Bài viết sau đây giới thiệu đến các bạn cách giải các dạng bài tập hàm số lũy thừa cùng với các bài tập mẫu để luyện tập. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt môn Toán lớp 12!
DẠNG 1. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA
1. Cách giải dạng bài tìm tập xác định của hàm số lũy thừa
2. Bài tập mẫu dạng bài tìm tập xác định của hàm số lũy thừa
Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có tập xác định $D=\mathbb{R}$?
A. $y={{\left( 2+\sqrt{x} \right)}^{\pi }}$ B. $y={{\left( 2+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{\pi }}$
C. $y={{\left( 2+{{x}^{2}} \right)}^{\pi }}$ D. $y={{\left( 2+x \right)}^{\pi }}$
Lời giải
Chọn C
Đáp án A: Điều kiện $x\ge 0$. Tập xác định $D=\left[ 0;+\infty \right)$.
Đáp án B: Điều kiện $x\ne 0$. Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.
Đáp án C: Điều kiện $2+{{x}^{2}}>0$ . Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Đáp án D: Điều kiện $2+x>0\Leftrightarrow x>-2$. Tập xác định $D=\left( -2;+\infty \right)$.
Câu 2: Tìm tập xác định của hàm số
Tập xác định của hàm số $y={{(-{{x}^{2}}+6x-8)}^{\sqrt{2}}}$ là
A. $D=(2;4)$ B. $\left( -\infty ;2 \right)$. C. $\left( 4;+\infty \right)$. D. $D=\mathbb{R}$.
Lời giải
Hàm số xác định khi và chỉ khi: $-{{x}^{2}}+6x-8>0\Leftrightarrow 2<x<4$.
Vậy tập xác định của hàm số là $D=\left( 2;4 \right)$.
Câu 3: Tìm tập xác định của hàm số
Tìm tập xác định của hàm số $y={{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)}^{\frac{1}{3}}}$ là
A. $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1\,;\,2 \right\}$. B. $\left( -\infty \,;\,1 \right)\cup \left( 2\,;\,+\infty \right)$.
C. $\left( 1\,;\,2 \right)$. D. $\mathbb{R}$.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện xác định là ${{x}^{2}}-3x+2>0\Leftrightarrow x\in \left( -\infty \,;\,1 \right)\cup \left( 2\,;\,+\infty \right)$.
Vậy tập xác định của hàm số là $D=\left( -\infty \,;\,1 \right)\cup \left( 2\,;\,+\infty \right)$.
Câu 4: Tìm tập xác định của hàm số
Tập xác định $D$ của hàm số $y={{\left( {{x}^{3}}-27 \right)}^{\frac{\pi }{2}}}$ là
A. $D=\left( 3;+\infty \right)$ B. $D=\left[ 3;+\infty \right)$.
C. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}$. D. $D=\mathbb{R}$.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện xác định của hàm số: ${{x}^{3}}-27>0\Leftrightarrow x>3$.
Do đó tập xác định của hàm số là $D=\left( 3;+\infty \right)$.
Câu 5: Tìm tập xác định của hàm số
Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y={{\left( {{x}^{2}}-6x+9 \right)}^{\frac{\pi }{2}}}$.
A. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$. B. $D=\left( 3;+\infty \right)$.
C. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}$. D. $D=\mathbb{R}$.
Lời giải
Chọn C
Do $\frac{\pi }{2}\cancel{\in }\mathbb{Z}$ nên ta có điều kiện: ${{x}^{2}}-6x+9>0\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow x\ne 3$
Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}$
Xem thêm: Cách giải và bài tập mẫu đạo hàm logarit
DẠNG 2. ĐẠO HÀM HÀM SỐ LŨY THỪA
1. Cách giải đạo hàm hàm số lũy thừa
2. Bài tập mẫu đạo hàm hàm số lũy thừa
Câu 1: Tìm đạo hàm của hàm số
Đạo hàm của hàm số $y={{\left( 2x-1 \right)}^{\frac{1}{3}}}$ là:
A. ${y}’=\frac{1}{3}{{\left( 2x-1 \right)}^{-\frac{2}{3}}}$. B. ${y}’={{\left( 2x-1 \right)}^{\frac{1}{3}}}\cdot \ln \left| 2x-1 \right|$.
B. ${y}’=\frac{2}{3}{{\left( 2x-1 \right)}^{\frac{4}{3}}}$. D. ${y}’=\frac{2}{3}{{\left( 2x-1 \right)}^{-\frac{2}{3}}}$.
Lời giải
Ta có: ${y}’=\frac{1}{3}{{\left( 2x-1 \right)}^{-\frac{2}{3}}}\cdot {{\left( 2x-1 \right)}^{\prime }}=\frac{2}{3}{{\left( 2x-1 \right)}^{-\frac{2}{3}}}$.
