Các dạng bài tập về cực trị hàm số

Với bài tập tìm cực trị của hàm số và cách giải môn Toán lớp 12 bao gồm đầy đủ các phương pháp giải, và bài tập mẫu có lời giải chi tiết sẽ giúp các em học sinh ôn tập và biết cách làm các dạng bài trắc nghiệm. luyện tập về các dạng bài tập về cực trị hàm số để từ đó đạt điểm cao trong kì thi môn Toán lớp 12!

DẠNG 1. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ $f\left( x \right);{f}’\left( x \right)$

Định lí cực trị

$\centerdot $ Điều kiện cần (định lí 1): Nếu hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(a;b)$ và đạt cực đại

(hoặc cực tiểu) tại ${{x}_{\circ }}$ thì ${f}'({{x}_{\circ }})=0.$

$\centerdot $ Điều kiện đủ (định lí 2):

Nếu ${f}'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi $x$ đi qua điểm ${{x}_{\circ }}$ (theo chiều tăng) thì hàm số $y=f(x)$

đạt cực tiểu tại điểm ${{x}_{\circ }}.$

Nếu ${f}'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi $x$ đi qua điểm ${{x}_{\circ }}$ (theo chiều tăng) thì hàm số $y=f(x)$

đạt cực đại tại điểm ${{x}_{\circ }}.$

$\centerdot $ Định lí 3: Giả sử $y=f(x)$ có đạo hàm cấp $2$ trong khoảng $({{x}_{\circ }}-h;\text{ }{{x}_{\circ }}+h),$ với $h>0.$ Khi đó:

Nếu ${y}'({{x}_{\circ }})=0,\text{ }{y}”({{x}_{\circ }})>0$ thì ${{x}_{\circ }}$ là điểm cực tiểu.

Nếu ${y}'({{x}_{o}})=0,\text{ }{y}”({{x}_{o}})<0$ thì ${{x}_{\circ }}$ là điểm cực đại.

Các THUẬT NGỮ về cực trị hàm số cần nhớ

$\centerdot $ Điểm cực đại (cực tiểu) của hàm số là ${{x}_{\circ }},$ giá trị cực đại (cực tiểu) của hàm số là $f({{x}_{\circ }})$

(hay ${{y}_{\mathsf{C}}}$ hoặc ${{y}_{\text{CT}}}).$ Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $M({{x}_{\circ }};f({{x}_{\circ }})).$

Bài tập mẫu: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$liên tục trên $\mathbb{R}$và có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số có giá trị cực đại bằng 1.                B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}$bằng $-1$.

C. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=3$            D. Hàm số chỉ có một điểm cực trị.

Lời giải

1. Dạng toán: Đây là dạng toán tìm cực trị của hàm số dựa vào bảng biến thiên
2. Phương pháp:

Áp dụng định nghĩa; định lí về cực trị của hàm số.

Áp dụng định nghĩa; quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

3. Hướng giải:

B1: Xác định cực trị theo tính chất sau:

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$xác định trên $D$.

Điểm ${{x}_{0}}\in D$là điểm cực trị của hàm số $y=f\left( x \right)$khi ${f}’\left( {{x}_{0}} \right)=0$hoặc ${f}’\left( {{x}_{0}} \right)$không xác định và ${f}’\left( x \right)$đổi dấu khi đi qua ${{x}_{0}}$.

B2: Xác định giá trị lớn nhất nhỏ nhất bằng định nghĩa

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$xác định trên $D$.

B3: Chọn ra đáp án bài toán.

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Chọn C

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=3$.

Phương án A sai vì giá trị cực đại của hàm số bằng 2.

Phương án B sai vì hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}$,$\left( \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty  \right)$.

Học sinh thường nhầm giá trị cực tiểu bằng $-1$là giá trị nhỏ nhất.

Phương án D sai vì hàm số có hai điểm cực trị.

DẠNG 2. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHI BIẾT BIỂU THỨC $f\left( x \right);{f}’\left( x \right)$

« Bài toán: Tìm các điểm cực đại, cực tiểu (nếu có) của hàm số$y=f(x).$

@ Phương pháp: Sự dụng 2 qui tắc tìm cực trị sau:

Quy tắc I: sử dụng nội dụng định lý 1

$\bullet $ Bước 1. Tìm tập xác định $D$ của hàm số.

