Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về giải các dạng bài tập đạo hàm lớp 11 rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về giáo án bài tập đạo hàm cơ bản có lời giải bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
DẠNG 1: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN
Bài tập 1: Tìm tổng số điểm mM thuộc đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện
Có bao nhiêu điểm $M$ thuộc đồ thị hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+1$sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ tại $M$ song song với đường thẳng $d:y=3x-1$?
A. $3$. B. $2$. C. $0$. D. $1$.
Lời giải
Gọi $M\left( a;{{a}^{3}}+1 \right)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+1\left( C \right)$.
Ta có ${f}’\left( x \right)=3{{x}^{2}}$$\Rightarrow $ phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ là:
$y=3{{a}^{2}}\left( x-a \right)+{{a}^{3}}+1$$\Leftrightarrow y=3{{a}^{2}}x-2{{a}^{3}}+1\left( \Delta \right)$.
$\Delta \text{//}d\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 3{{a}^{2}}=3 \\& -2{{a}^{3}}+1\ne -1 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=\pm 1 \\& a\ne 1 \\\end{align} \right.$$\Rightarrow a=-1$.
Vậy, có duy nhất điểm $M$ thỏa mãn yêu cầu là $M\left( -1;0 \right)$.
Do đó, đáp án đúng nhất ta chọn chính là câu D.
Bài tập 2: Tìm số tiếp tuyến của $\left( C \right)$ vuông góc với đường thẳng $y=\frac{1}{9}x+2017$
Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3$ có đồ thị $\left( C \right)$. Số tiếp tuyến của $\left( C \right)$ vuông góc với đường thẳng $y=\frac{1}{9}x+2017$ là
$2$. B. $1$. C. $0$. D. $3$.
Lời giải
Gọi $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tọa độ tiếp điểm.
Ta có ${y}’=-3{{x}^{2}}+6x$.
Vì tiếp tuyến của $\left( C \right)$ vuông góc với đường thẳng $y=\frac{1}{9}x+2017$ nên ${y}’\left( {{x}_{0}} \right).\left( \frac{1}{9} \right)=-1$$\Leftrightarrow {y}’\left( {{x}_{0}} \right)=-9$$\Leftrightarrow -3{{x}_{0}}^{2}+6{{x}_{0}}+9=0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{x}_{0}}=-1 \\& {{x}_{0}}=3 \\\end{align} \right.$.
Với ${{x}_{0}}=-1$$\Rightarrow {{y}_{0}}=1$, suy ra PTTT là: $y=-9\left( x+1 \right)+1$$\Leftrightarrow y=-9x-8$.
Với ${{x}_{0}}=3$$\Rightarrow {{y}_{0}}=-3$, suy ra PTTT là: $y=-9\left( x-3 \right)-3$$\Leftrightarrow y=-9x+24$.
Do đó, đáp án đúng nhất ta chọn chính là câu A.
DẠNG 2: BÀI TOÁN QUÃNG ĐƯỜNG, VẬN TỐC
Bài tập 1: Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn
Bạn An thả bóng cao su từ độ cao 10m theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng $\frac{3}{4}$ độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn.
A. $70\,m$. B. $40\,m$. C. $80\,m$. D. $50\,m$.
Lời giải
Đặt ${{h}_{1}}=10\left( m \right)$. Sau lần chạm đất đầu tiên, quả bóng nảy lên độ cao là ${{h}_{2}}=\frac{3}{4}{{h}_{1}}$.
Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao ${{h}_{2}}$, chạm đất và nảy lên độ cao ${{h}_{3}}=\frac{3}{4}{{h}_{2}}$, rồi rơi từ độ cao ${{h}_{3}}$ và tiếp tục như vậy. Sau lần chạm đất thứ $n$ từ độ cao ${{h}_{n}}$ quả bóng nảy lên độ cao ${{h}_{n+1}}=\frac{3}{4}{{h}_{n}}$. Tổng quãng đường bóng đi được từ lúc thả đến khi dừng:
$S=\left( {{h}_{1}}+{{h}_{2}}+….+{{h}_{n}}+… \right)+\left( {{h}_{2}}+{{h}_{3}}+…+{{h}_{n+…}} \right)=\frac{{{h}_{1}}}{1-\frac{3}{4}}+\frac{{{h}_{2}}}{1-\frac{3}{4}}=4\left( {{h}_{1}}+\frac{3}{4}{{h}_{1}} \right)=70\,\,\left( m \right)$
Do đó, đáp án đúng nhất ta chọn chính là câu A.
Bài tập 2: Tính vận tốc lớn nhất
Một vật chuyển động theo quy luật $s=-\frac{1}{2}{{t}^{3}}+9{{t}^{2}}$ với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và $s$ (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian $10$ giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
A. $216\text{ }\left( m\text{/}s \right)$. B. $30\text{ }\left( m\text{/}s \right)$. C. $400\text{ }\left( m\text{/}s \right)$. D. $54\,\,\left( m\text{/}s \right)$
Lời giải
Vận tốc tại thời điểm $t$ là $v(t)={s}'(t)=-\frac{3}{2}{{t}^{2}}+18t$ với $t\in \left[ 0;10 \right]$.
Ta có : ${v}'(t)=-3t+18=0\Leftrightarrow t=6$.
Suy ra: $v\left( 0 \right)=0;v\left( 10 \right)=30;v\left( 6 \right)=54$. Vậy vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng $54\,\,\left( m\text{/}s \right)$.
Do đó, đáp án đúng nhất ta chọn chính là câu D.
DẠNG 3: TÌM GIA SỐ CỦA HÀM SỐ
Bài tập 1: Tìm số gia của hàm số
Tìm số gia của hàm số $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}$ theo số gia $\Delta x$ của đối số $x$ tại ${{x}_{0}}=0$.
Lời giải
Ta có: $\Delta y=$$f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)$$=f\left( \Delta x \right)-f\left( 0 \right)=$$\frac{{{\left( \Delta x \right)}^{3}}}{3}-\frac{{{\left( 0 \right)}^{3}}}{3}$ $=\frac{{{\left( \Delta x \right)}^{3}}}{3}$
Bài tập 2: Tìm số gia của hàm số
Số gia của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}-x$ ứng với ${{x}_{0}}$, $\Delta x$ là
Lời giải
Ta có: $\Delta y=$$f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)=$${{\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)}^{2}}-\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-\left( {{x}_{0}}^{2}-{{x}_{0}} \right)$$=\Delta x\left( \Delta x+2{{x}_{0}}-1 \right)$
DẠNG 4: TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP
Bài tập 1: Tính đạo hàm của hàm số
Tính đạo hàm của hàm số $y=\left( {{x}^{3}}-5 \right)\sqrt{x}$.
A. ${y}’=\frac{7}{2}\sqrt[5]{{{x}^{2}}}-\frac{5}{2\sqrt{x}}$. B. ${y}’=\frac{7}{2}\sqrt{{{x}^{5}}}-\frac{5}{2\sqrt{x}}$.
B. ${y}’=3{{x}^{2}}-\frac{5}{2\sqrt{x}}$. D. ${y}’=3{{x}^{2}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Lời giải
Ta có $y’=3{{x}^{2}}.\sqrt{x}+\left( {{x}^{3}}-5 \right)\frac{1}{2\sqrt{x}}$ $=3{{x}^{2}}\sqrt{x}+\frac{1}{2}{{x}^{2}}\sqrt{x}-\frac{5}{2\sqrt{x}}=\frac{7}{2}{{x}^{2}}\sqrt{x}-\frac{5}{2\sqrt{x}}=\frac{7}{2}\sqrt{{{x}^{5}}}-\frac{5}{2\sqrt{x}}$.
Do đó, đáp án đúng nhất ta chọn chính là câu B.
Bài tập 2: Tính đạo hàm của hàm số
Tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{2{{x}^{2}}-3x+7}{{{x}^{2}}+2x+3}$.
A. ${y}’=\frac{-7{{x}^{2}}+2x+23}{{{\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)}^{2}}}$. B. ${y}’=\frac{7{{x}^{2}}-2x-23}{{{\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)}^{2}}}$
C. ${y}’=\frac{7{{x}^{2}}-2x-23}{\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)}$ D. ${y}’=\frac{8{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+14x+5}{{{\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)}^{2}}}$
Lời giải
$y=\frac{2{{x}^{2}}-3x+7}{{{x}^{2}}+2x+3}\Rightarrow {y}’=\frac{\left( 4x-3 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)-\left( 2x+2 \right)\left( 2{{x}^{2}}-3x+7 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)}^{2}}}$$=\frac{7{{x}^{2}}-2x-23}{{{\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)}^{2}}}$
Do đó, đáp án đúng nhất ta chọn chính là câu B.
DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM
Bài tập 1: Giải phương trình sau
Cho $f\left( x \right)=3x+\frac{60}{x}-\frac{64}{{{x}^{3}}}+5$. Giải phương trình ${f}’\left( x \right)=0$.
Lời giải
Ta có ${f}’\left( x \right)={{\left( 3x+\frac{60}{x}-\frac{64}{{{x}^{3}}}+5 \right)}^{\prime }}=3-\frac{60}{{{x}^{2}}}+\frac{192}{{{x}^{4}}}$
${f}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow 3-\frac{60}{{{x}^{2}}}+\frac{192}{{{x}^{4}}}=0\text{ }\left( 1 \right)$. Đặt $t=\frac{1}{{{x}^{2}}},\left( t>0 \right)$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow 192{{t}^{2}}-60t+3=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{4}\vee t=\frac{1}{16}$
Với $t=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \frac{1}{{{x}^{2}}}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=4\Leftrightarrow x=\pm 2$
Với $t=\frac{1}{16}\Leftrightarrow \frac{1}{{{x}^{2}}}=\frac{1}{16}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=16\Leftrightarrow x=\pm 4$
Vậy ${f}’\left( x \right)=0$ có 4 nghiệm $x=\pm 2$, $x=\pm 4$
Bài tập 2: Giải bất phương trình sau đây
Cho hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}-2x}$. Giải bất phương trình sau đây ra giấy ${f}’\left( x \right)\le f\left( x \right)$
Lời giải
Ta có ${f}’\left( x \right)=\frac{x-1}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}$. Khi đó ${f}’\left( x \right)\le f\left( x \right)\Leftrightarrow \frac{x-1}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}\le \sqrt{{{x}^{2}}-2x}$ (1)
Đk: $x\in \left( -\infty \,;\,0 \right)\cup \left( 2\,;\,+\infty \right)$.
(1) $\Leftrightarrow x-1\le {{x}^{2}}-2x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+1\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x\ge \frac{3+\sqrt{5}}{2} \\& x\le \frac{3-\sqrt{5}}{2} \\\end{align} \right.$.
Kết hợp với điều kiện trên suy ra $x<0$ hoặc$x\ge \frac{3+\sqrt{5}}{2}$.
Xem thêm: Định nghĩa, ý nghĩa và bản chất của đạo hàm là gì?
DẠNG 6: TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRÊN 1 KHOẢNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Bài tập 1: Tính đạo hàm của hàm số sau:
a.$y=f\left( x \right)={{x}^{2}}-3x+1$
b.$y=f\left( x \right)={{x}^{3}}-2x$
c.$y=f\left( x \right)=4x+3$
Lời giải
a. Cho đối số 1 số gia: $\Delta x$
$\begin{align}& \Delta y=f\left( \Delta x+x \right)-f\left( x \right)={{\left( \Delta x+x \right)}^{2}}-3\left( \Delta x+x \right)+1-{{x}^{2}}+3x-1 \\& =\Delta {{x}^{2}}+2x\Delta x+{{x}^{2}}-3\Delta x-3x-{{x}^{2}}+3x=\Delta {{x}^{2}}+\left( 2x-3 \right)\Delta x \\\end{align}$
$\Rightarrow {y}’=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta {{x}^{2}}+\Delta x\left( 2x-3 \right)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \Delta x+2x-3 \right)=2x-3$
b. Cho đối số 1 số gia: $\Delta x$
$\begin{align}& \Delta y=f\left( \Delta x+x \right)-f\left( x \right)={{\left( \Delta x+x \right)}^{3}}-2\left( \Delta x+x \right)-{{x}^{3}}+2x \\& =\Delta {{x}^{3}}+3x\Delta {{x}^{2}}+3{{x}^{2}}\Delta x+{{x}^{3}}-2\Delta x-2x-{{x}^{3}}+2x=\Delta {{x}^{3}}+3x\Delta {{x}^{2}}+3{{x}^{2}}\Delta x-2\Delta x \\\end{align}$
$\Rightarrow {y}’=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+3x\Delta {{x}^{2}}+3{{x}^{2}}\Delta x-2\Delta x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+3x\Delta x+3{{x}^{2}}-2 \right)=3{{x}^{2}}-2$
c. Cho đối số 1 số gia: $\Delta x$
$\Delta y=f\left( \Delta x+x \right)-f\left( x \right)=4\left( \Delta x+x \right)+3-4x-3=4\Delta x$
$\Rightarrow {y}’=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{4\Delta x}{\Delta x}=4$
Bài tập 2: Tính đạo hàm của hàm số sau:
a. $y=f\left( x \right)=\frac{1}{2x-3}$
b. $y=f\left( x \right)=\frac{2x-1}{x+1}$
c. $y=f\left( x \right)=\frac{x}{{{x}^{2}}+1}$
Lời giải
a. Cho đối số 1 số gia: $\Delta x$
$\begin{align}& \Delta y=f\left( \Delta x+x \right)-f\left( x \right)=\frac{1}{2\left( \Delta x+x \right)-3}-\frac{1}{2x-3} \\& =\frac{2x-3-2\Delta x-2x+3}{\left( 2x-3 \right)\left( 2\Delta x+2x-3 \right)}=\frac{-2\Delta x}{\left( 2x-3 \right)\left( 2\Delta x+2x-3 \right)} \\\end{align}$
$\Rightarrow {y}’=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-2\Delta x}{\Delta x\left( 2x-3 \right)\left( 2\Delta x+2x-3 \right)}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-2}{\left( 2x-3 \right)\left( 2\Delta x+2x-3 \right)}=\frac{-2}{{{\left( 2x-3 \right)}^{2}}}$
b. Cho đối số 1 số gia: $\Delta x$
$\begin{align}& \Delta y=f\left( \Delta x+x \right)-f\left( x \right)=\frac{2\left( \Delta x+x \right)-1}{\Delta x+x+1}-\frac{2x-1}{x+1}=\frac{2x\Delta x+2\Delta x+2{{x}^{2}}+x-1-2x\Delta x-2{{x}^{2}}-2x+\Delta x+x+1}{\left( x+1 \right)\left( \Delta x+x+1 \right)} \\& =\frac{3\Delta x}{\left( x+1 \right)\left( \Delta x+x+1 \right)} \\\end{align}$
$\Rightarrow {y}’=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{3\Delta x}{\Delta x\left( x+1 \right)\left( \Delta x+x+1 \right)}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{3}{\left( x+1 \right)\left( \Delta x+x+1 \right)}=\frac{3}{\left( x+1 \right)\left( x+1 \right)}=\frac{3}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$
c. Làm tương tự ta được: ${y}’=\frac{1-{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}$
DẠNG 7: TÍNH ĐẠO HÀM CỦA TỔNG HIỆU, TÍCH THƯƠNG CÁC HÀM SỐ
Bài tập 1: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x+1$ d) $y=-2{{x}^{4}}+\frac{3}{2}{{x}^{2}}+1$
b) ${y}’\sqrt{1+{{x}^{2}}}-y=0$ e) $y\sqrt{1+{{x}^{2}}}+{y}’=0$
c) ${y}’\sqrt{1+{{x}^{2}}}+y=0$ f) $y=\frac{{{x}^{2}}-2x+2}{x+1}$
Lời giải
a) Ta có: ${y}’={{\left( -{{x}^{3}}+3x+1 \right)}^{\prime }}=3{{x}^{2}}-6x+2$
b) Ta có: ${y}’={{\left( -{{x}^{3}}+3x+1 \right)}^{\prime }}=-3{{x}^{2}}+3$
c) Ta có: ${y}’={{\left( \frac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}={{x}^{3}}-2x$
d) Ta có: ${y}’={{\left( -2{{x}^{4}}+\frac{3}{2}{{x}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}=-8{{x}^{3}}+3x$
e) Ta có: ${y}’=\frac{(2x+1{)}'(x-3)-(x-3{)}'(2x+1)}{{{(x-3)}^{2}}}=\frac{-7}{{{(x-3)}^{2}}}$
f) Ta có: ${y}’=\frac{({{x}^{2}}-2x+2{)}'(x+1)-({{x}^{2}}-2x+2)(x+1{)}’}{{{(x+1)}^{2}}}$
$=\frac{(2x-2)(x+1)-({{x}^{2}}-2x+2)}{{{(x+1)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+2x-4}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$.
Bài tập 2: Tính đạo hàm sau:
a. $y=\left( 1-x \right)\left( 1-2x \right)\left( 1-3x \right)$ b. $y=\left( x+\sqrt{x} \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)$
c. $y={{x}^{2}}{{\left( x+4 \right)}^{3}}$ d.$y=\left( 1-\frac{1}{x} \right)\left( x-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)$ e.$y=\left( {{x}^{3}}+3x \right)\left( 2-x \right)$
Lời giải
a. $y=\left( 1-x \right)\left( 1-2x \right)\left( 1-3x \right)=\left( 1-3x+2{{x}^{2}} \right)\left( 1-3x \right)$$\begin{align}& =1-3x-3x+9{{x}^{2}}+2{{x}^{2}}-6{{x}^{3}}=1-6x+11{{x}^{2}}-6{{x}^{3}} \\& \Rightarrow {y}’=-6+22x-18{{x}^{2}} \\\end{align}$
b. $y=\left( x+\sqrt{x} \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x-{{x}^{2}}\sqrt{x}-x\sqrt{x}-\sqrt{x}$
${y}’=3{{x}^{2}}+2x+1-\frac{5}{2}\sqrt{{{x}^{3}}}-\frac{3}{2}\sqrt{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}$
c. $y={{x}^{2}}{{\left( x+4 \right)}^{3}}={{x}^{2}}\left( {{x}^{3}}+12{{x}^{2}}+48x+64 \right)={{x}^{5}}+12{{x}^{4}}+48{{x}^{3}}+64{{x}^{2}}$
${y}’=5{{x}^{4}}+48{{x}^{3}}+144{{x}^{2}}+128x$
d. $y=\left( 1-\frac{1}{x} \right)\left( x-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)=x-\frac{1}{{{x}^{2}}}-1+\frac{1}{{{x}^{3}}}\Rightarrow {y}’=1+\frac{2}{{{x}^{3}}}-\frac{3}{{{x}^{4}}}$
e. $y=\left( {{x}^{3}}+3x \right)\left( 2-x \right)=2{{x}^{3}}-{{x}^{4}}+6x-3{{x}^{2}}\Rightarrow {y}’=6{{x}^{2}}-4{{x}^{3}}+6-6x$
DẠNG 8: MỐI QUAN HỆ GIỮA LIÊN TỤC VÀ ĐẠO HÀM
Bài tập 1: Tìm mệnh đề đúng
Cho hàm số $y=\left\{ \begin{align}& \frac{{{x}^{2}}-7x+12}{x-3}\ \text{khi}\ x\ne 3 \\& -1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{khi}\ x=3 \\\end{align} \right.$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm tại ${{x}_{0}}=3$.
B. Hàm số có đạo hàm nhưng không liên tục tại ${{x}_{0}}=3$.
C. Hàm số gián đoạn và không có đạo hàm tại ${{x}_{0}}=3$.
D. Hàm số liên tục và có đạo hàm tại ${{x}_{0}}=3$.
Lời giải
TXĐ: $D=\mathbb{R}$.
$y=f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}& \frac{{{x}^{2}}-7x+12}{x-3}\ \text{khi}\ x\ne 3 \\& -1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{khi}\ x=3 \\\end{align} \right.$
$\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-7x+12}{x-3}$ $=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\left( x-4 \right)$$=-1$ $=f\left( 3 \right)$.
Đạo hàm của hàm số tại ${{x}_{0}}=3$ $\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 3 \right)}{x-3}=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-7x+12-0}{x-3}=-1=f(3)$
Suy ra: Hàm số liên tục và có đạo hàm tại ${{x}_{0}}=3$.
Do đó, đáp án đúng nhất ta chọn chính là câu D.
Bài tập 2: Tìm khẳng định sai dưới đây
Cho hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix}\frac{3-{{x}^{2}}}{2}\,\,\,\,\,\text{khi}\,\,\,\,\,x<1 \\\frac{1}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{khi}\,\,\,\,\,x\ge 1 \\\end{matrix} \right.$. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại $x=1$.
B. Hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại $x=1$.
C. Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại $x=1$ và hàm số $f\left( x \right)$ cũng có đạo hàm tại $x=1$.
D. Hàm số $f\left( x \right)$ không có đạo hàm tại $x=1$.
Lời giải
$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3-{{x}^{2}}}{2}=1$ và $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}=1$. Do đó, hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại $x=1$.
$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-{{x}^{2}}}{2\left( x-1 \right)}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1+x}{-2}=-1$ và
$\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-x}{x\left( x-1 \right)}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-1}{x}=-1$. Do đó, hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại $x=1$.
DẠNG 9: TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA TẠI ĐIỂM
Bài tập 1: Tính đạo hàm tại 1 điểm
Tính đạo hàm tại 1 điểm
a.$y=f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{3}}+x+1}$ tại ${{x}_{0}}=-1$
b. $y=f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+x-3}{2x-1}$ tại ${{x}_{0}}=3$
c. $y=f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{2x+1}$ tại ${{x}_{0}}=0$
Lời giải
a. Với đối số tại ${{x}_{0}}=-2$ ta có số gia:
$\Delta x=x-\left( -2 \right)=x+2\Rightarrow x=\Delta x-2$
$\Delta y=f\left( \Delta x-2 \right)-f\left( -2 \right)=\frac{1}{{{\left( \Delta x-2 \right)}^{2}}+\Delta x-2+1}-\frac{1}{4-2+1}=\frac{1}{3}.\frac{3-{{\left( \Delta x-2 \right)}^{2}}+\Delta x-1}{{{\left( \Delta x-2 \right)}^{2}}+\Delta x-1}$
$=\frac{1}{3}.\frac{3-\Delta {{x}^{2}}+4\Delta x-4-\Delta x+1}{{{\left( \Delta x-2 \right)}^{2}}+\Delta x-1}=\frac{1}{3}.\frac{-\Delta {{x}^{2}}+3\Delta x}{{{\left( \Delta x-2 \right)}^{2}}+\Delta x-1}$
