Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về các dạng bài tập về phép đối xứng trục rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về bài tập phép đối xứng trục có lời giải chi tiết bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình Học lớp 11 và đạt được thành tích cao trong học tập nhé!
DẠNG 1. KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VA ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VA ĐỐI XỨNG TÂM:
Bài tập 1:
Cho hai điểm $A,\,B$ phân biệt. Gọi ${{S}_{A}},\,{{S}_{B}}$ là phép đối xứng qua $A,\,B$. Với điểm $M$ bất kì, gọi ${{M}_{1}}={{S}_{A}}\left( M \right)$, ${{M}_{2}}={{S}_{B}}\left( {{M}_{1}} \right)$. Gọi $F$ là phép biến hình biến $M$ thành ${{M}_{2}}$. Chọn mệnh đề đúng:
A. $F$ không là phép dời hình B. $F$ là phép đối xứng trục.
C. $F$ là phép đối xứng tâm. D. $F$ là phép tịnh tiến.
Lời giải:
Ta có: $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{A{{M}_{1}}}$, $\overrightarrow{{{M}_{1}}B}=\overrightarrow{B{{M}_{2}}}$.
$\overrightarrow{M{{M}_{1}}}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{A{{M}_{1}}}+\overrightarrow{{{M}_{1}}B}+\overrightarrow{B{{M}_{2}}}$ $=\overrightarrow{A{{M}_{1}}}+\overrightarrow{A{{M}_{1}}}+\overrightarrow{{{M}_{1}}B}+\overrightarrow{{{M}_{1}}B}$ $=2\overrightarrow{A{{M}_{1}}}+2\overrightarrow{{{M}_{1}}B}=2\overrightarrow{AB}$. Vậy $F$ là phép tịnh tiến theo vectơ $2\overrightarrow{AB}$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là D.
Bài tập 2:
Cho $\Delta ABC$ và đường tròn tâm $O$. Trên đoạn $AB$, lấy điểm $E$ sao cho $BE=2AE$, $F$ là trung điểm của $AC$ và $I$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $AEIF$. Với mỗi điểm $P$ trên $\left( O \right)$ ta dựng điểm $Q$ sao cho $\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}=6\overrightarrow{IQ}$. Khi đó tập hợp điểm $Q$ khi $P$ thay đổi là:
A. Đường tròn tâm ${O}’$ là ảnh của đường tròn $\left( O \right)$ qua ${{}_{I}}$.
B. Đường tròn tâm ${O}’$ là ảnh của đường tròn $\left( O \right)$ qua ${{}_{E}}$
C. Đường tròn tâm ${O}’$ là ảnh của đường tròn $\left( O \right)$ qua phép đối xứng tâm ${{}_{F}}$
D. Đường tròn tâm ${O}’$ là ảnh của đường tròn $\left( O \right)$ qua phép đối xứng tâm ${{}_{B}}$.
Lời giải:
Gọi $K$ là điểm xác định bởi $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$.
Khi đó $\overrightarrow{KA}+2\left( \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB} \right)+3\left( \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AC} \right)=\overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{AK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
Mặt khác $AEIF$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ nên $K\equiv I$.
Từ giả thiết $\Rightarrow 6\overrightarrow{PK}+\left( \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC} \right)=6\overrightarrow{IQ}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{PK}=\overrightarrow{IQ}$ hay $\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{IQ}$
$\Rightarrow {{}_{I}}\left( P \right)=Q$ $\Rightarrow $ khi $P$ di động trên $\left( O \right)$ thì $Q$ di động trên đường $\left( {{O}’} \right)$ là ảnh của $\left( O \right)$ qua phép đối xứng tâm $I$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là A.
Bài tập 3:
Cho đường thẳng $d$ và hai điểm $A,\,B$ nằm cùng phía với $d$. Gọi ${{A}_{1}}$ đối xứng với $A$, ${{B}_{1}}$ đối xứng với $B$ qua $d$. $M$ là điểm trên $d$ thỏa mãn $MA+MB$ nhỏ nhất. Chọn mệnh đề sai:
A. Góc giữa $AM$ và $d$ bằng góc giữa $BM$ và $d$.
B. $M$ là giao điểm của ${{A}_{1}}B$ và $d$.
C. $M$ là giao điểm của $A{{B}_{1}}$ và $d$.
D. $M$ là giao điểm của $AB$ và $d.$
Lời giải:
Với $\forall N\in d:{{A}_{1}}N+BN\ge {{A}_{1}}B$ do ${{A}_{1}}N=AN,\,{{A}_{1}}M=AM$
$\Rightarrow AN+BN={{A}_{1}}N+BN\ge {{A}_{1}}B={{A}_{1}}M+MB=AM+MB$.
