Bài viết hướng dẫn cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số, bài tập mẫu tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên khoảng, đoạn,… Mời các bạn theo dõi!
DẠNG 1. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ THÔNG QUA ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN THIÊN
- Giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ a\,;\,b \right]$
Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ a\,;\,b \right]$ và ${f}’\left( {{x}_{i}} \right)=0,\,{{x}_{i}}\in \left[ a\,;\,b \right]$. Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right)$ là $M=\text{max}\left\{ f\left( a \right),\,f\left( b \right),\,f\left( {{x}_{i}} \right) \right\}$
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ a\,;\,b \right]$
Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ a\,;\,b \right]$ và ${f}’\left( {{x}_{i}} \right)=0,\,{{x}_{i}}\in \left[ a\,;\,b \right]$. Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)$ là $m=Min\left\{ f\left( a \right),\,f\left( b \right),\,f\left( {{x}_{i}} \right) \right\}$
- Hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên đoạn $\left[ a\,;\,b \right]$ thì $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{Max}}\,f\left( x \right)=f\left( b \right);\,\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{Min}}\,f\left( x \right)=f\left( a \right)$
- Hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến trên đoạn $\left[ a\,;\,b \right]$ thì $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{Max}}\,f\left( x \right)=f\left( a \right);\,\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{Min}}\,f\left( x \right)=f\left( b \right)$
Bài tập mẫu: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ -3;2 \right]$ và có bảng biến thiên như sau. Gọi $M,\,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ -1;\,2 \right]$. Tính $M+m$.
A. $3$ B. $2$. C. $1$. D. $4$.
Lời giải
Trên đoạn $\left[ -1;\,2 \right]$ ta có giá trị lớn nhất $M=3$ khi $x=-1$ và giá trị nhỏ nhất $m=0$ khi $x=0$.
Khi đó $M+m=3+0=3$.
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN ĐOẠN
Bước 1: Hàm số đã cho $y=f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right].$
Tìm các điểm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}}$ trên khoảng $\left( a;b \right)$, tại đó ${f}’\left( x \right)=0$ hoặc ${f}’\left( x \right)$ không xác định.
Bước 2: Tính $f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),…,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right).$
Bước 3: Khi đó:
$\underset{\left[ a,b \right]}{\mathop{\text{max}}}\,f\left( x \right)=\text{max}\left\{ f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),…,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( a \right),f\left( b \right) \right\}.$$\underset{\left[ a,b \right]}{\mathop{\text{min}}}\,f\left( x \right)=\text{min}\left\{ f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),…,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( a \right),f\left( b \right) \right\}.$
Bài tập mẫu: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y={{x}^{2}}+\frac{2}{x}$ trên đoạn $\left[ 2\,;\,3 \right]$ bằng
A. $\frac{15}{2}$. B. $5$. C. $\frac{29}{3}$. D. $3$.
Lời giải
Chọn B
+ Ta có hàm số $y=f(x)={{x}^{2}}+\frac{2}{x}$ xác định và liên tục trên $\left[ 2\,;\,3 \right]$.
+ $y’=f'(x)=2x-\frac{2}{{{x}^{2}}}$; $f'(x)=0\Leftrightarrow x=1\notin \left[ 2\,;\,3 \right]$ mà $f(2)=5$, $f(3)=\frac{29}{3}$.
+ Vậy $\underset{\left[ 2\,;\,3 \right]}{\mathop{\min }}\,y=5$ tại $x=2$.
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN KHOẢNG $\left( a;b \right)$.
Bước 1: Tính đạo hàm ${f}'(x)$.
Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm ${{x}_{i}}\in (a;b)$ của phương trình ${f}'(x)=0$ và tất cả các điểm ${{\alpha }_{i}}\in (a;b)$ làm cho ${f}'(x)$ không xác định.
Bước 3. Tính $A=\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$, $B=\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$, $f({{x}_{i}})$, $f({{\alpha }_{i}})$.
Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận $M=\underset{(a;b)}{\mathop{\max }}\,f(x)$, $m=\underset{(a;b)}{\mathop{\min }}\,f(x)$.
Nếu giá trị lớn nhất là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất .
Bài tập mẫu: Gọi $m$ là giá trị nhở nhất của hàm số $y=x+\frac{4}{x}$ trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$. Tìm $m$
A. $m=4$ B. $m=2$. C. $m=1$. D. $m=3$.
Lời giải
Bảng biến thiên:
Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $y(2)=4\Rightarrow m=4.$
DẠNG 4. ĐỊNH M ĐỂ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Bước 1. Tìm nghiệm ${{x}_{i}}(i=1,2,…)$ của ${y}’=0$ thuộc $\left[ a;b \right]$
Bước 2. Tính các giá trị $f\left( {{x}_{i}} \right);f\left( a \right);f\left( b \right)$ theo tham số
Bước 3. So sánh các giá trị, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Bước 4. Biện luận m theo giả thuyết đề để kết luận
Lưu ý:
- Hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên đoạn $\left[ a\,;\,b \right]$ thì $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{Max}}\,f\left( x \right)=f\left( b \right);\,\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{Min}}\,f\left( x \right)=f\left( a \right)$
- Hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến trên đoạn $\left[ a\,;\,b \right]$ thì $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{Max}}\,f\left( x \right)=f\left( a \right);\,\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{Min}}\,f\left( x \right)=f\left( b \right)$
Bài tập mẫu: Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{x+m}{x+1}$trên đoạn $\left[ 1;2 \right]$ bằng $8$ ($m$ là tham số thực). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $m>10$. B. $8<m<10$. C. $0<m<4$. D. $4<m<8$.
Lời giải
Chọn B
Ta có: ${y}’=\frac{1-m}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$.
– Nếu $m=1\Rightarrow y=1$ .
– Nếu $m\ne 1$khi đó ${y}'<0,\,\forall \,x\in \left[ 1;2 \right]\,$hoặc ${y}’>0,\,\forall \,x\in \left[ 1;2 \right]\,\,$nên hàm số đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại $x=1,\,\,x=2$.
Theo bài ra: $\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }}\,y+\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,y=8\Leftrightarrow y\left( 1 \right)+y\left( 2 \right)=\frac{1+m}{2}+\frac{2+m}{3}=8\Leftrightarrow m=\frac{41}{5}\in \left( 8;10 \right)$.
DẠNG 5. ĐỊNH M ĐỂ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Dạng 1. Tìm $m$ để $\underset{\left[ \alpha ;\beta \right]}{\mathop{\max }}\,y=\left| f\left( x \right)+m \right|=a\,\,\,\,\left( a>0 \right).$
Phương pháp:
Cách 1: Trước tiên tìm $\underset{\left[ \alpha ;\beta \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underset{\left[ \alpha ;\beta \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=k\,\,\left( K>k \right).$
Kiểm tra $\max \left\{ \left| m+K \right|,\left| m+k \right| \right\}\ge \frac{\left| m+K \right|+\left| m+k \right|}{2}\,\ge \frac{\left| m+K-m-k \right|}{2}=\frac{\left| K-k \right|}{2}.$
TH2: $\frac{\left| K-k \right|}{2}>a$ $\Rightarrow m\in \varnothing $.
Cách 2: Xét trường hợp
Dạng 2: Tìm $m$ để $\underset{\left[ \alpha ;\beta \right]}{\mathop{\min }}\,y=\left| f\left( x \right)+m \right|=a\,\,\,\,\left( a>0 \right).$
Phương pháp:
Trước tiên tìm $\underset{\left[ \alpha ;\beta \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underset{\left[ \alpha ;\beta \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=k\,\,\left( K>k \right).$
Dạng 3: Tìm $m$ để $\underset{\left[ \alpha ;\beta \right]}{\mathop{\max }}\,y=\left| f\left( x \right)+m \right|$ không vượt quá giá trị $M$ cho trước.
Phương pháp: Trước tiên tìm $\underset{\left[ \alpha ;\beta \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underset{\left[ \alpha ;\beta \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=k\,\,\left( K>k \right).$
Dạng 4: Tìm $m$ để $\underset{\left[ \alpha ;\beta \right]}{\mathop{\min }}\,y=\left| f\left( x \right)+m \right|$ không vượt quá giá trị $a$ cho trước.