Câu 2: Tìm đạo hàm của hàm số
Tính đạo hàm của hàm số $y=\sin 2x+{{3}^{x}}$
A. $y’=2\cos 2x+x{{3}^{x-1}}$. B. $y’=-\cos 2x+{{3}^{x}}$.
C. $y’=-2\cos 2x-{{3}^{x}}\ln 3$. D. $y’=2\cos 2x+{{3}^{x}}\ln 3$.
Lời giải
Hàm số $y=\sin 2x+{{3}^{x}}$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$ và có đạo hàm: $y’=2\cos 2x+{{3}^{x}}\ln 3$.
Câu 3: Tìm đạo hàm của hàm số
Cho hàm số ${\left( 1 \right)}$, ${\left( x>0 \right)}$. Đạo hàm của ${y}$ là:
A. ${{y}’={{\text{e}}^{\frac{15}{16}}}.{{x}^{-\frac{31}{32}}}}$. B. ${{y}’=\frac{\sqrt{\text{e}\sqrt{\text{e}\sqrt{\text{e}\sqrt{\text{e}}}}}}{32.\sqrt[32]{{{x}^{31}}}}}$.
C. ${{y}’={{\text{e}}^{\frac{15}{16}}}.{{x}^{\frac{31}{32}}}}$. D. ${{y}’=\frac{\sqrt{\text{e}\sqrt{\text{e}\sqrt{\text{e}\sqrt{\text{e}}}}}}{2\sqrt{x}}}$.
Lời giải
Ta có: $y=\sqrt{\text{e}\sqrt{\text{e}\sqrt{\text{e}\sqrt{\text{e}}}}}.{{x}^{\frac{1}{32}}}$$\Rightarrow {y}’=\frac{1}{32}\sqrt{\text{e}\sqrt{\text{e}\sqrt{\text{e}\sqrt{\text{e}}}}}.{{x}^{\frac{1}{32}-1}}$${=\frac{1}{32}\sqrt{\text{e}\sqrt{\text{e}\sqrt{\text{e}\sqrt{\text{e}}}}}.{{x}^{-\frac{31}{32}}}}$
$=\frac{\sqrt{\text{e}\sqrt{\text{e}\sqrt{\text{e}\sqrt{\text{e}}}}}}{32.\sqrt[32]{{{x}^{31}}}}$.
Câu 4: Tìm đạo hàm của hàm số
Tìm đạo hàm của hàm số $y={{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{\frac{e}{2}}}$ trên $\mathbb{R}$.
A. ${y}’=2x{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{\frac{e}{2}-1}}$. B. ${y}’=ex\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{e-2}}}$.
C. ${y}’=\frac{e}{2}{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{\frac{e}{2}-1}}$. D. ${y}’={{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{\frac{e}{2}}}\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)$.
Lời giải
Chọn B
Ta có: ${y}’={{\left( {{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{\frac{e}{2}}} \right)}^{\prime }}=\frac{e}{2}.2x{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{\frac{e}{2}-1}}=ex{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{\frac{e}{2}-1}}=ex\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{e-2}}}$.
Câu 5: Tìm đạo hàm của hàm số
Tính đạo hàm của hàm số $y={{\left( 1-\cos 3x \right)}^{6}}$.
A. $y’=6\sin 3x{{\left( 1-\cos 3x \right)}^{5}}$. B. $y’=6\sin 3x{{\left( \cos 3x-1 \right)}^{5}}$.
C. $y’=18\sin 3x{{\left( \cos 3x-1 \right)}^{5}}$. D. $y’=18\sin 3x{{\left( 1-\cos 3x \right)}^{5}}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có $y={{\left( 1-\cos 3x \right)}^{6}}\Rightarrow y=6{{\left( 1-\cos 3x \right)}^{5}}.\left( 1-\cos 3x \right)’$.
$=6{{\left( 1-\cos 3x \right)}^{5}}.3\sin 3x=18\sin 3x{{\left( 1-\cos 3x \right)}^{5}}$.
DẠNG 3. KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA
1. Cách giải dạng bài khảo sát hàm số lũy thừa
Khảo sát hàm số lũy thừa $y={{x}^{\alpha }}$
Tập xác định của hàm số lũy thừa $y={{x}^{\alpha }}$ luôn chứa khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ với mọi $\alpha \in \mathbb{R}.$ Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số $y={{x}^{\alpha }}$ trên khoảng này.
| $y={{x}^{\alpha }},\alpha >0.$ | $y={{x}^{\alpha }},\alpha <0.$ |
| 1. Tập xác định: $\left( 0;+\infty \right).$
2. Sự biến thiên
Tiệm cận: không có. 3. Bảng biến thiên.
|
1. Tập xác định: $\left( 0;+\infty \right).$
2. Sự biến thiên
Tiệm cận: Ox là tiệm cận ngang. Oy là tiệm cận đứng. 3. Bảng biến thiên.
|
| Đồ thị của hàm số.
. |
|
2. Bài tập mẫu dạng bài khảo sát hàm số lũy thừa
Câu 1: Tìm mệnh đề sai dưới đây
Cho hàm số $y={{x}^{-\sqrt{2}}}$. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Hàm số có tập xác định là $\left( 0;\ +\infty \right)$. B. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\ +\infty \right)$. D. Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.
Lời giải
Chọn B
Tập xác định: $D=\left( 0;\ +\infty \right)$, suy ra C đúng.
Do $x>0$ nên ${{x}^{-\sqrt{2}}}>0$, suy ra A đúng.
Ta có: ${y}’=-\sqrt{2}.{{x}^{-\sqrt{2}-1}}<0;\forall x>0$, suy ra B đúng.
Ta có $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{-\sqrt{2}}}=+\infty$ nên đồ thị hàm số nhận $Oy$ làm tiệm cận đứng, đáp án D đúng.
Câu 2: Tìm mệnh đề đúng của đồ thị hàm số đã cho
Cho $a$, $b$, $c$ là ba số dương khác $1$. Đồ thị các hàm số $y={{\log }_{a}}x$, $y={{\log }_{b}}x$, $y={{\log }_{c}}x$ được cho trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
A. $a<b<c$. B. $c<a<b$. C. $c<b<a$. D. $b<c<a$.
Lời giải
* Đồ thị các hàm số $y={{\log }_{a}}x$, $y={{\log }_{b}}x$, $y={{\log }_{c}}x$ lần lượt đi qua các điểm $A\left( a;1 \right)$, $B\left( b;1 \right)$, $C\left( c;1 \right)$.
* Từ hình vẽ ta có: $c<a<b$.
Câu 3: Tìm đồ thị hàm số đúng ở hình vẽ dưới đây
Đường cong ở hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A. $y={{2}^{1-x}}.$ B. $y={{x}^{-\ \frac{1}{2}}}.$ C. $y={{x}^{-1}}.$ D. $y={{\log }_{2}}\left( 2x \right)$.
Lời giải
Chọn B
Dựa vào đồ thị ta thấy TXĐ của hàm số là $\text{D=}\left( 0;+\infty \right)$ $\Rightarrow $ loại A, C.
Hàm số nghịch biến trên TXĐ của nó mà hàm số $y={{\log }_{2}}\left( 2x \right)$ đồng biến trên TXĐ của nó nên ta loại đáp án D. $\Rightarrow $ Chọn B
Câu 4: Tìm khẳng định đúng của đồ thị hàm số dưới đây
Cho là các số $\alpha ,\text{ }\beta $ là các số thực. Đồ thị các hàm số $y={{x}^{\alpha }},\text{ }y={{x}^{\beta }}$ trên khoảng $\left( 0;\text{ +}\infty \right)$ được cho trong hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $0<\alpha <1<\beta $. B. $\beta <0<1<\alpha $.
C. $0<\beta <1<\alpha $. D. $\alpha <0<1<\beta $.
Lời giải
Chọn C
Với ${{x}_{0}}>1$ ta có: $x_{0}^{\alpha }>1\Rightarrow \alpha >0;x_{0}^{\beta }>1\Rightarrow \beta >0$.
$x_{0}^{\alpha }>x_{0}^{\beta }\Rightarrow \alpha >\beta $.
Câu 5: Tìm số cực trị của hàm số
Số cực trị của hàm số $y=\sqrt[5]{{{x}^{2}}}-x$ là
A. $1$. B. $2$. C. $3$. D. $0$.
Lời giải
Chọn B
Tập xác định: $\mathbb{R}$. Xét ${y}’=\frac{2}{5\sqrt[5]{{{x}^{3}}}}-1$
${y}’=0\,\,\Leftrightarrow \,x=\sqrt[3]{{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{5}}}$; ${y}’$không xác định khi $x=0$.
Ta có bảng biến thiên:
${y}’$ đổi dấu khi qua $x=0$ và $x=\sqrt[3]{{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{5}}}$nên hàm số có 2 cực trị.
Xem thêm:
Giải phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ
