Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn các dạng bài tập hệ tọa độ trong không gian trong chương trình toán lớp 12 rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về bài tập hệ tọa độ trong không gian lớp 12 này bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình lớp 12 nhằm đạt được kết quả cao trong học tập nhé!
DẠNG 1: CÁC CÂU LIÊN QUAN TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ
Bài tập 1:
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho ba vectơ: $\overrightarrow{a}=(2;-5;3)$, $\overrightarrow{b}=\left( 0;2;-1 \right)$, $\overrightarrow{c}=\left( 1;7;2 \right)$. Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}$.
Lời giải
Ta có: $\overrightarrow{a}=\left( 2;-5;3 \right)$
$4\overrightarrow{b}=\left( 0;8;-4 \right)$
$2\overrightarrow{c}=\left( 2;14;4 \right)$
Suy ra: $\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}$
$=\left( 2;-5;3 \right)-\left( 0;8;-4 \right)-\left( 2;14;4 \right)$
$=\left( 2-0-2;-5-8-14;3+4-4 \right)$
$=\left( 0;-27;3 \right)$. Vậy $\overrightarrow{d}=\left( 0;-27;3 \right)$.
Bài tập 2:
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 1;2;4 \right),B\left( 2;-1;0 \right),D\left( -2;3;-1 \right)$.
1/ Tìm tọa độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
2/ Tìm tọa độ tâm I của hình bình hành $ABCD$.
Lời giải
1/ Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}_{D}}={{x}_{C}}-{{x}_{B}}+{{x}_{A}}=-3 \\& {{y}_{D}}={{y}_{C}}-{{y}_{B}}+{{y}_{A}}=6 \\& {{z}_{D}}={{z}_{C}}-{{z}_{B}}+{{z}_{A}}=3 \\\end{align} \right.\Rightarrow D\left( -3;6;3 \right)$
2/ Điểm I là tâm hình bình hành $ABCD$
$\Rightarrow $I là trung điểm của AC $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}_{I}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{C}}}{2} \\& {{y}_{I}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{C}}}{2} \\& {{z}_{I}}=\frac{{{z}_{A}}+{{z}_{C}}}{2} \\\end{align} \right.\Rightarrow I\left( -\frac{1}{2};\frac{5}{2};\frac{3}{2} \right)$.
Bài tập 3:
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 1;-1;5 \right),\,B\left( 3;4;4 \right),\,C\left( 4;6;1 \right)$. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) và cách đều các điểm A, B, C ?
Lời giải
Gọi $M\left( x;y;0 \right)\,\in \left( Oxy \right)\,,\left( x,y\in \mathbb{R};{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ne 0 \right)$là điểm cần tìm.
Vì M cách đều A, B, C nên ta có: $MA=MB=MC\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& A{{M}^{2}}=B{{M}^{2}} \\& A{{M}^{2}}=C{{M}^{2}} \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( 0-5 \right)}^{2}}={{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{\left( 0-4 \right)}^{2}} \\& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( 0-5 \right)}^{2}}={{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}+{{\left( 0-1 \right)}^{2}} \\\end{align} \right.$
Vậy $M\left( 16;-5;0 \right)$.
DẠNG 2: TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
Bài tập 1:
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A\left( 2;0;0 \right)$, $B\left( 0;3;1 \right)$, $C\left( -3;6;4 \right)$. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $MC=2MB$. Tính độ dài đoạn thẳng$AM$.
Lời giải
Vì điểm $M$ thuộc cạnh $BC$ nên $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB}$, suy ra tọa độ điểm $M$ là
$\left\{ \begin{align}& {{x}_{M}}=\frac{{{x}_{C}}-(-2){{x}_{B}}}{1-(-2)}=-1 \\& {{y}_{M}}=\frac{{{y}_{C}}-(-2){{y}_{B}}}{1-(-2)}=4 \\& {{z}_{M}}=\frac{{{z}_{C}}-(-2){{z}_{B}}}{1-(-2)}=2 \\\end{align} \right.$.
Vậy độ dài $AM$ bằng:
$\sqrt{{{\left( {{x}_{M}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{M}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}+{{({{z}_{M}}-{{z}_{A}})}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -1-2 \right)}^{2}}+{{\left( 4-0 \right)}^{2}}+{{(2-0)}^{2}}}=\sqrt{29}$.
Bài tập 2:
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ cho hai vecto $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ thỏa mãn $\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right)={{120}^{0}};\left| \overrightarrow{a} \right|=2;\left| \overrightarrow{b} \right|=3$
1) Tính $\left| \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b} \right|$.
2) Tính góc giữa hai vecto $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{x}=3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$.
Lời giải
1) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|.\cos \left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right)=-3$
$\Rightarrow {{\left( \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b} \right)}^{2}}={{\overrightarrow{a}}^{2}}-4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+4{{\overrightarrow{b}}^{2}}=52\Rightarrow \left| \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b} \right|=2\sqrt{13}$.
2) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}\left( \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b} \right)={{\overrightarrow{a}}^{2}}-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=6$ và $\left| \overrightarrow{x} \right|=\sqrt{{{\left( 3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b} \right)}^{2}}}=6$.
$\Rightarrow \cos \left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{x} \right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{x}}{\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{x} \right|}=\frac{1}{2}\Rightarrow \left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{x} \right)={{60}^{0}}$.
Bài tập 3:
Trong không gian với hệ tọa độ$Oxyz$ cho $A(-2;2;-1)$, $B\left( -2;3;0 \right),\,$$C\left( x;3;-1 \right)$. Tìm các giá trị của $x$ để tam giác $ABC$ đều?
Lời giải
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng $AB$.
Ta có: $M\left( -2;\frac{5}{2};-\frac{1}{2} \right)$ ,$AB=\sqrt{2}$, $CM=\sqrt{{{(x+2)}^{2}}+\frac{1}{2}}$.
Tam giác ABC đều khi và chỉ khi $CM=AB\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \sqrt{{{(x+2)}^{2}}+\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\Leftrightarrow {{(x+2)}^{2}}=1\Rightarrow \left[ \begin{align}& x=-1 \\& x=-3 \\\end{align} \right.$.
Vậy: $\left[ \begin{align}& x=-1 \\& x=-3 \\\end{align} \right.$ là các giá trị cần tìm.
DẠNG 3: TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG
Bài tập 1:
Trong không gian $Oxyz$, tính diện tích $S$ của tam giác $ABC$, biết $A\,\left( 2\,;\,0\,;\,0 \right)\,,\,\,B\left( 0\,;\,3\,;\,0 \right)$ và $C\,\left( 0\,;\,0\,;\,4 \right)$.
A. $S\,=\,\frac{\sqrt{61}}{3}$. B. $S\,=\,\frac{\sqrt{61}}{2}$. C. $S\,=\,2\,\sqrt{61}$. D. $S\,=\,\sqrt{61}$.
Lời giải
$\overrightarrow{AB}\,=\,\left( -2\,;\,3\,;\,0 \right)$, $\overrightarrow{AC}\,=\,\left( -2\,;\,0\,;\,4 \right)$, $\left[ \overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AC} \right]\,=\,\left( 12\,;\,8\,;\,6 \right)$.
Ta có $\left| \left[ \overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AC} \right] \right|\,=\,\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|.\sin \left( \overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AC} \right)\,=\,2\,S$.
Diện tích tam giác $ABC$ là $S\,=\,\frac{1}{2}\,.\,\left| \left[ \overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AC} \right] \right|\,=\frac{1}{2}\,\sqrt{{{12}^{2}}+\,\,\,{{8}^{2}}\,\,+\,\,{{6}^{2}}}\,\,=\,\,\sqrt{61}$.
Do đó, đáp án chính xác ở đây là D.
Bài tập 2:
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 2\,;\,-2\,;\,1 \right)$, $B\left( 0\,;\,1\,;\,2 \right)$. Tọa độ điểm $M$ thuộc mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho ba điểm $A$, $B$, $M$ thẳng hàng là
A. $M\left( 4\,;\,-5\,;\,0 \right)$. B. $M\left( 2\,;\,-3\,;\,0 \right)$. C. $M\left( 0\,;\,0\,;\,1 \right)$. D. $M\left( 4\,;\,5\,;\,0 \right)$.
Lời giải
Ta có $M\in \left( Oxy \right)\Rightarrow M\left( x\,;\,y\,;\,0 \right)$; $\overrightarrow{AB}=\left( -2\,;\,3\,;\,1 \right);\overrightarrow{AM}=\left( x-2\,;\,y+2\,;\,-1 \right)$.
Để $A$, $B$, $M$ thẳng hàng thì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AM}$ cùng phương, khi đó: $\frac{x-2}{-2}=\frac{y+2}{3}=\frac{-1}{1}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=4 \\& y=-5 \\\end{align} \right.$.
Vậy $M\left( 4\,;\,-5\,;\,0 \right)$.
Do đó, đáp án chính xác ở đây là A.
Bài tập 3:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho các véc tơ $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{v}=\left( m;\,2;\,m+1 \right)$ với $m$ là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị của $m$ để $\left| \overrightarrow{u} \right|=\left| \overrightarrow{v} \right|$.
A. $0$. B. $1$. C. $2$. D. $3$.
Lời giải
Ta có $\overrightarrow{u}=\left( 2;\,-2;\,1 \right)$
Khi đó $\left| \overrightarrow{u} \right|=\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}=3$ và $\left| \overrightarrow{v} \right|=\sqrt{{{m}^{2}}+{{2}^{2}}+{{\left( m+1 \right)}^{2}}}=\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+5}$
Do đó $\left| \overrightarrow{u} \right|=\left| \overrightarrow{v} \right|\Leftrightarrow 9=2{{m}^{2}}+2m+5$$\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=1 \\& m=-2 \\\end{align} \right.$
Vậy có 2 giá trị của $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
Do đó, đáp án chính xác ở đây là C.
