Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về cấp số cộng rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về công thức cấp số cộng cũng như các dạng bài tập tính tổng cấp số cộng có lời giải bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
I. LÝ THUYẾT CẤP SỐ CỘNG
Để có thể làm được các dạng bài tập của cấp số cộng lớp 11 một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức tổng cấp số cộng cũng như tính chất của dạng này như sau:
1. Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hay hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d không đổi, nghĩa là:
(${{{u}_{n}}}$) là cấp số cộng ${\Leftrightarrow \forall n\ge 2,{{u}_{n}}={{u}_{n-1}}+d}$
Số $d$ được gọi là công sai của cấp số cộng.
2. Định lý 1: Nếu (${{{u}_{n}}}$) là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng ( trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là ${{{u}_{k}}=\frac{{{u}_{k-1}}+{{u}_{k+1}}}{2}}$
Hệ quả: Ba số ${a, b, c}$ (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng ${\Leftrightarrow a+c=2b}$.
3. Định lý 2: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu ${{{u}_{1}}}$ và công sai d thì số hạng tổng quát ${{{u}_{n}}}$ của nó được xác định bởi công thức sau: ${{{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d}$
4. Định lý 3: Giả sử ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ là một cấp số cộng có công sai $d$.
Gọi ${{{S}_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{u}_{k}}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+…+{{u}_{n}}}$
( ${{{S}_{n}}}$ là tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng). Ta có:
${{{S}_{n}}=\frac{n\left( {{u}_{1}}+{{u}_{n}} \right)}{2}=\frac{n\left[ 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right]}{2}}$.
DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT DÃY SỐ ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ LÀ CẤP SỐ CỘNG:
Để chứng minh dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ là một cấp số cộng, ta xét ${A={{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}}$
${\bullet }$ Nếu $A$ là hằng số thì ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ là một cấp số cộng với công sai ${d=A}$.
${\bullet }$ Nếu $A$ phụ thuộc vào $n$ thì ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ không là cấp số cộng.
DẠNG 2: TÌM SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN, CÔNG SAI CỦA CẤP SỐ CỘNG, TÌM SỐ HẠNG THỨ K CỦA CẤP SỐ CỘNG, TÍNH TỔNG K SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN:
Ta thiết lập một hệ phương trình gồm hai ẩn ${{{u}_{1}}}$ và d. Sau đó giải hệ phương trình này tìm được ${{{u}_{1}}}$ và $d$.
Muốn tìm số hạng thứ $k$, trước tiên ta phải tìm ${{{u}_{1}}}$ và $d$. Sau đó áp dụng công thức: ${{{u}_{k}}={{u}_{1}}+\left( k-1 \right)d}$.
Muốn tính tổng của k số hạng đầu tiên, ta phải tìm ${{{u}_{1}}}$ và $d$. Sau đó áp dụng công thức: ${{{S}_{k}}=\frac{k\left( {{u}_{1}}+{{u}_{k}} \right)}{2}=\frac{k\left[ 2{{u}_{1}}+(k-1)d \right]}{2}}$
II. BÀI TẬP MẪU CẤP SỐ CỘNG
Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng của bài các cấp số cộng thì chúng ta cần phải làm thêm một số bài tập áp dụng công thức tổng cấp số cộng có lời giải để có thể hiểu rõ hơn chương này ngay bên dưới đây:
Bài tập 1: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó:
a). Dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ với ${{{u}_{n}}=19n-5}$ b). Dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ với ${{{u}_{n}}=-3n+1}$
c). Dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ với ${{{u}_{n}}={{n}^{2}}+n+1}$ d). Dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ với ${{{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}+10n}$
Lời giải
a). Dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ với ${{{u}_{n}}=19n-5}$
Ta có ${{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=19\left( n+1 \right)-5-\left( 19n-5 \right)=19}$. Vậy ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ là một cấp số cộng với công sai ${d=19}$và số hạng đầu ${{{u}_{1}}=19.1-5=14}$.
b). Dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ với ${{{u}_{n}}=-3n+1}$
Ta có ${{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=-3(n+1)+1-(-3n+1)=-3}$. Vậy ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ là một cấp số cộng với công sai ${d=-3}$và số hạng đầu ${{{u}_{1}}=-3.1+1=-2}$.
c). Dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ với ${{{u}_{n}}={{n}^{2}}+n+1}$
Ta có ${{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}={{\left( n+1 \right)}^{2}}+\left( n+1 \right)+1-\left( {{n}^{2}}+n+1 \right)=2n+2}$, phụ thuộc vào $n$
Vậy ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ không là cấp số cộng.
d). Dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ với ${{{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}+10n}$
Ta có ${{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n+1}}+10\left( n+1 \right)-\left[ {{\left( -1 \right)}^{n}}+10n \right]=-{{\left( -1 \right)}^{n}}+10-{{\left( -1 \right)}^{n}}=10-2{{\left( -1 \right)}^{n}}}$, phụ thuộc vào $n$. Vậy ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ không là cấp số cộng.
Bài tập 2: Trong các dãy số sau, có bao nhiêu dãy số là cấp số cộng?
a) Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}=4n$. b) Dãy số $\left( {{v}_{n}} \right)$ với ${{v}_{n}}=2{{n}^{2}}+1$.
b) Dãy số $\left( {{w}_{n}} \right)$ với ${{w}_{n}}=\frac{n}{3}-7$. d) Dãy số $\left( {{t}_{n}} \right)$ với ${{t}_{n}}=\sqrt[{}]{5}-5n$.
A. $4$. B. $2$. C. $1$. D. $3$.
Lời giải
Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}=4n$ có ${{u}_{n+1}}=4\left( n+1 \right)=4n+4$$\Rightarrow {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+4$, $\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$$\Rightarrow $dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số cộng với công sai $d=4$.
Dãy số $\left( {{v}_{n}} \right)$ với ${{v}_{n}}=2{{n}^{2}}+1$ có ${{v}_{1}}=3$, ${{v}_{2}}=9$, ${{v}_{3}}=19$ nên dãy số $\left( {{v}_{n}} \right)$ không là cấp số cộng.
Dãy số $\left( {{w}_{n}} \right)$ với ${{w}_{n}}=\frac{n}{3}-7$ có ${{w}_{n+1}}=\frac{n+1}{3}-7$$=\frac{n}{3}-7+\frac{1}{3}$$\Rightarrow {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+\frac{1}{3}$, $\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$$\Rightarrow $dãy số $\left( {{w}_{n}} \right)$ là cấp số cộng với công sai $d=\frac{1}{3}$.
Dãy số $\left( {{t}_{n}} \right)$ với ${{t}_{n}}=\sqrt[{}]{5}-5n$ có ${{t}_{n+1}}=\sqrt[{}]{5}-5n-5$$\Rightarrow {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}-5$, $\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$$\Rightarrow $dãy số $\left( {{w}_{n}} \right)$ là cấp số cộng với công sai $d=-5$.
Vậy có $3$ dãy số là cấp số cộng.
Xem thêm: Các dạng bài tập cấp số nhân đầy đủ chi tiết
Bài tập 3: Tìm đẳng thức đúng sau đây
Cho tam giác $ABC$có độ dài ba cạnh $a,b,c$theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. $\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{C}{2}=\frac{1}{3}$. B. $\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{C}{2}=\frac{1}{2}$
C. $\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{C}{2}=3$ D. $\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{C}{2}=2$
Lời giải
Ta có $a,b,c$theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng suy ra
$\begin{align}& a+c=2b\Leftrightarrow 2R\sin A+2R\sin C=2R\sin B \\& \Leftrightarrow \sin A+\sin C=\sin B \\& \Leftrightarrow 2\sin \frac{A+C}{2}\cos \frac{A-C}{2}=4\sin \frac{B}{2}\cos \frac{B}{2} \\& \Leftrightarrow \cos \frac{A-C}{2}=2\sin \frac{B}{2} \\& \Leftrightarrow \cos \left( \frac{A}{2}-\frac{C}{2} \right)=2\cos \left( \frac{A}{2}+\frac{C}{2} \right) \\& \Leftrightarrow \cos \frac{A}{2}\cos \frac{C}{2}+sin\frac{A}{2}sin\frac{C}{2}=2\left( \cos \frac{A}{2}\cos \frac{C}{2}-sin\frac{A}{2}sin\frac{C}{2} \right) \\& \Leftrightarrow 3sin\frac{A}{2}sin\frac{C}{2}=\cos \frac{A}{2}\cos \frac{C}{2}\Leftrightarrow \tan \frac{A}{2}.\tan \frac{C}{2}=\frac{1}{3}. \\\end{align}$
Các đáp án A, C, D là cấp số cộng, đáp án B không phải là cấp số cộng.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này chính là A.
Bài tập 4: Tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ ${20}$ và tổng của ${20}$ số hạng đầu tiên của các cấp số cộng sau, biết rằng:
a)${\left\{ \begin{align}& {{u}_{5}}=19 \\& {{u}_{9}}=35 \\\end{align} \right.}$ b) ${\left\{ \begin{align}& {{u}_{2}}-{{u}_{3}}+{{u}_{5}}=10 \\& {{u}_{4}}+{{u}_{6}}=26 \\\end{align} \right.}$ c) ${\left\{ \begin{align}& {{u}_{3}}+{{u}_{5}}=14 \\& {{s}_{12}}=129 \\\end{align} \right.}$ d) ${\left\{ \begin{align}& {{u}_{6}}=8 \\& {{u}_{2}}^{2}+{{u}_{4}}^{2}=16 \\\end{align} \right.}$
Lời giải
a)${\left\{ \begin{align}& {{u}_{5}}=19 \\& {{u}_{9}}=35 \\\end{align} \right.\text{ }\left( 1 \right)}$. Áp dụng công thức ${{{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d}$, ta có: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}+4d=19 \\& {{u}_{1}}+8d=35 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}=3 \\& d=4 \\\end{align} \right.$
Vậy số hạng đầu tiên ${{{u}_{1}}=3}$, công sai ${d=4}$.
Số hạng thứ ${20}$: ${{{u}_{20}}={{u}_{1}}+19d=3+19.4=79}$.
Tổng của ${20}$ số hạng đầu tiên: ${{{S}_{20}}=\frac{20\left( 2{{u}_{1}}+19d \right)}{2}=10\left( 2.3+19.4 \right)=820}$
b) ${\left\{ \begin{align}& {{u}_{2}}-{{u}_{3}}+{{u}_{5}}=10 \\& {{u}_{4}}+{{u}_{6}}=26 \\\end{align} \right.\text{ }\left( 1 \right)}$. Ta cũng áp dụng công thức ${{{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d}$:$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}+d-\left( {{u}_{1}}+2d \right)+{{u}_{1}}+4d=10 \\& {{u}_{1}}+3d+{{u}_{1}}+5d=26 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}+3d=10 \\& 2{{u}_{1}}+8d=26 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}=1 \\& d=3. \\\end{align} \right.$
Vậy số hạng đầu tiên ${{{u}_{1}}=1}$, công sai ${d=3}$.
Số hạng thứ ${20}$: ${{{u}_{20}}={{u}_{1}}+19d=1+19.3=58}$.
Tổng của ${20}$ số hạng đầu tiên: ${{{S}_{20}}=\frac{20\left( 2{{u}_{1}}+19d \right)}{2}=10\left( 2.1+19.3 \right)=590}$
c) ${\left\{ \begin{align}& {{u}_{3}}+{{u}_{5}}=14 \\& {{s}_{12}}=129 \\\end{align} \right.\text{ }\left( 1 \right)}$. Áp dụng công thức ${{{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d}$, ${{{S}_{n}}=\frac{n\left[ 2{{u}_{1}}+(n-1)d \right]}{2}}$ Ta có: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}+2d+{{u}_{1}}+4d=14 \\& 6\left( {{u}_{1}}+{{u}_{12}} \right)=129 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 2{{u}_{1}}+6d=14 \\& 12{{u}_{1}}+66d=129 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}=\frac{5}{2} \\& d=\frac{3}{2}. \\\end{align} \right.$
Vậy số hạng đầu tiên ${{{u}_{1}}=\frac{5}{2}}$, công sai ${d=\frac{3}{2}}$.
Số hạng thứ ${20}$: ${{{u}_{20}}={{u}_{1}}+19d=\frac{5}{2}+19.\frac{3}{2}=31}$.
