Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về cấp số nhân rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về tổng cấp số nhân, công thức cấp số nhân cũng như các bài tập về công thức tính tổng cấp số nhân bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán lớp 11 nhé!
I. LÝ THUYẾT
I. Định nghĩa
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi $q.$
Số $q$ được gọi là công bội của cấp số nhân.
Nếu $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số nhân với công bội $q,$ ta có công thức truy hồi:
${{u}_{n+1}}={{u}_{n}}q$ với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$
Đặc biệt:
$\bullet $ Khi $q=0,$ cấp số nhân có dạng ${{u}_{1}},\text{ }0,\text{ }0,\text{ }…,\text{ }0,\text{ }…$
$\bullet $ Khi $q=1,$ cấp số nhân có dạng ${{u}_{1}},\text{ }{{u}_{1}},\text{ }{{u}_{1}},\text{ }…,\text{ }{{u}_{1}},\text{ }…$
$\bullet $ Khi ${{u}_{1}}=0$ thì với mọi $q,$ cấp số nhân có dạng $0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }…,\text{ }0,\text{ }…$
II. Số hạng tổng quát
Định lí 1. Nếu cấp số nhân có số hạng đầu ${{u}_{1}}$ và công bội $q$ thì số hạng tổng quát ${{u}_{n}}$ được xác định bởi công thức
${{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}$ với $n\ge 2.$
III. Tính chất
Định lí 2. Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
$u_{k}^{2}={{u}_{k-1}}.{{u}_{k+1}}$, với $k\ge 2.$
IV.Tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân
Định lí 3. Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ với công bội $q\ne 1.$ Đặt ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+…+{{u}_{n}}.$
Chú ý: Nếu $q=1$ thì cấp số nhân là ${{u}_{1}},\text{ }{{u}_{1}},\text{ }{{u}_{1}},\text{ }…,\text{ }{{u}_{1}},\text{ }…$ khi đó ${{S}_{n}}=n{{u}_{1}}.$
IV. CÁC DẠNG CẤP SỐ CỘNG
DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT DÃY $(u_{n})$ LÀ CẤP SỐ NHÂN.
Chứng minh $\forall n\ge 1,{{u}_{n+1}}={{u}_{n}}.q$ trong đó $q$ là một số không đổi.
Nếu $u_{n}\neq0$ với mọi $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ thì ta lập tỉ số $T=\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}$
$*$ T là hằng số thì $(u_{n})$ là cấp số nhân có công bội $q=T$.
$*$ T phụ thuộc vào n thì $(u_{n})$ không là cấp số nhân.
DẠNG 2: XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG ĐẦU CÔNG BỘI, XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG THỨ K, TÍNH TỔNG CỦA N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN:
Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công bội q và số hạng đầu ${{{u}_{1}}}$, giải hệ phương trình này tìm được q và ${{{u}_{1}}}$.
Để xác định số hạng thứ k, ta sử dụng công thức: ${{{u}_{k}}={{u}_{1}}.{{q}^{k-1}}}$.
Để tính tổng của n số hạng, ta sử dụng công thức: ${{{S}_{n}}={{u}_{1}}.\frac{1-{{q}^{n}}}{1-q},q\ne 1}$. Nếu ${q=1}$ thì ${{{u}_{1}}={{u}_{2}}={{u}_{3}}=…={{u}_{n}}}$, do đó ${{{S}_{n}}=n{{u}_{1}}}$.
DẠNG 3. MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN CẤP SỐ NHÂN
II. BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1:
Xét trong các dãy số số sau, dãy số nào là cấp số nhân, (nếu có) tìm công bối của cấp số nhân đó:
a). ${{{u}_{n}}={{(-3)}^{2n+1}}}$
b). ${{{u}_{n}}={{(-1)}^{n}}{{.5}^{3n+2}}}$
c). ${\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=2 \\ & {{u}_{n+1}}=u_{n}^{2} \\\end{align} \right.}$
d). ${\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=3 \\ & {{u}_{n+1}}=\frac{9}{{{u}_{n}}} \\\end{align} \right.}$
Lời giải
a). Ta có ${\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{{{(-3)}^{2n+3}}}{{{(-3)}^{2n+1}}}={{(-3)}^{2}}=9}$ (không đổi). Kết luận ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ là cấp số nhân với công bội ${q=9}$.
b). Ta có ${\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{{{(-1)}^{n+1}}{{.5}^{3(n+1)+2}}}{{{(-1)}^{n}}{{.5}^{3n+2}}}=-{{1.5}^{3}}=-125}$ (không đổi). Kết luận ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ là cấp số nhân với công bội ${q=-125}$.
c). Ta có ${{{u}_{2}}=u_{1}^{2}=4}$, ${{{u}_{3}}=u_{2}^{2}=16}$, ${{{u}_{4}}=u_{3}^{2}=256}$, suy ra ${\frac{{{u}_{2}}}{{{u}_{1}}}=\frac{4}{2}=2}$ và ${\frac{{{u}_{4}}}{{{u}_{3}}}=\frac{256}{16}=16}$${\Rightarrow \frac{{{u}_{2}}}{{{u}_{1}}}\ne \frac{{{u}_{4}}}{{{u}_{3}}}}$. Do đó ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ không là cấp số nhân.
d). ${\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{\frac{9}{{{u}_{n}}}}{\frac{9}{{{u}_{n-1}}}}=\frac{{{u}_{n-1}}}{{{u}_{n}}}\Rightarrow {{u}_{n+1}}={{u}_{n-1}},\forall n\ge 2}$. Do đó có:
${{{u}_{1}}={{u}_{3}}={{u}_{5}}=….={{u}_{2n+1}}….}$ (1)
Và ${{{u}_{2}}={{u}_{4}}={{u}_{6}}=….={{u}_{2n}}=…}$ (2)
Theo đề bài có ${{{u}_{1}}=3\Rightarrow {{u}_{2}}=\frac{9}{{{u}_{1}}}=3}$ (3)
Từ (1), (2),(3) suy ra ${{{u}_{1}}={{u}_{2}}={{u}_{3}}={{u}_{4}}={{u}_{5}}=….={{u}_{2n}}={{u}_{2n+1}}….}$ Kết luận ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ là cấp số nhân với công bội ${q=1}$.
Bài tập 2:
Cho dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ được xác định bởi ${\left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}=2 \\& {{u}_{n+1}}=4{{u}_{n}}+9 \\\end{align} \right.,\forall n\ge 1}$. Chứng minh rằng dãy số ${\left( {{v}_{n}} \right)}$ xác định bởi ${{{v}_{n}}={{u}_{n}}+3,\forall n\ge 1}$ là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.
Lời giải
Vì có ${{{v}_{n}}={{u}_{n}}+3\text{ (1) }\Rightarrow {{v}_{n+1}}={{u}_{n+1}}+3\text{ (2)}}$.
Theo đề ${{{u}_{n+1}}=4{{u}_{n}}+9\Rightarrow {{u}_{n+1}}+3=4\left( {{u}_{n}}+3 \right)}$ (3).
Thay (1) và (2) vào (3) được: ${{{v}_{n+1}}=4{{v}_{n}},\forall n\ge 1\Rightarrow \frac{{{v}_{n+1}}}{{{v}_{n}}}=4}$(không đổi). Kết luận ${\left( {{v}_{n}} \right)}$ là cấp số nhân với công bội ${q=4}$ và số hạng đầu ${{{v}_{1}}={{u}_{1}}+3=5}$.
Bài tập 3:
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết:
a)${\left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}+{{u}_{5}}=51 \\ & {{u}_{2}}+{{u}_{6}}=102 \\\end{align} \right.}$
b)${\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}=135 \\ & {{u}_{4}}+{{u}_{5}}+{{u}_{6}}=40 \\\end{align} \right.}$
c)${\left\{ \begin{align} & {{u}_{2}}=6 \\ & {{S}_{3}}=43. \\\end{align} \right.}$
Lời giải
a).$\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+{{u}_{5}}=51 \\ & {{u}_{2}}+{{u}_{6}}=102 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+{{u}_{1}}{{q}^{4}}=51 \\& {{u}_{1}}q+{{u}_{1}}{{q}^{5}}=102 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}\left( 1+{{q}^{4}} \right)=51\text{ }\left( * \right) \\ & {{u}_{1}}q\left( 1+{{q}^{4}} \right)=102\text{ }\left( ** \right) \\\end{align} \right.$
Lấy ${\frac{\left( ** \right)}{\left( * \right)}\Leftrightarrow \frac{{{u}_{1}}q\left( 1+{{q}^{4}} \right)}{{{u}_{1}}\left( 1+{{q}^{4}} \right)}=\frac{102}{51}}$ ${\Leftrightarrow q=2\Rightarrow {{u}_{1}}=\frac{51}{1+{{q}^{4}}}=\frac{51}{17}=3.}$
Kết luận có công bội ${q=2}$và số hạng đầu tiên ${{{u}_{1}}=3}$.
Kết luận:${{{u}_{1}}=3}$ và${q=2}$
b) $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}=135 \\ & {{u}_{4}}+{{u}_{5}}+{{u}_{6}}=40 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+{{u}_{1}}q+{{u}_{1}}{{q}^{2}}=135 \\ & {{u}_{1}}.{{q}^{3}}+{{u}_{1}}{{q}^{4}}+{{u}_{1}}{{q}^{5}}=40 \\\end{align} \right.$
${\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)=135\text{ }\left( * \right) \\ & {{u}_{1}}{{q}^{3}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)=40\text{ }\left( ** \right) \\\end{align} \right.}$
Lấy${\frac{\left( ** \right)}{\left( * \right)}\Leftrightarrow \frac{{{u}_{1}}{{q}^{3}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)}{{{u}_{1}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)}=\frac{40}{135}}$ ${\Leftrightarrow {{q}^{3}}=\frac{8}{27}\Leftrightarrow q=\frac{2}{3}}$
${\Rightarrow {{u}_{1}}=\frac{135}{1+q+{{q}^{2}}}=\frac{1215}{19}.}$
Kết luận có công bội ${q=\frac{2}{3}}$và số hạng đầu tiên ${{{u}_{1}}=\frac{1215}{19}}$.
c) $\left\{ \begin{align} & {{u}_{2}}=6 \\ & {{S}_{3}}=43 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}q=6 \\ & {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}=43 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}q=6 \\ & {{u}_{1}}+{{u}_{1}}q+{{u}_{1}}{{q}^{2}}=43 \\\end{align} \right.$
${\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}q=6\text{ }\left( * \right) \\ & {{u}_{1}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)=43\text{ }\left( ** \right) \\\end{align} \right.}$. Lấy${\frac{\left( * \right)}{\left( ** \right)}\Leftrightarrow \frac{{{u}_{1}}q}{{{u}_{1}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)}=\frac{6}{43}}$
${\Leftrightarrow 43q=6\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)}$ ${\Leftrightarrow 6{{q}^{2}}-37q+6=0}$ ${\Leftrightarrow q=6\text{ }\vee \text{ }q=\frac{1}{6}}$
Với${q=6\Rightarrow {{u}_{1}}=1}$. Với${q=\frac{1}{6}\Rightarrow {{u}_{1}}=36.}$
Kết luận ${\left\{ \begin{align} & q=6 \\ & {{u}_{1}}=1 \\\end{align} \right.}$ hoặc ${\left\{ \begin{align} & q=\frac{1}{6} \\ & {{u}_{1}}=36 \\\end{align} \right.}$
Bài tập 4:
Cho cấp số nhân$\left( {{u}_{n}} \right)$. Tìm ${{u}_{1}}$ và q, biết rằng:
1)$\left\{ \begin{align} & {{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}=\frac{35}{2} \\ & {{u}_{1}}{{u}_{5}}=25 \\ & {{u}_{i}}>0\left( i=1,…,5 \right) \\\end{align} \right.$
2)$\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}-{{u}_{3}}+{{u}_{5}}=65 \\ & {{u}_{1}}+{{u}_{7}}=325. \\\end{align} \right.$
3)$\left\{ \begin{align} & {{u}_{2}}+{{u}_{4}}+{{u}_{6}}=-42 \\ & {{u}_{3}}+{{u}_{5}}=20 \\\end{align} \right.$
4)${{u}_{1}}+{{u}_{6}}=165;{{u}_{3}}+{{u}_{4}}=60.$
5). $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}=15 \\ & {{u}_{1}}^{2}+{{u}_{2}}^{2}+{{u}_{3}}^{2}+{{u}_{4}}^{2}=85. \\\end{align} \right.$
6)$\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}=13 \\ & {{u}_{4}}+{{u}_{5}}+{{u}_{6}}=351 \\\end{align} \right.$
7)$\left\{ \begin{align} & 8{{u}_{2}}+5\sqrt{5}{{u}_{5}}=0 \\ & {{u}_{1}}^{3}+{{u}_{3}}^{3}=189 \\\end{align} \right.$
8)$\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}{{u}_{2}}{{u}_{3}}=1728 \\ & {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}=63 \\\end{align} \right.$
9). $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+{{u}_{3}}=3 \\ & {{u}_{1}}^{2}+{{u}_{3}}^{2}=5 \\\end{align} \right.$
10). $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}=7 \\ & {{u}_{1}}^{2}+{{u}_{2}}^{2}+{{u}_{3}}^{2}=21 \\\end{align} \right.$
Lời giải
1). $\left\{ \begin{align} & {{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}=\frac{35}{2} \\ & {{u}_{1}}{{u}_{5}}=25 \\ & {{u}_{i}}>0\left( i=1,,,5 \right) \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}.q+{{u}_{1}}.{{q}^{2}}+{{u}_{1}}.{{q}^{3}}=\frac{35}{2}\text{ }\left( 1 \right) \\ & {{u}_{1}}.{{u}_{1}}.{{q}^{4}}=25\text{ }\left( 2 \right) \\\end{align} \right.$
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow \left( {{u}_{1}}.{{q}^{2}} \right)={{5}^{2}}\Leftrightarrow {{u}_{1}}.{{q}^{2}}=5\Rightarrow {{u}_{1}}=\frac{5}{{{q}^{2}}}$ thay vào (1) được:
$\frac{5}{{{q}^{2}}}\left( q+{{q}^{2}}+{{q}^{3}} \right)=\frac{35}{2}\Leftrightarrow 2\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)=79\Leftrightarrow 2{{q}^{2}}-5q+2=0\Leftrightarrow q=2\text{ }\vee \text{ }$ $q=\frac{1}{2}$.
Với$q=2\Rightarrow {{u}_{1}}=\frac{5}{4}$. Với$q=\frac{1}{2}\Rightarrow {{u}_{1}}=20.$
2). $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}-{{u}_{3}}+{{u}_{5}}=65 \\ & {{u}_{1}}+{{u}_{7}}=325. \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}-{{u}_{1}}{{q}^{2}}+{{u}_{1}}{{q}^{4}}=65 \\ & {{u}_{1}}+{{u}_{1}}{{q}^{6}}=325. \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{2}}+{{q}^{4}} \right)=65\text{ }\left( 1 \right) \\ & {{u}_{1}}\left( 1+{{q}^{6}} \right)=325\text{ }\left( 2 \right) \\\end{align} \right.$
Lấy: $\frac{\left( 2 \right)}{\left( 1 \right)}\Leftrightarrow \frac{1+{{q}^{6}}}{1-{{q}^{2}}+{{q}^{4}}}=\frac{325}{65}\Leftrightarrow \frac{\left( 1+{{q}^{2}} \right)\left( 1-{{q}^{2}}+{{q}^{4}} \right)}{1-{{q}^{2}}+{{q}^{4}}}=5\text{ }\left( vi\text{ 1+}{{\text{q}}^{6}}=1+{{\left( {{q}^{2}} \right)}^{3}} \right)$
$\Leftrightarrow 1+{{q}^{2}}=5\Leftrightarrow {{q}^{2}}=4\Leftrightarrow q=\pm 2.$
Với$q=2\Rightarrow {{u}_{1}}=\frac{65}{1-{{2}^{2}}+{{2}^{4}}}=5$. Với$q=-2\Rightarrow {{u}_{1}}=\frac{65}{1-{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{4}}}=5.$
3). $\left\{ \begin{align} & {{u}_{2}}+{{u}_{4}}+{{u}_{6}}=-42 \\ & {{u}_{3}}+{{u}_{5}}=20 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}.q+{{u}_{1}}.{{q}^{3}}+{{u}_{1}}.{{q}^{5}}=-42. \\ & {{u}_{1}}.{{q}^{2}}+{{u}_{1}}.{{q}^{4}}=20 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}.q\left( 1+{{q}^{2}}+{{q}^{4}} \right)=-42\text{ }\left( 1 \right) \\ & {{u}_{1}}.q\left( 1+{{q}^{2}} \right)=20\text{ }\left( 2 \right) \\\end{align} \right.$
Lấy: $\frac{\left( 1 \right)}{\left( 2 \right)}\Leftrightarrow \frac{1+{{q}^{2}}+{{q}^{4}}}{q\left( 1+{{q}^{2}} \right)}=-\frac{21}{10}\Leftrightarrow 10+10{{q}^{2}}+10{{q}^{4}}=-21q-21{{q}^{3}}$
$\Leftrightarrow 10{{q}^{4}}+21{{q}^{3}}+10{{q}^{2}}+21q+10=0\Leftrightarrow 10{{q}^{2}}+21q+10+\frac{21}{q}+\frac{10}{{{q}^{2}}}=10$
$\Leftrightarrow 10\left( {{q}^{2}}+\frac{1}{{{q}^{2}}} \right)+21\left( 1+\frac{1}{q} \right)+10=0\text{ }\left( * \right)$
Đặt: $t=q+\frac{1}{q}\Rightarrow {{t}^{2}}={{\left( q+\frac{1}{q} \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{q}^{2}}+\frac{1}{{{q}^{2}}}={{t}^{2}}-2.$ Điều kiện $\left| t \right|\ge 2$
$\left( * \right)\Leftrightarrow 10\left( {{t}^{2}}-2 \right)+21t+10=0\Leftrightarrow 10{{t}^{2}}+21t-10=0\Leftrightarrow \text{t=}-\frac{5}{2}\vee t=\frac{2}{5}$ (loại).
Với$t=-\frac{5}{2}\Leftrightarrow q+\frac{1}{q}=-\frac{5}{2}\Leftrightarrow 2{{q}^{2}}+5q+2=0\Leftrightarrow q=-\frac{1}{2}\text{ }\vee \text{ }q=-2$
$\bullet $ Nếu $q=-\frac{1}{2}\Rightarrow {{u}_{1}}=\frac{20}{{{q}^{2}}+{{q}^{4}}}=\frac{20}{{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{4}}}=64$
$\bullet $ Nếu $q=-2\Rightarrow {{u}_{1}}=\frac{20}{{{q}^{2}}+{{q}^{4}}}=\frac{20}{{{2}^{2}}+{{2}^{4}}}=1.$
4).${{u}_{1}}+{{u}_{6}}=165;\text{ }{{u}_{3}}+{{u}_{4}}=60.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}+{{u}_{1}}{{q}^{5}}=165 \\ & {{u}_{1}}{{q}^{2}}+{{u}_{1}}{{q}^{3}}=60 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}\left( 1+{{q}^{5}} \right)=165\text{ }\left( 1 \right) \\ & {{u}_{1}}{{q}^{2}}\left( 1+q \right)=60\text{ }\left( 2 \right) \\\end{align} \right.$
Lấy $\frac{\left( 1 \right)}{\left( 2 \right)}\Leftrightarrow \frac{1+{{q}^{5}}}{{{q}^{2}}\left( 1+q \right)}=\frac{11}{4}\Leftrightarrow \frac{\left( 1+q \right)\left( 1-q+{{q}^{2}}-{{q}^{3}}+{{q}^{4}} \right)}{{{q}^{2}}\left( 1+q \right)}=\frac{11}{4}$
$\Leftrightarrow 4\left( 1-q+{{q}^{2}}-{{q}^{3}}+{{q}^{4}} \right)=11{{q}^{2}}\Leftrightarrow 4{{q}^{4}}-4{{q}^{3}}-7{{q}^{2}}-4q+4=0$
$\Leftrightarrow \frac{4{{q}^{4}}}{{{q}^{2}}}-\frac{4{{q}^{3}}}{{{q}^{2}}}-\frac{7{{q}^{2}}}{{{q}^{2}}}-\frac{4q}{{{q}^{2}}}+\frac{4}{{{q}^{2}}}=0\Leftrightarrow 4\left( {{q}^{2}}+\frac{1}{{{q}^{2}}} \right)-4\left( q+\frac{1}{q} \right)-7=0\text{ }\left( * \right)$
Đặt:$t=q+\frac{1}{q}\Rightarrow {{t}^{2}}={{\left( q+\frac{1}{q} \right)}^{2}}\Rightarrow {{q}^{2}}+\frac{1}{{{q}^{2}}}={{t}^{2}}-2.$ Điều kiện:$\left| t \right|\ge 2.$
$\left( * \right)\Leftrightarrow 4\left( {{t}^{2}}-2 \right)-4t-7=0\Leftrightarrow 4{{t}^{2}}-4t-15=0\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}\text{ }$$\vee \text{ }t=-\frac{3}{2}$ (loại).
Với $t=\frac{5}{2}\Leftrightarrow q+\frac{1}{q}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow 2{{q}^{2}}-5q+2=0\Leftrightarrow q=2\text{ }\vee \text{ q =}\frac{1}{2}$
$\bullet $ với$q=2\Rightarrow {{u}_{1}}=\frac{165}{1+{{q}^{5}}}=\frac{165}{{{1}^{2}}+{{2}^{5}}}=5$ $\bullet $ với$q=\frac{1}{2}\Rightarrow {{u}_{1}}=\frac{165}{1+{{q}^{2}}}=\frac{165}{1+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{5}}}=160.$
5). $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}=15 \\ & {{u}_{1}}^{2}+{{u}_{2}}^{2}+{{u}_{3}}^{2}+{{u}_{4}}^{2}=85. \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+{{u}_{1}}q+{{u}_{1}}{{q}^{2}}+{{u}_{1}}{{q}^{3}}=15 \\ & {{u}_{1}}^{2}+{{u}_{1}}^{2}{{q}^{2}}+{{u}_{1}}^{2}{{q}^{4}}+{{u}_{1}}{{q}^{6}}=85. \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}\left( 1+q+{{q}^{2}}+{{q}^{3}} \right)=15 \\ & {{u}_{1}}^{2}\left( 1+{{q}^{2}}+{{q}^{4}}+{{q}^{6}} \right)=85. \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}^{2}{{\left( 1+q+{{q}^{2}}+{{q}^{3}} \right)}^{2}}={{15}^{2}}\text{ }\left( 1 \right) \\ & {{u}_{1}}^{2}\left( 1+{{q}^{2}}+{{q}^{4}}+{{q}^{6}} \right)=85\text{ }\left( 2 \right). \\\end{align} \right.$
Lấy$\frac{\left( 1 \right)}{\left( 2 \right)}\Leftrightarrow \frac{{{\left( 1+q+{{q}^{2}}+{{q}^{3}} \right)}^{2}}}{1+{{q}^{2}}+{{q}^{4}}+{{q}^{6}}}=\frac{45}{17}$ $\Leftrightarrow \frac{{{\left[ \left( 1+q \right)+{{q}^{2}}\left( 1+q \right) \right]}^{2}}}{\left( 1+{{q}^{2}} \right)+{{q}^{4}}\left( 1+{{q}^{2}} \right)}=\frac{45}{17}$
$\Leftrightarrow \frac{{{\left[ \left( 1+q \right)\left( 1+{{q}^{2}} \right) \right]}^{2}}}{\left( 1+{{q}^{2}} \right)+\left( 1+{{q}^{4}} \right)}=\frac{45}{17}$ $\Leftrightarrow \frac{{{\left( 1+q \right)}^{2}}\left( 1+{{q}^{2}} \right)}{1+{{q}^{4}}}=\frac{45}{17}$ $\Leftrightarrow \frac{\left( 1+2q+{{q}^{2}} \right)\left( 1+{{q}^{2}} \right)}{1+{{q}^{4}}}=\frac{45}{17}$
$\Leftrightarrow 17\left( 1+{{q}^{2}}+2q+2{{q}^{3}}+{{q}^{2}}+{{q}^{4}} \right)=45\left( 1+{{q}^{4}} \right)$
$\Leftrightarrow 28{{q}^{4}}-34{{q}^{3}}-34{{q}^{2}}-34q+28=0\Leftrightarrow \frac{28{{q}^{4}}}{{{q}^{2}}}-\frac{34{{q}^{3}}}{{{q}^{2}}}-\frac{34{{q}^{2}}}{{{q}^{2}}}-\frac{34q}{{{q}^{2}}}+\frac{28}{{{q}^{2}}}=0$(vì dễ dàng thấy $q\ne 0$)
$\Leftrightarrow 28{{q}^{2}}-34q-34-\frac{34}{q}+28=0\Leftrightarrow 14\left( {{q}^{2}}+\frac{1}{{{q}^{2}}} \right)-17\left( q+\frac{1}{q} \right)-17=0\text{ }\left( * \right)$
Đặt $t=q+\frac{1}{q}\Rightarrow {{t}^{2}}={{\left( q+\frac{1}{q} \right)}^{2}}\Rightarrow {{q}^{2}}+\frac{1}{{{q}^{2}}}={{t}^{2}}-2$. Điều kiện:$\left| t \right|\ge 2.$
$\left( * \right)\Leftrightarrow 14\left( {{t}^{2}}-2 \right)-17t-17=0\Leftrightarrow 14{{t}^{2}}-17t-45=0$ $\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}\text{ }\vee $ $t=-\frac{9}{7}$ (loại)
Với $t=\frac{5}{2}\Rightarrow q+\frac{1}{q}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow 2{{q}^{2}}-5q+2=0\Leftrightarrow q=2\text{ }\vee \text{ q = }\frac{1}{2}$
$\bullet $ với$q=2\Rightarrow {{u}_{1}}=1.$ $\bullet $ với$q=\frac{1}{2}\Rightarrow {{u}_{1}}=\frac{15}{1+q+{{q}^{2}}+{{q}^{3}}}=8.$
6). $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}=13 \\ & {{u}_{4}}+{{u}_{5}}+{{u}_{6}}=351 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)=13\text{ }\left( * \right) \\ & {{u}_{1}}{{q}^{3}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)=351\text{ }\left( ** \right) \\\end{align} \right.$
Lấy $\frac{\left( ** \right)}{\left( * \right)}\Leftrightarrow {{q}^{3}}=27\Rightarrow q=3\Rightarrow {{u}_{1}}=\frac{13}{1+q+{{q}^{2}}}=\frac{13}{1+3+9}=1.$
7). $\left\{ \begin{align} & 8{{u}_{2}}+5\sqrt{5}{{u}_{5}}=0 \\ & {{u}_{1}}^{3}+{{u}_{3}}^{3}=189. \\\end{align} \right.\text{ }\left( 1 \right)$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 8{{u}_{1}}q-5\sqrt{5}{{u}_{1}}{{q}^{4}}=0 \\ & {{u}_{1}}^{3}+{{\left( {{u}_{1}}{{q}^{2}} \right)}^{3}}=189. \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 8=5\sqrt{5}{{q}^{3}}\Rightarrow {{q}^{3}}=\frac{8}{5\sqrt{5}}={{\left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right)}^{3}}\Rightarrow q=\frac{2}{\sqrt{5}} \\ & {{u}_{1}}^{3}\left( 1+{{q}^{6}} \right)=189\Rightarrow {{u}_{1}}^{3}=\frac{189}{1+{{q}^{6}}}=125\Rightarrow {{u}_{1}}=5. \\\end{align} \right.$
8). $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}{{u}_{2}}{{u}_{3}}=1728 \\ & {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}=63 \\\end{align} \right.\text{ }\left( 1 \right)$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}.{{u}_{1}}.q.{{u}_{1}}.{{q}^{2}}=1728 \\ & {{u}_{1}}+{{u}_{1}}q+{{u}_{1}}{{q}^{2}}=\sqrt{3} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{\left( {{u}_{1}}q \right)}^{3}}={{12}^{3}} \\ & {{u}_{1}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)=63 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}q=12 \\& {{u}_{1}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)=63 \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=\frac{12}{q} \\ & \frac{12}{q}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)=63 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=\frac{12}{q} \\ & 12{{q}^{2}}-51q+12=0 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & q=4\Rightarrow {{u}_{1}}=3 \\ & q=\frac{1}{4}\Rightarrow {{u}_{1}}=48. \\\end{align} \right.$
9). $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+{{u}_{3}}=3 \\ & {{u}_{1}}^{2}+{{u}_{3}}^{2}=5 \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}\left( 1+{{q}^{2}} \right)=3 \\ & {{u}_{2}}\left( 1+{{q}^{4}} \right)=5 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}^{2}{{\left( 1+{{q}^{2}} \right)}^{2}}=9\text{ }\left( * \right) \\ & {{u}_{1}}^{2}\left( 1+{{q}^{4}} \right)=5\text{ }\left( ** \right) \\\end{align} \right.$
Lấy$\frac{\left( * \right)}{\left( ** \right)}\Leftrightarrow \frac{{{\left( 1+{{q}^{2}} \right)}^{2}}}{1+{{q}^{4}}}=\frac{9}{5}$. Đặt:$t={{q}^{2}},t\ge 0.$ $$
$\Leftrightarrow 5{{\left( 1+t \right)}^{2}}=9\left( 1+{{t}^{2}} \right)\Leftrightarrow 4{{t}^{2}}-10t+4=0\Leftrightarrow t=2\text{ }\vee \text{ t =}\frac{1}{2}$
Với$t=2\Rightarrow q=\pm \sqrt{2}$
$\bullet q=\sqrt{2}\Rightarrow {{u}_{1}}=\frac{3}{1+{{q}^{2}}}=1$ $\bullet q=-\sqrt{2}\Rightarrow {{u}_{1}}=\frac{3}{1+{{q}^{2}}}=1$
Với$t=\frac{1}{2}\Rightarrow q=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\bullet q=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow {{u}_{1}}=\frac{3}{1+{{q}^{2}}}=2$ $\bullet q=-\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow {{u}_{1}}=\frac{3}{1+{{q}^{2}}}=2.$
10). $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}=7 \\ & {{u}_{1}}^{2}+{{u}_{2}}^{2}+{{u}_{3}}^{2}=21 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+{{u}_{1}}q+{{u}_{1}}{{q}^{2}}=7 \\ & {{u}_{1}}^{2}+{{\left( {{u}_{1}}q \right)}^{2}}+{{\left( {{u}_{1}}{{q}^{2}} \right)}^{2}}=21 \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)=7 \\ & {{u}_{1}}^{2}\left( 1+{{q}^{2}}+{{q}^{4}} \right)=21 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}^{2}{{\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)}^{2}}=49\text{ }\left( * \right) \\ & {{u}_{1}}^{2}\left( 1+{{q}^{2}}+{{q}^{4}} \right)=21\text{ }\left( ** \right) \\\end{align} \right.$. Lấy $\frac{\left( * \right)}{\left( ** \right)}$ được:
$\frac{{{\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)}^{2}}}{1+{{q}^{2}}+{{q}^{4}}}=\frac{49}{21}\Leftrightarrow 21\left( 1+{{q}^{2}}+{{q}^{4}}+2q+2{{q}^{2}}+2{{q}^{3}} \right)=49\left( 1+{{q}^{2}}+{{q}^{4}} \right)$
$\Leftrightarrow 21\left( 1+2q+3{{q}^{2}}+2{{q}^{3}}+{{q}^{4}} \right)=49\left( 1+{{q}^{2}}+{{q}^{4}} \right)\Leftrightarrow 28{{q}^{4}}-42{{q}^{3}}-14{{q}^{2}}-42q+28=0.$
$\Leftrightarrow \frac{28{{q}^{4}}}{{{q}^{2}}}-\frac{42{{q}^{3}}}{{{q}^{2}}}-\frac{14{{q}^{2}}}{{{q}^{2}}}-\frac{42q}{{{q}^{2}}}+\frac{28}{{{q}^{2}}}=0\Leftrightarrow 28{{q}^{2}}-42q-14-\frac{42}{q}+\frac{28}{{{q}^{2}}}=0$
$\Leftrightarrow 28\left( {{q}^{2}}+\frac{1}{{{q}^{2}}} \right)-42\left( q+\frac{1}{q} \right)-14=0\text{ }\left( 2 \right)$
Đặt:$t=q+\frac{1}{q}\Rightarrow {{t}^{2}}={{\left( q+\frac{1}{q} \right)}^{2}}\Rightarrow {{q}^{2}}+\frac{1}{{{q}^{2}}}={{t}^{2}}-2$. Điều kiện:$\left| t \right|\ge 2$
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow 28\left( {{t}^{2}}-2 \right)-42t-14=0\Leftrightarrow 28{{t}^{2}}-42t-70=0\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}$$\vee \text{ }t=-1$(loại)
Với$t=\frac{5}{2}\Leftrightarrow q+\frac{1}{q}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow 2{{q}^{2}}-5q+2=0\Leftrightarrow q=2\text{ }\vee \text{ q = }\frac{1}{2}$
$\bullet $ $q=2\Rightarrow {{u}_{1}}=\frac{7}{1+q+{{q}^{2}}}=1$ $\bullet $ $q=\frac{1}{2}\Rightarrow {{u}_{1}}=\frac{7}{1+q+{{q}^{2}}}=4$
Bài tập 5:
Tính các tổng sau:
- a). ${{{S}_{n}}=2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+\cdot \cdot \cdot +{{2}^{n}}}$
- b). ${{{S}_{n}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{3}}}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{{{2}^{n}}}}$
- c). ${{{S}_{n}}={{\left( 3+\frac{1}{3} \right)}^{2}}+{{\left( 9+\frac{1}{9} \right)}^{2}}+\cdot \cdot \cdot +{{\left( {{3}^{n}}+\frac{1}{{{3}^{n}}} \right)}^{2}}}$
- d). ${{{S}_{n}}=6+66+666+\cdot \cdot \cdot +\underbrace{666…6}_{n\text{ so 6}}}$
Lời giải
a). Ta có dãy số ${2,{{2}^{2}},{{2}^{3}},\cdot \cdot \cdot ,{{2}^{n}}}$ là một cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu ${{{u}_{1}}=2}$ và công bội ${q=\frac{{{2}^{2}}}{2}=2}$. Do đó ${{{S}_{n}}={{u}_{1}}.\frac{1-{{q}^{n}}}{1-q}=2.\frac{1-{{2}^{n}}}{1-2}=2\left( {{2}^{n}}-1 \right)}$.
b). Ta có dãy số ${\frac{1}{2},\frac{1}{{{2}^{2}}},\frac{1}{{{2}^{3}}},\cdot \cdot \cdot ,\frac{1}{{{2}^{n}}}}$ là một cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu ${{{u}_{1}}=\frac{1}{2}}$ và công bội ${q=\frac{\frac{1}{{{2}^{2}}}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}}$. Do đó ${{{S}_{n}}={{u}_{1}}.\frac{1-{{q}^{n}}}{1-q}=\frac{1}{2}.\frac{1-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{{{2}^{n}}}}$.
c). ${{{S}_{n}}={{\left( 3+\frac{1}{3} \right)}^{2}}+{{\left( 9+\frac{1}{9} \right)}^{2}}+\cdot \cdot \cdot +{{\left( {{3}^{n}}+\frac{1}{{{3}^{n}}} \right)}^{2}}}$
${={{3}^{2}}+2+\frac{1}{{{3}^{2}}}+{{3}^{4}}+2+\frac{1}{{{3}^{4}}}+\cdot \cdot \cdot +{{3}^{2n}}+2+\frac{1}{{{3}^{2n}}}}$
${=\left( {{3}^{2}}+{{3}^{4}}+\cdot \cdot \cdot +{{3}^{2n}} \right)+\left( \frac{1}{{{3}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{4}}}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{{{3}^{2n}}} \right)+\underbrace{2+2+2+\cdot \cdot \cdot +2}_{n}}$
${\bullet }$ Có dãy số ${{{3}^{2}},{{3}^{4}},\cdot \cdot \cdot ,{{3}^{2n}}}$ là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu ${{{u}_{1}}={{3}^{2}}}$ và công bội ${q=\frac{{{3}^{4}}}{{{3}^{2}}}=9}$. Do đó ${{{S}_{1}}={{u}_{1}}.\frac{1-{{q}^{n}}}{1-q}=9.\frac{1-{{9}^{n}}}{1-9}=\frac{9}{8}\left( {{9}^{n}}-1 \right)}$.
${\bullet }$ Có dãy số ${\frac{1}{{{3}^{2}}},\frac{1}{{{3}^{4}}},\cdot \cdot \cdot ,\frac{1}{{{3}^{2n}}}}$ là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu ${{{u}_{1}}=\frac{1}{{{3}^{2}}}}$ và công bội ${q=\frac{1}{9}}$. Do đó ${{{S}_{1}}={{u}_{1}}.\frac{1-{{q}^{n}}}{1-q}=\frac{1}{9}.\frac{1-\frac{1}{{{9}^{n}}}}{1-\frac{1}{9}}=\frac{1}{8}\left( 1-\frac{1}{{{9}^{n}}} \right)=\frac{{{9}^{n}}-1}{{{8.9}^{n}}}}$.
Vậy ${{{S}_{n}}=\frac{9}{8}\left( {{9}^{n}}-1 \right)+\frac{{{9}^{n}}-1}{{{8.9}^{n}}}+2n=\frac{\left( {{9}^{n}}-1 \right)\left( {{9}^{n+1}}+1 \right)}{{{8.9}^{n}}}+2n}$.
d). ${{{S}_{n}}=6+66+666+\cdot \cdot \cdot +\underbrace{666…6}_{n\text{ so 6}}=\frac{6}{9}\left( 9+99+999+\cdot \cdot \cdot +\underbrace{999…9}_{n} \right)}$
${=\frac{2}{3}\left[ (10-1)+(100-1)+(1000-1)+\cdot \cdot \cdot +({{10}^{n}}-1) \right]}$
${=\frac{2}{3}\left[ 10+{{10}^{2}}+{{10}^{3}}+\cdot \cdot \cdot +{{10}^{n}}-n \right]=\frac{2}{3}\left[ 10.\frac{{{10}^{n}}-1}{10-1}-n \right]=\frac{20}{27}\left( {{10}^{n}}-1 \right)-\frac{2n}{3}}$
Bài tập 6:
Có hai cơ sở khoan giếng $A$ và $B$. Cơ sở $A$ giá mét khoan đầu tiênlà $8000$ (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm $500$ (đồng) so với giá của mét khoan ngay trước đó. Cơ sở $B$: Giá của mét khoan đầu tiên là $6000$ (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm $7%$ giá của mét khoan ngay trước đó. Một công ty giống cây trồng muốn thuê khoan hai giếng với độ sâu lần lượt là $20$ (m) và $25$ (m) để phục vụ sản xuất. Giả thiết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau. Công ty ấy nên chọn cơ sở nào để tiết kiệm chi phí nhất?
A. Luôn chọn $A$.
B. Luôn chọn $B$.
C. Giếng $20$ (m) chọn $A$ còn giếng $25$ (m) chọn $B$.
D. Giếng $20$ (m) chọn $B$ còn giếng $25$ (m) chọn $A$.
Lời giải
Cơ sở $A$ giá mét khoan ðầu tiên là $8000$ (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm $500$ (đồng) so với giá của mét khoan ngay trước đó.
+ Nếu đào giếng $20$ (m) hết số tiền là: ${{S}_{20}}=\frac{20}{2}\left[ 2.8000+\left( 20-1 \right)500 \right]=255000$ (đồng).
+ Nếu đào giếng $25$ (m) hết số tiền là: ${{S}_{25}}=\frac{25}{2}\left[ 2.8000+\left( 25-1 \right)500 \right]=350000$ (đồng).
Cơ sở $B$ Giá của mét khoan đầu tiên là $6000$ (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm $7%$ giá của mét khoan ngay trước đó.
Bài tập 7:
Bạn A thả quả bóng cao su từ độ cao $10$m theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng $\frac{3}{4}$ độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn.
A. $40$m. B. $70$m. C. $50$m. D. $80$m.
Lời giải
Các quãng đường khi bóng đi xuống tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn có ${{u}_{1}}=10$và $q=\frac{3}{4}$.
Tổng các quãng đường khi bóng đi xuống là $S=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}$$=\frac{10}{1-\frac{3}{4}}$ $=40$.
Tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn $2S-10=70$(m).