Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về các dạng bài tập về phép đối xứng tâm có lời rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về các bài toán về phép đối xứng tâm có lời giải chi tiết cũng như các dạng mà chúng ta thường gặp bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình Học lớp 11 và đạt được thành tích cao trong học tập nhé!
DẠNG 1. KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VA ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VA ĐỐI XỨNG TÂM:
Bài tập 1:
Cho ba điểm $M,{{O}_{1}},{{O}_{2}}$. Gọi ${{M}_{1}},{{M}_{2}}$ tương ứng là ảnh của điểm $M$ qua các phép đối xứng tâm ${{O}_{1}}$ và ${{O}_{2}}$. Khằng định nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow{M{{M}_{2}}}=\overrightarrow{{{O}_{1}}{{O}_{2}}}$. B. $\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=-2\overrightarrow{{{O}_{1}}{{O}_{2}}}$. C. $\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=2\overrightarrow{{{O}_{1}}{{O}_{2}}}$. D. $\overrightarrow{{{O}_{1}}{{M}_{1}}}=\overrightarrow{{{O}_{2}}{{M}_{2}}}$.
Lời giải
Ta có ${{O}_{1}}{{O}_{2}}$ là đường trung bình của tam giác $M{{M}_{1}}{{M}_{2}}$ nên suy ra $\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=2\overrightarrow{{{O}_{1}}{{O}_{2}}}$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là C.
Bài tập 2:
Hình nào sau đây có vô số tâm đối xứng?
A. Hình vuông. B. Hình tròn. C. Đường thẳng. D. Đoạn thẳng.
Lời giải
Theo định nghĩa về hình có tâm đối xứng thì chỉ có đường thẳng có vô số tâm đối xứng. Đó là một điểm bất kì lấy trên đường thẳng đó.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là C.
Bài tập 3:
Giải sử phép đối xứng tâm $O$ biến đường thẳng $d$ thành ${{d}_{1}}$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. ${{d}_{1}}$ cắt $d$. B. Nếu $O\notin d$ thì $d\parallel {{d}_{1}}$.
C. Nếu $d$ qua $O$ thì $d$ cắt ${{d}_{1}}$. D. $d$ và ${{d}_{1}}$ cắt nhau tại $O$.
Lời giải:
Thật vậy, $A,\,B\in d$. Qua phép đối xứng tâm $O\notin d$ ta được ảnh là ${A}’,\,{B}’\in {{d}_{1}}$, $AB\parallel {A}'{B}’$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là B.
Bài tập 4:
Cho hai điểm $A,\,B$ phân biệt. Gọi ${{S}_{A}},\,{{S}_{B}}$ là phép đối xứng qua $A,\,B$. Với điểm $M$ bất kì, gọi ${{M}_{1}}={{S}_{A}}\left( M \right)$, ${{M}_{2}}={{S}_{B}}\left( {{M}_{1}} \right)$. Gọi $F$ là phép biến hình biến $M$ thành ${{M}_{2}}$. Chọn mệnh đề đúng:
A. $F$ không là phép dời hình B. $F$ là phép đối xứng trục.
C. $F$ là phép đối xứng tâm. D. $F$ là phép tịnh tiến.
Lời giải:
Ta có: $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{A{{M}_{1}}}$, $\overrightarrow{{{M}_{1}}B}=\overrightarrow{B{{M}_{2}}}$.
$\overrightarrow{M{{M}_{1}}}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{A{{M}_{1}}}+\overrightarrow{{{M}_{1}}B}+\overrightarrow{B{{M}_{2}}}$ $=\overrightarrow{A{{M}_{1}}}+\overrightarrow{A{{M}_{1}}}+\overrightarrow{{{M}_{1}}B}+\overrightarrow{{{M}_{1}}B}$ $=2\overrightarrow{A{{M}_{1}}}+2\overrightarrow{{{M}_{1}}B}=2\overrightarrow{AB}$. Vậy $F$ là phép tịnh tiến theo vectơ $2\overrightarrow{AB}$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là D.
Bài tập 5:
Cho $\Delta ABC$ và đường tròn tâm $O$. Trên đoạn $AB$, lấy điểm $E$ sao cho $BE=2AE$, $F$ là trung điểm của $AC$ và $I$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $AEIF$. Với mỗi điểm $P$ trên $\left( O \right)$ ta dựng điểm $Q$ sao cho $\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}=6\overrightarrow{IQ}$. Khi đó tập hợp điểm $Q$ khi $P$ thay đổi là:
A. Đường tròn tâm ${O}’$ là ảnh của đường tròn $\left( O \right)$ qua ${{}_{I}}$.
B. Đường tròn tâm ${O}’$ là ảnh của đường tròn $\left( O \right)$ qua ${{}_{E}}$
C. Đường tròn tâm ${O}’$ là ảnh của đường tròn $\left( O \right)$ qua phép đối xứng tâm ${{}_{F}}$
D. Đường tròn tâm ${O}’$ là ảnh của đường tròn $\left( O \right)$ qua phép đối xứng tâm ${{}_{B}}$.
Lời giải:
Gọi $K$ là điểm xác định bởi $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$.
Khi đó $\overrightarrow{KA}+2\left( \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB} \right)+3\left( \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AC} \right)=\overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{AK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
Mặt khác $AEIF$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ nên $K\equiv I$.
Từ giả thiết $\Rightarrow 6\overrightarrow{PK}+\left( \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC} \right)=6\overrightarrow{IQ}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{PK}=\overrightarrow{IQ}$ hay $\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{IQ}$
$\Rightarrow {{}_{I}}\left( P \right)=Q$ $\Rightarrow $ khi $P$ di động trên $\left( O \right)$ thì $Q$ di động trên đường $\left( {{O}’} \right)$ là ảnh của $\left( O \right)$ qua phép đối xứng tâm $I$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là A.
DẠNG 2. TÌM ẢNH CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG QUA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC, ĐỐI XỨNG TÂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ:
Bài tập 1:
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho điểm $A'(-4;3)$ và điểm $I(1;1)$; biết $A’$ là ảnh của $A$ qua phép đối xứng tâm $I$. Khi đó tọa độ điểm $A$ là
A. $A(5;-2)$. B. $A(-6;1)$. C. $A(-5;2)$. D. $A(6;-1)$.
Lời giải
Vì $A’$ là ảnh của $A$ qua phép đối xứng tâm $I$ nên $I$ là trung điểm của $\text{AA }\!\!’\!\!\text{ }$.
Vậy $\left\{ \begin{align}& {{x}_{A}}+{{x}_{A’}}=2.{{x}_{I}} \\& {{y}_{A}}+{{y}_{A’}}=2.{{y}_{I}} \\\end{align} \right.\Rightarrow A(-6;1)$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là B.
Bài tập 2:
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-2y-4=0$. Tìm ảnh đường tròn $\left( {{C}’} \right)$ của $\left( C \right)$ qua phép đối xứng tâm $I\left( 1;3 \right)$.
A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10x-16=0$. B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10y-16=0$.
C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10y+16=0$. D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-10y+9=0$.
Lời giải:
Cách 1: ${{}_{I}}\left( \left( C \right) \right)=\left( {{C}’} \right):$ Với mọi $M\left( x;y \right)$ qua phép đối xứng tâm $I$ ta được
${M}’\left( {x}’;{y}’ \right)\in \left( {{C}’} \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align}& {x}’=2{{x}_{I}}-x=2-x \\& {y}’=2{{y}_{I}}-y=6-y \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=2-{x}’ \\& y=6-{y}’ \\\end{align} \right.$. Thế vào $\left( C \right)$ ta có:
${{\left( 2-{x}’ \right)}^{2}}+{{\left( 6-{y}’ \right)}^{2}}-4\left( 2-{x}’ \right)-2\left( 6-{y}’ \right)-4=0\Leftrightarrow {{\left( {{x}’} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}’} \right)}^{2}}-10{y}’+16=0$
Vậy đường tròn $\left( {{C}’} \right)$: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10y+16=0$.
Cách 2: Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $M\left( 2;1 \right)$, bán kính $R=3$, ${{}_{I}}\left( M \right)={M}’\Rightarrow {M}’\left( 0;5 \right)$.
Vậy đường tròn $\left( {{C}’} \right)$: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10y+16=0$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là C.
Bài tập 3:
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $d:\,3x+2y+5=0$. Ảnh của đường thẳng $\left( d \right)$qua phép đối xứng tâm $O$ là đường thẳng có phương trình
A. $3x+2y-1=0$. B. $3x+2y+1=0$. C. $3x+2y-5=0$. D. $3x+2y=0$.
Lời giải
Gọi $M\left( x;\,y \right)\in \left( d \right)\Leftrightarrow \,3x+2y+5=0\,\ \ \left( 1 \right)$.
Gọi ${M}’\left( {x}’;\,{y}’ \right)$ là ảnh của điểm $M$ qua phép đối xứng tâm $O$.
Ta có: ${{}_{O}}\left( M \right)=M’$ nên theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm $O$:
$\left\{ \begin{align}& {x}’=-x \\& {y}’=-y \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=-{x}’ \\& y=-{y}’ \\\end{align} \right.$.
Thay vào $\left( 1 \right)$ ta được: $3\left( -{x}’ \right)+2\left( -{y}’ \right)+5=0\Leftrightarrow 3{x}’+2{y}’-5=0$.
Gọi ảnh của đường thẳng $\left( d \right)$qua phép đối xứng tâm $O$ là $\left( {{d}’} \right)$ thì ${M}’\left( {x}’;\,{y}’ \right)\in \left( {{d}’} \right)$
Vậy ảnh của đường thẳng $\left( d \right)$qua phép đối xứng tâm $O$là $\left( {{d}’} \right):\,3x+2y-5=0$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là C.
Bài tập 4:
Phép đối xứng tâm $I\left( a;b \right)$ biến điểm $A\left( 1;3 \right)$ thành điểm ${A}’\left( 1;7 \right)$. Tính tổng $T=a+b$.
A. $T=8.$ B. $T=4.$ C. $T=7.$ D. $T=6.$
Lời giải
Phép đối xứng tâm $I\left( a;b \right)$biến điểm $A\left( 1;3 \right)$thành ${A}’\left( 1;7 \right)$ nên ta có $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $A{A}’$.
Do đó: $\left\{ \begin{align}& {{x}_{I}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{A’}}}{2} \\& {{y}_{I}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{A’}}}{2} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}_{I}}=\frac{1+1}{2}=1 \\& {{y}_{I}}=\frac{3+7}{2}=5 \\\end{align} \right.$.
Vậy $I\left( 1;5 \right)\Rightarrow a=1;b=5\Rightarrow T=a+b=1+5=6$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là D.
Bài tập 5:
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $(C):{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}=18$, phép đối xứng tâm $I(1;-4)$ biến đường tròn $\left( C \right)$ thành đường thẳng $\left( {{C}’} \right)$ có phương trình là
A. $(C’):{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y-13 \right)}^{2}}=18$. B. $(C’):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-13 \right)}^{2}}=18$.
C. $(C’):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+13 \right)}^{2}}=18$. D. $(C’):{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y+13 \right)}^{2}}=18$.
Lời giải
Gọi $M(x,y)\in (C),\text{ }M'(x’,y’)\in (C’)$ sao cho Đ$_{I}(M)=M’.$
Do đó $I$ là trung điểm của $MM’$ nên $\left\{ \begin{align}& x’+x=2 \\& y’+y=-8 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=-x’+2 \\& y=-y’-8 \\\end{align} \right.$
Mà $M\in (C):{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}=18\Rightarrow {{\left( -x’+2+2 \right)}^{2}}+{{\left( -y’-8-5 \right)}^{2}}=18$
$\Leftrightarrow {{\left( x’-4 \right)}^{2}}+{{\left( y’+13 \right)}^{2}}=18.$
Vậy $(C’):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+13 \right)}^{2}}=18$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là C.
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về chuyên đề của các dạng bài tập về phép đối xứng tâm lớp 11 có lời giải chi tiết mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ về các bài toán về phép đối xứng tâm ở bên trên thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!