Cách giải và bài tập mẫu các dạng bài tập hệ tọa độ trong không gian

Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn các dạng bài tập hệ tọa độ trong không gian trong chương trình toán lớp 12 rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về bài tập hệ tọa độ trong không gian lớp 12 này bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình lớp 12 nhằm đạt được kết quả cao trong học tập nhé!

DẠNG 1: CÁC CÂU LIÊN QUAN TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ

Bài tập 1: Tìm tọa độ vectơ 

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho ba vectơ: $\overrightarrow{a}=(2;-5;3)$, $\overrightarrow{b}=\left( 0;2;-1 \right)$, $\overrightarrow{c}=\left( 1;7;2 \right)$. Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}$.

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow{a}=\left( 2;-5;3 \right)$

$4\overrightarrow{b}=\left( 0;8;-4 \right)$

$2\overrightarrow{c}=\left( 2;14;4 \right)$

Suy ra: $\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}$

$=\left( 2;-5;3 \right)-\left( 0;8;-4 \right)-\left( 2;14;4 \right)$

$=\left( 2-0-2;-5-8-14;3+4-4 \right)$

$=\left( 0;-27;3 \right)$. Vậy $\overrightarrow{d}=\left( 0;-27;3 \right)$.

Bài tập 2: Tìm tọa độ của vecto trong không gian

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 1;2;4 \right),B\left( 2;-1;0 \right),D\left( -2;3;-1 \right)$.

1/ Tìm tọa độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

2/ Tìm tọa độ tâm I của hình bình hành $ABCD$.

Lời giải

1/ Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}_{D}}={{x}_{C}}-{{x}_{B}}+{{x}_{A}}=-3 \\& {{y}_{D}}={{y}_{C}}-{{y}_{B}}+{{y}_{A}}=6 \\& {{z}_{D}}={{z}_{C}}-{{z}_{B}}+{{z}_{A}}=3 \\\end{align} \right.\Rightarrow D\left( -3;6;3 \right)$

2/ Điểm I là tâm hình bình hành $ABCD$

$\Rightarrow $I là trung điểm của AC $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}_{I}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{C}}}{2} \\& {{y}_{I}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{C}}}{2} \\& {{z}_{I}}=\frac{{{z}_{A}}+{{z}_{C}}}{2} \\\end{align} \right.\Rightarrow I\left( -\frac{1}{2};\frac{5}{2};\frac{3}{2} \right)$.

Bài tập 3: Tìm tọa độ điểm M  thuộc mặt phẳng (Oxy) và cách đều các điểm A, B, C

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 1;-1;5 \right),\,B\left( 3;4;4 \right),\,C\left( 4;6;1 \right)$. Tìm tọa độ điểm M  thuộc mặt phẳng (Oxy) và cách đều các điểm A, B, C ?

Lời giải

Gọi $M\left( x;y;0 \right)\,\in \left( Oxy \right)\,,\left( x,y\in \mathbb{R};{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ne 0 \right)$là điểm cần tìm.

Vì M cách đều A, B, C nên ta có: $MA=MB=MC\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& A{{M}^{2}}=B{{M}^{2}} \\& A{{M}^{2}}=C{{M}^{2}} \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( 0-5 \right)}^{2}}={{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{\left( 0-4 \right)}^{2}} \\& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( 0-5 \right)}^{2}}={{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}+{{\left( 0-1 \right)}^{2}} \\\end{align} \right.$

bài tập hệ tọa độ trong không gian lớp 12

Vậy $M\left( 16;-5;0 \right)$.

DẠNG 2: TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Bài tập 1: Tính độ dài đoạn thẳng$AM$

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A\left( 2;0;0 \right)$, $B\left( 0;3;1 \right)$, $C\left( -3;6;4 \right)$. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $MC=2MB$. Tính độ dài đoạn thẳng$AM$.

Lời giải

Vì điểm $M$ thuộc cạnh $BC$ nên $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB}$, suy ra tọa độ điểm $M$ là

$\left\{ \begin{align}& {{x}_{M}}=\frac{{{x}_{C}}-(-2){{x}_{B}}}{1-(-2)}=-1 \\& {{y}_{M}}=\frac{{{y}_{C}}-(-2){{y}_{B}}}{1-(-2)}=4 \\& {{z}_{M}}=\frac{{{z}_{C}}-(-2){{z}_{B}}}{1-(-2)}=2 \\\end{align} \right.$.

Vậy độ dài $AM$ bằng:

$\sqrt{{{\left( {{x}_{M}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{M}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}+{{({{z}_{M}}-{{z}_{A}})}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -1-2 \right)}^{2}}+{{\left( 4-0 \right)}^{2}}+{{(2-0)}^{2}}}=\sqrt{29}$.

Bài tập 2: Tính trị tuyệt đối và góc giữa hai vecto

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ cho hai vecto $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ thỏa mãn $\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right)={{120}^{0}};\left| \overrightarrow{a} \right|=2;\left| \overrightarrow{b} \right|=3$

1) Tính $\left| \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b} \right|$.

2) Tính góc giữa hai vecto $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{x}=3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$.

Lời giải

1) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|.\cos \left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right)=-3$

$\Rightarrow {{\left( \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b} \right)}^{2}}={{\overrightarrow{a}}^{2}}-4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+4{{\overrightarrow{b}}^{2}}=52\Rightarrow \left| \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b} \right|=2\sqrt{13}$.

2) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}\left( \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b} \right)={{\overrightarrow{a}}^{2}}-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=6$ và $\left| \overrightarrow{x} \right|=\sqrt{{{\left( 3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b} \right)}^{2}}}=6$.

$\Rightarrow \cos \left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{x} \right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{x}}{\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{x} \right|}=\frac{1}{2}\Rightarrow \left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{x} \right)={{60}^{0}}$.

Bài tập 3: Tìm các giá trị của $x$ để tam giác $ABC$ đều

Trong không gian với hệ tọa độ$Oxyz$ cho $A(-2;2;-1)$, $B\left( -2;3;0 \right),\,$$C\left( x;3;-1 \right)$. Tìm các giá trị của $x$ để tam giác $ABC$ đều?

Lời giải

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng $AB$.

Ta có: $M\left( -2;\frac{5}{2};-\frac{1}{2} \right)$ ,$AB=\sqrt{2}$, $CM=\sqrt{{{(x+2)}^{2}}+\frac{1}{2}}$.

Tam giác ABC đều khi và chỉ khi $CM=AB\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \sqrt{{{(x+2)}^{2}}+\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\Leftrightarrow {{(x+2)}^{2}}=1\Rightarrow \left[ \begin{align}& x=-1 \\& x=-3 \\\end{align} \right.$.

Vậy: $\left[ \begin{align}& x=-1 \\& x=-3 \\\end{align} \right.$ là các giá trị cần tìm.

Xem thêm: Các dạng phương trình đường thẳng trong không gian đầy đủ nhất

DẠNG 3: TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG

Bài tập 1: Tính diện tích $S$ của tam giác $ABC$

Trong không gian $Oxyz$, tính diện tích $S$ của tam giác $ABC$, biết $A\,\left( 2\,;\,0\,;\,0 \right)\,,\,\,B\left( 0\,;\,3\,;\,0 \right)$ và $C\,\left( 0\,;\,0\,;\,4 \right)$.

A. $S\,=\,\frac{\sqrt{61}}{3}$.                         B. $S\,=\,\frac{\sqrt{61}}{2}$.                         C. $S\,=\,2\,\sqrt{61}$.                         D. $S\,=\,\sqrt{61}$.

Lời giải

$\overrightarrow{AB}\,=\,\left( -2\,;\,3\,;\,0 \right)$, $\overrightarrow{AC}\,=\,\left( -2\,;\,0\,;\,4 \right)$, $\left[ \overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AC} \right]\,=\,\left( 12\,;\,8\,;\,6 \right)$.

Ta có $\left| \left[ \overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AC} \right] \right|\,=\,\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|.\sin \left( \overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AC} \right)\,=\,2\,S$.