DẠNG 4: XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH
$\centerdot $ Mặt cầu tâm ${I(a;b;c)}$ và có bán kính $R$ có phương trình $(S):{{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}+{{(z-c)}^{2}}={{R}^{2}}.$
$\centerdot $ Phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0$ với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0$
là phương trình của mặt cầu có tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}.$
$\centerdot $ Để một phương trình là một phương trình mặt cầu, cần thỏa mãn hai điều kiện:
Hệ số trước ${{x}^{2}},\text{ }{{y}^{2}},\text{ }{{z}^{2}}$ phải bằng nhau và ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0.$
Bài tập 1:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y-4=0$.Tính bán kính $R$ của $(S).$
A. $1$. B. $9$. C. $2$. D. $3$.
Lời giải
Giả sử phương trình mặt cầu $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0\text{ }({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0)$
Ta có: $a=-2,b=1,c=0,d=-4\Rightarrow $ Bán kính $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}=3$.
Do đó, đáp án chính xác ở đây là D.
Bài tập 2:
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+10y-6z+49=0$. Tính bán kính $R$ của mặt cầu $\left( S \right)$.
A. $R=1$. B. $R=7$. C. $R=\sqrt{151}$. D. $R=\sqrt{99}$.
Lời giải
Phương trình mặt cầu: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0$ $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0 \right)$ có tâm $I\left( a\,;\,b\,;\,c \right)$, bán kính $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}$.
Ta có $a=4$, $b=-5$, $c=3$, $d=49$. Do đó $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}=1$.
Do đó, đáp án chính xác ở đây là A.
Bài tập 3:
Trong không gian với hệ tọa độ $\text{Ox}yz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+1=0$. Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu $\left( S \right)$.
A. $I\left( 4\,;\,1\,;\,0 \right)\,,\,R=2.$ B. $I\left( 4\,;\,1\,;\,0 \right)\,,\,R=4.$ C. $I\left( 4;\,1\,;\,0 \right)\,,\,R=2.$ D. $I\left( 4;\,1\,;\,0 \right)\,,\,R=4.$
Lời giải
Ta có: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+1=0\Leftrightarrow {{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=16.$
Vậy mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 4\,;\,1\,;\,0 \right)$ và bán kính $R=4.$
Do đó, đáp án chính xác ở đây là D.
DẠNG 2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Dạng 1. Dạng phương trình cơ bản mà chúng ta thường hay bắt gặp như sau:
Dạng 2. Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ và đi qua điểm $A.$
Phương pháp:
Dạng 3. Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có đường kính $AB,$ với $A,\text{ }B$ cho trước nên ta có như sau:
Phương pháp:
| Đây là trung điểm của AB |
Bài tập 1:
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 1\,;\,1\,;\,1 \right)$ và $B\left( 1\,;\,-1\,;\,3 \right)$. Phương trình mặt cầu có đường kính $AB$ là
A. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=8$. B. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=2$.
C. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=2$. D. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=8$.
Lời giải
Gọi $I$ là tâm của mặt cầu đường kính $AB$.
Khi đó $I\left( 1\,;\,0\,;\,2 \right)$.
Bán kính của mặt cầu là: $R=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( 1-1 \right)}^{2}}+{{\left( -1-1 \right)}^{2}}+{{\left( 3-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{2}$.
Vậy phương trình mặt cầu là: ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=2$.
Do đó, đáp án chính xác ở đây là B.
Bài tập 2:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 1;-2;7 \right),B\left( -3;8;-1 \right)$. Mặt cầu đường kính $AB$ có phương trình là
A. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\sqrt{45}$. B. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=45$.
B. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=\sqrt{45}$. D. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=45$.
Lời giải
Gọi $I$là trung điểm $AB$ ta có $I\left( -1;3;3 \right)$ là tâm mặt cầu.
Bán kính $R=IA=\sqrt{{{\left( 1+1 \right)}^{2}}+{{\left( -2-3 \right)}^{2}}+{{\left( 7-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{45}.$
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=45$.
Do đó, đáp án chính xác ở đây là D.
Bài tập 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình của mặt cầu?
A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4z-1=0$ B. ${{x}^{2}}+{{z}^{2}}+3x-2y+4z-1=0$
C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2xy-4y+4z-1=0$ D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+2y-4z+8=0$
Lời giải
Đáp án B vì không có số hạng ${{y}^{2}}$. Đáp án C loại vì có số hạng $2xy$. Đáp án D loại vì ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d=1+1+4-8=-2<0$.
Đáp án A thỏa mãn vì ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d=1+0+4+1=6>0$.
Do đó, đáp án chính xác ở đây là A.
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về các dạng bài tập hệ tọa độ trong không gian mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!