Bài viết sau đây giới thiệu đến các bạn các dạng bài tập phương trình mặt phẳng có lời giải để luyện tập. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt phần phương trình mặt phẳng trong không gian môn Toán lớp 12!
DẠNG 1. XÁC ĐỊNH VÉC TƠ PHÁP TUYẾN
Véctơ pháp tuyến $\vec{n}$ của mặt phẳng $(P)$ là véctơ có giá vuông góc với $(P).$ Nếu $\vec{n}$ là một véctơ pháp tuyến của $(P)$ thì $k.\vec{n}$ cũng là một véctơ pháp tuyến của $(P).$
$\centerdot $ Nếu mặt phẳng $(P)$ có cặp véctơ chỉ phương là ${{\vec{u}}_{1}},\text{ }{{\vec{u}}_{2}}$ thì $(P)$
có véctơ pháp tuyến là $\vec{n}=[{{\vec{u}}_{1}},{{\vec{u}}_{2}}].$
$\centerdot $ Mặt phẳng $(P):ax+by+cz+d=0$ có một véctơ pháp tuyến là $\vec{n}=(a;b;c).$
Bài tập mẫu:
Cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x-3y-4z+1=0$. Khi đó, một véc tơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$
A. $\overrightarrow{n}=\left( 2;3;-4 \right)$. B. $\overrightarrow{n}=\left( 2;-3;4 \right)$. C. $\overrightarrow{n}=\left( -2;3;4 \right)$. D. $\overrightarrow{n}=\left( -2;3;1 \right)$.
Lời giải
Chọn C
Mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x-3y-4z+1=0$ có một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{0}}}=\left( 2;-3;-4 \right)$.
Nhận thấy $\overrightarrow{n}=\left( -2;3;4 \right)=-\overrightarrow{{{n}_{0}}}$, hay $\overrightarrow{n}$ cùng phương với $\overrightarrow{{{n}_{0}}}$.
Do đó véc tơ $\overrightarrow{n}=\left( -2;3;4 \right)$cũng là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng$\left( \alpha \right)$
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Mặt phẳng x$(P)\left\langle \begin{align}& \text{qua}\,\,\,M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}}) \\& VTPT\,\,\,\overrightarrow{n}=(a;b;c) \\\end{align} \right.$ thì phương trình 
Ngược lại, một mặt phẳng bất kỳ đều có phương trình dạng $ax+by+cz+d=0$, mặt phẳng này có $VTPT\,\,\,\overrightarrow{n}=(a;b;c)$ với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0$.
Các mặt phẳng cơ bản
Viết phương trình mặt phẳng qua M và vuông góc với với đường thẳng AB cho trước.
Mặt phẳng qua M, có VTPT $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\overrightarrow{AB}$ nên phương trình được viết theo .
Bài tập mẫu:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$cho điểm$M\left( 1;0;6 \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình $x+2y+2z-1=0$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( \beta \right)$ đi qua $M$ và song song với mặt phẳng$\left( \alpha \right)$.
A. $\left( \beta \right):\,x+2y+2z-13=0$. B. $\left( \beta \right):\,x+2y+2z-15=0$.
C. $\left( \beta \right):\,x+2y+2z+15=0$. D. $\left( \beta \right):\,x+2y+2z+13=0$.
Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng $\left( \beta \right)$ song song với mặt phẳng$\left( \alpha \right)$nên có dạng $x+2y+2z+m=0\,\,\left( m\ne -1 \right)$.
Do$M\in \left( \beta \right)$ nên ta có: $1+2.0+2.6+m=0\,\,\Leftrightarrow m+13=0\Leftrightarrow m=-13$ .
Vậy $\left( \beta \right):\,x+2y+2z-13=0$.
DẠNG 3. ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG
Một mặt phẳng bất kỳ đều có phương trình dạng $\left( P \right):ax+by+cz+d=0$, và điểm $M\left( {{x}_{M}};{{y}_{M}};{{z}_{M}} \right)$.
Nếu $a{{x}_{M}}+b{{y}_{M}}+c{{z}_{M}}+d=0\Rightarrow M\in \left( P \right)$
Nếu $a{{x}_{M}}+b{{y}_{M}}+c{{z}_{M}}+d\ne 0\Rightarrow M\notin \left( P \right)$
Bài tập mẫu:
Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $\left( \alpha \right):\text{ }x-2y+z-4=0$ đi qua điểm nào sau đây
A. $Q\left( 1;\,-1;\,1 \right)$. B. $N\left( 0;\,2;\,0 \right)$. C. $P\left( 0;\,0;\,-4 \right)$. D. $M\left( 1;\,0;\,0 \right)$.
Lời giải
Chọn A
Thay tọa độ $Q$ vào phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ ta được: $1-2\left( -1 \right)+1-4=0$.
Thay tọa độ $N$ vào phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ ta được: $0-2.2+0-4=-8\ne 0\Rightarrow $Loại B
Thay tọa độ $P$ vào phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ ta được: $0-2.0-4-4=-8\ne 0\Rightarrow $Loại C
Thay tọa độ $M$vào phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ ta được: $1-2.0+0-4=-3\ne 0\Rightarrow $Loại D
DẠNG 4. KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT
$\centerdot $ Khoảng cách từ điểm $M({{x}_{M}};{{y}_{M}};{{z}_{M}})$ đến mặt phẳng $(P):ax+by+cz+d=0$ được xác định bởi công thức:
Bài tập mẫu:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình: $3x+4y+2z+4=0$ và điểm $A\left( 1;-2;3 \right)$. Tính khoảng cách $d$ từ $A$ đến $\left( P \right)$.
A. $d=\frac{5}{9}$. B. $d=\frac{5}{29}$. C. $d=\frac{5}{\sqrt{29}}$. D. $d=\frac{\sqrt{5}}{3}$.
Lời giải
Khoảng cách $d$từ $A$đến $\left( P \right)$là $d(A,\,(P))=\frac{\left| 3{{x}_{A}}+4{{y}_{A}}+2{{z}_{A}}+4 \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\frac{\left| 3-8+6+4 \right|}{\sqrt{29}}$
$\Rightarrow d(A,\,(P))=\frac{5}{\sqrt{29}}$
DẠNG 5. XÁC ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
- Dạng 1. Mặt $(P):\left\{ \begin{align}& \centerdot \text{ }Qua\text{ }A({{x}_{\circ }};{{y}_{\circ }};{{z}_{\circ }}) \\ & \centerdot \text{ }VTPT:{{{\vec{n}}}_{(P)}}=(a;b;c) \\ \end{align} \right.\Rightarrow (P):$
- Dạng 2. Viết phương trình $(P)$ qua $A({{x}_{\circ }};{{y}_{\circ }};{{z}_{\circ }})$ và $(P)\parallel (Q):ax+by+cz+d=0.$
Phương pháp. $(P):\left\{ \begin{align}& \centerdot \text{ }Qua\text{ }A({{x}_{\circ }},{{y}_{\circ }},{{z}_{\circ }}) \\& \centerdot \text{ }VTPT:{{{\vec{n}}}_{(P)}}={{{\vec{n}}}_{(Q)}}=(a;b;c) \\\end{align} \right.$
- Dạng 3. Viết phương trình mặt phẳng trung trực $(P)$ của đoạn thẳng $AB.$
Phương pháp. $(P):\left\{ \begin{align}& \centerdot \text{ }Qua\text{ }I\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2};\frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}}{2} \right) \\ & \centerdot \text{ }VTPT:{{{\vec{n}}}_{(P)}}=\overrightarrow{AB} \\\end{align} \right.$
- Dạng 4. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $M$ và vuông góc với đường thẳng $d\equiv AB.$
Phương pháp. $(P):\left\{ \begin{align}& \centerdot \text{ }Qua\text{ }M({{x}_{\circ }};{{y}_{\circ }};{{z}_{\circ }}) \\ & \centerdot \text{ }VTPT:{{{\vec{n}}}_{(P)}}={{{\vec{u}}}_{d}}=\overrightarrow{AB} \\\end{align} \right.$
- Dạng 5. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua điểm $M$ và có cặp véctơ chỉ phương $\vec{a},\text{ }\vec{b}.$
Phương pháp. $(P):\left\{ \begin{align}& \centerdot \text{ }Qua\text{ }M({{x}_{\circ }};{{y}_{\circ }};{{z}_{\circ }}) \\ & \centerdot \text{ }VTPT:{{{\vec{n}}}_{(P)}}=[\vec{a},\vec{b}] \\\end{align} \right.$
- Dạng 6. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua ba điểm $A,\text{ }B,\text{ }C$ không thẳng hàng.
Phương pháp. $(P):\left\{ \begin{align}& \centerdot \text{ }Qua\text{ }A,\text{ }(hay\text{ }B\text{ }hay\text{ }C) \\& \centerdot \text{ }VTPT:{{{\vec{n}}}_{(ABC)}}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \\\end{align} \right.$
- Dạng 7. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A,\text{ }B$ và $(P)\bot (Q).$
Phương pháp. $(P):\left\{ \begin{align}& \centerdot \text{ }Qua\text{ }A,\text{ }(hay\text{ }B) \\& \centerdot \text{ }VTPT:{{{\vec{n}}}_{(P)}}=\left[ \overrightarrow{AB},{{{\vec{n}}}_{(Q)}} \right] \\\end{align} \right.$
- Dạng 8. Viết phương trình mp $(P)$ qua $M$ và vuông góc với hai mặt $(\alpha ),\text{ }(\beta ).$
Phương pháp. $(P):\left\{ \begin{align}& \centerdot \text{ }Qua\text{ }M({{x}_{\circ }};{{y}_{\circ }};{{z}_{\circ }}) \\& \centerdot \text{ }VTPT:{{{\vec{n}}}_{(P)}}=\left[ {{{\vec{n}}}_{(\alpha )}},{{{\vec{n}}}_{(\beta )}} \right] \\\end{align} \right.$
- Dạng 9. Viết $(P)$ đi qua $M$ và giao tuyến $d$ của hai mặt phẳng:$(Q):{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z+{{d}_{1}}=0$ và $(T):{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z+{{d}_{2}}=0.$
Phương pháp: Khi đó mọi mặt phẳng chứa $d$ đều có dạng:
$(P):m({{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z+{{d}_{1}})+n({{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z+{{d}_{2}})=0,\text{ }{{m}^{2}}+{{n}^{2}}\ne 0.$
Vì $M\in (P)\Rightarrow $ mối liên hệ giữa $m$ và $n.$ Từ đó chọn $m\Rightarrow n$ sẽ tìm được $(P).$
- Dạng 10. Viết phương trình mặt phẳng đoạn chắn
Phương pháp: Nếu mặt phẳng $(P)$ cắt ba trục tọa độ lần lượt tại các điểm $A(a;0;0),$
$B(0;b;0),$ $C(0;0;c)$ với $(abc\ne 0)$ thì $(P):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ gọi là mặt phẳng đoạn chắn.
DẠNG 5.1 XÁC ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG KHI BIẾT YẾU TỐ VUÔNG GÓC
Bài tập mẫu:
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 1;-1;2 \right)$ và $B\left( 3;3;0 \right)$. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ có phương trình là
A. $x+y-z-2=0$. B. $x+y-z+2=0$. C. $x+2y-z-3=0$. D. $x+2y-z+3=0$.
Lời giải
Ta có $\overrightarrow{AB}=2\left( 1;2;-1 \right)$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB\Rightarrow I\left( 2;1;1 \right)$.
+ Mặt phẳng trung trực$\left( \alpha \right)$ của đoạn thẳng $AB$ đi qua $I$và nhận $\overrightarrow{n}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\left( 1;2;-1 \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
$x-2+2\left( y-1 \right)-\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow x+2y-z-3=0$.
Vậy mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ là $x+2y-z-3=0$.
DẠNG 5.2 XÁC ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ĐOẠN CHẮN
Bài tập mẫu:
Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $M\left( 2;1;-3 \right)$, biết $\left( \alpha \right)$ cắt trục $Ox,\ Oy,\ Oz$ lần lượt tại $A,\ B,\ C$ sao cho tam giác $ABC$ nhận $M$ làm trực tâm
A. $2x+5y+z-6=0.$ B. $2x+y-6z-23=0.$
C. $2x+y-3z-14=0.$ D. $3x+4y+3z-1=0.$
Lời giải
Giả sử $A\left( a;0;0 \right),\ B\left( 0;b;0 \right),\ C\left( 0;0;c \right),\ abc\ne 0.$
Khi đó mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$.
Do $M\in \left( \alpha \right)\Rightarrow \frac{2}{a}+\frac{1}{b}-\frac{3}{c}=1\quad \left( 1 \right)$
Ta có: $\overrightarrow{AM}=\left( 2-a;1;-3 \right),\ \overrightarrow{BM}=\left( 2;1-b;-3 \right),\ \overrightarrow{BC}=\left( 0;-b;c \right),\ \overrightarrow{AC}=\left( -a;0;c \right)$
Do $M$ là trực tâm tam giác $ABC$ nên: $\left\{ \begin{align}& \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=0 \\& \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{AC}=0 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -b-3c=0 \\& -2a-3c=0 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& b=-3c \\& a=-\frac{3c}{2} \\\end{align} \right.\quad \left( 2 \right)$
Thay $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta có: $-\frac{4}{3c}-\frac{1}{3c}-\frac{3}{c}=1\Leftrightarrow c=-\frac{14}{3}\Rightarrow a=7,\ b=14.$
Do đó $\left( \alpha \right):\frac{x}{7}+\frac{y}{14}-\frac{3z}{14}=1\Leftrightarrow 2x+y-3z-14=0.$
DẠNG 5.3 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG QUA 3 ĐIỂM
Bài tập mẫu:
Trong không gian $Oxyz$, gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A\left( 2;-3;1 \right)$ lên các mặt phẳng tọa độ. Phương trình mặt phẳng $\left( MNP \right)$ là
A. $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{1}=1$. B. $3x-2y+6z=6$.
C. $\frac{x}{2}-\frac{y}{3}+\frac{z}{1}=0$. D. $3x-2y+6z-12=0$.
Lời giải
Không mất tính tổng quát, ta giả sử $M$, $N$, $P$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A\left( 2;-3;1 \right)$ lên các mặt phẳng tọa độ $\left( Oxy \right)$, $\left( Oxz \right)$, $\left( Oyz \right)$.
Khi đó, $M\left( 2;-3;0 \right)$, $N\left( 2;0;1 \right)$ và $P\left( 0;-3;1 \right)$
$\overrightarrow{MN}=\left( 0;3;1 \right)$ và $\overrightarrow{MP}=\left( -2;0;1 \right)$.
Ta có, $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$ là cặp vectơ không cùng phương và có giá nằm trong $\left( MNP \right)$
Do đó, $\left( MNP \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP} \right]=\left( 3;-2;6 \right)$.
Mặt khác, $\left( MNP \right)$ đi qua $M\left( 2;-3;0 \right)$ nên có phương trình là:
$3\left( x-2 \right)-2\left( y+3 \right)+6\left( z-0 \right)=0\Leftrightarrow 3x-2y+6z-12=0$.
DẠNG 6. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN ĐẾN KHOẢNG CÁCH – GÓC
DẠNG 6.1 KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT, KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT
Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
$\centerdot $ Khoảng cách từ điểm $M({{x}_{M}};{{y}_{M}};{{z}_{M}})$ đến mặt phẳng $(P):ax+by+cz+d=0$ được xác định bởi công thức:
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng song song $(P):ax+by+cz+d=0$ và $(Q):ax+by+cz+{d}’=0$ có cùng véctơ pháp tuyến, khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là
Viết phương trình $(P)\parallel (Q):ax+by+cz+d=0$ và cách $M({{x}_{\circ }};{{y}_{\circ }};{{z}_{\circ }})$ khoảng $k.$
Phương pháp:
$\centerdot $ Vì $(P)\text{//}(Q):ax+by+cz+d=0\Rightarrow (P):ax+by+cz+{d}’=0.$
$\centerdot $ Sử dụng công thức khoảng cách ${{d}_{\left[ M,(P) \right]}}=\frac{\left| a{{x}_{\circ }}+b{{y}_{\circ }}+c{{z}_{\circ }}+{d}’ \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=k\Rightarrow {d}’.$
viết phương trình mặt phẳng $(P)\parallel (Q):ax+by+cz+d=0$ và $(P)$ cách mặt phẳng $(Q)$ một khoảng $k$cho trước.
Phương pháp:
$\centerdot $ Vì $(P)\text{//}(Q):ax+by+cz+d=0\Rightarrow (P):ax+by+cz+{d}’=0.$
$\centerdot $ Chọn một điểm $M({{x}_{\circ }};{{y}_{\circ }};{{z}_{\circ }})\in (Q)$ và sử dụng công thức:
${{d}_{\left[ (Q);(P) \right]}}={{d}_{\left[ M,(P) \right]}}=\frac{\left| a{{x}_{\circ }}+b{{y}_{\circ }}+c{{z}_{\circ }}+{d}’ \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=k\Rightarrow {d}’.$
viết phương trình mặt phẳng $(P)$ vuông góc với hai mặt phẳng $(\alpha ),\text{ }(\beta ),$ đồng thời $(P)$ cách điểm $M({{x}_{\circ }};{{y}_{\circ }};{{z}_{\circ }})$ một khoảng bằng $k$ cho trước.
Phương pháp:
$\centerdot $ Tìm ${{\vec{n}}_{(\alpha )}},\text{ }{{\vec{n}}_{(\beta )}}.$ Từ đó suy ra ${{\vec{n}}_{(P)}}=\left[ {{{\vec{n}}}_{(\alpha )}},{{{\vec{n}}}_{(\beta )}} \right]=(a;b;c).$
$\centerdot $ Khi đó phương trình $(P)$ có dạng $(P):ax+by+cz+d=0,$ (cần tìm $d).$
$\centerdot $ Ta có: ${{d}_{\left[ M;(P) \right]}}=k\Leftrightarrow \frac{\left| a{{x}_{\circ }}+b{{y}_{\circ }}+c{{z}_{\circ }}+d \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=k\Rightarrow d.$
Bài tập mẫu:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y-z-1=0$. Mặt phẳng nào sau đây song song với $\left( P \right)$ và cách $\left( P \right)$ một khoảng bằng 3?
A. $\left( Q \right):2x+2y-z+10=0$. B. $\left( Q \right):2x+2y-z+4=0$.
C. $\left( Q \right):2x+2y-z+8=0$. D. $\left( Q \right):2x+2y-z-8=0$.
Lời giải
Chọn C
Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( 0;0;-1 \right)$ và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 2;2;-1 \right)$.
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ song song với $\left( P \right)$ và cách $\left( P \right)$ một khoảng bằng 3 nên có dạng $\left( Q \right):2x+2y-z+d=0,\,\,\left( d\ne -1 \right)$.
Mặt khác ta có $d\left( M,\left( Q \right) \right)=3\Leftrightarrow \frac{\left| 1+d \right|}{\sqrt{4+4+1}}=3\Leftrightarrow \left| d+1 \right|=9\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& d=8 \\& d=-10 \\\end{align} \right.$ (thỏa mãn).
Do đó $\left( Q \right):2x+2y-z+8=0$ hoặc $\left( Q \right):2x+2y-z-10=0$.
DẠNG 6.2 GÓC CỦA 2 MẶT PHẲNG
- Góc giữa hai véctơ
Cho hai véctơ $\vec{a}=({{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}})$ và $\vec{b}=({{b}_{1}};{{b}_{2}};{{b}_{3}}).$ Khi đó góc giữa hai véctơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là góc nhợn hoặc tù.
với $0{}^\circ <\alpha <180{}^\circ .$
- Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng $(P):{{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+{{D}_{1}}=0$ và $(Q):{{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+{{D}_{2}}=0.$
với $0{}^\circ <\alpha <90{}^\circ .$
Bài tập mẫu:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình:$ax+by+cz-1=0$ với $c<0$ đi qua $2$ điểm $A\left( 0;1;0 \right)$, $B\left( 1;0;0 \right)$ và tạo với $\left( Oyz \right)$ một góc $60{}^\circ $. Khi đó $a+b+c$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 5;8 \right)$. B. $\left( 8;11 \right)$. C. $\left( 0;3 \right)$. D. $\left( 3;5 \right)$.
Lời giải.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua hai điểm $A$, $B$ nên $\left\{ \begin{align}& b-1=0 \\ & a-1=0 \\\end{align} \right.\Rightarrow a=b=1$.
Và $\left( P \right)$ tạo với $\left( Oyz \right)$ góc $60{}^\circ $ nên $\cos \left( \left( P \right),\left( Oyz \right) \right)=\frac{\left| a \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\sqrt{1}}=\frac{1}{2}$ (*).
Thay $a=b=1$ vào phương trình được $\sqrt{2+{{c}^{2}}}=2\Rightarrow c=-\sqrt{2}$.
Khi đó $a+b+c=2-\sqrt{2}\in \left( 0;3 \right)$.
DẠNG 7. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
DẠNG 7.1 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI MẶT PHẲNG VỚI MẶT CẦU
Vị trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S)
Cho mặt cầu $S(I;R)$ và mặt phẳng $(P).$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(P)$
và có $d=IH$ là khoảng cách từ I đến mặt phẳng $(P).$ Khi đó:
$\centerdot $ Nếu $d>R:$ Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung.
$\centerdot $ Nếu $d=R:$ Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu.
Lúc đó $(P)$ là mặt phẳng tiếp diện của $(S)$ và $H$ là tiếp điểm.
$\centerdot $ Nếu $d<R:$ mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu theo thiết diện
là đường tròn có tâm $H$và bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}.$
Viết phương trình mặt $(P)\parallel (Q):ax+by+cz+d=0$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S).$
Phương pháp:
$\centerdot $ Vì $(P)\parallel (Q):ax+by+cz+d=0\Rightarrow (P):ax+by+cz+{d}’=0.$
$\centerdot $ Tìm tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu.
$\centerdot $ Vì $(P)$ tiếp xúc $(S)$ nên có ${{d}_{\left[ I;(P) \right]}}=R\Rightarrow {d}’.$
Bài tập mẫu:
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình $2x+y-z-1=0$ và mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=4$. Xác định bán kính $r$ của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và mặt cầu $\left( S \right)$.
A. $r=\frac{2\sqrt{42}}{3}$. B. $r=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ C. $r=\frac{2\sqrt{15}}{3}$. D. $r=\frac{2\sqrt{7}}{3}$
Lời giải
Chọn B
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;1;-2 \right)$ và bán kính $R=2$. Gọi $d$ là khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Ta có $d=d\left( I,\left( \alpha \right) \right)=\frac{2\sqrt{6}}{3}$.
Khi đó ta có: $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
DẠNG 7.2 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI HAI MẶT
Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)
Cho hai mặt phẳng $(P):{{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+{{D}_{1}}=0$ và $(Q):{{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+{{D}_{2}}=0.$
$\centerdot \text{ }(P)$ cắt $(Q)\Leftrightarrow \frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}=\frac{{{B}_{1}}}{{{B}_{2}}}\ne \frac{{{C}_{1}}}{{{C}_{2}}}\ne \frac{{{D}_{1}}}{{{D}_{2}}}\cdot $ $\centerdot \text{ }(P)\parallel (Q)\Leftrightarrow \frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}=\frac{{{B}_{1}}}{{{B}_{2}}}=\frac{{{C}_{1}}}{{{C}_{2}}}\ne \frac{{{D}_{1}}}{{{D}_{2}}}\cdot $
$\centerdot \text{ }(P)\equiv (Q)\Leftrightarrow \frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}=\frac{{{B}_{1}}}{{{B}_{2}}}=\frac{{{C}_{1}}}{{{C}_{2}}}=\frac{{{D}_{1}}}{{{D}_{2}}}\cdot $ $\centerdot \text{ }(P)\bot (Q)\Leftrightarrow {{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}}=0.$
Bài tập mẫu:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):2x+my+3z-5=0$ và$\left( Q \right):nx-8y-6z+2=0$, với $m,n\in \mathbb{R}$. Xác định m, n để $\left( P \right)$song song với $\left( Q \right)$.
A. $m=n=-\ 4$. B. $m=4;n=-\ 4$. C. $m=-\ 4;n=4$. D. $m=n=4$.
Lời giải
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có véc tơ pháp tuyến $\overset{\to }{\mathop{{{n}_{1}}}}\,\left( 2;m;3 \right)$
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có véc tơ pháp tuyến $\overset{\to }{\mathop{{{n}_{2}}}}\,\left( n;-\ 8;-\ 6 \right)$
Mặt phẳng $\left( P \right)//\left( Q \right)\Rightarrow \overset{\to }{\mathop{{{n}_{1}}}}\,=k\overset{\to }{\mathop{{{n}_{2}}}}\,\ (k\in \mathbb{R})\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 2=kn \\& m=-\ 8k \\& 3=-\ 6k \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& k=-{}^{1}/{}_{2} \\& m=4 \\& n=-\ 4 \\\end{align} \right.$
Nên chọn đáp án B
DẠNG 8. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN KHÁC QUAN ĐIỂM – MẶT PHẲNG – MẶT CẦU
Trong không gian với hệ trục $Oxyz$, cho điểm $A\left( 2;-2;2 \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=1$. Điểm $M$ di chuyển trên mặt cầu $\left( S \right)$ đồng thời thỏa mãn $\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{AM}=6$. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng nào sau đây?
A. $2x-2y-6z+9=0$. B. $2x-2y+6z-9=0$.
C. $2x+2y+6z+9=0$. D. $2x-2y+6z+9=0$.
Lời giải
Giả sử $M\left( x;y;z \right)$ thì $\overrightarrow{OM}=\left( x;y;z \right)$, $\overrightarrow{AM}=\left( x-2;y+2;z-2 \right)$.
Vì $M\in \left( S \right)$ và $\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{AM}=6$ nên ta có hệ $\left\{ \begin{align}& x\left( x-2 \right)+y\left( y+2 \right)+z\left( z-2 \right)=6 \\& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=1 \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+2y-2z=6 \\& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4z+4=1 \\\end{align} \right.$$\Rightarrow 2x-2y+6z+9=0$.
Vậy điểm $M$ thuộc mặt phẳng có phương trình: $2x-2y+6z+9=0$.
DẠNG 9. CỰC TRỊ
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A\left( 2\,;\,0\,;\,0 \right)$, $M\left( 1\,;\,1\,;\,1 \right)$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ thay đổi qua $AM$ và cắt các tia $Oy$, $Oz$ lần lượt tại $B$, $C$. Khi mặt phẳng $\left( P \right)$ thay đổi thì diện tích tam giác $ABC$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
A. $5\sqrt{6}$. B. $4\sqrt{6}$. C. $3\sqrt{6}$. D. $2\sqrt{6}$.
Lời giải
Chọn B
Đặt $B\left( 0\,;\,b\,;\,0 \right)$, $C\left( 0\,;\,0\,;\,c \right)$ với $b,\,\,c>0$.
Phương trình của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\frac{x}{2}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$.
$M\in \left( P \right)\Leftrightarrow \frac{1}{2}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\Leftrightarrow \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$.
Suy ra
$\frac{1}{2}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{2}{\sqrt{bc}}\Rightarrow bc\ge 16$.
$\begin{align}& {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left[ \overrightarrow{AB};\,\,\overrightarrow{AC} \right]=\frac{1}{2}\sqrt{{{b}^{2}}{{c}^{2}}+4{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}} \\& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ge \frac{1}{2}\sqrt{{{b}^{2}}{{c}^{2}}+8bc} \\\end{align}$
$\ge \frac{1}{2}\sqrt{{{16}^{2}}+8.16}=4\sqrt{6}$.
Vậy $\min {{S}_{ABC}}=4\sqrt{6}$, đạt được khi $b=c=4$.