Tổng của ${20}$ số hạng đầu tiên: ${{{S}_{20}}=\frac{20\left( 2{{u}_{1}}+19d \right)}{2}=10\left( 2.\frac{5}{2}+19.\frac{3}{2} \right)=335}$
d) $\left\{ \begin{align}& {{u}_{6}}=8 \\& {{u}_{2}}^{2}+{{u}_{4}}^{2}=16 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}+5d=8 \\& {{\left( {{u}_{1}}+d \right)}^{2}}+{{\left( {{u}_{1}}+3d \right)}^{2}}=16 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}=8-5d \\& {{\left( 8-5d+d \right)}^{2}}+{{\left( 8-5d+3d \right)}^{2}}=16 \\\end{align} \right.$
${\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}=8-5d \\& {{\left( 8-4d \right)}^{2}}+{{\left( 8-2d \right)}^{2}}=16\text{ }\left( * \right) \\\end{align} \right.}$
Giải ${\left( * \right)}$:${20{{d}^{2}}-96d+112=0\Leftrightarrow d=\frac{14}{5}\text{ }\vee \text{ d = 2}}$.
Với${d=\frac{14}{5}\Rightarrow {{u}_{1}}=-6}$
Số hạng thứ ${20}$: ${{{u}_{20}}={{u}_{1}}+19d=-6+19.\frac{14}{5}=\frac{236}{5}}$.
Tổng của ${20}$ số hạng đầu tiên: ${{{S}_{20}}=\frac{20\left( 2{{u}_{1}}+19d \right)}{2}=10\left( 2.(-6)+19.\frac{14}{5} \right)=412}$
Với${d=2\Rightarrow {{u}_{1}}=-2}$
Số hạng thứ ${20}$: ${{{u}_{20}}={{u}_{1}}+19d=-2+19.2=36}$.
Tổng của ${20}$ số hạng đầu tiên: ${{{S}_{20}}=\frac{20\left( 2{{u}_{1}}+19d \right)}{2}=10\left( 2.(-2)+19.2 \right)=340}$
Bài tập 5: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết:
a) ${\left\{ \begin{align}& {{u}_{7}}=27 \\& {{u}_{15}}=59 \\\end{align} \right.}$
b) ${\left\{ \begin{align}& {{u}_{9}}=5{{u}_{2}} \\& {{u}_{13}}=2{{u}_{6}}+5 \\\end{align} \right.}$
c) ${\left\{ \begin{align}& {{u}_{2}}+{{u}_{4}}-{{u}_{6}}=-7 \\& {{u}_{8}}-{{u}_{7}}=2{{u}_{4}} \\\end{align} \right.}$
d) ${\left\{ \begin{align}& {{u}_{3}}-{{u}_{7}}=-8 \\& {{u}_{2}}.{{u}_{7}}=75 \\\end{align} \right.}$ e).${\left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}^{2}+{{u}_{2}}^{2}+{{u}_{3}}^{2}=155 \\& {{s}_{3}}=21 \\\end{align} \right.}$
Lời giải
Gọi số hạng đầu là ${{{u}_{1}}}$ và công sai là ${d}$.
a) $\left\{ \begin{align}& {{u}_{7}}=27 \\& {{u}_{15}}=59 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}+6d=27 \\& {{u}_{1}}+14d=59 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}=3 \\& d=4 \\\end{align} \right.$
b) $\left\{ \begin{align}& {{u}_{9}}=5{{u}_{2}} \\& {{u}_{13}}=2{{u}_{6}}+5 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}+8d=5\left( {{u}_{1}}+d \right) \\& {{u}_{1}}+12d=2\left( {{u}_{1}}+5d \right)+5 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 4{{u}_{1}}-3d=0 \\& {{u}_{1}}-2d=-5 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}=3 \\& d=4 \\\end{align} \right.$
c) ${\left\{ \begin{align}& {{u}_{2}}+{{u}_{4}}-{{u}_{6}}=-7 \\& {{u}_{8}}-{{u}_{7}}=2{{u}_{4}} \\\end{align} \right.\text{ }\left( 1 \right)}$$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}+d+{{u}_{1}}+3d-\left( {{u}_{1}}+5d \right)=-7 \\& {{u}_{1}}+7d-\left( {{u}_{1}}+6d \right)=2\left( {{u}_{l}}+3d \right) \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}-d=-7 \\& 2{{u}_{1}}+5d=0 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}=-5 \\& d=2. \\\end{align} \right.$
d) ${\left\{ \begin{align}& {{u}_{3}}-{{u}_{7}}=-8 \\& {{u}_{2}}.{{u}_{7}}=75 \\\end{align} \right.\text{ }\left( 1 \right)}$$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}+2d-\left( {{u}_{1}}+6d \right)=-8 \\& \left( {{u}_{1}}+d \right)\left( {{u}_{1}}+6d \right)=75 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -4d=-8 \\& \left( {{u}_{1}}+d \right)\left( {{u}_{1}}+6d \right)=75 \\\end{align} \right.$$\left\{ \begin{align}& d=2 \\& \left( {{u}_{1}}+2 \right)\left( {{u}_{1}}+12 \right)=75\text{ }\left( * \right) \\\end{align} \right.$
Giải ${\left( * \right)\Leftrightarrow {{u}_{1}}^{2}+14{{u}_{1}}-51=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}=3 \\& {{u}_{1}}=-17 \\\end{align} \right.}$
Vậy${\left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}=3 \\& d=2 \\\end{align} \right.}$ hoặc ${\left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}=-17 \\& d=2. \\\end{align} \right.}$
e) ${\left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}^{2}+{{u}_{2}}^{2}+{{u}_{3}}^{2}=155 \\& {{s}_{3}}=21 \\\end{align} \right.}$
Ta có: ${{{S}_{3}}=21\Leftrightarrow {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}=21\Leftrightarrow {{u}_{1}}+{{u}_{1}}+d+{{u}_{1}}+2d=21\Leftrightarrow d=7-{{u}_{1}}.}$
Ta có: ${{{u}_{1}}^{2}+{{u}_{2}}^{2}+{{u}_{3}}^{2}=155\Leftrightarrow {{u}_{1}}^{2}+{{\left( {{u}_{1}}+d \right)}^{2}}+{{\left( {{u}_{1}}+2d \right)}^{2}}=155}$
${\Leftrightarrow {{u}_{1}}^{2}+{{\left( {{u}_{1}}+7-{{u}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{u}_{1}}+14-2{{u}_{1}} \right)}^{2}}=155\Leftrightarrow {{u}_{1}}^{2}+49+{{\left( 14-{{u}_{1}} \right)}^{2}}=155}$
${\Leftrightarrow 2{{u}_{1}}-28{{u}_{1}}+90=0\Leftrightarrow {{u}_{1}}=9\text{ }\vee \text{ }{{\text{u}}_{1}}=5}$
Với${{{u}_{1}}=9\Rightarrow d=-2}$. Với${{{u}_{1}}=5\Rightarrow d=2}$
Bài tập 6: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết:
1) ${\left\{ \begin{align}& {{S}_{3}}=12 \\& {{S}_{5}}=35 \\\end{align} \right.}$ 2) ${\left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}=9 \\& {{u}_{1}}^{2}+{{u}_{2}}^{2}+{{u}_{3}}^{2}=35 \\\end{align} \right.}$ 3) ${\left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}=16 \\& {{u}_{1}}^{2}+{{u}_{2}}^{2}+{{u}_{3}}^{2}+{{u}_{4}}^{2}=84 \\\end{align} \right.}$
4) ${\left\{ \begin{align}& {{S}_{5}}=5 \\& {{u}_{1}}.{{u}_{2}}.{{u}_{3}}.{{u}_{4}}.{{u}_{5}}=45 \\\end{align} \right.}$ 5) ${\left\{ \begin{align}& {{S}_{4}}=20 \\& \frac{1}{{{u}_{1}}}+\frac{1}{{{u}_{2}}}+\frac{1}{{{u}_{3}}}+\frac{1}{{{u}_{4}}}=\frac{25}{24} \\\end{align} \right.}$
6) ${\left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}=20 \\& {{u}_{1}}^{2}+{{u}_{2}}^{2}+{{u}_{3}}^{2}+{{u}_{4}}^{2}+{{u}_{5}}^{2}=170 \\\end{align} \right.}$ 7)${\left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}=-12 \\& {{u}_{1}}.{{u}_{2}}.{{u}_{3}}=8 \\\end{align} \right.}$ 8) ${\left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}+{{u}_{5}}=\frac{5}{3} \\& {{u}_{3}}.{{u}_{4}}=\frac{65}{72} \\\end{align} \right.}$
