Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho bạn cách giải và bài tập số phức nâng cao, bài tập số phức vận dụng cao, bài tập số phức khó các dạng đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về các dạng bài tập số phức nâng cao bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán lớp 12 nhằm đạt được kết quả cao trong học tập nhé!
I. CÁCH GIẢI
1. Môđun của số phức:
Số phức $z=a+bi$được biểu diễn bởi điểm M trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ $\overrightarrow{OM}$ được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu $\left| z \right|=\left| a+bi \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$
Tính chất
- $\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{z\bar{z}}=\left| \overrightarrow{OM} \right|$ · $\left| z \right|\ge 0,\ \forall z\in \mathbb{C}\ ,\left| z \right|=0\Leftrightarrow z=0$
- $\left| z.z’ \right|=\left| z \right|.\left| z’ \right|$ · $\left| \frac{z}{z’} \right|=\frac{\left| z \right|}{\left| z’ \right|},\left( z’\ne 0 \right)$ · $\left| \left| z \right|-\left| z’ \right| \right|\le \left| z\pm z’ \right|\le \left| z \right|+\left| z’ \right|$
$\left| kz \right|=\left| k \right|.\left| z \right|,k\in \mathbb{R}$
Chú ý: $\left| {{z}^{2}} \right|=\left| {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2abi \right|=\sqrt{{{({{a}^{2}}-{{b}^{2}})}^{2}}+4{{a}^{2}}{{b}^{2}}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left| z \right|}^{2}}={{\left| \overline{z} \right|}^{2}}=z.\overline{z}$.
Lưu ý:
- $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow {{z}_{1}}=k{{z}_{2}}\,\left( k\ge 0 \right)$
- $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow {{z}_{1}}=k{{z}_{2}}\,\left( k\le 0 \right)$.
- $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\ge \left| \left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right| \right|$ dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow {{z}_{1}}=k{{z}_{2}}\,\left( k\le 0 \right)$
- $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\ge \left| \left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right| \right|$ dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow {{z}_{1}}=k{{z}_{2}}\,\left( k\ge 0 \right)$
- ${{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=2\left( {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right)$
- ${{\left| z \right|}^{2}}=\left| \overline{z} \right|\left| z \right|={{\left| \overline{z} \right|}^{2}}$ $\forall z\in \mathbb{C}$
2. Một số quỹ tích nên nhớ
| Biểu thức liên hệ $x,y$ | Quỹ tích điểm M |
| $\text{ax}+by+c=0$
$\left| z-a-bi \right|=\left| z-c-di \right|$ |
Đường thẳng $\Delta \text{:ax}+by+c=0$
Đường trung trực đoạn AB với$\left( A\left( a,b \right),B\left( c,d \right) \right)$ |
| ${{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{R}^{2}}$ hoặc
$\left| z-a-bi \right|=R$ |
Đường tròn tâm $I\left( a;b \right)$, bán kính $R$ |
| ${{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}\le {{R}^{2}}$ hoặc
$\left| z-a-bi \right|\le R$ |
Hình tròn tâm $I\left( a;b \right)$, bán kính $R$ |
| ${{r}^{2}}\le {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}\le {{R}^{2}}$hoặc
$r\le \left| z-a-bi \right|\le R$ |
Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồn tâm $I\left( a;b \right)$, bán kính lần lượt là $r,R$ |
| $\left[ \begin{align}& y=a{{x}^{2}}+bx+c \\& x=a{{y}^{2}}+by+c \\\end{align} \right.\left( c\ne 0 \right)$ | Parabol |
| $\frac{{{\left( x+a \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{\left( y+c \right)}^{2}}}{{{d}^{2}}}=1\,\left( 1 \right)$ hoặc
$\left| z-{{a}_{1}}-{{b}_{1}}i \right|+\left| z-{{a}_{2}}-{{b}_{2}}i \right|=2a$
|
$\left( 1 \right)$ Elip
$\left( 2 \right)$ Elip nếu $2a>AB\,\,,A\left( {{a}_{1}},{{b}_{1}} \right),B\left( {{a}_{2}},{{b}_{2}} \right)$ Đoạn AB nếu$2a=AB$ |
| $\frac{{{\left( x+a \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}}-\frac{{{\left( y+c \right)}^{2}}}{{{d}^{2}}}=1$ | Hypebol. |
MỘT SỐ DẠNG ĐẶC BIỆT CẦN LƯU Ý:
DẠNG 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.
TQ1: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-a-bi \right|=\left| z \right|$, tìm ${{\left| z \right|}_{Min}}$. Khi đó ta có
+ Quỹ tích điểm $M\left( x;y \right)$ biểu diễn số phức $z$ là đường trung trực đoạn $OA$ với $A\left( a;b \right)$
+ $\left\{ \begin{align}& {{\left| z \right|}_{Min}}=\frac{1}{2}\left| {{z}_{0}} \right|=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\& z=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}i \\\end{align} \right.$
TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện $\left| z-a-bi \right|=\left| z-c-di \right|.$ Tìm${{\left| z \right|}_{\min }}$. Ta có
+ Quỹ tích điểm $M\left( x;y \right)$ biểu diễn số phức $z$ là đường trung trực đoạn $AB$ với $A\left( a;b \right),B\left( c;d \right)$
+ ${{\left| z \right|}_{Min}}=d\left( O,AB \right)=\frac{\left| {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}-{{d}^{2}} \right|}{2\sqrt{{{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}}}$
Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến đổi để đưa về dạng cơ bản.
Ví dụ 1:
+ Cho số phức thỏa mãn điều kiện $\left| \overline{z}-a-bi \right|=\left| z-c-di \right|.$ Khi đó ta biến đổi
$\left| \overline{z}-a-bi \right|=\left| z-c-di \right|\Leftrightarrow \left| z-a+bi \right|=\left| z-c-di \right|.$
+ Cho số phức thỏa mãn điều kiện $\left| iz-a-bi \right|=\left| z-c-di \right|.$ Khi đó ta biến đổi
$\left| iz-a-bi \right|=\left| iz-c-di \right|\Leftrightarrow \left| z+\frac{-a-bi}{i} \right|=\left| z+\frac{-c-di}{i} \right|\Leftrightarrow \left| z+b+ai \right|=\left| z+d+ci \right|.$
DẠNG 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.
TQ: Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| z-a-bi \right|=R>0\,\left( \left| z-{{z}_{0}} \right|=R \right)$. Tìm ${{\left| z \right|}_{Max}},{{\left| z \right|}_{Min}}$. Ta có
+ Quỹ tích điểm $M\left( x;y \right)$ biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I\left( a;b \right)$ bán kính $R$
+ $\left\{ \begin{align}& {{\left| z \right|}_{Max}}=OI+R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+R=\left| {{z}_{0}} \right|+R \\& {{\left| z \right|}_{Min}}=\left| OI-R \right|=\left| \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-R \right|=\left| \left| {{z}_{0}} \right|-R \right| \\\end{align} \right.$
Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản.
Ví dụ 1: Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| iz-a-bi \right|=R\Leftrightarrow \left| z+\frac{-a-bi}{i} \right|\,=\frac{R}{\left| i \right|}$
$\Leftrightarrow \left| z+b+ai \right|=R$
Ví dụ 2: Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| \overline{z}-a-bi \right|=R\Leftrightarrow \left| z-a+bi \right|=R$
Ví dụ 3: Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| \left( c+di \right)z-a-bi \right|=R\Leftrightarrow \left| z+\frac{-a-bi}{c+di} \right|=\frac{R}{\left| c+di \right|}=\frac{R}{\sqrt{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}}$
Hay viết gọn $\left| {{z}_{0}}z-{{z}_{1}} \right|=R\Leftrightarrow \left| z-\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{0}}} \right|=\frac{R}{\left| {{z}_{0}} \right|}$
DẠNG 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.
TQ1: Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| z-c \right|+\left| z+c \right|=2a\,,\left( a>c \right)$ Khi đó ta có
+ Quỹ tích điểm $M\left( x;y \right)$ biểu diễn số phức $z$ là Elip: $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}=1$
+ $\left\{ \begin{align}& {{\left| z \right|}_{Max}}=a \\& {{\left| z \right|}_{Min}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}} \\\end{align} \right.$
TQ2:. Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-{{z}_{2}} \right|=2a$
Thỏa mãn $2a>\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$.
Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc
Ta có
| Khi đề cho Elip dạng không chính tắc $\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-{{z}_{2}} \right|=2a\,,\left( \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|<2a \right)$và ${{z}_{1}},{{z}_{2}}\ne \pm c,\pm ci$ ). Tìm Max, Min của $P=\left| z-{{z}_{0}} \right|$.
Đặt $\left\{ \begin{align}& \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2c \\& {{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}} \\\end{align} \right.$ |
|
| Nếu $\left| {{z}_{0}}-\frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{2} \right|=0$ | $\left\{ \begin{align}& {{P}_{Max}}=a \\& {{P}_{Min}}=b \\\end{align} \right.$ |
| Nếu $\left\{ \begin{align}& \left| {{z}_{0}}-\frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{2} \right|>a \\& {{z}_{0}}-{{z}_{1}}=k\left( {{z}_{0}}-{{z}_{2}} \right) \\\end{align} \right.$ | $\left\{ \begin{align}& {{P}_{Max}}=\left| {{z}_{0}}-\frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{2} \right|+a \\& {{P}_{Min}}=\left| {{z}_{0}}-\frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{2} \right|-a \\\end{align} \right.$ |
| Nếu $\left\{ \begin{align}& \left| {{z}_{0}}-\frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{2} \right|<a \\& {{z}_{0}}-{{z}_{1}}=k\left( {{z}_{0}}-{{z}_{2}} \right) \\\end{align} \right.$ | ${{P}_{Max}}=\left| {{z}_{0}}-\frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{2} \right|+a$ |
| Nếu $\left| {{z}_{0}}-{{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{0}}-{{z}_{2}} \right|$ | ${{P}_{Min}}=\left| \left| {{z}_{0}}-\frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{2} \right|-b \right|$ . |
II. BÀI TẬP MẪU
Câu 1:
Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau $\left| z-1 \right|=\sqrt{34},\left| z+1+mi \right|=\left| z+m+2i \right|$ và sao cho $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ là lớn nhất. Khi đó giá trị $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|$ bằng
A. $\sqrt{2}$ B. $10$ C. $2$ D. $\sqrt{130}$
Lời giải
Gọi $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$
Gọi $z=x+iy,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$
Ta có $\left| z-1 \right|=\sqrt{34}\Rightarrow M,N$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 1;0 \right)$, bán kính $R=\sqrt{34}$
Mà $\left| z+1+mi \right|=\left| z+m+2i \right|\Leftrightarrow \left| x+yi+1+mi \right|=\left| x+yi+m+2i \right|$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+m \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x+m \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}}$
$\Leftrightarrow 2\left( m-1 \right)x+2\left( m-2 \right)y-3=0$
Suy ra $M,N$ thuộc đường thẳng $d:2\left( m-1 \right)x+2\left( m-2 \right)y-3=0$
Do đó $M,N$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và đường tròn $\left( C \right)$
Ta có $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=MN$ nên $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ lớn nhất khi và chỉ khi $MN$ lớn nhất
$\Leftrightarrow MN$ đường kính của $\left( C \right)$. Khi đó $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=2OI=2$
Câu 2:
Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-2-2i \right|=1$. Số phức $z-i$ có môđun nhỏ nhất là:
A. $\sqrt{5}-2$. B. $\sqrt{5}-1$. C. $\sqrt{5}+1$. D. $\sqrt{5}+2$.
Lời giải
Cách 1:
Đặt $w=z-i\Rightarrow z=w+i$.
Gọi $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn hình học của số phức $w.$
Từ giả thiết $\left| z-2-2i \right|=1$ ta được:
$\left| w+i-2-2i \right|=1$$\Leftrightarrow \left| w-2-i \right|=1$$\Leftrightarrow \left| \left( x-2 \right)+\left( y-1 \right)i \right|=1$$\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=1$.
Suy ra tập hợp những điểm $M\left( x;y \right)$ biểu diễn cho số phức $w$ là đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 2;1 \right)$ bán kính $R=1$.
Giả sử $OI$ cắt đường tròn $\left( C \right)$ tại hai điểm $A,B$ với $A$ nằm trong đoạn thẳng $OI$.
Ta có $\left| w \right|=OM$
Mà $OM+MI\ge OI$ $\Leftrightarrow OM+MI\ge OA+AI$ $\Leftrightarrow OM\ge OA$
Nên $\left| w \right|$ nhỏ nhất bằng $OA=OI-IA=\sqrt{5}-1$ khi $M\equiv A.$
Cách 2:
Từ $\left| z-2-2i \right|=1$$\Rightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}=1$ với $z=a+bi\,\,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$
$a-2=\sin x;\text{ }b-2=\cos x$ $\Rightarrow a=2+\sin x,\text{ }b=2+\cos x$
Khi đó: $\left| z-i \right|=\left| 2+\sin x+\left( 2+\cos x \right)i-i \right|$ $=\sqrt{{{\left( 2+\sin x \right)}^{2}}+{{\left( 1+\cos x \right)}^{2}}}$$=\sqrt{6+\left( 4\sin x+2\cos x \right)}$
$\ge \sqrt{6-\sqrt{\left( {{4}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}}$ $=\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{{{\left( \sqrt{5}-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{5}-1$
Nên $\left| z-i \right|$ nhỏ nhất bằng $\sqrt{5}-1$ khi $\left\{ \begin{align}& 4\cos x=2\sin x \\& 4\sin x+2\cos x=-2\sqrt{5} \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& \sin x=-\frac{2\sqrt{5}}{5} \\& \cos x=\frac{-\sqrt{5}}{5} \\\end{align} \right.$
Ta được $z=\left( 2-\frac{2\sqrt{5}}{5} \right)+\left( 2-\frac{\sqrt{5}}{5} \right)i$
Cách 3:
Sử dụng bất đẳng thức $\left| \left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right| \right|\le \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$
$\left| z-i \right|=\left| \left( z-2-2i \right)+\left( 2+i \right) \right|\ge \left| \left| z-2-2i \right|-\left| 2+i \right| \right|=\sqrt{5}-1$
Câu 3:
Xét số phức $z$ và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là $M$ và ${M}’$. Số phức $z\left( 4+3i \right)$ và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là $N$ và ${N}’$. Biết rằng $M$, ${M}’$, $N$, ${N}’$ là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left| z+4i-5 \right|$.
A. $\frac{5}{\sqrt{34}}$. B. $\frac{2}{\sqrt{5}}$. C. $\frac{1}{\sqrt{2}}$. D. $\frac{4}{\sqrt{13}}$.
Lời giải
Gọi $z=x+yi$, trong đó $x,y\in \mathbb{R}$. Khi đó $\overline{z}=x-yi$, $M\left( x;y \right)$, ${M}’\left( x;-y \right)$.
Ta đặt $w=z\left( 4+3i \right)=\left( x+yi \right)\left( 4+3i \right)=\left( 4x-3y \right)+\left( 3x+4y \right)i\Rightarrow N\left( 4x-3y;3x+4y \right)$. Khi đó $\overline{w}=\overline{z\left( 4+3i \right)}=\left( 4x-3y \right)-\left( 3x+4y \right)i\Rightarrow {N}’\left( 4x-3y;-3x-4y \right)$.
Ta có $M$ và ${M}’$; $N$ và ${N}’$ từng cặp đối xứng nhau qua trục $Ox$. Do đó, để chúng tạo thành một hình chữ nhật thì ${{y}_{M}}={{y}_{N}}$ hoặc ${{y}_{M}}={{y}_{{{N}’}}}$. Suy ra $y=3x+4y$ hoặc $y=-3x-4y$. Vậy tập hợp các điểm $M$ là hai đường thẳng: ${{d}_{1}}:x+y=0$ và ${{d}_{2}}:3x+5y=0$.
Đặt $P=\left| z+4i-5 \right|=\sqrt{{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}}$. Ta có $P=MA$ với $A\left( 5;-4 \right)$.
${{P}_{\min }}\Leftrightarrow M{{A}_{\min }}\Leftrightarrow MA=d\left( A;{{d}_{1}} \right)$ hoặc $MA=d\left( A;{{d}_{2}} \right)$. Mà $d\left( A;{{d}_{1}} \right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$, $d\left( A;{{d}_{2}} \right)=\frac{5}{\sqrt{34}}$, vậy ${{P}_{\min }}=d\left( A;{{d}_{1}} \right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$.
Câu 4:
Trong các số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-1+i \right|=\left| \overline{z}+1-2i \right|$, số phức $z$ có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là
A. $\frac{3}{10}$. B. $\frac{3}{5}$. C. $-\frac{3}{5}$. D. $-\frac{3}{10}$.
Lời giải
Gọi $z=x+yi$, $\left( x\,,\,y\,\,\in \mathbb{R} \right)$ được biểu diễn bởi điểm $M\left( x\,;\,y \right)$.
$\left| z-1+i \right|=\left| \overline{z}+1-2i \right|\Leftrightarrow \left| \left( x-1 \right)+\left( y+1 \right)i \right|=\left| \left( x+1 \right)-\left( y+2 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow 4x+2y+3=0\Leftrightarrow y=-2x-\frac{3}{2}$.
Cách 1:
$\left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( -2x-\frac{3}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{5{{x}^{2}}+6x+\frac{9}{4}}=\sqrt{5{{\left( x+\frac{3}{5} \right)}^{2}}+\frac{9}{20}}\ge \frac{3\sqrt{5}}{10},\forall x$.
Suy ra $min\left| z \right|=\frac{3\sqrt{5}}{10}$ khi $x=-\frac{3}{5};y=-\frac{3}{10}$.
Vậy phần ảo của số phức $z$ có mô đun nhỏ nhất là $-\frac{3}{10}$.
Cách 2:
Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$là đường thẳng $d:\,\,4x+2y+3=0$.
Ta có $\left| z \right|=OM$. $\left| z \right|$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow OM$nhỏ nhất $\Leftrightarrow M$là hình chiếu của $O$ trên $d$.
Phương trình đường thẳng $OM$ đi qua $O$ và vuông góc với $d$ là: $x-2y=0$.
Tọa độ của là nghiệm của hệ phương trình:
$\Rightarrow M\left( -\frac{3}{5};-\frac{3}{10} \right)$. Hay $z=-\frac{3}{5}-\frac{3}{10}i$.
Vậy phần ảo của số phức $z$ có mô đun nhỏ nhất là $-\frac{3}{10}$.
Nhận xét: Ta có thể tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ như sau:
$\left| z-1+i \right|=\left| \overline{z}+1-2i \right|\Leftrightarrow \left| z-\left( 1-i \right) \right|=\left| z-\left( -1-2i \right) \right|$ $\left( * \right)$
Gọi $M$ biểu diễn số phức $z$, điểm $A\left( 1\,;\,-1 \right)$ biểu diễn số phức $1-i$, điểm $B\left( -1\,;\,-2 \right)$ biểu diễn số phức $-1-2i$.
Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow MA=MB$. Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$có phương trình $d:\,\,4x+2y+3=0$.
Câu 5:
Cho các số phức $z,{{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thay đổi thỏa mãn các điều kiện sau: $\left| iz+2i+4 \right|=3$, phần thực của ${{z}_{1}}$ bằng 2, phần ảo của ${{z}_{2}}$ bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T={{\left| z-{{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| z-{{z}_{2}} \right|}^{2}}$.
A. $9.$ B. $2.$ C. $5.$ D. $4.$
Lời giải
Đặt $z=x+yi,x,y\in \mathbb{R}$, ta có $M\left( z \right)=M\left( x;y \right)$
Khi đó: $\left| iz+2i+4 \right|=3\Leftrightarrow \left| i\left( x+yi \right)+2i+4 \right|=3\Leftrightarrow \left| \left( -y+4 \right)+\left( x+2 \right)i \right|=3$
$\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=9$
Suy ra tập hợp điểm $M$ là đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( -2;4 \right)$, bán kính $R=3.$
Mặt khác: ${{z}_{1}}=2+bi\Rightarrow A\left( {{z}_{1}} \right)=A\left( 2;b \right)\Rightarrow $ Tập hợp điểm $A$ là đường thẳng ${{d}_{1}}:\ \ x=2.$
${{z}_{2}}=a+i\Rightarrow B\left( {{z}_{2}} \right)=B\left( a;1 \right)\Rightarrow $ Tập hợp điểm $B$ là đường thẳng ${{d}_{2}}:\ \ y=1.$
Giao điểm của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là $P\left( 2;\ 1 \right)$.
Gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}.$
Ta có: $T={{\left| z-{{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| z-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}\ge M{{H}^{2}}+M{{K}^{2}}=M{{P}^{2}}$.
$T$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $A\equiv H,B\equiv K$ và $I,M,P$ thẳng hàng.
Phương trình đường thẳng $IP:\left\{ \begin{align}& x=2+4t \\& y=1-3t \\\end{align} \right.\Rightarrow M\left( 2+4t;1-3t \right)$.
Mà $M\in \left( C \right)$ nên ta có ${{\left( 4+4t \right)}^{2}}+{{\left( -3-3t \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow {{\left( 1+t \right)}^{2}}=\frac{9}{25}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& t=-\frac{2}{5} \\& t=-\frac{8}{5} \\\end{align} \right.$
– Với $t=-\frac{8}{5}\Rightarrow M\left( -\frac{22}{5};\frac{29}{5} \right)$
– Với $t=-\frac{2}{5}\Rightarrow M\left( \frac{2}{5};\frac{11}{5} \right)\Rightarrow z=\frac{2}{5}+\frac{11}{5}i\Rightarrow {{z}_{1}}=2+\frac{11}{5}i,{{z}_{2}}=\frac{2}{5}+i.$
Suy ra $M{{P}_{\min }}=IP-IM=IP-R=\sqrt{{{4}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}}-3=2$.
Vậy ${{T}_{\min }}={{2}^{2}}=4$ khi $z=\frac{2}{5}+\frac{11}{5}i,\ {{z}_{1}}=2+\frac{11}{5}i,\ {{z}_{2}}=\frac{2}{5}+i.$
Xem thêm:
Lý thuyết và dạng bài tập mẫu của max min số phức
Cách giải và bài tập mẫu cực trị số phức
Cách giải và bài tập mẫu tập hợp điểm biểu diễn số phức
Các dạng bài tập số phức đầy đủ và chi tiết