Đẳng thức xảy ra khi $M\equiv N$. Vậy ${{A}_{1}}B\cap d$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là D.
Bài tập 4:
Với mọi tứ giác $ABCD$, kí hiệu $S$ là diện tích tứ giác $ABCD$. Chọn mệnh đề đúng:
A. $S=\frac{1}{2}\left( AB.CD+BC.AD \right)$ B. $S\le \frac{1}{2}\left( AB.CD+BC.AD \right)$
C. $S>AB.CD+BC.AD$ D. $S\ge \frac{1}{2}\left( AB.CD+BC.AD \right)$.
Lời giải:
Sử dụng phép đối xứng trục qua đường trung trực $AC$ $\Rightarrow {{S}_{ABC}}\le \frac{1}{2}AB.AC$. Gọi ${D}’$ đối xứng với $D$ qua trung trực của $AC$ $\Rightarrow {{S}_{ABCD}}={{S}_{ABC{D}’}}={{S}_{BA{D}’}}+{{S}_{BC{D}’}}$
Do ${{S}_{AB{D}’}}\le \frac{1}{2}AB.A{D}’$, ${{S}_{BC{D}’}}\le \frac{1}{2}BC.C{D}’$
$\Rightarrow {{S}_{ABCD}}\le \frac{1}{2}AB.A{D}’+\frac{1}{2}BC.C{D}’$ $=\frac{1}{2}\left( AB.CD+BC.AD \right)$
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là B.
Bài tập 5:
Khẳng định nào sau đây SAI?
A. Đường tròn có trục đối xứng. B. Hình tam giác đều có trục đối xứng.
C. Đường thẳng có trục đối xứng. D. Hình bình hàng có trục đối xứng.
Lời giải
Ta có: Đường tròn có vô số trục đối xứng là các đường thẳng đi qua tâm của nó.
Tam giác đều có ba trục đối xứng chính là ba đường cao của nó.
Đường thẳng có vô số trục đối xứng là các đường thẳng vuông góc với nó.
Hình bình hành nói chung không có trục đối xứng.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là D.
DẠNG 2. TÌM ẢNH CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG QUA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC, ĐỐI XỨNG TÂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ:
Bài tập 1:
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $\Delta :\,\,3x-5y+9=0$, phép đối xứng trục $Ox$ biến đường thẳng $\Delta $ thành đường thẳng ${\Delta }’$ có phương trình là
A. $-3x+5y-9=0$. B. $3x+5y-9=0$. C. $3x+5y+9=0$. D. $-3x+5y+9=0$.
Lời giải
Giả sử $M\left( x;\,\,y \right)$ là điểm bất kì thuộc $\Delta $, $M’\left( x’;\,\,y’ \right)={{\text{ }\!\!\S\!\!\text{ }}_{Ox}}\left( M \right)$.
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục $Ox$ là: $\left\{ \begin{align}& x’=x \\& y’=-y \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=x’ \\& y=-y’ \\\end{align} \right.$.
Do đó $M\left( x’;\,\,-y’ \right)$, vì $M\in \Delta $ nên: $3\text{x}’-5\left( -y’ \right)+9=0\Leftrightarrow 3\text{x}’+5y’+9=0\,\,\,\,\left( * \right)$
Vì tọa độ điểm $M’\left( x’;\,\,y’ \right)$ thỏa mãn phương trình $\left( * \right)$, mà khi $M$ thay đổi thì $M’$ chạy trên đường thẳng $\Delta ‘$ là ảnh của đưởng thẳng $\Delta $ qua phép đối xứng trục $Ox$, do đó phương trình đường thẳng $\Delta ‘$ là $3x+5y+9=0$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là C.
Bài tập 2:
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=4.$ Phép đối xứng trục $Ox$ biến đường tròn $\left( C \right)$ thành đường tròn $\left( {{C}’} \right)$ có phương trình là
A. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4.$
B. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=4.$
C. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4.$
D. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=4.$
Lời giải
Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 1\,;\,-2 \right)$ và bán kính $R=2.$
Phép đối xứng trục $Ox$ biến đường tròn $\left( C \right)$ thành đường tròn $\left( {{C}’} \right).$
Khi đó đường tròn $\left( {{C}’} \right)$ có tâm ${I}’$ và bán kính ${R}’,$ với $I’={{}_{Ox}}\left( I \right)\Rightarrow {I}’=\left( 1\,;\,2 \right)$ và ${R}’=R=2.$
Vậy phương trình đường tròn $\left( {{C}’} \right)$ là: ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4.$
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là C.
Bài tập 3:
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+5y+1=0$. Tìm ảnh đường tròn $\left( {{C}’} \right)$ của $\left( C \right)$ qua phép đối xứng trục $Oy$.
A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-5y+1=0$. B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+5y+1=0$.
C. $2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+8x+10y-2=0$. D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-5y+1=0$.
Lời giải:
Phương pháp quỹ tích: từ biểu thức tọa độ ${{}_{Oy}}:M\left( x;y \right)\to {M}’\left( {x}’;{y}’ \right)\in \left( {{C}’} \right)$
$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& x=-{x}’ \\& y={y}’ \\\end{align} \right.\Rightarrow {{\left( -{x}’ \right)}^{2}}+{{\left( {{y}’} \right)}^{2}}+4{x}’+5{y}’+1=0$.
Vậy phương trình đường tròn $\left( {{C}’} \right)$ là ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+5y+1=0$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là B.
Bài tập 4:
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-2y-4=0$. Tìm ảnh đường tròn $\left( {{C}’} \right)$ của $\left( C \right)$ qua phép đối xứng tâm $I\left( 1;3 \right)$.
A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10x-16=0$. B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10y-16=0$.
C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10y+16=0$. D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-10y+9=0$.
Lời giải:
Cách 1: ${{}_{I}}\left( \left( C \right) \right)=\left( {{C}’} \right):$ Với mọi $M\left( x;y \right)$ qua phép đối xứng tâm $I$ ta được
${M}’\left( {x}’;{y}’ \right)\in \left( {{C}’} \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align}& {x}’=2{{x}_{I}}-x=2-x \\& {y}’=2{{y}_{I}}-y=6-y \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=2-{x}’ \\& y=6-{y}’ \\\end{align} \right.$. Thế vào $\left( C \right)$ ta có:
${{\left( 2-{x}’ \right)}^{2}}+{{\left( 6-{y}’ \right)}^{2}}-4\left( 2-{x}’ \right)-2\left( 6-{y}’ \right)-4=0\Leftrightarrow {{\left( {{x}’} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}’} \right)}^{2}}-10{y}’+16=0$
Vậy đường tròn $\left( {{C}’} \right)$: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10y+16=0$.
Cách 2: Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $M\left( 2;1 \right)$, bán kính $R=3$, ${{}_{I}}\left( M \right)={M}’\Rightarrow {M}’\left( 0;5 \right)$.
Vậy đường tròn $\left( {{C}’} \right)$: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10y+16=0$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là C.
Bài tập 5:
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, ảnh của đường thẳng $d:x+2y-3=0$ qua phép đối xứng tâm $I\left( 4;3 \right)$ là:
A. $x+2y-17=0$. B. $x+2y+17=0$. C. $x+2y-7=0$. D. $x+2y-15=0$.
Lời giải:
Sử dụng phương pháp quỹ tích, ta có:
${{}_{d}}:M\left( x;y \right)\to {M}’\left( {x}’;{y}’ \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align}& {x}’=8-x \\& {y}’=6-y \\\end{align} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& x=8-{x}’ \\& y=6-{y}’ \\\end{align} \right.$
Thế vào phương trình $d$ ta có: $8-{x}’+2\left( 6-{y}’ \right)-3=0\Leftrightarrow -{x}’-2{y}’+17=0\Leftrightarrow {x}’+2y-17=0.$
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là A.
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết của các dạng toán về chuyên đề phép đối xứng trục lớp 11 có lời giải mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ về bài tập phép đối xứng trục có lời giải thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!