$\bullet $ Bước 2. Tính đạo hàm ${y}’={f}'(x).$ Tìm các điểm ${{x}_{i}},\text{ }(i=1,2,3,…,n)$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

$\bullet $ Bước 3. Sắp xếp các điểm ${{x}_{i}}$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

$\bullet $ Bước 4. Từ bảng biến thiên, suy ra các điểm cực trị (dựa vào nội dung định lý 1).

Quy tắc II: sử dụng nội dụng định lý 2

$\bullet $ Bước 1. Tìm tập xác định $D$ của hàm số.

$\bullet $ Bước 2. Tính đạo hàm ${y}’={f}'(x).$ Giải phương trình ${f}'(x)=0$ và kí hiệu ${{x}_{i}},\text{ }(i=1,2,3,…,n)$ là các nghiệm của nó.

$\bullet $ Bước 3. Tính ${{f}’}'(x)$ và ${{f}’}'({{x}_{i}}).$

$\bullet $ Bước 4. Dựa vào dấu của ${{y}’}'({{x}_{i}})$ suy ra tính chất cực trị của điểm ${{x}_{i}}:$

+ Nếu ${{f}’}'({{x}_{i}})<0$ thì hàm số đạt cực đại tại điểm ${{x}_{i}}.$

+ Nếu ${{f}’}'({{x}_{i}})>0$ thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm ${{x}_{i}}.$

Bài tập mẫu: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right)=x{{\left( 1-x \right)}^{2}}{{\left( 3-x \right)}^{3}}{{\left( x-2 \right)}^{4}}$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

A. $x=2$.                                  B. $x=3$.                                 C. $x=0$.                           D. $x=1$.

Lời giải

Ta có

Bảng xét dấu đạo hàm.

Suy ra hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại $x=0$

DẠNG 3. TÌM M ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ TẠI $x={{x}_{0}}$

Bước 1. Tính $y’\left( {{x}_{0}} \right),y”\left( {{x}_{0}} \right)$

Bước 2. Giải phương trình $y’\left( {{x}_{0}} \right)=0\Rightarrow m?$

DẠNG 3.1: HÀM SỐ BẬC 3

Bài tập mẫu: Tìm giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-4 \right)x+3$ đạt cực đại tại$x=3$.

A. $m=-1$                              B. $m=-7$                               C. $m=5$                                D. $m=1$

Lời giải

Chọn C

Ta có ${y}’={{x}^{2}}-2mx+\left( {{m}^{2}}-4 \right)$; ${{y}’}’=2x-2m$.

Vậy $m=5$ là giá trị cần tìm.

Xem thêm: Cách giải và bài tập mẫu cực trị của hàm số bậc 3

DẠNG 3.2: HÀM SỐ ĐA THỨC BẬC CAO, HÀM CĂN THỨC …

Bài tập mẫu: Xác định tham số m sao cho hàm số $y=x+m\sqrt{x}$ đạt cực trị tại $x=1$.

A. $m=-2$                          B. $m=2$.                           C. $m=-6$.                              D. $m=6$.

Lời giải

Chọn A

${y}’={f}’\left( x \right)=1+\frac{m}{2\sqrt{x}},\left( x>0 \right)$

Để hàm số đạt cực trị tại $x=1$ thì ${f}’\left( 1 \right)=0\Leftrightarrow 1+\frac{m}{2}=0\Leftrightarrow m=-2$.

Thử lại với $m=-2$, hàm số $y=x-2\sqrt{x}$ có cực tiểu tại $x=1$, do đó $m=-2$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

DẠNG 4. TÌM M ĐỂ HÀM SỐ CÓ N CỰC TRỊ

$\centerdot $ Hàm số có $n$ cực trị $\Leftrightarrow {y}’=0$ có $n$ nghiệm phân biệt.