Lời giải
1) ${\left\{ \begin{align}& {{S}_{3}}=12 \\& {{S}_{5}}=35 \\\end{align} \right.}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{3}{2}\left( 2{{u}_{1}}+2d \right)=12 \\& \frac{5}{2}\left( 2{{u}_{1}}+4d \right)=35 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 2{{u}_{1}}+2d=8 \\& 2{{u}_{1}}+4d=14 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}=1 \\& d=3. \\\end{align} \right.$
2) ${\left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}=9 \\& {{u}_{1}}^{2}+{{u}_{2}}^{2}+{{u}_{3}}^{2}=35 \\\end{align} \right.}$ ${\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}+{{u}_{1}}+d+{{u}_{1}}+2d=9 \\& {{u}_{1}}^{2}+{{\left( {{u}_{1}}+d \right)}^{2}}+{{\left( {{u}_{1}}+2d \right)}^{2}}=35 \\\end{align} \right.}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}=3-d \\& {{\left( 3-d \right)}^{2}}+{{3}^{2}}+{{\left( 3+d \right)}^{2}}=35 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}=3-d \\& {{d}^{2}}=4 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}=3-d \\& d=\pm 2 \\\end{align} \right.$
Với ${d=2\Rightarrow {{u}_{1}}=1}$. Với ${d=-2\Rightarrow {{u}_{1}}=5.}$
3)${\left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}=16 \\& {{u}_{1}}^{2}+{{u}_{2}}^{2}+{{u}_{3}}^{2}+{{u}_{4}}^{2}=84 \\\end{align} \right.}$${\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}+{{u}_{1}}+d+{{u}_{1}}+2d+{{u}_{1}}+3d=16 \\& {{u}_{1}}^{2}+{{u}_{2}}^{2}+{{u}_{3}}^{2}+{{u}_{4}}^{2}=84 \\\end{align} \right.}$${\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 4{{u}_{1}}+6d=16\text{ }\left( 1 \right) \\& {{u}_{1}}^{2}+{{\left( {{u}_{1}}+d \right)}^{2}}+{{\left( {{u}_{1}}+2d \right)}^{2}}+{{\left( {{u}_{1}}+3d \right)}^{2}}=84\text{ }\left( 2 \right) \\\end{align} \right.}$
Từ${\left( 1 \right)\Rightarrow {{u}_{1}}=\frac{16-6d}{4}=4-\frac{3}{2}d}$ thay vào ${\left( 2 \right)}$ được: ${{{\left( 4-\frac{3}{2}d \right)}^{2}}+{{\left( 4-\frac{3}{2}d+d \right)}^{2}}+{{\left( 4-\frac{3}{2}d+2d \right)}^{2}}+{{\left( 4-\frac{3}{2}d+3d \right)}^{2}}=84}$
${\Leftrightarrow {{\left( 4-\frac{3}{2}d \right)}^{2}}+{{\left( 4-\frac{d}{2} \right)}^{2}}+{{\left( 4+\frac{d}{2} \right)}^{2}}+{{\left( 4+\frac{3d}{2} \right)}^{2}}=84\Leftrightarrow 64+5{{d}^{2}}=84\Leftrightarrow {{d}^{2}}=4\Leftrightarrow d=\pm 2}$Với ${d=2\Rightarrow {{u}_{1}}=1}$. Với ${d=-2\Rightarrow {{u}_{1}}=7}$
4) ${\left\{ \begin{align}& {{S}_{5}}=5 \\& {{u}_{1}}.{{u}_{2}}.{{u}_{3}}.{{u}_{4}}.{{u}_{5}}=45 \\\end{align} \right.}$ ${\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{5}{2}\left( 2{{u}_{1}}+4d \right)=5\Leftrightarrow 2{{u}_{1}}+4d=2\Rightarrow {{u}_{1}}=1-2d\text{ }(1) \\& {{u}_{1}}\left( {{u}_{1}}+d \right)\left( {{u}_{1}}+2d\right)\left( {{u}_{1}}+3d \right)\left( {{u}_{1}}+4d \right)=45\text{ }(2) \\\end{align} \right.}$
Thay (1) vào (2):
${\Leftrightarrow \left( 1-2d \right)\left( 1-2d+d \right)\left( 1-2d+2d \right)\left( 1-2d+3d \right)\left( 1-2d+4d \right)=45}$
${\Leftrightarrow \left( 1-2d \right)\left( 1-d \right)\left( 1+d \right)\left( 1+2d \right)=45\Leftrightarrow \left( 1-2d \right)\left( 1+2d \right)\left( 1-d \right)\left( 1+d \right)=45}$
${\Leftrightarrow \left( 1-4{{d}^{2}} \right)\left( 1-{{d}^{2}} \right)=45.}$ Đặt ${t={{d}^{2}},\text{ t}\ge 0}$
${\Leftrightarrow \left( 1-4t \right)\left( 1-t \right)=45\Leftrightarrow 4{{t}^{2}}-5t-44=0}$
${\Leftrightarrow t=4}$ (nhận) hoặc ${t=-\frac{11}{4}}$ ( loại) ${\Leftrightarrow {{d}^{2}}=4\Leftrightarrow d=\pm 2}$
Với ${d=2\Rightarrow {{u}_{1}}=-3}$. Với ${d=-2\Rightarrow {{u}_{1}}=5.}$
5) ${\left\{ \begin{align}& {{S}_{4}}=20 \\& \frac{1}{{{u}_{1}}}+\frac{1}{{{u}_{2}}}+\frac{1}{{{u}_{3}}}+\frac{1}{{{u}_{4}}}=\frac{25}{24} \\\end{align} \right.}$ ${\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 2\left( 2{{u}_{1}}+3d \right)=20 \\& \frac{1}{{{u}_{1}}}+\frac{1}{{{u}_{2}}}+\frac{1}{{{u}_{3}}}+\frac{1}{{{u}_{4}}}=\frac{25}{24} \\\end{align} \right.}$${\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}=5-\frac{3}{2}d \\& \frac{1}{5-\frac{3}{2}d}+\frac{1}{5-\frac{3}{2}d+d}+\frac{1}{5-\frac{3}{2}d+2d}+\frac{1}{5-\frac{3}{2}d+3d}=\frac{25}{24}\text{ }\left( 2 \right) \\\end{align} \right.}$
${\left( 2 \right)\Leftrightarrow \left( \frac{1}{5-\frac{3}{2}d}+\frac{1}{5+\frac{3}{2}d} \right)+\left( \frac{1}{5-\frac{d}{2}}+\frac{1}{5+\frac{d}{2}} \right)=\frac{25}{24}\Leftrightarrow \frac{10}{25-\frac{9{{d}^{2}}}{4}}+\frac{10}{25-\frac{{{d}^{2}}}{4}}=\frac{25}{24}}$
Đặt:${\frac{{{d}^{2}}}{4}=t;t\ge 0.}$
${\Leftrightarrow \frac{10}{25-9t}+\frac{10}{25-t}=\frac{25}{24}\Leftrightarrow \frac{2\left( 25-t \right)+2\left( 25-9t \right)}{\left( 25-9t \right)\left( 25-t \right)}=\frac{5}{24}\Leftrightarrow \frac{100-20t}{\left( 25-9t \right)\left( 25-t \right)}=\frac{5}{24}}$
${\Leftrightarrow 24\left( 20-4t \right)=\left( 25-9t \right)\left( 25-t \right)\Leftrightarrow 9{{t}^{2}}-154t+145=0\Leftrightarrow t=\frac{145}{9}\text{ }\vee \text{ t = 1}}$
${\bullet \text{ }t=\frac{145}{9}\Leftrightarrow {{d}^{2}}=\frac{145}{9}\Rightarrow d=\pm \frac{\sqrt{145}}{3}}$
Với${d=\frac{\sqrt{145}}{3}\Rightarrow {{u}_{1}}=5-\frac{\sqrt{145}}{2}}$. Với${d=-\frac{\sqrt{145}}{3}\Rightarrow {{u}_{1}}=5+\frac{\sqrt{145}}{2}}$
${\bullet \text{ }t=1\Leftrightarrow {{d}^{2}}=1\Leftrightarrow d=\pm 1}$
Với${d=1\Rightarrow {{u}_{1}}=5-\frac{3}{2}=\frac{7}{2}}$. Với${d=-1\Leftrightarrow {{u}_{1}}=5+\frac{3}{2}=\frac{13}{2}.}$
6) ${\left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}=20 \\& {{u}_{1}}^{2}+{{u}_{2}}^{2}+{{u}_{3}}^{2}+{{u}_{4}}^{2}+{{u}_{5}}^{2}=170 \\\end{align} \right.}$ ${\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}+{{u}_{1}}+d+{{u}_{1}}+2d+{{u}_{1}}+3d+{{u}_{1}}+4d=20 \\& {{u}_{1}}^{2}+{{u}_{2}}^{2}+{{u}_{3}}^{2}+{{u}_{4}}^{2}+{{u}_{5}}^{2}=170 \\\end{align} \right.}$
${\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 5{{u}_{1}}+10d=20\Rightarrow {{u}_{1}}=4-2d \\& {{u}_{1}}^{2}+{{\left( {{u}_{1}}+d \right)}^{2}}+{{\left( {{u}_{1}}+2d \right)}^{2}}+{{\left( {{u}_{1}}+3d \right)}^{2}}+{{\left( {{u}_{1}}+4d \right)}^{2}}=170\text{ }\left( 2 \right) \\\end{align} \right.}$
Thay: ${{{u}_{1}}=4-2d}$ vào${\left( 2 \right)}$ được:
${{{\left( 4-2d \right)}^{2}}+{{\left( 4-2d+d \right)}^{2}}+{{\left( 4-2d+2d \right)}^{2}}+{{\left( 4-2d+3d \right)}^{2}}+{{\left( 4-2d+4d \right)}^{2}}=170}$
${\Leftrightarrow {{\left( 4-2d \right)}^{2}}+{{\left( 4-d \right)}^{2}}+{{4}^{2}}+{{\left( 4+d \right)}^{2}}+{{\left( 4+2d \right)}^{2}}=170}$
${\Leftrightarrow 80+10{{d}^{2}}=170\Leftrightarrow {{d}^{2}}=9\Leftrightarrow d=\pm 3.}$
Với${d=3\Rightarrow {{u}_{1}}=4-6=-2}$. Với${d=-3\Rightarrow {{u}_{1}}=4+6=10.}$
7) ${\left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}=-12 \\& {{u}_{1}}.{{u}_{2}}.{{u}_{3}}=8 \\\end{align} \right.}$ ${\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}+{{u}_{1}}+d+{{u}_{1}}+2d=-12 \\& {{u}_{1}}.{{u}_{2}}.{{u}_{3}}=8 \\\end{align} \right.}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 3{{u}_{1}}+3d=-12 \\& {{u}_{1}}\left( {{u}_{1}}+d \right)\left( {{u}_{1}}+2d \right)=8 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}=-4-d\text{ }\left( 1 \right) \\& {{u}_{1}}\left( {{u}_{1}}+d \right)\left( {{u}_{1}}+2d \right)=8\text{ }\left( 2 \right) \\\end{align} \right.$
Thay (1) vào (2) ta được: ${\left( -4-d \right)\left( -4-d+d \right)\left( -4-d+2d \right)=8\Leftrightarrow \left( 4+d \right)\left( d-4 \right)=2}$
${\Leftrightarrow {{d}^{2}}-16=2\Leftrightarrow {{d}^{2}}=18\Leftrightarrow d=\pm 3\sqrt{2}}$
Với${d=3\sqrt{2}\Rightarrow {{u}_{1}}=-4-3\sqrt{2}}$. Với${d=-3\sqrt{2}\Rightarrow {{u}_{1}}=-4+3\sqrt{2}.}$
8) ${\left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}+{{u}_{5}}=\frac{5}{3} \\& {{u}_{3}}.{{u}_{4}}=\frac{65}{72} \\\end{align} \right.}$${\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}+{{u}_{1}}+4d=\frac{5}{3}. \\& \left( {{u}_{1}}+2d \right)\left( {{u}_{1}}+3d \right)=\frac{65}{72} \\\end{align} \right.}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}=\frac{5}{6}-2d \\& \left( \frac{5}{6}-2d+2d \right)\left( \frac{5}{6}-2d+3d \right)=\frac{65}{72} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}=\frac{5}{6}-2d \\& \frac{5}{6}+d=\frac{13}{12} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}=\frac{1}{3} \\& d=\frac{1}{4}.\\\end{align} \right.$
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về các dạng bài tập có áp dụng công thức tổng cấp số cộng có lời giải mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ về các công thức tổng cấp số cộng thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!
Xem thêm:
