I. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Tập hợp các điểm $M$ trong không gian cách điểm $O$ cố định một khoảng $\text{R}$ gọi là mặt cầu tâm $O$, bán kính $\text{R}$, kí hiệu là: $S\left( O;\text{R} \right)$. Khi đó $S\left( O;\text{R} \right)=\left\{ M|OM=R \right\}$
2. Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu
Cho mặt cầu$S\left( O;\text{R} \right)$và một điểm$A$bất kì, khi đó:
Nếu $OA=\text{R}\Leftrightarrow A\in S\left( O;\text{R} \right)$. Khi đó $OA$ gọi là bán kính mặt cầu. Nếu $OA$ và $OB$ là hai bán kính sao cho $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OB}$ thì đoạn thẳng$AB$ gọi là một đường kính của mặt cầu.
- Nếu $OA<\text{R}\Leftrightarrow A$nằm trong mặt cầu.
- Nếu $OA>\text{R}\Leftrightarrow A$nằm ngoài mặt cầu.
$\Rightarrow $ Khối cầu $S\left( O;\text{R} \right)$ là tập hợp tất cả các điểm $M$ sao cho $OM\le \text{R}$.
3. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu$S\left( O;\text{R} \right)$và một $mp\left( P \right)$. Gọi $d$ là khoảng cách từ tâm $O$ của mặt cầu đến $mp\left( P \right)$ và $H$ là hình chiếu của $O$ trên $mp\left( P \right)\Rightarrow d=OH$.
- Nếu $d<R\Leftrightarrow $$mp\left( P \right)$ cắt mặt cầu $S\left( O;\text{R} \right)$ theo giao tuyến là đường tròn nằm trên $mp\left( P \right)$ có tâm là $H$ và bán kính $r=HM=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}-O{{H}^{2}}}$ (hình a).
- Nếu $d>R\Leftrightarrow mp\left( P \right)$ không cắt mặt cầu $S\left( O;\text{R} \right)$ (hình b).
- Nếu $d=R\Leftrightarrow mp\left( P \right)$ có một điểm chung duy nhất. Ta nói mặt cầu $S\left( O;\text{R} \right)$ tiếp xúc $mp\left( P \right)$. Do đó, điều kiện cần và đủ để $mp\left( P \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $S\left( O;\text{R} \right)$ là $d\left( O,\left( P \right) \right)=R$ (hình c).
4. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu$S\left( O;\text{R} \right)$và một đường thẳng$\Delta $. Gọi$H$là hình chiếu của$O$trên đường thẳng$\Delta $và $d=OH$là khoảng cách từ tâm$O$của mặt cầu đến đường thẳng$\Delta $. Khi đó:
- Nếu $d>R\Leftrightarrow \Delta $ không cắt mặt cầu$S\left( O;\text{R} \right)$.
- Nếu $d<R\Leftrightarrow \Delta $ cắt mặt cầu$S\left( O;\text{R} \right)$tại hai điểm phân biệt.
- Nếu $d=R\Leftrightarrow \Delta $ và mặt cầu tiếp xúc nhau (tại một điểm duy nhất). Do đó: điều kiện cần và đủ để đường thẳng$\Delta $tiếp xúc với mặt cầu là$d=d\left( O,\Delta \right)=R$.
Định lí: Nếu điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu $S\left( O;\text{R} \right)$ thì:
- Qua $A$ có vô số tiếp tuyến với mặt cầu $S\left( O;\text{R} \right)$.
- Độ dài đoạn thẳng nối $A$ với các tiếp điểm đều bằng nhau.
- Tập hợp các điểm này là một đường tròn nằm trên mặt cầu $S\left( O;\text{R} \right)$.
5. Diện tích và thể tích mặt cầu
II. CÁCH GIẢI BÀI TẬP MẶT CẦU
I. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
-
Các khái niệm cơ bản
Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.
$\Rightarrow $ Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.
Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
$\Rightarrow $ Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
$\Rightarrow $ Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
-
Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói cách khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp.
Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
-
Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện cơ bản
a/ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương.
– Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương).
$\Rightarrow $Tâm là $I$, là trung điểm của $AC’$.
Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương).
$\Rightarrow $Bán kính: $R=\frac{AC’}{2}$.
b/ Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn.
Xét hình lăng trụ đứng ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}…{{A}_{n}}.A_{1}^{‘}A_{2}^{‘}A_{3}^{‘}…A_{n}^{‘}$, trong đó có 2 đáy
${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}…{{A}_{n}}$và$A_{1}^{‘}A_{2}^{‘}A_{3}^{‘}…A_{n}^{‘}$ nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( O’ \right)$. Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:
– Tâm: $I$ với $I$ là trung điểm của $OO’$.
– Bán kính: $R=I{{A}_{1}}=I{{A}_{2}}=…=IA_{n}^{‘}$.
c/ Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông.
Hình chóp $S.ABC$ có $\widehat{SAC}=\widehat{SBC}={{90}^{0}}$.
+ Tâm: $I$ là trung điểm của$SC$.
+ Bán kính: $R=\frac{SC}{2}=IA=IB=IC$.
– Hình chóp $S.ABCD$ có
$\widehat{SAC}=\widehat{SBC}=\widehat{SDC}={{90}^{0}}$.
+ Tâm: $I$là trung điểm của$SC$.
+ Bán kính: $R=\frac{SC}{2}=IA=IB=IC=ID$.
d/ Hình chóp đều.
Cho hình chóp đều$S.ABC…$
– Gọi $O$là tâm của đáy$\Rightarrow SO$là trục của đáy.
– Trong mặt phẳng xác định bởi$SO$và một cạnh bên,
chẳng hạn như $mp\left( SAO \right)$, ta vẽ đường trung trực của cạnh$SA$
là $\Delta $ cắt $SA$ tại $M$ và cắt $SO$ tại $I$$\Rightarrow I$ là tâm của mặt cầu.
– Bán kính:
Ta có: $\Delta SMI\sim \Delta SOA\Rightarrow \frac{SM}{SO}=\frac{SI}{SA}\Rightarrow $ Bán kính là:
$R=IS=\frac{SM.SA}{SO}=\frac{S{{A}^{2}}}{2SO}=IA=IB=IC=…$
e/ Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.
Cho hình chóp $S.ABC…$ có cạnh bên $SA\bot $ đáy $\left( ABC… \right)$ và đáy $ABC…$ nội tiếp được trong đường tròn tâm $O$. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC…$được xác định như sau:
– Từ tâm $O$ ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng $d$ vuông góc với $mp\left( ABC… \right)$ tại $O$.
– Trong $mp\left( d,SA \right)$, ta dựng đường trung trực $\Delta $của cạnh$SA$, cắt$SA$ tại$M$, cắt $d$tại $I$.
$\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
và bán kính $R=IA=IB=IC=IS=…$
Tìm bán kính:
Ta có: $MIOB$là hình chữ nhật.
Xét $\Delta MAI$ vuông tại $M$ có:
$R=AI=\sqrt{M{{I}^{2}}+M{{A}^{2}}}=\sqrt{A{{O}^{2}}+{{\left( \frac{SA}{2} \right)}^{2}}}$.
f/ Hình chóp khác.
– Dựng trục $\Delta $ của đáy.
– Dựng mặt phẳng trung trực $\left( \alpha \right)$ của một cạnh bên bất kì.
– $\left( \alpha \right)\cap \Delta =I\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
– Bán kính: khoảng cách từ $I$ đến các đỉnh của hình chóp.
g/ Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp.
Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán.
II. KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP.
Cho hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}}$ (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:
Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng $\Delta $: trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực $(\alpha )$ của một cạnh bên.
Lúc đó : – Tâm O của mặt cầu: $\Delta \cap \text{mp(}\alpha )=\left\{ O \right\}$
– Bán kính: $R=SA\left( =SO \right)$. Tuỳ vào từng trường hợp.
Lưu ý: Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
- Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy.
Tính chất: $\forall M\in \Delta :\text{ }MA=MB=MC\text{ }$
Suy ra: $MA=MB=MC\text{ }\Leftrightarrow \text{ }M\in \Delta \text{ }$
- Các bước xác định trục:
– Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
– Bước 2: Qua H dựng $\Delta $ vuông góc với mặt phẳng đáy.
VD: Một số trường hợp đặc biệt
Lưu ý: Kỹ năng tam giác đồng dạng
$\Delta SMO$ đồng dạng với $\Delta SIA\Rightarrow \frac{SO}{SA}=\frac{SM}{SI}$.
Nhận xét quan trọng:
$\exists M,S:\,\,\left\{ \begin{align}& MA=MB=MC \\& SA=SB=SC \\\end{align} \right.\Rightarrow \text{SM}$ là trục đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
III. BÀI TẬP MẪU
Câu 1:
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SA$ vuông góc với đáy, $SA=a,\ $ $AD=5a,\ AB=2a.$ Điểm $E$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $CE=a$. Tính theo $a$ bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $SAED$.