$\centerdot $ Xét hàm số bậc ba $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d:$

$+$ Hàm số không có cực trị khi ${y}’=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

$\centerdot $ Xét hàm số bậc bốn trùng phương $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c.$

$+$ Hàm số có ba cực trị khi $ab<0.$ $+$ Hàm số có $1$ cực trị khi

Bài tập mẫu: Biết rằng hàm số $y={{\left( x+a \right)}^{3}}+{{\left( x+b \right)}^{3}}-{{x}^{3}}$ có hai điểm cực trị. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $ab\le 0$.                       B. $ab<0$.                       C. $ab>0$.                       D. $ab\ge 0$.

Lời giải

Chọn C

Ta có $y={{x}^{3}}+3\left( a+b \right){{x}^{2}}+3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)x+{{a}^{3}}+{{b}^{3}}$.

${y}’=3{{x}^{2}}+6\left( a+b \right)x+3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$.

Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi ${y}’$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {\Delta }’=18ab>0$$\Leftrightarrow ab>0$.

DẠNG 5. ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA 2 ĐIỂM CỰC TRỊ

Phương trình hai đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số bậc ba là phần dư của phép chia của $y$ cho $y’$

$\circ $ Đường thẳng qua 2 điểm cực trị là $y=h(x). $

Bài tập mẫu: Tìm giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $y=\left( 2m-1 \right)x+m+3$ song song với đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$

A. $m=\frac{3}{4}$.            B. $m=\frac{1}{2}$.           C. $m=-\frac{3}{4}$.             D. $m=-\frac{1}{2}$.

Lời giải

Chọn D

Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A\left( 0;1 \right)$, $B\left( 2;-3 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 2;-4 \right)$.

Đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A$, $B$ có phương trình: $\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-4}\Leftrightarrow y=-2x+1$.

DẠNG 6. TÌM M ĐỂ HÀM SỐ BẬC 3 CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

« Bài toán tổng quát: Cho hàm số $y=f(x;m)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d.$ Tìm tham số m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị ${{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}$ thỏa mãn điều kiện K cho trước?

@ Phương pháp:

— Bước 1. Tập xác định $D=\mathbb{R}.$ Tính đạo hàm: ${y}’=3a{{x}^{2}}+2bx+c.$

— Bước 2. Để hàm số có 2 cực trị  có 2 nghiệm phân biệt  và giải hệ này sẽ tìm được $m\in {{D}_{1}}.$

— Bước 3. Gọi  là 2 nghiệm của phương trình  Theo Viét, ta có:

— Bước 4. Biến đổi điều kiện $K$ về dạng tổng S và tích P. Từ đó giải ra tìm được $m\in {{D}_{2}}.$

— Bước 5. Kết luận các giá trị m thỏa mãn: $m={{D}_{1}}\cap {{D}_{2}}.$

& Lưu ý:

— Hàm số bậc 3 không có cực trị $\Leftrightarrow $ ${y}’=0$ không có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {{\Delta }_{{{y}’}}}\le 0.$

— Trong trường hợp điều kiện K liên quan đến hình học phẳng, tức là cần xác định tọa độ 2 điểm cực trị $A({{x}_{1}};{{y}_{1}}),\text{ }B({{x}_{2}};{{y}_{2}})$ với ${{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}$ là 2 nghiệm của ${y}’=0.$ Khi đó có 2 tình huống thường gặp sau:

$\bullet $ Nếu giải được nghiệm của phương trình ${y}’=0,$ tức tìm được ${{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}$ cụ thể, khi đó ta sẽ thế vào hàm số đầu đề $y=f(x;m)$ để tìm tung độ ${{y}_{1}},\text{ }{{y}_{2}}$ tương ứng của A và B.

$\bullet $ Nếu tìm không được nghiệm ${y}’=0,$ khi đó gọi 2 nghiệm là ${{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}$ và tìm tung độ ${{y}_{1}},\text{ }{{y}_{2}}$ bằng cách thế vào phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị.

