Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về phương trình lượng giác rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về một số phương trình lượng giác thường gặp lớp 11 cũng như bài tập các dạng phương trình lượng giác và cách giải bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
I. LÝ THUYẾT
1. Phương trình $\sin x=m,\,\,\,\,\,\left| m \right|\le 1$
Nếu $m$ biểu diễn được dưới dạng $\sin $ của những góc đặc biệt thì:
$\sin x=m\Leftrightarrow \sin x=\sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\alpha +k2\pi \\ & x=\pi -\alpha +k2\pi \\\end{align} \right.,k\in \mathbb{Z}$
Nếu $m$ không biểu diễn được dưới dạng $\sin $ của những góc đặc biệt thì:
$\sin x=m\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\arcsin m+k2\pi \\ & x=\pi -\arcsin m+k2\pi \\\end{align} \right.,k\in \mathbb{Z}$
Các trường hợp đặc biệt:
- -$\sin x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$
- -$\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
- -$\sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$
2. Phương trình $\cos x=m,\,\,\,\,\left| m \right|\le 1$
Nếu $m$ biểu diễn được dưới dạng $\cos in$ của những góc đặc biệt thì:
$\cos x=m\Leftrightarrow \cos x=\cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\alpha +k2\pi \\ & x=-\alpha +k2\pi \\\end{align} \right.,k\in \mathbb{Z}$
Nếu $m$ không biểu diễn được dưới dạng $\cos in$ của những góc đặc biệt thì:
$\cos x=m\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\operatorname{arc}cosm+k2\pi \\ & x=\operatorname{arc}cosm+k2\pi \\\end{align} \right.,k\in \mathbb{Z}$
Các trường hợp đặc biệt:
- -$\cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$
- -$\cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
- -$\cos x=1\Leftrightarrow x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$
3. Phương trình: $\tan x=m.$ Điều kiện: $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
Nếu m biểu diễn được dưới dạng tang của những góc đặc biệt thì:
$\tan x=\tan m\Leftrightarrow \tan x=\tan \alpha \Leftrightarrow x=\alpha +k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
Nếu m không biểu diễn được dưới dạng tang của những góc đặc biệt thì:
$\tan x=m\Leftrightarrow x=\arctan m+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
4. Phương trình: $\cot x=m.$ Điều kiện: $x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
Nếu m biểu diễn được dưới dạng tang của những góc đặc biệt thì:
$\cot x=\cot m\Leftrightarrow \cot x=\cot \alpha \Leftrightarrow x=\alpha +k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
Nếu m không biểu diễn được dưới dạng tang của những góc đặc biệt thì:
$\cot x=m\Leftrightarrow x=\operatorname{arc}\cot m+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
II. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
DẠNG 1. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Bài tập 1:
Giải các phương trình sau:
- a)$\sin \left( \frac{x}{2}-\frac{\pi }{3} \right)=-\frac{\sqrt{3}}{4}$
- b)$\sin \left( 3x-{{30}^{\circ }} \right)=\sin {{45}^{\circ }}$
- c)$\sin \left( 3x-\frac{3\pi }{4} \right)=\sin \left( \frac{\pi }{6}-x \right)$
- d) $\sin \left( 4x-\frac{\pi }{3} \right)=0$ e)$\cos \left( -x+\frac{\pi }{3} \right)=1$
- f)$\cos \left( 5x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left( \frac{7\pi }{4}-2x \right)$
- g)$\cos \left( 2x+{{25}^{\circ }} \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ h)$\cos \left( \frac{\pi }{6}-2x \right)=-\frac{1}{4}$
Lời giải
a)$\sin \left( \frac{x}{2}-\frac{\pi }{3} \right)=-\frac{\sqrt{3}}{4}$ đặt $\sin t=-\frac{\sqrt{3}}{4}$ $\Rightarrow \sin \left( \frac{x}{2}-\frac{\pi }{3} \right)=\sin t\Rightarrow \left[ \begin{matrix} \frac{x}{2}-\frac{\pi }{3}=t+k2\pi \\ \frac{x}{2}-\frac{\pi }{3}=\pi -t+k2\pi \\\end{matrix}\Leftrightarrow \right.$$\left[ \begin{matrix} x=\frac{2\pi }{3}+2t+k4\pi \\ x=\frac{8\pi }{3}-2t+k4\pi \\\end{matrix} \right.$
b)$\sin \left( 3x-{{30}^{\circ }} \right)=\sin {{45}^{\circ }}\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 3x-{{30}^{\circ }}={{45}^{\circ }}+k{{360}^{\circ }} \\ 3x-{{30}^{\circ }}=180-{{45}^{\circ }}+k{{360}^{\circ }} \\\end{matrix} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x={{25}^{\circ }}+k{{120}^{\circ }} \\ x={{55}^{\circ }}+k{{120}^{\circ }} \\\end{matrix} \right.$
c)$\sin \left( 3x-\frac{3\pi }{4} \right)=\sin \left( \frac{\pi }{6}-x \right)\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 3x-\frac{3\pi }{4}=\frac{\pi }{6}-x+k2\pi \\ 3x-\frac{3\pi }{4}=\pi -\left( \frac{\pi }{6}-x \right)+k2\pi \\\end{matrix} \right.$$\Rightarrow \left[ \begin{matrix} x=\frac{11\pi }{48}+\frac{k\pi }{2} \\ x=\frac{19\pi }{24}+k\pi \\\end{matrix} \right.$
d) $\sin \left( 4x-\frac{\pi }{3} \right)=0\Rightarrow 4x-\frac{\pi }{3}=k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{4}$
e)$\cos \left( -x+\frac{\pi }{3} \right)=1\Rightarrow -x+\frac{\pi }{3}=k2\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{3}-k2\pi $
f) $\begin{align}& \cos \left( 5x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left( \frac{7\pi }{4}-2x \right)\Rightarrow \cos \left( 5x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left( \frac{\pi }{2}-\left( 5x-\frac{\pi }{3} \right) \right)=\sin \left( \frac{5\pi }{6}-5x \right) \\& \Rightarrow \sin \left( \frac{5\pi }{6}-5x \right)=\sin \left( \frac{7\pi }{4}-2x \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}\frac{5\pi }{6}-5x=\frac{7\pi }{4}-2x+k2\pi \\\frac{5\pi }{6}-5x=\pi -\left( \frac{7\pi }{4}-2x \right)+k2\pi \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=-\frac{11\pi }{36}-\frac{k2\pi }{3} \\x=\frac{19\pi }{84}-\frac{k2\pi }{7} \\\end{matrix} \right. \\\end{align}$
g) $\begin{align}& \cos \left( 2x+{{25}^{\circ }} \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \cos \left( 2x+{{25}^{\circ }} \right)=\cos {{135}^{\circ }} \\& \Rightarrow \left[ \begin{matrix}2x+{{25}^{\circ }}={{135}^{\circ }}+k{{360}^{\circ }} \\2x+{{25}^{\circ }}=-{{135}^{\circ }}+k{{360}^{\circ }} \\\end{matrix} \right.\Rightarrow \left[ \begin{matrix}x={{55}^{\circ }}+k{{180}^{\circ }} \\x=-{{80}^{\circ }}+k{{180}^{\circ }} \\\end{matrix} \right. \\\end{align}$
h)$\cos \left( \frac{\pi }{6}-2x \right)=-\frac{1}{4};\cos t=-\frac{1}{4}\Rightarrow \cos \left( \frac{\pi }{6}-2x \right)=\cos t\Rightarrow \left[ \begin{matrix} \frac{\pi }{6}-2x=t+k2\pi \\ \frac{\pi }{6}-2x=-t+k2\pi \\\end{matrix} \right.$$\Rightarrow \left[ \begin{matrix} x=\frac{\pi }{12}-\frac{t}{2}-k\pi \\ x=\frac{\pi }{12}+\frac{t}{2}-k\pi \\\end{matrix} \right.$
Bài tập 2:
Giải các phương trình sau:
- a)$\tan \left( 2x-1 \right)=\tan \left( -x+\frac{\pi }{3} \right)$
- b)$\tan \left( 3x-{{10}^{\circ }} \right)=\sqrt{3}$
- c)$3\tan \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)=-1$
- d)$\cot \left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)=1$
- e)$2\cot \left( 3x \right)=3$
- f)$\cot \left( x+\frac{\pi }{3} \right)=\cot \left( -2x+\frac{\pi }{6} \right)$
Lời giải
a)$\tan \left( 2x-1 \right)=\tan \left( -x+\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow 2x-1=-x+\frac{\pi }{3}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{1}{3}+\frac{\pi }{9}+\frac{k\pi }{3}$
b)$\tan \left( 3x-{{10}^{\circ }} \right)=\sqrt{3}\Rightarrow \tan \left( 3x-{{10}^{\circ }} \right)=\tan {{60}^{\circ }}\Rightarrow 3x-{{10}^{\circ }}={{60}^{\circ }}+k{{180}^{\circ }}\Leftrightarrow x=\frac{{{70}^{\circ }}}{3}+k{{60}^{\circ }}$
c)$3\tan \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)=-1\Leftrightarrow \tan \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)=-\frac{1}{3}=\tan t\Leftrightarrow 3x+\frac{\pi }{6}=t+k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{18}+\frac{t}{3}+\frac{k\pi }{3}$
d)$\cot \left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)=1\Rightarrow \cot \left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)=\cot \frac{\pi }{4}\Rightarrow 2x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{4}+k\pi \Rightarrow x=\frac{7\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$
e)$2\cot \left( 3x \right)=3\Rightarrow \cot \left( 3x \right)=\frac{3}{2}$ đặt $\cot t=\frac{3}{2}\Rightarrow \cot \left( 3x \right)=\cot t\Rightarrow 3x=t+k\pi \Rightarrow x=\frac{t}{3}+\frac{k\pi }{3}$
f)$\cot \left( x+\frac{\pi }{3} \right)=\cot \left( -2x+\frac{\pi }{6} \right)\Rightarrow x+\frac{\pi }{3}=-2x+\frac{\pi }{6}+k\pi \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}$
Bài tập 3:
Giải phương trình $cot\left( 3x-1 \right)=-\sqrt{3}.$
A. $x=\frac{1}{3}+\frac{5\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}\left( k\in Z \right).$ B. $x=\frac{1}{3}+\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}\left( k\in Z \right).$
C. $x=\frac{5\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}\left( k\in Z \right).$ D. $x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{6}+k\pi \left( k\in Z \right).$
Lời giải.
Chọn A
Ta có $cot\left( 3x-1 \right)=-\sqrt{3}\Leftrightarrow cot\left( 3x-1 \right)=cot\left( -\frac{\pi }{6} \right)$.
$\Leftrightarrow 3x-1=\frac{-\pi }{6}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}\xrightarrow{k=1}x=\frac{1}{3}+\frac{\pi }{18}.$
DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN CÓ ĐIỀU KIỆN NGHIỆM
Bài tập 1:
- Tìm nghiệm thuộc khoảng $\left( -\frac{\pi }{4};2\pi \right)$
- a) $\sin \left( \frac{\pi }{6}+2x \right)=-1$
- b) $\cos \left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)=\cos \left( x-\frac{\pi }{3} \right)$
- c)$\tan \left( 3x-\frac{\pi }{4} \right)=\tan \left( x+\frac{\pi }{6} \right)$
- Tìm nghiệm thuộc khoảng $\left[ -\pi ;\pi \right]$
- a)$\cot \left( -x+\frac{3\pi }{4} \right)=0$
- b) $2\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)=\sqrt{2}$
- c)$\tan \left( -x \right)=\tan \left( 2x+1 \right)$
Lời giải
- Tìm nghiệm thuộc khoảng $\left( -\frac{\pi }{4};2\pi \right)$
a) $\sin \left( \frac{\pi }{6}+2x \right)=-1\Leftrightarrow \frac{\pi }{6}+2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{3}+k\pi $
$-\frac{\pi }{4}<-\frac{\pi }{3}+k\pi <2\pi \Rightarrow k=1;2\Rightarrow x=\frac{2\pi }{3};\frac{5\pi }{3}.$
b) $\cos \left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)=\cos \left( x-\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} 2x+\frac{\pi }{3}=x-\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 2x+\frac{\pi }{3}=-x+\frac{\pi }{3}+k2\pi \\\end{matrix} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ x=\frac{k2\pi }{3} \\\end{matrix} \right.$
Với $x\in \left( -\frac{\pi }{4};2\pi \right)\Rightarrow \left[ \begin{matrix} k=1\Rightarrow x=\frac{4\pi }{3} \\ k=0;1;2\Rightarrow x=0;\frac{2\pi }{3};\frac{4\pi }{3} \\\end{matrix} \right.$
c)$\tan \left( 3x-\frac{\pi }{4} \right)=\tan \left( x+\frac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow 3x-\frac{\pi }{4}=x+\frac{\pi }{6}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{5\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$
$-\frac{\pi }{4}<\frac{5\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}<2\pi \Rightarrow k=0;1;2;3\Rightarrow x=\left\{ \frac{5\pi }{24};\frac{17\pi }{24};\frac{29\pi }{24};\frac{41\pi }{24} \right\}$
- Tìm nghiệm thuộc khoảng $\left[ -\pi ;\pi \right]$
a)$\begin{align} & \cot \left( -x+\frac{3\pi }{4} \right)=0\Leftrightarrow -x+\frac{3\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}-k\pi \\& x\in \left[ -\pi ;\pi \right]\Rightarrow k=0;1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4};-\frac{3\pi }{4} \\\end{align}$
b) $2\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)=\sqrt{2}\Leftrightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{6}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi \\\end{matrix} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\frac{\pi }{12}+k2\pi \\ x=\frac{7\pi }{12}+k2\pi \\\end{matrix} \right.$ $x\in \left[ -\pi ;\pi \right]\Rightarrow \left[ \begin{matrix} k=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{12} \\ k=0\Rightarrow x=\frac{7\pi }{12} \\\end{matrix} \right.$
c)$\tan \left( -x \right)=\tan \left( 2x+1 \right)\Leftrightarrow -x=2x+1+k\pi \Leftrightarrow x=-\frac{1}{3}-\frac{k\pi }{3}$
$x\in \left[ -\pi ;\pi \right]\Rightarrow k=-3;-2;-1;0;1;2\Rightarrow x=\left\{ -\frac{1}{3}+\pi ;-\frac{1}{3}+\frac{2\pi }{3};-\frac{1}{3}+\frac{2\pi }{3};-\frac{1}{3}+\frac{\pi }{3};-\frac{1}{3};-\frac{1}{3}-\frac{\pi }{3};-\frac{1}{3}-\frac{2\pi }{3}; \right\}$
Bài tập 2:
Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là 2 điểm $M,\,\,N$?
A $2\sin 2x=1$. B. $2\cos 2x=1$. C. $2\sin x=1$. D. $2\cos x=1$.
Lời giải
Chọn C
Ta thấy 2 điểm M và N là các giao điểm của đường thẳng vuông góc với trục tung tại điểm $\frac{1}{2}$ với đường tròn lượng giác ⇒ M và N là các điểm biểu diễn tập nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: $\sin x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2\sin x=1$ ⇒ Đáp án. C.
Bài tập 3:
Cho phương trình $\sin \left( 2x-\frac{\pi }{4} \right)=\sin \left( x+\frac{3\pi }{4} \right)$. Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng$\left( 0;\pi \right)$ của phương trình trên.
A. $\frac{7\pi }{2}$. B. $\pi $. C. $\frac{3\pi }{2}$. D. $\frac{\pi }{4}$.
Lời giải
Chọn B
Ta có: $\sin \left( 2x-\frac{\pi }{4} \right)=\sin \left( x+\frac{3\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2x-\frac{\pi }{4}=x+\frac{3\pi }{4}+k2\pi \\ & 2x-\frac{\pi }{4}=\pi -x-\frac{3\pi }{4}+k2\pi \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\pi +k2\pi \\ & x=\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3} \\\end{align} \right.$ $\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
+ Xét $x=\pi +k2\pi $$\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
Do $0<x<\pi \Leftrightarrow 0<\pi +k2\pi <\pi \Leftrightarrow -\frac{1}{2}<k<0$. Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên không có giá trị $k$.
+ Xét $x=\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3}$$\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
Do $0<x<\pi \Leftrightarrow 0<\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3}<\pi \Leftrightarrow -\frac{1}{4}<k<\frac{5}{4}$. Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên có hai giá trị $k$ là: $k=0;k=1$.
$\bullet $ Với $k=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{6}$.
$\bullet $ Với $k=1\Rightarrow x=\frac{5\pi }{6}$.
Do đó trên khoảng $\left( 0;\pi \right)$ phương trình đã cho có hai nghiệm $x=\frac{\pi }{6}$ và $x=\frac{5\pi }{6}$.
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho trong khoảng $\left( 0;\pi \right)$ là: $\frac{\pi }{6}+\frac{5\pi }{6}=\pi $.
DẠNG 3. SỬ DỤNG CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Bài tập 1:
Giải các phương trình sau:
- a) ${{\cos }^{2}}\left( x-\frac{\pi }{5} \right)={{\sin }^{2}}\left( 2x+\frac{4\pi }{5} \right)$
- b) $4{{\cos }^{2}}\left( 2x-1 \right)=1$
Lời giải
a) ${{\cos }^{2}}\left( x-\frac{\pi }{5} \right)={{\sin }^{2}}\left( 2x+\frac{4\pi }{5} \right)$
$\Leftrightarrow \frac{1+\cos \,\left( 2x-\frac{2\pi }{5} \right)}{2}=\frac{1-\cos \,\left( 4x+\frac{8\pi }{5} \right)}{2}$
$\Leftrightarrow \cos \,\left( 2x-\frac{2\pi }{5} \right)=-\cos \,\left( 4x+\frac{8\pi }{5} \right)=\cos \,\left( \pi -4x-\frac{8\pi }{5} \right)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2x-\frac{2\pi }{5}=\pi -4x-\frac{8\pi }{5}+k2\pi \\ & 2x-\frac{2\pi }{5}=-\pi +4x+\frac{8\pi }{5}+k2\pi \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{\pi }{30}+\frac{k\pi }{3} \\ & x=-\frac{\pi }{2}+k\pi \\\end{align} \right.$
b) $4{{\cos }^{2}}\left( 2x-1 \right)=1$$\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}\left( 2x-1 \right)=\frac{1}{4}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos \,\left( 2x-1 \right)=\frac{1}{2} \\ & \cos \,\left( 2x-1 \right)=-\frac{1}{2} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2x-1=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\& 2x-1=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ & 2x-1=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ & 2x-1=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{1}{2}+\frac{\pi }{6}+k\pi \\ & x=\frac{1}{2}-\frac{\pi }{6}+k\pi \\ & x=\frac{1}{2}+\frac{\pi }{3}+k\pi \\ & x=\frac{1}{2}-\frac{\pi }{3}+k\pi \\\end{align} \right.$
Bài tập 2:
Giải các phương trình sau:
- a) $\cos \,x+\cos \,2x+\cos \,3x=0$
- b) $8\sin \,2x.\cos \,2x.\cos \,4x=\sqrt{2}$
- c) $\cos \,3x-\cos \,5x=\sin \,x$
- d) $\sin \,7x-\sin \,3x=\cos \,5x$
Lời giải
a) $\cos \,x+\cos \,2x+\cos \,3x=0$
$\Leftrightarrow 2\cos \,\left( \frac{x+3x}{2} \right).\cos \,\left( \frac{x-3x}{2} \right)+\cos \,2x=0$
$\Leftrightarrow 2\cos \,2x.\cos \,x+\cos \,2x=0$ $\Leftrightarrow \cos \,2x\left( 2\cos \,x+1 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos \,2x=0 \\ & \cos \,x=\frac{1}{2} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2} \\ & x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ & x=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\\end{align} \right.$
b) $8\sin \,2x.\cos \,2x.\cos \,4x=\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow 4\sin \,4x.\cos \,4x=\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow \sin \,8x=\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 8x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ & 8x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{32}+k\frac{\pi }{4} \\ & x=\frac{3\pi }{32}+k\frac{\pi }{4} \\\end{align} \right.$
c) $\cos \,3x-\cos \,5x=\sin \,x$
$\begin{align} & \Leftrightarrow -2\sin \,\left( \frac{3x+5x}{2} \right).\sin \,\left( \frac{3x-5x}{2} \right)=\sin \,x \\ & \Leftrightarrow -2\sin \,4x\sin \,\left( -x \right)=\sin \,x \\ & \Leftrightarrow \sin \,x\left( 2\sin \,4x-1 \right)=0 \\\end{align}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin \,x=0 \\ & \sin \,4x=\frac{1}{2} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=k\pi \\ & x=\frac{\pi }{24}+k\frac{\pi }{2} \\ & x=\frac{5\pi }{24}+k\frac{\pi }{2} \\\end{align} \right.$
d) $\sin \,7x-\sin \,3x=\cos \,5x$
$\begin{align} & \Leftrightarrow 2\cos \,5x\sin \,5x=\cos \,5x \\ & \Leftrightarrow \cos \,5x\left( 2\sin \,2x-1 \right)=0 \\\end{align}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos \,5x=0 \\ & \sin \,2x=\frac{1}{2} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{10}+k\frac{\pi }{5} \\ & x=\frac{\pi }{12}+k\pi \\ & x=\frac{5\pi }{6}+k\pi \\\end{align} \right.$
Bài tập 3:
Tìm $m$ để:
- a) Phương trình $\sin \,x=m$ có đúng hai nghiệm thuộc $\left( -\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4} \right]$.
- b) Phương trình $\left( 2\cos \,x-1 \right)\left( \sin \,2x-m \right)=0$ có đúng hai nghiệm thuộc $\left( -\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4} \right]$.
Lời giải
a) Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi $-1<\sin \,x<1\Leftrightarrow -1<m<1$
b) $\left( 2\cos \,x-1 \right)\left( \sin \,2x-m \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos \,x=\frac{1}{2} \\ & \sin \,2x=m \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ & x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ & \sin \,2x=m \\\end{align} \right.$
Nghiệm thuộc $\left( -\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4} \right]$ suy ra $x=\frac{\pi }{3}$ là nghiệm của phương trình)
Để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc $\left( -\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4} \right]$ thì phương trình $\sin \,2x=m$ có 1 nghiệm thuộc $\left( -\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4} \right]$ khác $\frac{\pi }{3}$ (*)
Ta có $x\in \left( -\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4} \right]\Rightarrow 2x\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right]$ hay $2x\in \left[ 0;2\pi \right]$
Từ (*) suy ra $m=1$ hoặc $m=-1$