Lời giải
Ta có $A{{E}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{E}^{2}}=4{{a}^{2}}+{{\left( 4a \right)}^{2}}=20{{a}^{2}},$$D{{E}^{2}}=D{{C}^{2}}+C{{E}^{2}}=4{{a}^{2}}+{{a}^{2}}=5{{a}^{2}}.$
Do đó $A{{E}^{2}}+D{{E}^{2}}=A{{D}^{2}}=25{{a}^{2}}$, suy ra tam giác $AED$ suy ra tam giác $AED$ vuông ở
$E.$ Suy ra $ED\bot \left( SAE \right)\Rightarrow ED\bot SE$. Vậy $A$và $E$ đều nhìn $SD$ dưới một góc vuông. Do đó mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $SAED$ có bán kính là $R=\frac{SD}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\frac{a\sqrt{26}}{2}.$
Câu 2:
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$, $B$. Biết $SA\bot \left( ABCD \right)$, $AB=BC=a$, $AD=2a$, $SA=a\sqrt{2}$. Gọi $E$ là trung điểm của $AD$. Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm $S$, $A$, $B$, $C$, $E$.
Lời giải
* Do $SA\bot \left( ABCD \right)$$\Rightarrow SA\bot AC$$\Rightarrow \widehat{SAC}=90{}^\circ $.
* Do $BC\bot \left( SAB \right)$$\Rightarrow BC\bot SC$$\Rightarrow \widehat{SBC}=90{}^\circ $.
* Do $CE\text{//}AB\Rightarrow CE\bot \left( SAD \right)$$\Rightarrow CE\bot SE$$\Rightarrow \widehat{SEC}=90{}^\circ $.
Suy ra các điểm $A$, $B$, $E$ cùng nhìn đoạn $SC$ dưới một góc vuông nên mặt cầu đi qua các điểm $S$, $A$, $B$, $C$, $E$ là mặt cầu đường kính $SC$.
Bán kính mặt cầu đi qua các điểm $S$, $A$, $B$, $C$, $E$ là: $R=\frac{SC}{2}$.
Xét tam giác $SAC$ vuông tại $A$ ta có: $AC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}$ $\Rightarrow SC=AC\sqrt{2}=2a$
$\Rightarrow R=\frac{SC}{2}=a$.
Câu 3:
Cho hình chóp tứ giác đều chiều cao là $h$ nội tiếp trong một mặt cầu bán kính $R$. Tìm $h$ theo $R$ để thể tích khối chóp là lớn nhất.
A. $h=\sqrt{3}R$. B. $h=\sqrt{2}R$. C. $V=\frac{4R}{3}$. D. $V=\frac{3R}{2}$.
Lời giải
Gọi $a$ là độ dài cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$. Gọi $O,I$ lần lượt là tâm đáy và tâm cầu ngoai tiếp hình chóp.
Tam giác $IBO$ có ${{\left( h-R \right)}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{2}={{R}^{2}}\Rightarrow \frac{{{a}^{2}}}{2}={{R}^{2}}-{{\left( h-R \right)}^{2}}=2Rh-{{h}^{2}}$.
Thể tích của khối chóp là: ${{V}_{{}}}=\frac{1}{3}{{a}^{2}}h=\frac{1}{3}2\left( 2Rh-{{h}^{2}} \right).h$.
Xét hàm số $y=\left( 2Rh-{{h}^{2}} \right).h$ với $0<h<2R$, ${y}’=4Rh-3{{h}^{2}}\Rightarrow {y}’=0\Rightarrow h=\frac{4R}{3}$.
Trên $\left( 0;2R \right)$, ${y}’$ đổi dấu từ “+” sang “-” qua $h=\frac{4R}{3}$ nên thể tích hình chóp đạt lớn nhất tại $h=\frac{4R}{3}$.
Câu 4:
Cho hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ và $\left( {{S}_{2}} \right)$ đồng tâm $O$, có bán kình lần lượt là ${{R}_{1}}=2$ và ${{R}_{2}}=\sqrt{10}$. Xét tứ diện $ABCD$ có hai đỉnh $A,\,B$ nằm trên $\left( {{S}_{1}} \right)$ và hai đỉnh $C,\,D$ nằm trên $\left( {{S}_{2}} \right)$. Thể tích lớn nhất của khối tứ diện $ABCD$ bằng
A. $3\sqrt{2}$. B. $7\sqrt{2}$. C. $4\sqrt{2}$. D. $6\sqrt{2}$.
Lời giải
Chọn D
Dựng mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $AB$ và song song với $CD$, cắt $\left( O;{{R}_{1}} \right)$ theo giao tuyến là đường tròn tâm $I$.
Dựng mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $CD$ và song song với $AB$, cắt $\left( O;{{R}_{2}} \right)$ theo giao tuyến là đường tròn tâm $J$.
Dựng hai đường kính ${A}'{B}’,\,{C}'{D}’$ lần lượt của hai đườn tròn sao cho ${A}'{B}’\bot {C}'{D}’$
Khi đó $IJ=d\left( AB;CD \right)=d\left( {A}'{B}’;{C}'{D}’ \right)$.
Xét tất cả các tứ diện có cạnh $AB$ nằm trên $\left( P \right)$ và $CD$ nằm trên $\left( Q \right)$ thì ta có:
${{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}AB.CD.IJ.\sin \left( \widehat{AB,CD} \right)\le \frac{1}{6}{A}'{B}’.{C}'{D}’.IJ={{V}_{{A}'{B}'{C}'{D}’}}$.
Do đó ta chỉ cần xét các tứ diện có cặp cạnh đối $AB\bot CD$ và chúng có trung điểm $I,\,J$ thẳng hàng với $O$.
Đặt $IA=x,\,\left( 0<x\le \sqrt{10} \right),JC=y,\left( 0<y\le 2 \right)$, ta có: $OI=\sqrt{10-{{x}^{2}}},\,OJ=\sqrt{4-{{y}^{2}}}$.
Khi đó: $d\left( AB,CD \right)=IJ=OI+OJ=\sqrt{10-{{x}^{2}}}+\sqrt{4-{{y}^{2}}}$.
Thể tích khối tứ diện $ABCD$ là:
${{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}AB.CD.IJ=\frac{1}{6}.2x.2y.\left( \sqrt{10-{{x}^{2}}}+\sqrt{4-{{y}^{2}}} \right)=\frac{2}{3}xy\left( \sqrt{10-{{x}^{2}}}+\sqrt{4-{{y}^{2}}} \right)$
Có $\sqrt{10-{{x}^{2}}}=\frac{1}{2}.2.\sqrt{10-{{x}^{2}}}\le \frac{14-{{x}^{2}}}{4};\,\sqrt{4-{{y}^{2}}}\le \frac{5-{{y}^{2}}}{2}$
Suy ra $\sqrt{10-{{x}^{2}}}+\sqrt{4-{{y}^{2}}}\le \frac{24-{{x}^{2}}-2{{y}^{2}}}{4}\le \frac{24-2\sqrt{2}xy}{4}=\frac{12-\sqrt{2}xy}{2}$.
Ta được: ${{V}_{ABCD}}\le \frac{2}{3}xy.\frac{12-\sqrt{2}xy}{2}=\frac{1}{3\sqrt{2}}\left( \sqrt{2}xy \right)\left( 12-\sqrt{2}xy \right)\le \frac{1}{3\sqrt{2}}{{\left( \frac{\sqrt{2}xy+12-\sqrt{2}xy}{2} \right)}^{2}}=6\sqrt{2}$.
Đẳng thức xảy ra khi: $\left\{ \begin{align}& 0<x\le \sqrt{10},\,0<y\le 2 \\& \sqrt{10-{{x}^{2}}}=2 \\& \sqrt{4-{{y}^{2}}}=1 \\& {{x}^{2}}=2{{y}^{2}} \\& \sqrt{2}xy=12-\sqrt{2}xy \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=\sqrt{6} \\& y=\sqrt{3} \\\end{align} \right.$
Vậy $\max {{V}_{ABCD}}=6\sqrt{2}$.
Câu 5:
Cho hình chóp $S.ABCD$có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB=BC=a,\,AD=2a$. Tam giác $SAD$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ theo $a$.
A. $6\pi {{a}^{2}}$. B. $10\pi {{a}^{2}}$. C. $3\pi {{a}^{2}}$. D. $5\pi {{a}^{2}}$.
Lời giải
Gọi $H$ là trung điểm của $AD$. Tam giác $SAD$ đều và $\left( SAD \right)\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$.
Ta có $AH=a,\,SH=a\sqrt{3}$ và tứ giác $ABCH$ là hình vuông cạnh $a$ $\Rightarrow BH=a\sqrt{2}.$
Mặt khác $\left\{ \begin{align}& AB\bot AD \\& AB\bot S \\\end{align} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SAD \right)\Rightarrow AB\bot SA$ hay $\widehat{SAB}={{90}^{0}}\,\,\,\,\left( 1 \right)$.
Chứng minh tương tự ta có $BC\bot SC$ hay $\widehat{SCB}={{90}^{0}}\,\,\,\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta thấy hai đỉnh $A$ và $C$ của hình chóp $S.ABC$ cùng nhìn $SB$ dưới một góc vuông. Do đó bốn điểm $S,A,B,C$ cùng nằm trên mặt cầu đường kính $SB$.
Xét tam giác vuông $SHB$, ta có $SB=\sqrt{B{{H}^{2}}+S{{H}^{2}}}=a\sqrt{5}$.
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là $S=4\pi {{\left( \frac{SB}{2} \right)}^{2}}=5\pi {{a}^{2}}$.