Để viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị, ta thường dùng phương pháp tách đạo hàm (phần dư bậc nhất trong phép chia $y$ cho ${y}’)$, nghĩa là:

Đường thẳng qua 2 điểm cực trị là $y=h(x).$

Dạng toán: Tìm tham số m để các hàm số sau có cực trị thỏa điều kiện cho trước (cùng phía, khác phía d):

Vị trí tương đối giữa 2 điểm với đường thẳng:

Cho 2 điểm $A({{x}_{A}};{{y}_{A}}),\text{ }B({{x}_{B}};{{y}_{B}})$ và đường thẳng $d:ax+by+c=0.$ Khi đó:

$\bullet $ Nếu $(a{{x}_{A}}+b{{y}_{A}}+c)\cdot (a{{x}_{B}}+b{{y}_{B}}+c)<0$ thì $A,\text{ }B$ nằm về 2 phía so với đường thẳng $d.$

$\bullet $ Nếu $(a{{x}_{A}}+b{{y}_{A}}+c)\cdot (a{{x}_{B}}+b{{y}_{B}}+c)>0$ thì $A,\text{ }B$ nằm cùng phía so với đường $d.$

Trường hợp đặc biệt:

$\bullet $ Để hàm số bậc ba $y=f(x)$ có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục tung $Oy\Leftrightarrow $ phương trình ${y}’=0$ có 2 nghiệm trái dấu và ngược lại.

$\bullet $ Để hàm số bậc ba $y=f(x)$ có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục hoành $Ox\Leftrightarrow $ đồ thị hàm số $y=f(x)$ cắt trục $Ox$ tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow $ phương trình hoành độ giao điểm $f(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt (áp dụng khi nhẩm được nghiệm).

Dạng toán: Tìm m để các hàm số sau có cực trị thỏa điều kiện cho trước (đối xứng và cách đều):

« Bài toán 1. Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị $A,\text{ }B$ đối xứng nhau qua đường $d:$

— Bước 1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu $\Rightarrow m\in {{D}_{1}}.$

— Bước 2. Tìm tọa độ 2 điểm cực trị $A,\text{ }B.$ Có 2 tình huống thường gặp:

+ Một là ${y}’=0$ có nghiệm đẹp ${{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}},$ tức có $A({{x}_{1}};{{y}_{1}}),\text{ }B({{x}_{2}};{{y}_{2}}).$

+ Hai là ${y}’=0$ không giải ra tìm được nghiệm. Khi đó ta cần viết phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị là $\Delta $ và lấy $A({{x}_{1}};{{y}_{1}}),\text{ }B({{x}_{2}};{{y}_{2}})\in \Delta .$

— Bước 3. Gọi $I\left( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2};\frac{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}}{2} \right)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB.$

— Bước 4. Kết luận $m={{D}_{1}}\cap {{D}_{2}}.$

« Bài toán 2. Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị $A,\text{ }B$ cách đều đường thẳng $d:$

— Bước 1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu $\Rightarrow m\in {{D}_{1}}.$

— Bước 2. Tìm tọa độ 2 điểm cực trị $A,\text{ }B.$ Có 2 tình huống thường gặp:

+ Một là ${y}’=0$ có nghiệm đẹp ${{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}},$ tức có $A({{x}_{1}};{{y}_{1}}),\text{ }B({{x}_{2}};{{y}_{2}}).$

+ Hai là ${y}’=0$ không giải ra tìm được nghiệm. Khi đó ta cần viết phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị là $\Delta $ và lấy $A({{x}_{1}};{{y}_{1}}),\text{ }B({{x}_{2}};{{y}_{2}})\in \Delta .$

— Bước 3. Do $A,\text{ }B$ cách đều đường thẳng $d$ nên $d(A;d)=d(B;d)\Rightarrow m\in {{D}_{2}}.$

— Bước 4. Kết luận $m={{D}_{1}}\cap {{D}_{2}}.$

F Lưu ý: Để 2 điểm $A,\text{ }B$ đối xứng nhau qua điểm $I\Leftrightarrow I$ là trung điểm $AB.$

Bài tập mẫu: Với giá trị nào của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m$ có hai điểm cực trị $A$, $B$ thỏa mãn $OA=OB$ ($O$ là gốc tọa độ)?

A. $m=\frac{3}{2}$.              B. $m=3$.            C. $m=\frac{1}{2}$.             D. $m=\frac{5}{2}$.

Lời giải

Chọn D

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Do đó đồ thị hàm số đã cho luôn có hai điểm cực trị lần lượt có tọa độ là $A\left( 0;m \right)$ và $B\left( 2;-4+m \right)$.

Ta có $OA=OB\Leftrightarrow \sqrt{{{0}^{2}}+{{m}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( 4-m \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}=4+{{\left( 4-m \right)}^{2}}$$\Leftrightarrow 20-8m=0\Leftrightarrow m=\frac{5}{2}$.

DẠNG 7. TÌM M ĐỂ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Một số công thức tính nhanh “thường gặp“

liên quan cực trị hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$

$A(0;c),B\left( -\sqrt{-\frac{b}{2a}};-\frac{\Delta }{4a} \right),C\left( \sqrt{-\frac{b}{2a}};-\frac{\Delta }{4a} \right)\Rightarrow AB=AC=\sqrt{\frac{{{b}^{4}}}{16{{a}^{2}}}-\frac{b}{2a}},BC=2\sqrt{-\frac{b}{2a}}$

với $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$

Phương trình qua điểm cực trị: $BC:y=-\frac{\Delta }{4a}$ và $AB,AC:y=\pm {{\left( \sqrt{\frac{-b}{2a}} \right)}^{3}}x+c$

Gọi $\widehat{BAC}=\alpha $, luôn có: $8a(1+cos\alpha )+{{b}^{3}}(1-cos\alpha )=0\Rightarrow cos\alpha =\frac{{{b}^{3}}+8a}{{{b}^{3}}-8a}$ và ${{S}^{2}}=-\frac{{{b}^{5}}}{32{{a}^{3}}}$

Phương trình đường tròn đi qua $A,B,C:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-\left( c+n \right)x+c.n=0,$ với $n=\frac{2}{b}-\frac{\Delta }{4a}$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là $R=\left| \frac{{{b}^{3}}-8a}{8ab} \right|$

Bài tập mẫu: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2$. Diện tích $S$ của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho có giá trị là

1. $S=3$. B. $S=\frac{1}{2}$. C. $S=1$.                      D. $S=2$.

Lời giải

Tập xác định $D=\mathbb{R}$.

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị $A\left( 0;2 \right)$, $B\left( -1;1 \right)$, $C\left( 1;1 \right)$.

Nhận xét $\Delta ABC$ cân tại $A$. Vì vậy $S=\frac{1}{2}\left| {{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right|.\left| {{x}_{C}}-{{x}_{B}} \right|=\frac{1}{2}.1.2=1$.

DẠNG 8. TÌM M ĐỂ HÀM SỐ BẬC 2 TRÊN BẬC 1 CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN YÊU CẦU BÀI TOÁN

Bài tập mẫu: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+2x+3}{2x+1}$.

A. $y=2x+2$. B. $y=x+1$. C. $y=2x+1$.                D. $y=1-x$.

Lời giải

 Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{1}{2} \right\}$.

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $M\left( 1;2 \right)$ và $N\left( -2;-1 \right)$.

 Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị $M,N$ của đồ thị hàm số đã cho là: $y=x+1$.

Cách khác:

 Áp dụng tính chất: Nếu ${{x}_{0}}$ là điểm cực trị của hàm số hữu tỷ $y=\frac{u\left( x \right)}{v\left( x \right)}$ thì giá trị cực trị tương ứng của hàm số là ${{y}_{0}}=\frac{u\left( {{x}_{0}} \right)}{v\left( {{x}_{0}} \right)}=\frac{{u}’\left( {{x}_{0}} \right)}{{v}’\left( {{x}_{0}} \right)}$. Suy ra với bài toán trên ta có phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $y=\frac{{{\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)}^{\prime }}}{{{\left( 2x+1 \right)}^{\prime }}}=x+1$.

DẠNG 9. BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài toán: Đồ thị hàm số $y=\left| f(x) \right|$ có bao nhiêu điểm cực trị

(Áp dụng định nghĩa). $y=f(x)=\sqrt{{{f}^{2}}(x)}\Rightarrow {y}’=\frac{2f(x).{f}'(x)}{\sqrt{{{f}^{2}}(x)}}$

Số nghiệm của $\left( 1 \right)$chính là số giao điểm của đồ thị $y=f(x)$ và trục hoành $y=0$. Còn số nghiệm của $\left( 2 \right)$ là số cực trị của hàm số $y=f(x)$, dựa vào đồ thị suy ra $\left( 2 \right)$. Vậy tổng số nghiệm bội lẻ của $\left( 1 \right)$và $\left( 2 \right)$chính là số cực trị cần tìm.

Bài tập mẫu: Cho hàm số ${y = f ( x )}$có bảng biến thiên như sau.

Hàm số$y=f\left( \left| x-3 \right| \right)$có bao nhiêu điểm cực trị

A. $5$                            B. $6$                               C. $3$                                 D. $1$

Lời giải

Chọn C

$y=f\left( \left| x-3 \right| \right)\,\,\,\,\left( 1 \right)$, Đặt $t=|x-3|,\,t\ge 0$Thì (1) trở thành:${y = f ( t ) ( t \geq 0 )}$

Có $t=\sqrt{{{(x-3)}^{2}}}\Rightarrow t’=\frac{x-3}{\sqrt{{{(x-3)}^{2}}}}$

Có ${y _ { x } ^ { \prime } = t _ { x } ^ { \prime } f ^ { \prime } ( t )}$

Lấy x=8 có $t'(8)f'(5)>0$, đạo hàm đổi dấu qua các nghiệm đơn nên ta có bảng biến thiên:

Dựa vào BBT thì hàm số$y=f\left( \left| x-3 \right| \right)$có 3 cực trị.

DẠNG 10. SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM HỢP

Bài toán: Cho hàm số  (Đề có thể cho bằng hàm, đồ thị, bảng biến thiên của ). Tìm số điểm cực trị của hàm số  trong đó   là một hàm số đối với

Ta thực hiện phương pháp tương tự xét số điểm cực trị của hàm số

• Bước 1. Tính đạo hàm
• Bước 2. Giải phương trình
• Bước 3.Tìm số nghiệm đơn và bội lẻ hoặc các điểm mà   không xác định.

Bài tập mẫu: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm đến cấp hai trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu của hàm số $y=f’\left( x \right)$ như hình sau:

Hỏi hàm số $g\left( x \right)=f\left( 1-x \right)+\frac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+3x$ đạt cực tiểu tại điểm nào trong các điểm sau?

A. $x=3$                       B. $x=0$.                     C. $x=-3$.                        D. $x=1$.

Lời giải

Chọn A

${g}’\left( x \right)=-{f}’\left( 1-x \right)+{{x}^{2}}-4x+3$.

Bảng xét dấu ${g}’\left( x \right)$:

Từ bảng xét dấu ${g}’\left( x \right)$ ta suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$.

DẠNG 11. TÌM M ĐỂ HÀM SỐ $f\left( u\left( x \right) \right)$THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Bài tập mẫu: Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$có đồ thị của hàm đạo hàm ${f}’\left( x \right)$ như hình vẽ và $f\left( b \right)=1$.Số giá trị nguyên của $m\in \left[ -5;5 \right]$ để hàm số $g\left( x \right)=\left| {{f}^{2}}\left( x \right)+4f\left( x \right)+m \right|$ có đúng 5 điểm cực trị là

A. $8$.                  B. $10$.                 C. $9$.                          D. $7$.

Lời giải

Chọn C

Ta có bảng biến thiên của $f\left( x \right)$:

Xét hàm số $h\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)+4f\left( x \right)+m$

Pt có $3$ nghiệm phân biệt $\Rightarrow $có $3$ điểm cực trị

Xét$h\left( x \right)=0$

$\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)+4f\left( x \right)=-m\left( 2 \right)$

Để $g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|$có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi PT $\left( 2 \right)$có 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ phân biệt

Xét hàm số $t\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)+4f\left( x \right)$

Ta có Bảng biến thiên của $t\left( x \right)$:

Từ YCBT $\Leftrightarrow t\left( x \right)=-m$có hai nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ pb

$\Leftrightarrow m\in \left\{ -5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3 \right\}.$

Xem thêm:

Cách giải và bài tập mẫu tìm m để hàm số có cực trị

Lý thuyết và bài tập mẫu tìm cực trị của hàm số