{2}}}{{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}}=\frac{\left( a+b.i \right).\left( c-d.i \right)}{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}=\frac{\left( ac+bd \right)+\left( bc-ad \right)i}{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}=\frac{ac+bd}{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}+\frac{bc-ad}{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}i.$

II. BÀI TẬP MẪU

Câu 1:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để số phức $z=\frac{m+2i}{m-2i}$ có phần thực dương

A. $m>2$.                        Bcách chia 2 số phức                             C. $-2<m<2$.                        D. $m<-2$.

Lời giải

$z=\frac{m+2i}{m-2i}$$=\frac{\left( m+2i \right)\left( m+2i \right)}{{{m}^{2}}+4}$$=\frac{{{m}^{2}}-4}{{{m}^{2}}+4}+\frac{4m}{{{m}^{2}}+4}i$.

Vì $z$ có phần thực dương $\Rightarrow {{m}^{2}}-4>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m>2 \\& m<-2 \\\end{align} \right.$.

Câu 2:

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa $\left| z+1-2i \right|=\left| \overline{z}+3+4i \right|$ và $\frac{z-2i}{\overline{z+i}}$ là một số thuần ảo

A. $0$.                                B. Vô số.                               C. $1$.                          D. $2$.

Lời giải

Đặt $z=x+yi\,(x,y\in \mathbb{R})$

Theo bài ra ta có

$\begin{align}& \left| x+1+\left( y-2 \right)i \right|=\left| x+3+\left( 4-y \right)i \right| \\& \Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}={{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}\Leftrightarrow y=x+5 \\\end{align}$

Số phức $\text{w}=\frac{z-2i}{\overline{z}+i}=\frac{x+\left( y-2 \right)i}{x+\left( 1-y \right)i}=\frac{{{x}^{2}}-\left( y-2 \right)\left( y-1 \right)+x\left( 2y-3 \right)i}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}$

$w$ là một số ảo khi và chỉ khi cách chia 2 số phức

Vậy $z=-\frac{12}{7}+\frac{23}{7}i$.Vậy chỉ có $1$ số phức $z$ thỏa mãn.

Câu 3:

Cho $z=\frac{3+i}{x+i}$. Tổng phần thực và phần ảo của $z$ là

A. $\frac{2x-4}{2}$.                    B. $\frac{4x+2}{2}$.                   C. $\frac{4x-2}{{{x}^{2}}+1}$.                   D. $\frac{2x+6}{{{x}^{2}}+1}$.

Lời giải

Ta có: $z=\frac{3+i}{x+i}=\frac{\left( 3+i \right)\left( x-i \right)}{(x+i)(x-i)}=\frac{3x-3i+xi+1}{{{x}^{2}}+1}=\frac{3x+1}{{{x}^{2}}+1}+\frac{(x-3)i}{{{x}^{2}}+1}$.

Suy ra tổng phần thực và phần ảo của số phức $z$ là: $\frac{3x+1}{{{x}^{2}}+1}+\frac{x-3}{{{x}^{2}}+1}=\frac{4x-2}{{{x}^{2}}+1}$.

Câu 4:

Cho số phức $z=\frac{\left( 2-3i \right)\left( 4-i \right)}{3+2i}$. Tìm tọa độ điểm biểu diễn của số phức $z$ trên mặt phẳng $Oxy$.

A. $\left( 1;\,4 \right)$.                     B. $\left( -1;\,4 \right)$.                     C. $\left( -1;\,-4 \right)$.                     D. $\left( 1;\,-4 \right)$.

Lời giải

Ta có $z=\frac{\left( 2-3i \right)\left( 4-i \right)}{3+2i}$$=\frac{\left( 8-3 \right)-\left( 2+12 \right)i}{3+2i}$$=\frac{5-14i}{3+2i}$$=\frac{\left( 5-14i \right)\left( 3-2i \right)}{\left( 3+2i \right)\left( 3-2i \right)}$

$=\frac{\left( 15-28 \right)-\left( 10+42 \right)i}{9+4}$$=\frac{-13-52i}{13}$$=-1-4i$.

Vậy điểm biểu diễn số phức $z$trên mặt phẳng $Oxy$ là $M\left( -1;\,-4 \right)$.

Câu 5:

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để tồn tại duy nhất số phức $z$ thỏa mãn $z.\overline{z}=1$ và $\left| z-\sqrt{3}+i \right|=m$. Tìm số phần tử của $S$.

A. $2$.                                           B. $4$.                                            C. $1$.                                            D. $3$.

Lời giải

Chọn A

cách chia 2 số phức

Gọi $z=x+yi\,,\,(x,y\in \mathbb{R})$, ta có hệ $\left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\text{ }(1) \\& {{\left( x-\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}={{m}^{2}}\text{ }(m\ge 0) \\\end{align} \right.$

Ta thấy $m=0\Rightarrow z=\sqrt{3}-i$ không thỏa mãn $z.\overline{z}=1$ suy ra $m>0$.

Xét trong hệ tọa độ $Oxy$ tập hợp các điểm thỏa mãn $\left( 1 \right)$ là đường tròn $({{C}_{1}})$ có $O(0;0),{{R}_{1}}=1$, tập hợp các điểm thỏa mãn $\left( 2 \right)$ là đường tròn $({{C}_{2}})$ tâm $I\left( \sqrt{3};-1 \right),{{R}_{2}}=m$, ta thấy $OI=2>{{R}_{1}}$ suy ra $I$ nằm ngoài $({{C}_{1}})$.

Để có duy nhất số phức $z$ thì hệ có nghiệm duy nhất khi đó tương đương với $({{C}_{1}}),({{C}_{2}})$ tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trong, điều này xảy ra khi $OI={{R}_{1}}+{{R}_{2}}\Leftrightarrow m+1=2\Leftrightarrow m=1$ hoặc ${{R}_{2}}={{R}_{1}}+OI\Leftrightarrow m=1+2=3$

Câu 6:

Khai triển của biểu thức ${{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2018}}$ được viết thành ${{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{4036}}{{x}^{4036}}$. Tổng $S={{a}_{0}}-{{a}_{2}}+{{a}_{4}}-{{a}_{6}}+…-{{a}_{4034}}+{{a}_{4036}}$ bằng

A. ${{2}^{1009}}$.                                     B. $-{{2}^{1009}}$.                                    C. $0$.                          D. $-1$.

Lời giải

${{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2018}}$$={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{4036}}{{x}^{4036}}$.

Thay $x=i$ với ${{i}^{2}}=-1$ ta được:

${{\left( -1 \right)}^{1009}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}i+{{a}_{2}}{{i}^{2}}+{{a}_{3}}{{i}^{3}}+…+{{a}_{4034}}{{i}^{4034}}+{{a}_{4035}}{{i}^{4035}}+{{a}_{4036}}{{i}^{4036}}$.

Đối chiếu phần thực ở hai vế ta được: $-1={{a}_{0}}-{{a}_{2}}+{{a}_{4}}-{{a}_{6}}+…-{{a}_{4034}}+{{a}_{4036}}$.

Nhận xét: Ngoài cách trên ta có thể thay $2018$ bằng $2$, $4$ để tính trực tiếp $S$.

Câu 7:

Tính $S=i+2{{i}^{2}}+3{{i}^{3}}+…+2019{{i}^{2019}}$

A. $S=-1010-1010i$.                   B. $S=1010-1010i$.                     C. $S=2019i$.                    D. $S=1010+1010i$.

Lời giải

Chọn A

$S=i+2{{i}^{2}}+3{{i}^{3}}+…+2019{{i}^{2019}}$

$=i-2-3i+4+…+2016+2017i-2018-2019i$

$=\left( 4+8+…+2016 \right)+\left( -2-6-…-2018 \right)+\left( i+5i+…+2017i \right)+\left( -3i-7i-…-2019i \right)$

$=\left( 4+8+…+2016 \right)+\left( -2-6-…-2018 \right)+\left( i+5i+…+2017i \right)+\left( -3i-7i-…-2019i \right)$$=\frac{4+2016}{2}\left( \frac{2016-4}{4}+1 \right)-\frac{2+2018}{2}\left( \frac{2018-2}{4}+1 \right)\,\,\,$ $+\frac{1+2017}{2}\left( \frac{2017-1}{4}+1 \right)i-\frac{3+2019}{2}\left( \frac{2019-3}{4}+1 \right)i$

$=-1010-1010i.$

Câu 8:

Gọi $T$ là tổng phần thực, phần ảo của số phức $w=i+2{{i}^{2}}+3{{i}^{3}}+…+2018{{i}^{2018}}$. Tính giá trị của

A. $T=0.$                            B. $T=-1.$                           C. $T=2.$                     D. $T=-2.$

Lời giải

$w=i\left( 1+2i+3{{i}^{2}}+…+2018{{i}^{2017}} \right)$

Xét $f(x)=x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}}+…+{{x}^{2018}}=x\frac{{{x}^{2018}}-1}{x-1}=\frac{{{x}^{2019}}-x}{x-1}$

$f'(x)=1+2x+3{{x}^{2}}+…+2018{{x}^{2017}}=\frac{\left( 2019{{x}^{2018}}-1 \right)(x-1)-\left( {{x}^{2019}}-x \right)}{{{(x-1)}^{2}}}$

$w=i\left( 1+2i+3{{i}^{2}}+…+2018{{i}^{2017}} \right)=i.f(i)=i\frac{\left( 2019{{i}^{2018}}-1 \right)(i-1)-\left( {{i}^{2019}}-i \right)}{{{(i-1)}^{2}}}$

$=i\frac{-2020(i-1)+2i}{-2i}=-1010+1009i$

$T=-1010+1009=-1$.

Xem thêm:

Lý thuyết và dạng bài tập mẫu của max min số phức

Cách giải và bài tập mẫu dạng cộng, trừ và nhân số phức

Cách giải và bài tập mẫu tập hợp điểm biểu diễn số phức

Các dạng bài tập số phức đầy đủ và chi tiết