Phương pháp: Trước tiên tìm $\underset{\left[ \alpha ;\beta \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underset{\left[ \alpha ;\beta \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=k\,\,\left( K>k \right).$
Để
Dang 5: Tìm $m$ để $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }}\,y=\left| f\left( x \right)+m \right|$ đạt min.
Phương pháp:
Trước tiên tìm $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=k\,\,\left( K>k \right).$
Đề hỏi tìm $m\Rightarrow m=-\frac{K+k}{2}.$ Đề hỏi tìm min của $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }}\,y\Rightarrow $ giá trị này là $\frac{K-k}{2}.$
Dạng 6: Tìm $m$ để $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }}\,y=\left| f\left( x \right)+m \right|$ đạt min.
Phương pháp: Trước tiên tìm $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=k\,\,\left( K>k \right).$
Đề hỏi tìm $m\Rightarrow \left( m+K \right)\left( m+k \right)\le 0\Leftrightarrow -K\le m\le -k$. Đề hỏi tìm min của $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }}\,y\Rightarrow $ giá trị này là $0.$
Dạng 7: Cho hàm số $y=\left| f\left( x \right)+m \right|$.Tìm $m$ để $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }}\,y\le h.\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }}\,y\,\left( h>0 \right)$hoặc $Min+\max =$
Phương pháp: Trước tiên tìm $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=k\,\,\left( K>k \right).$
TH1: $\left| K+m \right|\le h\left| k+m \right|\xrightarrow[K+m\,\,\,\text{cung}\,\text{dau}\,\,k+m\,\,]{\left| K+m \right|\,\ge \,\left| k+m \right|}m\in {{S}_{1}}.$
TH2: $\left| k+m \right|\le h\left| K+m \right|\xrightarrow[K+m\,\,\,\text{cung}\,\text{dau}\,\,k+m\,\,]{\left| k+m \right|\,\ge \,\left| K+m \right|}m\in {{S}_{2}}.$
Vậy $m\in {{S}_{1}}\cup {{S}_{2}}.$
Dạng 8: Cho hàm số $y=\left| f\left( x \right)+m \right|$.
Phương pháp: Trước tiên tìm $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=k\,\,\left( K>k \right).$
BT1: Tìm $m$ để $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }}\,y+\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }}\,y=\alpha \Leftrightarrow \left| m+K \right|+\left| m+k \right|=\alpha $.
BT2: Tìm $m$ để $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }}\,y*\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }}\,y=\beta \Leftrightarrow \left| m+K \right|*\left| m+k \right|=\beta $.
Bài tập mẫu: Tìm $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left| {{x}^{3}}-3x+2m-1 \right|$ trên đoạn $\left[ 0;\,2 \right]$ là nhỏ nhất. Giá trị của $m$ thuộc khoảng nào?
A. $\left( -\frac{3}{2};\,-1 \right)$. B. $\left( \frac{2}{3};\,2 \right)$. C. $\left[ -1;\,0 \right]$. D. $\left( 0 ;\,1 \right)$.
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số $y=f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+2m-1$ trên đoạn $\left[ 0;\,2 \right]$.
Ta có $f\left( 0 \right)=2m-1$, $f\left( 1 \right)=2m-3$ và $f\left( 2 \right)=2m+1$
Suy ra $\underset{\left[ 0;\,2 \right]}{\mathop{max}}\,\left| f\left( x \right) \right|=max\left\{ \left| 2m-1 \right|;\,\left| 2m-3 \right|;\,\left| 2m+1 \right| \right\}=max\left\{ \left| 2m-3 \right|;\,\left| 2m+1 \right| \right\}=P$.
Trường hợp 1: Xét $\left| 2m-3 \right|\ge \left| 2m+1 \right|\Leftrightarrow -4\left( 4m-2 \right)\ge 0\Leftrightarrow m\le \frac{1}{2}$.
Khi đó $P=\left| 2m-3 \right|\ge 2$,$\forall m\le \frac{1}{2}$. Suy ra ${{P}_{\min }}=2\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$.
Trường hợp 2: Xét $\left| 2m-3 \right|<\left| 2m+1 \right|\Leftrightarrow -4\left( 4m-2 \right)<0\Leftrightarrow m>\frac{1}{2}$.
Khi đó $P=\left| 2m+1 \right|>2$,$\forall m>\frac{1}{2}$. Suy ra ${{P}_{\min }}$ không tồn tại.
Vậy $m=\frac{1}{2}$.
DẠNG 6. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM ẨN, HÀM HỢP
Bài tập mẫu: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$, đồ thị của hàm số $y={f}’\left( x \right)$ như hình vẽ.
Giá trị lớn nhất của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ -1;2 \right]$ là
A. $f\left( 1 \right)$ B. $f\left( -1 \right)$. C. $f\left( 2 \right)$. D. $f\left( 0 \right)$.
Lời giải
Từ đồ thị hàm $y={f}’\left( x \right)$ ta có bảng biến thiên
Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của hàm số trên $\left[ -1;\,2 \right]$ là $f\left( 1 \right)$.
DẠNG 7. ỨNG DỤNG GTLN-GTNN GIẢI BÀI TOÁN THỰC TẾ
Bài tập mẫu: Cho số $a>0$. Trong số các tam giác vuông có tổng một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng $a$, tam giác có diện tích lớn nhất bằng
A. $\frac{\sqrt{3}}{3}{{a}^{2}}$. B. $\frac{\sqrt{3}}{6}{{a}^{2}}$. C. $\frac{\sqrt{3}}{9}{{a}^{2}}$. D. $\frac{\sqrt{3}}{18}{{a}^{2}}$.
Lời giải
Chọn D
Giả sử tam giác $ABC$ vuông ở $A$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Giả sử $AB+BC=a$$\Rightarrow AB=a-BC$
Đặt $BC=x;\,0<x<a$.
$\Rightarrow AB=a-x$ và $AC=\sqrt{{{x}^{2}}-{{\left( a-x \right)}^{2}}}=\sqrt{2ax-{{a}^{2}}}$
Diện tích tam giác $ABC$ là $S=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}\left( a-x \right)\sqrt{2ax-{{a}^{2}}}$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{2}\left( a-x \right)\sqrt{2ax-{{a}^{2}}}$
${f}’\left( x \right)=\frac{1}{2}\left( -\sqrt{2ax-{{a}^{2}}}+\left( a-x \right).\frac{a}{\sqrt{2ax-{{a}^{2}}}} \right)$$=\frac{1}{2}\left( \frac{-2ax+{{a}^{2}}+{{a}^{2}}-ax}{\sqrt{2{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}} \right)=\frac{1}{2}.\frac{2{{a}^{2}}-3ax}{\sqrt{2{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}$
${f}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\frac{2a}{3}$.
Vậy diện tích lớn nhất của tam giác $ABC$ là $S=f\left( \frac{2\text{a}}{3} \right)=\frac{\sqrt{3}}{18}{{a}^{2}}$.
DẠNG 8. DÙNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
Bài tập mẫu: Cho ba số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x\ge 0,y\ge 0,z\ge 1$, $x+y+z=2$.Biết giá trị lớn nhất của biểu thức$P=xyz$ bằng $\frac{a}{b}$ với $a,b\in {{\mathbb{N}}^{*}}$và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị của $2a+b$ bằng
A. $5$. B. $43$. C. $9$. D. $6$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: $P=xyz\le {{\left( \frac{x+y}{2} \right)}^{2}}.z={{\left( \frac{2-z}{2} \right)}^{2}}.z=\frac{1}{4}\left( 4z-4{{z}^{2}}+{{z}^{3}} \right)$.
Xét hàm số $f\left( z \right)=\frac{1}{4}\left( 4z-4{{z}^{2}}+{{z}^{3}} \right)$ trên $\left[ 1\,;\,2 \right]$.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:$P\le \frac{1}{4}$.
Xem thêm: