PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN
- Các phương pháp biểu diễn dao động điều hòa và các đại lượng đặc trưng
- Bài toán liên quan đến thời gian.
- Bài toán liên quan đến quãng đường.
- Bài toán liên quan đến vừa thời gian và quãng đường.
- Bài toán liên quan đến chứng minh hệ dao động điều hòa
Dạng 1. CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA VÀ CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐẶC TRƯNG
Phương pháp giải
Một dao động điều hòa có thể biểu diễn bằng:
+ Phương trình
+ Hình chiếu của chuyển động tròn đều
+ Véc tơ quay
+ Số phức.
Khi giải toán nếu chúng ta sử dụng hợp lí các biểu diễn trên thì sẽ có được lời giải hay và ngắn gọn.
- Các bài toán yêu cầu sử dụng linh hoạt các phương trình
1.1. Các phương trình phụ thuộc thời gian:
- $x=A\cos \left( \omega t+\varphi \right)$
- $v=x’=-\omega A\sin \left( \omega t+\varphi \right)$
- $a=v’=-{{\omega }^{2}}A\cos \left( \omega t+\varphi \right)$
- $F=ma=-m{{\omega }^{2}}A\cos \left( \omega t+\varphi \right)$
- \[{{W}_{t}}=\frac{k{{x}^{2}}}{2}=\frac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{2}{{\cos }^{2}}\left( \omega t+\varphi \right)=\frac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{4}\left[ 1+\cos \left( 2\omega t+2\varphi \right) \right]\]
- ${{W}_{d}}=\frac{m{{v}^{2}}}{2}=\frac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{2}{{\sin }^{2}}\left( \omega t+\varphi \right)=\frac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{4}\left[ 1-\cos \left( 2\omega t+2\varphi \right) \right]$
- W = Wt + Wd $=\frac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{2}=\frac{k{{A}^{2}}}{2}$
Phương pháp chung: Đối chiếu phương trình của bài toán với phưong trình tổng quát để tìm các đại lượng.
Ví dụ 1: (ĐH − 2012) Một vật nhỏ có khối lượng 250 g dao động điều hòa dưới tác dụng của một lực kéo về có biểu thức F = − 0,4cos4t (N) (t đo bằng s). Dao động của vật có biên độ là
A. 8 cm. B. 6 cm. C. 12 cm. D. 10 cm.
Hướng dẫn
Đối chiếu F = − 0,4cos4t (N) với biểu thức tổng quát F = − mω2Acos$\left( \omega t+\varphi \right)$
$\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& \omega =4\left( rad/s \right) \\
& m{{\omega }^{2}}A=0,4\left( N \right) \\
\end{align} \right.$
$\Rightarrow A=0,1\left( m \right)$ => Chọn D
Ví dụ 2: (THPTQG – 2017) Một vật dao động điều hòa trên trục Ox. Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ x vào thời gian t. Tần số góc của dao động là.
A. 10 rad/s. B. 10π rad/s. C. 5π rad/s. D. 5 rad/s.
Hướng dẫn
Chu kỳ T = 0,4s $\Rightarrow \omega =2\pi /T=5\pi \,rad/s\Rightarrow $ Chọn C.
Chú ý: Bốn trường hợp đặc biệt khi chọn gốc thời gian là lúc: vật ở vị trí biên dương và qua vị trí cân bằng theo chiều âm, vật ở biên âm và vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
1.2. Các phương trình độc lập với thời gian
\[\left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}} \\
& a=-{{\omega }^{2}}x \\
& F=m{{\omega }^{2}}x=-kx \\
& k=m{{\omega }^{2}} \\
\end{align} \right.;W={{W}_{t}}+{{W}_{d}}=\frac{k{{x}^{2}}}{2}+\frac{m{{v}^{2}}}{2}=\frac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{2}=\frac{k{{A}^{2}}}{2}\]
Phương pháp chung: Biến đổi về phương trình hoặc hệ phương trình có chứa đại lượng cần tìm và đại lượng đã biết.
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hoà, khi vật có li độ x1 = 4 (cm) thì vận tốc ${{v}_{1}}=-40\pi \sqrt{3}$ (cm/s) và khi vật có li độ ${{x}_{2}}=4\sqrt{2}$ (cm) thỉ vận tốc ${{v}_{1}}=-40\pi \sqrt{2}\left( cm/s \right)$ (cm/s). Động năng biến thiên với chu kỳ
A. 0,1 s. B. 0,8 s. C. 0,2 s. D. 0,4 s.
Hướng dẫn
Áp dụng công thức: ${{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}$
$\left\{ \begin{align}
& {{A}^{2}}={{4}^{2}}+\frac{{{\left( -40\pi \sqrt{3} \right)}^{2}}}{{{\omega }^{2}}} \\
& {{A}^{2}}={{\left( 4\sqrt{2} \right)}^{2}}+\frac{{{\left( -40\pi \sqrt{2} \right)}^{2}}}{{{\omega }^{2}}} \\
\end{align} \right.$$\Rightarrow \omega =10\pi \left( rad/s \right)\Rightarrow T=\frac{2\pi }{\omega }=0,2\left( s \right)$
Động năng và thế năng đều biến đổi tuần hoàn theo thời gian với chu kỳ là:
$T’=\frac{T}{2}=0,1\left( s \right)\Rightarrow $ Chọn A.
2. Các bài toán sử dụng vòng tròn lượng giác
Kinh nghiệm cho thấy, những bài toán không liên quan đến hướng của dao động điều hòa hoặc liên quan vận tốc hoặc gia tốc thì nên giải bài toán bằng cách sử dụng các phương trình; còn nếu liên quan đến hướng thì khi sử dụng vòng tròn lượng giác sẽ cho lời giải ngắn gọn!
Ta đã biết, hình chiếu của chuyển động tròn đều trên một trục nằm trong mặt phẳng quỹ đạo biểu diễn một dao động điều hòa: $x=A\cos \left( \omega t+\varphi \right)$
+ Ở nửa trên vòng tròn thì hình chiếu đi theo chiều âm, còn ở dưới thì hình chiếu đi theo chiều dương!
2.1. Chuyển động tròn đều và dao động điều hoà
Phương pháp chung:
Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lượng trong dao động điều hòa và trong chuyển động tròn đều.
$x=A\cos \left( \omega t+\varphi \right)$ = Hình chiếu của CĐTĐ: bán kính bằng A, tần số góc ω, tốc độ dài ${{v}_{T}}=\omega A.$
${{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}=A\Leftrightarrow {{\left( \frac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{\omega A} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow {{\left( \frac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{{{v}_{T}}} \right)}^{2}}=1$
Ví dụ 1: (THPTQG − 2016): Một chất điểm chuyển động tròn đều trên đường tròn tâm O bán kính 10 cm với tốc độ góc 5 rad/s. Hình chiếu của chất điểm lên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo có tốc độ cực đại là
A. 15 cm/s. B. 50 cm/s. C. 250 cm/s. D. 25 cm/s.
Hướng dẫn
* Một chất điểm chuyển động tròn đều trên đường tròn bán kính R với tốc độ góc $\omega $ thì hình chiếu của nó trên một trục nằm trong mặt phẳng quỹ đạo sẽ dao động điều hòa với biên độ đúng bằng R và tần số góc đúng bằng $\omega $
* Hình chiếu của chất điểm lên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo dao động điều hòa với biên độ A = 10 cm và tần số góc $\omega $= 5 rad/s => tốc độ cực đại là ${{v}_{\max }}=\omega A$ = 50 cm/s => Chọn B.
2.2. Khoảng thời gian để véc tơ vận tốc và gia tốc cùng chiều, ngược chiều.
Phương pháp chung:
Viết phương trìnnh dưới dạng: $x=A\cos \left( \omega t+\varphi \right);\phi =\left( \omega t+\varphi \right)$ rồi phối hợp với vòng tròn lượng giác.
Chú ý rằng $\overrightarrow{v}$ luôn cùng hướng với hướng chuyển động, $\overrightarrow{a}$ luôn hướng về vị trí cân bằng.
Ví dụ: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình x= Acos(5πt + π/2) (cm). Véc tơ vận tốc và véc tơ gia tốc sẽ có cùng chiều âm của trục Ox trong khoảng thời gian nào (kể từ thời điểm ban đầu t = 0) sau đây?
A. 0,2s < t < 0,3 s. B. 0,0 s < t < 0,1 s. C. 0,3 s < t < 0,4 s. D. 0,1 s < t < 0,2 s.
Hướng dẫn
Muốn v < 0, a < 0 thì chất điểm chuyển động tròn đều phải thuộc góc (I) (Vật đi từ x = A đến x = 0). Vì $\phi =\left( 5\omega t+\pi /2 \right)>\pi /2$ nên ($\phi $) phải bắt đầu từ 2π :
$2\pi <5\pi t+\frac{\pi }{2}<\frac{5\pi }{2}\Rightarrow 0,3s<t<0,4s\Rightarrow $Chọn C
2.3. Tìm li độ và hướng chuyển động
Phương pháp chung:
Vật chuyển động về vị trí cân bằng là nhanh dần (không đều) và chuyển động ra xa vị trí cân bằng là chậm dần (không đều).
+ ${{v}_{\left( {{t}_{0}} \right)}}$> 0: Vật đi theo chiều dương (x đang tăng).
+ ${{v}_{\left( {{t}_{0}} \right)}}$ < 0: Vật đi theo chiều âm (x đang giảm),
Cách 2:
Xác định vị trí trên vòng lượng giác ở thời điểm
Nếu thuộc nửa trên vòng tròn lượng giác thì hình chiếu chuyển động theo chiều âm (li độ đang giảm).
Nếu thuộc nửa dưới vòng tròn lượng giác thì hình chiếu chuyển động theo chiều dương (li độ đang tăng).
Li độ dao động điều hòa: \[x=A\cos {{\Phi }_{\left( {{t}_{0}} \right)}}\]
Vận tốc dao động điều hòa: v = x’ = $-\omega in{{\Phi }_{\left( {{t}_{0}} \right)}}$
Ví dụ: Một vật dao động điều hòa có phương trinh li độ , trong đó x tính bằng xentimét (cm) và t tính bằng giây (s). Lúc t = 5 s vật chuyển động
A. nhanh dần theo chiều dương của trục Ox. B. nhanh dần theo chiều âm của trục Ox.
C. chậm dần theo chiều dương của trục Ox. D. chậm dần theo chiều âm của trục Ox.
Hướng dẫn
${{\Phi }_{\left( 5 \right)}}=\left( 10\pi .5+\frac{\pi }{4} \right)=25.2\pi +\frac{\pi }{4}$
=> Chuyển động theo chiều âm về vị trí cân bằng (nhanh dần) => Chọn B.
2.4. Tìm trạng thái quá khứ và tương lai
2.4.1. Tìm trạng thái quá khứ và tương lai đối với bài toán chưa cho biết phương trình của x, v, a, F…
Phương pháp chung:
Ví dụ: Một chất điểm chuyển động tròn đều với tốc độ 0,75 m/s trên đường tròn bán kính 0,25 m. Hình chiếu M’ của điểm M lên đường kính của đường tròn dao động điều hòa. Biết tại thời điểm han đầu, M’ đi qua vị trí x = A/2 theo chiều âm. Tại thời điểm t
A. 24,9 cm theo chiều dương C. 22,6 cm theo chiều dương.
C. 24,9 cm theo chiều âm. D. 22,6 cm theo chiều âm.
Hướng dẫn
2.4.2. Tìm trạng thái quá khứ và tương lai đối với bài toán cho biết phương trình của x, v, a, F…
Phương pháp chung:
Biết tại thời điểm t vật có li độ x = x1.
Cách 1: Giải phương trình bằng PTLG.
Các bước giải bài toán tìm li độ, vận tốc dao động sau (trước) thời điểm t một khoảng Δt.
* Từ phương trình dao động điều hoà: x = Acos(ωt + φ) cho x = x1
Lấy nghiệm $\omega t+\varphi =\alpha $ ứng với x đang giảm (vật chuyển động theo chiều âm vì v < 0) hoặc $\omega t+\varphi =-\alpha $ ứng với x đang tăng (vật chuyển động theo chiều dương)
(với$0\le \alpha =\arccos \left( {{x}_{1}}\div A \right)=shift\cos \left( {{x}_{1}}\div A \right)\le \pi $ )
* Li độ và vận tốc dao động sau (trước) thời điểm đó Δt giây là:
Ví dụ: Một vật dao động điêu hòa theo phương ngang, trong thời gian 100 giây nó thực hiện đúng 50 dao động. Tại thời điềm t vật có li độ 2 cm và vận tốc (cm/s). Hãy tính li độ cua vật đó ở thời điềm (t + 1/3 s)
A. 7 cm B. – 7cm C. 8 cm D. – 8 cm
Hướng dẫn
Bấm máy tính (chọn đơn vị góc rad):
Tính A trước: $A=\sqrt{x_{1}^{2}+\frac{v_{1}^{2}}{{{\omega }^{2}}}}=2\sqrt{13}\left( cm \right)$
Bấm nhập: $2\sqrt{13}\cos \left( \pi .\frac{1}{3}-shift\cos \left( \frac{2}{2\sqrt{13}} \right) \right)$ rồi bấm = sẽ được 7
Chọn A.
2.5. Tìm số lần đi qua một vị trí nhất định trong một khoảng thời gian
Cách 1 : Giải phương trình lượng giác.
Các bước giải bài toán tìm số lần vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, ω|, Wđ, F) từ thời điểm t1 đến t2.
* Giải phương trình lượng giác được các nghiệm.
* Từ t1 $\le $ t $\le $ t2 => Phạm vi giá trị của$k\in Z$ .
* Tổng số giá trị của k chính là số lần vật đi qua vị trí đó.
Lưu ý:
+ Trong mỗi chu kỳ vật qua mỗi vị trí biên 1 lần còn các vị trí khác 2 lần.
+ Mỗi một chu kỳ vật đạt vận tốc hai lần ở 2 vị trí đối xứng nhau qua vị trí cân bằng và đạt tốc độ v bốn lần mỗi vị trí 2 lần do đi theo 2 chiều âm dương.
+ Đối với gia tốc thì kết quả như với li độ.
+ Nếu t = t1 tính từ vị trí khảo sát thì cả quá trình được cộng thêm một lần vật đi qua li độ đó, vận tốc đó…
Cách 2: Dùng đồ thị:
+ Dựa vào phương trình dao dộng vẽ đồ thị x (v, a, F, Wt, Wd) theo thời gian
+ Xác định số giao điểm của đồ thị với đường thẳng x = x0 trong khoảng thời gian $\left[ {{t}_{1}};{{t}_{2}} \right]$
Cách 3: Dùng vòng tròn lượng giác.
+ Viết phương trình dưới dạng hàm cos: $x=A\cos \left( \omega t+\varphi \right);\phi =\left( \omega t+\varphi \right)$
+ Xác định vị trí xuất phát.
+ Xác định góc quét$\Delta \phi =\omega .\Delta t=n.2\pi +\pi +\Delta \varphi $ (n là số nguyên)
+ Qua điểm x kẻ đường vuông góc với Ox sẽ cắt vòng tròn tại hai điểm (một điểm ở nửa trên vòng tròn có hình chiếu đi theo chiều âm và điểm còn lại có hình chiếu đi theo chiều dương).
+ Đếm số lần quét qua điểm cần tìm.
Ví dụ: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 3cos(5πt − π/3) (cm) (t tính bằng giây). Trong một giây đầu tiên từ thời điểm t = 0, số lần động năng của chất điểm bằng 8 lần thế năng của chất điểm là
A. 5 lần. B. 6 lần. C. 10 lần. D. 9 lần.
Hướng dẫn