Diện tích tam giác $ABC$ là $S\,=\,\frac{1}{2}\,.\,\left| \left[ \overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AC} \right] \right|\,=\frac{1}{2}\,\sqrt{{{12}^{2}}+\,\,\,{{8}^{2}}\,\,+\,\,{{6}^{2}}}\,\,=\,\,\sqrt{61}$.

Do đó, đáp án chính xác ở đây là D.

Bài tập 2: Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho ba điểm $A$, $B$, $M$ thẳng hàng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 2\,;\,-2\,;\,1 \right)$, $B\left( 0\,;\,1\,;\,2 \right)$. Tọa độ điểm $M$ thuộc mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho ba điểm $A$, $B$, $M$ thẳng hàng là

A. $M\left( 4\,;\,-5\,;\,0 \right)$.                        B. $M\left( 2\,;\,-3\,;\,0 \right)$.                        C. $M\left( 0\,;\,0\,;\,1 \right)$.                        D. $M\left( 4\,;\,5\,;\,0 \right)$.

Lời giải

Ta có $M\in \left( Oxy \right)\Rightarrow M\left( x\,;\,y\,;\,0 \right)$; $\overrightarrow{AB}=\left( -2\,;\,3\,;\,1 \right);\overrightarrow{AM}=\left( x-2\,;\,y+2\,;\,-1 \right)$.

Để $A$, $B$, $M$ thẳng hàng thì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AM}$ cùng phương, khi đó: $\frac{x-2}{-2}=\frac{y+2}{3}=\frac{-1}{1}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=4 \\& y=-5 \\\end{align} \right.$.

Vậy $M\left( 4\,;\,-5\,;\,0 \right)$.

Do đó, đáp án chính xác ở đây là A.

Bài tập 3: Tìm tổng các giá trị của $m$ thỏa mãn điều kiện

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho các véc tơ $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{v}=\left( m;\,2;\,m+1 \right)$ với $m$ là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị của $m$ để $\left| \overrightarrow{u} \right|=\left| \overrightarrow{v} \right|$.

A. $0$.                        B. $1$.                        C. $2$.                        D. $3$.

Lời giải

Ta có $\overrightarrow{u}=\left( 2;\,-2;\,1 \right)$

Khi đó $\left| \overrightarrow{u} \right|=\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}=3$ và $\left| \overrightarrow{v} \right|=\sqrt{{{m}^{2}}+{{2}^{2}}+{{\left( m+1 \right)}^{2}}}=\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+5}$

Do đó $\left| \overrightarrow{u} \right|=\left| \overrightarrow{v} \right|\Leftrightarrow 9=2{{m}^{2}}+2m+5$$\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=1 \\& m=-2 \\\end{align} \right.$

Vậy có 2 giá trị của $m$ thỏa yêu cầu bài toán.

Do đó, đáp án chính xác ở đây là C.

DẠNG 4: XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH

$\centerdot $ Mặt cầu tâm ${I(a;b;c)}$ và có bán kính $R$ có phương trình $(S):{{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}+{{(z-c)}^{2}}={{R}^{2}}.$

 $\centerdot $ Phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0$ với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0$

là phương trình của mặt cầu có tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}.$

$\centerdot $ Để một phương trình là một phương trình mặt cầu, cần thỏa mãn hai điều kiện:

Hệ số trước ${{x}^{2}},\text{ }{{y}^{2}},\text{ }{{z}^{2}}$ phải bằng nhau và ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0.$

các dạng bài tập hệ tọa độ trong không gian

Bài tập 1: Tính bán kính $R$ của $(S).$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y-4=0$.Tính bán kính $R$ của $(S).$

A. $1$.                          B. $9$.                          C. $2$.                          D. $3$.

Lời giải

Giả sử phương trình mặt cầu $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0\text{ }({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0)$

Ta có: $a=-2,b=1,c=0,d=-4\Rightarrow $ Bán kính $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}=3$.

Do đó, đáp án chính xác ở đây là D.

Bài tập 2: Tính bán kính $R$ của mặt cầu $\left( S \right)$

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+10y-6z+49=0$. Tính bán kính $R$ của mặt cầu $\left( S \right)$.

A. $R=1$.                          B. $R=7$.                          C. $R=\sqrt{151}$.                          D. $R=\sqrt{99}$.

Lời giải

Phương trình mặt cầu: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0$ $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0 \right)$ có tâm $I\left( a\,;\,b\,;\,c \right)$, bán kính $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}$.

Ta có $a=4$, $b=-5$, $c=3$, $d=49$. Do đó $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}=1$.

Do đó, đáp án chính xác ở đây là A.

Bài tập 3: Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu $\left( S \right)$

Trong không gian với hệ tọa độ $\text{Ox}yz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+1=0$. Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu $\left( S \right)$.

A. $I\left( 4\,;\,1\,;\,0 \right)\,,\,R=2.$                          B. $I\left( 4\,;\,1\,;\,0 \right)\,,\,R=4.$                          C. $I\left( 4;\,1\,;\,0 \right)\,,\,R=2.$                          D. $I\left( 4;\,1\,;\,0 \right)\,,\,R=4.$

Lời giải

Ta có: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+1=0\Leftrightarrow {{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=16.$

Vậy mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 4\,;\,1\,;\,0 \right)$ và bán kính $R=4.$

Do đó, đáp án chính xác ở đây là D.

DẠNG 2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Dạng 1. Dạng phương trình cơ bản mà chúng ta thường hay bắt gặp như sau:

các dạng bài tập hệ tọa độ trong không gian

Dạng 2. Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ và đi qua điểm $A.$

Phương pháp: 

các dạng bài tập hệ tọa độ trong không gian

Dạng 3. Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có đường kính $AB,$ với $A,\text{ }B$ cho trước nên ta có như sau:

Phương pháp: 

các dạng bài tập hệ tọa độ trong không gian

Đây là trung điểm của AB

Bài tập 1: Tìm phương trình mặt cầu có đường kính $AB$

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 1\,;\,1\,;\,1 \right)$ và $B\left( 1\,;\,-1\,;\,3 \right)$. Phương trình mặt cầu có đường kính $AB$ là

A. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=8$.               B. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=2$.

C. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=2$.               D. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=8$.

Lời giải

Gọi $I$ là tâm của mặt cầu đường kính $AB$.

Khi đó $I\left( 1\,;\,0\,;\,2 \right)$.

Bán kính của mặt cầu là: $R=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( 1-1 \right)}^{2}}+{{\left( -1-1 \right)}^{2}}+{{\left( 3-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{2}$.

Vậy phương trình mặt cầu là: ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=2$.

Do đó, đáp án chính xác ở đây là B.

Bài tập 2: Tìm Phương trình Mặt cầu đường kính $AB$ 

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 1;-2;7 \right),B\left( -3;8;-1 \right)$. Mặt cầu đường kính $AB$ có phương trình là

A. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\sqrt{45}$.               B. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=45$.

B. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=\sqrt{45}$.               D. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=45$.

Lời giải

Gọi $I$là trung điểm $AB$ ta có $I\left( -1;3;3 \right)$ là tâm mặt cầu.

Bán kính $R=IA=\sqrt{{{\left( 1+1 \right)}^{2}}+{{\left( -2-3 \right)}^{2}}+{{\left( 7-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{45}.$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=45$.

Do đó, đáp án chính xác ở đây là D.

Bài tập 3: Tìm phương trình của mặt cầu trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình của mặt cầu?

A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4z-1=0$               B. ${{x}^{2}}+{{z}^{2}}+3x-2y+4z-1=0$

C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2xy-4y+4z-1=0$               D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+2y-4z+8=0$

Lời giải

Đáp án B vì không có số hạng ${{y}^{2}}$. Đáp án C loại vì có số hạng $2xy$. Đáp án D loại vì ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d=1+1+4-8=-2<0$.

Đáp án A thỏa mãn vì ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d=1+0+4+1=6>0$.

Do đó, đáp án chính xác ở đây là A.

Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về các dạng bài tập hệ tọa độ trong không gian mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!

Xem thêm:

Các dạng phương trình đường thẳng trong không gian đầy đủ nhất