$\Rightarrow {f}’\left( -2 \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{3\Delta x}.\frac{-\Delta {{x}^{2}}+3\Delta x}{{{\left( \Delta x-2 \right)}^{2}}+\Delta x-1}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{3}.\frac{-\Delta x+3}{{{\left( \Delta x-2 \right)}^{2}}+\Delta x-1}=\frac{1}{3}$
b. Với đối số tại ${{x}_{0}}=3$ ta có số gia:
$\Delta x=x-3\Rightarrow x=\Delta x+3$
$\Delta y=f\left( \Delta x+3 \right)-f\left( 3 \right)=\frac{{{\left( \Delta x+3 \right)}^{2}}+\Delta x+3-3}{2\left( \Delta x+3 \right)-1}-\frac{9}{5}$
$\Delta y=\frac{5{{\left( \Delta x+3 \right)}^{2}}+5\Delta x-18\Delta x-45}{2\Delta x-5}=\frac{5\Delta {{x}^{2}}+30\Delta x+35+5\Delta x-18\Delta x-45}{2\Delta x-5}=\frac{5\Delta {{x}^{2}}+17\Delta x}{2\Delta x-5}$
$\Rightarrow {f}’\left( 3 \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{5\Delta {{x}^{2}}+17\Delta x}{\left( 2\Delta x-5 \right)\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{5\Delta x+17}{2\Delta x-5}=\frac{17}{5}$
c. Với đối số tại ${{x}_{0}}=0$ ta có số gia:
$\Delta x=x$
$\Delta y=f\left( \Delta x \right)-f\left( 0 \right)=\frac{\Delta {{x}^{2}}}{2\Delta x+1}$
$\Rightarrow {f}’\left( 0 \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta {{x}^{2}}}{\left( 2\Delta x+1 \right)\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta x}{2\Delta x+1}=0$
Bài tập 2: Tính đạo hàm tại 1 điểm
a. $y=f\left( x \right)=\sin 2x$ tại ${{x}_{0}}=\frac{\pi }{2}$
b. $y=f\left( x \right)=1-2\cos 3x$ tại ${{x}_{0}}=-\frac{\pi }{6}$
Lời giải
a. Với đối số tại ${{x}_{0}}=\frac{\pi }{2}$ ta có số gia:
$\Delta x=x-\frac{\pi }{2}\Rightarrow x=\Delta x+\frac{\pi }{2}$
$\Delta y=f\left( \Delta x+\frac{\pi }{2} \right)-f\left( \frac{\pi }{2} \right)=\sin 2\left( \Delta x+\frac{\pi }{2} \right)-\sin 2.\frac{\pi }{2}=\sin \left( 2\Delta x+\pi \right)=-\sin 2\Delta x$
$\Rightarrow {f}’\left( \frac{\pi }{2} \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-\sin 2\Delta x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-2\sin 2\Delta x}{2\Delta x}=-2$
b. Với đối số tại ${{x}_{0}}=-\frac{\pi }{6}$ ta có số gia:
$\Delta x=x+\frac{\pi }{6}\Rightarrow x=\Delta x-\frac{\pi }{6}$
$\Delta y=f\left( \Delta x-\frac{\pi }{6} \right)-f\left( \frac{\pi }{6} \right)=1-2\cos 3\left( \Delta x+\frac{\pi }{6} \right)-1+2\cos 3.\frac{\pi }{6}=-2\cos 3\left( \Delta x-\frac{\pi }{6} \right)$
$=-2\cos \left( 3\Delta x-\frac{\pi }{2} \right)=-2\sin 3\Delta x$
$\Rightarrow {f}’\left( 1 \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-2\sin 3\Delta x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-6\sin 3\Delta x}{3\Delta x}=-6$
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về các dạng toán bài tập đạo hàm lớp 11 violet cũng như bài tập đạo hàm nâng cao mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ về các dạng bài tập đạo hàm thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!
Xem thêm:
