Bài viết sau đây xin chia sẻ đến các bạn cách giải và bài tập mẫu các dạng bài tập về đường tiệm cận thuộc chương trình Toán Lớp 12. Hy vọng qua bài viết này sẽ hỗ trợ các bạn học tốt các dạng bài tập đường tiệm cận cũng như biết cách làm các bài tập đường tiệm cận của đồ thị hàm số!
DẠNG 1. XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TIỆM CẬN THÔNG QUA BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ THỊ
Đường tiệm cận ngang
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên một khoảng vô hạn. Đường thẳng $y={{y}_{0}}$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)={{y}_{0}},\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)={{y}_{0}}$
Đường tiệm cận đứng
Đường thẳng $x={{x}_{0}}$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
$\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty ,\,\,\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty ,$$\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty ,\,\,\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty $
Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dạng $y=\frac{ax+b}{cx+d}\text{ }\left( c\ne 0;\text{ }ad-bc\ne 0 \right)$ luôn có tiệm cận ngang là $y=\frac{a}{c}$ và tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}.$
Bài tập 1: Cho hàm số có bảng biến thiên như hình sau
Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $0$ là
A. $3$. B. $2$. C. $4$. D. $1$.
Lời giải
Vì $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=4\,,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-1\Rightarrow \,$Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là $y=-1$ và $y=4$.
$\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \,,\,\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \Rightarrow \,$Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-1$.
$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \,,\,\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \Rightarrow \,$Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1$.
Nên đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.
Bài tập 2: Cho hàm số $\,y\,=f\left( \,x\, \right)$ có bảng biến như sau:
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là:
A. 3 B. 1. C. 4. D. 2.
Lời giải
Chọn A
Từ bảng biến thiên của hàm số ta có:
+$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=0 ;\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=0\Rightarrow \, $đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y=0$ là tiệm cận ngang.
+$\underset{x\to {{\left( -3 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty ;\underset{x\to {{\left( -3 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,=-\infty \Rightarrow $đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=-3$là tiệm cận đứng.
+$\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty ;\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,=-\infty \Rightarrow $đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=3$là tiệm cận đứng.
Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 3.
Bài tập 3: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A. $4$. B. $2$. C. $3$. D. $1$.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=0$ nên đường thẳng $y=0$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$.
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty $ nên đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ không có tiệm cận ngang khi $x\to +\infty $.
$\underset{x\to -{{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty $, $\underset{x\to -{{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty $ nên đường thẳng $x=-2$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$.
$\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty $, $\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty $ nên đường thẳng $x=2$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$.
Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là 3 tiệm cận.
Xem thêm: Bài tập mẫu tìm m để hàm số có tiệm cận ngang
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỒ THỊ HÀM SỐ THÔNG HÀM SỐ CHO TRƯỚC
Xác định đường tiệm cận ngang
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có TXD: $D$
Điều kiện cần: $D$ phải chứa $+\infty $ hoặc $-\infty $
Điều kiện đủ:
Dạng 1. $y=f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$.
- Nếu $degP\left( x \right)>degQ\left( x \right):$thì không có tiệm cận ngang
- Nếu $degP\left( x \right)>degQ\left( x \right):$TCN $y=0$
- Nếu $degP\left( x \right)=degQ\left( x \right):$$y=k$
Dạng 2: $y=f(x)=u-\sqrt{v}$ : Nhân liên hợp$\Rightarrow y=f(x)=\frac{{{u}^{2}}-v}{u+\sqrt{v}}$
Xác định đường tiệm cận đứng
Cho hàm số $y=\frac{P\left( x \right)}{Q\left( x \right)}$ có TXD: $D$
Đkiện cần: giải $Q\left( x \right)=0\Leftrightarrow x={{x}_{0}}$ là TCĐ khi thỏa mãn đk đủ
Đkiện đủ:
Đkiện 1: ${{x}_{0}}$ làm cho $P(x)$ và $Q(x)$xác định.
Đkiện 2: – ${{x}_{0}}$ không phải nghiêm $P(x)\Rightarrow x={{x}_{0}}$ là TCĐ
-${{x}_{0}}$ là nghiêm $P(x)\Rightarrow x={{x}_{0}}$ là TCĐ nếu $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty $
Bài tập 1: Đồ thị hàm số $y=\frac{5x+1-\sqrt[{}]{x+1}}{{{x}^{2}}+2x}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
A. $3$ B. $0$ C. $2$ D. $1$
Lời giải
Chọn D
Tập xác định: $D=\left[ -1\,;\,+\infty \right)\backslash \left\{ 0\, \right\}$.
- $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y$$=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{5x+1-\sqrt[{}]{x+1}}{{{x}^{2}}+2x}$$=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{5}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}-\sqrt[{}]{\frac{1}{{{x}^{3}}}+\frac{1}{{{x}^{4}}}}}{1+\frac{2}{x}}$$=0$$\Rightarrow y=0$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
- $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,y$$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{5x+1-\sqrt[{}]{x+1}}{{{x}^{2}}+2x}$$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( 5x+1 \right)}^{2}}-x-1}{\left( {{x}^{2}}+2x \right)\left( 5x+1+\sqrt[{}]{x+1} \right)}$$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{25{{x}^{2}}+9x}{\left( {{x}^{2}}+2x \right)\left( 5x+1+\sqrt[{}]{x+1} \right)}$$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{25x+9}{\left( x-2 \right)\left( 5x+1+\sqrt[{}]{x+1} \right)}$$=\frac{-9}{4}$
$\Rightarrow x=0$ không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có tất cả $1$ đường tiệm cận.
Bài tập 2: Có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên thuộc khoảng $\left( -10\,;\,10 \right)$ để đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x(x-m)}-1}{x+2}$ có đúng ba đường tiệm cận?
A. $12$ B. $11$. C. $0$. D. $10$.
Lời giải
Chọn A
Xét $g\left( x \right)=\sqrt{x\left( x-m \right)}-1$.
Ta có $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x(x-m)}-1}{x+2}=1$ và $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x(x-m)}-1}{x+2}=-1$. Nên đồ thị hàm số luôn có hai đường tiệm cận ngang $y=1$ và$y=-1$.
Trường hợp 1: $m=0$ khi đó hàm số là $y=\frac{\left| x \right|-1}{x+2}$. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=-2$.
Vậy $m=0$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Trường hợp 2: $m>0$. Hàm số $g\left( x \right)$ có tập xác định là $D=\left( -\infty \,;\,0 \right]\cup \left[ m\,;\,+\infty \right)$.
$x=-2\in D$. $g(-2)=\sqrt{2\left( m+2 \right)}-1\ne 0$ nên $x=-2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Vậy $m=1$, $m=2$,.$m=9$ thỏa mãn. Nên có $9$ giá trị $m$.
Trường hợp 3: $m<0$. Hàm số $g\left( x \right)$ có tập xác định là $D=\left( -\infty \,;\,m \right]\cup \left[ 0\,;\,+\infty \right)$.
Để $x=-2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì trước hết $x=-2\in D$ hay $m\ge -2$. Nên chỉ có $m=-2$, $m=-1$ thỏa mãn
Với $m=-1$ ta có $g(x)=\sqrt{x\left( x+1 \right)}-1$, $g(-2)=\sqrt{2}-1\ne 0$nên $x=-2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Với $m=-2$ ta có $g(x)=\sqrt{x\left( x+2 \right)}-1$, $g(-2)=\sqrt{x\left( x+2 \right)}-1=-1\ne 0$ nên $x=-2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy $12$ giá trị $m$ nguyên thỏa mãn yêu cầu.
Bài tập 3: Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ sao cho đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}{x+1}$ có đúng một đường tiệm cận.
A. $-1\le m<0$ B. $-1\le m\le 0$. C. $m<-1$. D. $m>0$.
Lời giải
Chọn A
Nếu $m=0$ thì $y=\frac{1}{x+1}$. Hàm số này có tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}$.
Ta có $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x+1}=0$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y=0$.
$\underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x+1}=+\infty $ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-1$.
Vậy với $m=0$ thì đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận .
Nếu $m>0$ thì $m{{x}^{2}}+1>0$ với mọi $x$ và tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}$.
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}{x+1}$$=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{m+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}{1+\frac{1}{x}}=\sqrt{m}$, $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}{x+1}$$=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-\sqrt{m+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}{1+\frac{1}{x}}=-\sqrt{m}$. Suy ra đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là $y=\sqrt{m}$ và $y=-\sqrt{m}$.
$\underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}{x+1}=+\infty $ nên $x=-1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy $m>0$ không thỏa mãn.
Nếu $m<0$ thì tập xác định của hàm số là $D=\left[ -\sqrt{-\frac{1}{m}};\,\sqrt{-\frac{1}{m}} \right]\backslash \left\{ -1 \right\}$.
Trường hợp này đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Để đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có một tiệm cận đứng. Điều này xảy ra khi
$-\sqrt{-\frac{1}{m}}\le -1$ $\Leftrightarrow \sqrt{-\frac{1}{m}}\ge 1$$\Leftrightarrow -\frac{1}{m}\ge 1$$\Leftrightarrow m\ge -1$.
Vậy với $-1\le m<0$ thì đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận.
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ $g\left( x \right)$ KHI BIẾT BẢNG BIẾN THIÊN HÀM SỐ $f\left( x \right)$
Bài tập 1: Cho đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)=\frac{3x-1}{x-1}$. Khi đó đường thẳng nào sau đây là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{f\left( x \right)-2}$?
A. $x=1$. B. $x=-2$. C. $x=-1$. D. $x=2$.
Lời giải
$f\left( x \right)=2\Leftrightarrow \frac{3x-1}{x-1}=2$$\Rightarrow 3x-1=2x-2\Leftrightarrow x=-1$.
Với $y=\frac{1}{f\left( x \right)-2}$ ta có $\underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty ;\,\,\underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty $
Vậy đồ thị hàm số $y=\frac{1}{f\left( x \right)-2}$ có đường tiệm cận đứng $x=-1$.
Bài tập 2: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$có bảng biến thiên như hình dưới đây.
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2f\left( x \right)-1}$ là
A. $0.$ B. $1.$ C. $2.$ D. $3.$
Lời giải
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2f\left( x \right)-1}$ đúng bằng số nghiệm thực của phương trình $2f\left( x \right)-1=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=\frac{1}{2}$.
Mà số nghiệm thực của phương trình $f\left( x \right)=\frac{1}{2}$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ với đường thẳng $y=\frac{1}{2}$.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng $y=\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại 2 điểm phân biệt. Vậy đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2f\left( x \right)-1}$ có 2 tiệm cận đứng.
Lại có $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2f\left( x \right)-1}=1\Rightarrow $ đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là $y=1$.
Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2f\left( x \right)-1}$ là $3$.
Bài tập 3: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình bên dưới:
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2f\left( x \right)-1}$là:
A. $4$. B. $3$. C. $1$. D. $2$.
Lời giải
Đặt $h\left( x \right)=\frac{1}{2f\left( x \right)-1}$.
*) Tiệm cận ngang:
Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,h\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2f\left( x \right)-1}=0$.
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,h\left( x \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2f\left( x \right)-1}=0$.
Suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang $y=0$.
*) Tiệm cận đứng:
Xét phương trình: $2f\left( x \right)-1=0$$\Leftrightarrow f\left( x \right)=\frac{1}{2}$.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình $f\left( x \right)=\frac{1}{2}$ có ba nghiệm phân biệt $a,\,\,b,\,\,c$ thỏa mãn $a<1<b<2<c$.
Đồng thời $\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,h\left( x \right)=\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,h\left( x \right)=\underset{x\to {{c}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,h\left( x \right)=+\infty $ nên đồ thị hàm số $y=h\left( x \right)$ có ba đường tiệm cận đứng là $x=a$, $x=b$ và $x=c$.
Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=h\left( x \right)$ là 4.
