Các dạng bài tập dao đông điều hòa (Phần 2)

Dạng 2. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN THỜI GIAN

Chúng ta sẽ nghiên cứu các bài toán

+ Thời gian đi từ x₁ đến x₂.

+ Thời điểm vật qua x₀.

1. Thời gian đi từ x₁ đến x₂

 1.1. Thời gian ngắn nhất đi từ x₁ đến vị trí cân bằng và đến vị trí biên

Phương pháp chung:

Cách 1: Dùng VTLG

Xác định góc quét tương ứng với sự dịch chuyển: $\Delta \varphi $

Thời gian: $t=\frac{\Delta \varphi }{\omega }$

Cách 2: Dùng PTLG

Ví dụ: Vật dao động điều hoà, thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí x = +A đến vị trí x = A/3 là 0,1 s. Chu kì dao động của vật là

   A. 1,85 s.                        B. 1,2 s.                                C. 0,51 s.                           D. 0,4 s.

Hướng dẫn

\[{{t}_{2}}=\frac{1}{\omega }\arccos \frac{{{x}_{1}}}{A}=\frac{T}{2\pi }\arccos \frac{{{x}_{1}}}{A}\Rightarrow 0,1=\frac{T}{2\pi }\arccos \frac{1}{3}\Rightarrow T\approx 0,51\left( s \right)\Rightarrow \] Chọn C

Chú ý: Đối với các điểm đặc biệt ta dễ dàng tìm được phân bố thời gian như sau:

Kinh nghiệm :

1) Nếu số ‘xấu’ ${{x}_{1}}\ne 0;\pm \frac{A}{2};\pm \frac{A}{\sqrt{2}};\pm \frac{A\sqrt{3}}{2}$ thì dùng

2) Nếu số ‘đẹp ’ ${{x}_{1}}=0;\pm \frac{A}{2};\pm \frac{A}{\sqrt{2}};\pm \frac{A\sqrt{3}}{2}$ thì dùng trục phân bố thời gian.

1.2. Thời gian ngắn nhất đi từ x₁ đến x₂

Kinh nghiệm: Đối với dạng toán này cũng không nên dùng cách 1 vì mất nhiều thời gian!

Ví dụ: Một dao động điều hoà có chu kì dao động là T và biên độ là A. Thời gian ngắn nhất để vật đi từ điểm có li độ cực đại về điểm có li độ bằng một nửa biên độ cực đại mà véctơ vận tốc có hướng cùng với hướng của trục toạ độ là

     A. T/3.                             B. 5T/6.                                   C. 2T/3.                                   D. T/6.

Hướng dẫn

Dựa vào trục phân bô thời gian ta tính được: $\Delta t=3.\frac{T}{4}+\frac{T}{12}=\frac{5T}{6}\Rightarrow $ Chọn B

  1.3.Thời gian ngắn nhất liên quan đến vận tốc, động lượng

Phương pháp chung:

Dựa vào công thức liên hệ vận tốc, động lượng với li độ để quy về li độ.

Ví dụ: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T trên trục Ox với O là vị trí cân bằng. Thời gian ngắn nhất vật đi từ điểm có toạ độ x = 0 đến điểm mà tốc độ của vật bằng nửa tốc độ cực đại là

     A.T/8.                        B. T/16.                                   C. T/6.                               D. T/12.

Hướng dẫn

Chú ý:

1)Vùng tốc độ lớn hơn v₁ nằm trong đoạn $\left[ -{{x}_{1}};{{x}_{1}} \right]$và vùng tốc độ nhỏ hơn v₁ nằm ngoài đoạn $\left[ -{{x}_{1}};{{x}_{1}} \right]$

2) Khoảng thời gian trong một chu kì tốc độ

+ lớn hơn v₁ là 4t₁.

+ nhỏ hơn v₁ là 4t₂.

1.4. Thời gian ngắn nhất liên quan đến gia tốc, lực, năng lượng

Phương pháp chung:

Dựa vào công thức liên hệ gia tốc, lực với li độ để quy về li độ.

Ví dụ: (ĐH−2010) Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 5 cm. Biết trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không vượt quá 100 cm/s² là T/3. Lấy π²= 10. Tần số dao động của vật là

      A. 4 Hz.                                B. 3 Hz.                                   C. 2 Hz.                                  D. 1 Hz.

Hướng dẫn

Để độ lớn gia tốc không vượt quá 100 cm/s² thì vật nằm trong đoạn [−x₁; x₁]. Khoảng thời gian trong một chu kì |a| nhỏ hơn 100 cm/s² là 4t₁, tức là 4t₁ = T/3 => t₁ = T/12

Thay vào phương trình ${{x}_{1}}=A\sin \omega {{t}_{1}}=5\sin \frac{2\pi }{T}.\frac{T}{12}=2,5\left( cm \right)$

Tần số góc: $\omega =\sqrt{\frac{\left| {{a}_{1}} \right|}{\left| {{x}_{1}} \right|}}=2\pi \Rightarrow f=\frac{\omega }{2\pi }=1\left( Hz \right)\Rightarrow $ Chọn D.

Chú ý: Nếu khoảng thời gian liên quan đến W_t, W_d thì ta quy về li độ nhờ các công thức độc lập với thời gian và : $W={{W}_{t}}+{{W}_{d}}=\frac{k{{x}^{2}}}{2}+\frac{m{{v}^{2}}}{2}=\frac{k{{A}^{2}}}{2}$

2. Thời điểm vật qua x₁

   2.1. Thời điểm vật qua x₁ theo chiều dương (âm)

Phương pháp chung:

Cách 1: Giải hệ phương trình:

Cách 2: Dùng VTLG

Tìm vị trí xuất phát: ${{\phi }_{0}}=\omega {{t}_{1}}+\varphi $

Xác định vị trí cần đến.

Tìm góc quét: $\Delta \varphi .$

Thời gian: $t=\frac{\Delta \varphi }{\omega }$

Cách 3: Chỉ dùng VTLG để xác định thời điểm đầu tiên.

Tìm vị trí xuất phát : ${{\Phi }_{0}}=\left( \omega .0+\varphi  \right)$

* Tìm:

+ Thời điểm đầu tiên vật đến x₁ theo chiều dương t₁ : $\xrightarrow[{}]{cac\,thoi\,\operatorname{diem}}t={{t}_{1}}+kT\left( k=0,1,2…. \right)$

+ Thời điểm đầu tiên vật đến x₂ theo chiều âm t₁ : $\xrightarrow[{}]{cac\,thoi\,\operatorname{diem}}t={{t}_{1}}+kT\left( k=0,1,2…. \right)$

Lần thứ 1 vật đến x = x₁ theo chiều dương (âm) là : t₁

Lần thứ 2 vật đến x = x₁ theo chiều dương (âm) là :  .

………………..

Lần thứ n vật đến x = x₁ theo chiều dương (âm) là  .

Ví dụ: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 6cos(2πt + π/4), trong đó x tính bằng xentimét (cm) và t tính bằng giây (s). Chỉ xét các thời điểm chất điểm đi qua vị trí có li độ x = −3 cm theo chiều dương. Thời điểm lần thứ 10 là

      A. t = 245/24 s.                  B. t = 221/24 s.             C. t = 229/24 s.                      D. t = 253/24 s.

Hướng dẫn

2.2. Thời điểm vật qua x₁ tính cả hai chiều

Phương pháp chung:

Cách 1: Giải phương trình: $x=A\cos \left( \omega t+\varphi  \right)={{x}_{1}}$

Trong một chu kì vật qua mỗi vị trí biên một lần và các vị trí khác hai lần. Để tìm hai thời điểm đầu tiên (t₁ và t₂) có thể dùng PTLG hoặc VTLG. Để tìm thời điểm ta làm như sau:

Cách 2: Dùng VTLG:

+ Tìm vị trí xuất phát: ${{\Phi }_{0}}=\left( \omega .0+\varphi  \right)$

+ Tìm vị trí cần đến.

+ Tìm góc quét $\Delta \varphi .$

+ Thời gian: $t=\frac{\Delta \varphi }{\omega }$

Ví dụ:  (THPTQG − 2017) Một vật daọ động theo phương trình x = 5cos(5πt − π/3) (cm) (t tính bằng s). Kể từ t = 0, thời điểm vật qua vị trí có li độ x = −2,5 cm lần thứ 2017 là

A. 401,6 s.                         B. 403,4 s.                      C. 401,3 s.                        D. 403,5 s.

Hướng dẫn

2.3.Thời điểm vật cách vị trí cân bằng một đoạn b

Phương pháp chung:

Trong một chu kì vật qua mỗi vị trí biên một lần và các vị trí khác hai lần. Vì vậy nếu b = 0 hoặc b = A thì trong một chu kì có 2 lần |x| = b, ngược lại trong một chu kì có 4 lần |x| = b (hai lần vật qua x = +b và hai lần qua x = −b). Để tìm bốn thời điểm đầu tiên t₁, t₂, t₃ và u có thể dùng PTLG hoặc VTLG. Để tìm thời điểm tiếp theo ta làm như sau:

Ví dụ:  Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 6cos(10π/3 + π/6) cm. Xác định thời điểm thứ 2015 vật cách vị trí cân bằng 3 cm.

   A. 302,15 s.                    B. 301,85s.                         C. 302,25 s.                      D. 301,95 s.

Hướng dẫn

Chú ý: Nếu khoảng thời gian liên quan đến W_t, W_đ thì ta quy về li độ nhờ các công thức độc lập với thời gian: $W={{W}_{t}}+{{W}_{d}}=\frac{k{{x}^{2}}}{2}+\frac{m{{v}^{2}}}{2}=\frac{k{{A}^{2}}}{2}$

2.4. Thời điểm liên quan đến vận tốc, gia tốc, lực…

Phương pháp chung:

Cách 1: Giải trực tiếp phương trình phụ thuộc t của v, a, F…

Cách 2: Dựa vào các phương trình độc lập với thời gian để quy về li độ.

Ví dụ:  Một vật dao động với phương trình x = 6cos(10πt/3) (cm). Tính từ t = 0 thời điểm lần thứ 2013 vật có tốc độ 10π cm/s là

   A. 302,35 s.                  B. 301,85 s.                    C. 302,05 s.                     D. 302,15 s.

Hướng dẫn

Dạng 3. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN QUÃNG ĐƯỜNG

Chúng ta sẽ nghiên cứu các bài toán:

+ Quãng đuờng đi được tối đa, tối thiểu.

+ Quãng đuờng đi được từ t₁ đến t₂

1. Quãng đường đi được tối đa, tối thiểu.

1.1 Trường hợp Δt < T/2 $\Delta \varphi =\omega \Delta t<\pi $

Trong dao động điều hòa, càng gần vị trí biên thì tốc độ càng bé. Vì vậy trong cùng một khoảng thời gian nhất định muốn đi đuợc quãng đuờng lớn nhất thì đi xu quanh vị trí cân bằng và muốn đi được quãng đuờng bé nhất thì đi xung quanh vị biên.

Cách 1: Dùng PTLG

Cách 2: Dùng VTLG

Ví dụ:  Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox, quanh vị trí cân bằng O với biên độ A và chu kỳ T. Gọi S₁, S₂ lần lượt là quãng đường nhỏ nhất mà vật có thể đi được trong khoảng thời gian T/3 và quãng đường lớn nhất mà vật có thề đi được trong khoảng thời gian T/6 thì

     A. S₁>S₂.                   B. S₁ = S₂ = A. C                  . S₁ = S₂ = $A\sqrt{3}$ .                     D. S₁ < S₂.

Hướng dẫn

Trong khoảng thời gian T/3 để đi được quãng đường nhỏ nhất thì vật đi xung quanh vị trí biên mỗi nửa một khoảng thời gian T/6 tương ứng với quãng đường A/2.

Vì vậy: S₁ = A.

Trong khoảng thời gian T/6 để đi được quãng đường lớn nhất thi vật đi xung quanh vị trí cân bằng mỗi nửa một khoảng thời gian T/12 tương ứng với quãng đường A/2.

Vì vậy: S₂ = A.

=> Chọn B

Kinh nghiệm: Kết quả bài toán này được đề cập khá nhiều trong các đề thi. Để dễ nhớ ta viết dưới dạng:

+ ${{S}_{\max \left( \frac{T}{6} \right)}}=A:$ Đi xung quanh VTCB mỗi nửa A/2

+ ${{S}_{\min \left( \frac{T}{3} \right)}}=A:$ Đi quanh VT biên mỗi nửa A/2Đi quanh VT biên mỗi nửa A/2

1.2 Trường hợp Δt’ > T/2 $\Rightarrow \Delta t’=n\frac{T}{2}+\Delta t$ với $0<\Delta t<\frac{T}{2}$

Vì quãng đường đi được trong khoảng thời gian $n\frac{T}{2}$ luôn luôn là n.2A nên quãng đường lớn nhất hay nhỏ nhất là do Δt quyết định.

Hai trường hợp đơn giản xuất hiện nhiều trong các đề thi:

Ví dụ:  Một chất điểm dao động điều hoà với biên độ 6 cm. Trong khoảng thời gian 1 (s), quãng đường nhỏ nhất mà vật có thể đi được là 18 cm. Tính tốc độ của vật ở thời điểm kết thúc quãng đường.

A. 42,5 cm/s.                       B. 48,66 cm/s.                         C. 27,2 cm/s.                         D. 31,4 cm/s.

Hướng dẫn

$S_{\min }^{‘}=18cm=+\Rightarrow \frac{T}{2}+\frac{T}{3}=1\Rightarrow T=1,2\left( s \right)$

Khi kết thúc quãng đường vật ở li độ $x=\pm \frac{A}{2}$

Khi $x=\pm \frac{A}{2}\Rightarrow \left| v \right|={{v}_{\max }}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\pi }{T}A\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 27,2\left( cm/s \right)\Rightarrow $ Chọn C.

Chú ý: Một số bài toán là sự chồng chập của nhiều bài toán dễ. Chúng ta nên giải quyết lần lượt các bài toán nhỏ.

2. Quãng đường đi

2.1 Quãng đường đi được từ t₁ đến t₂

Phương pháp chung

* Nếu biểu diễn:

Quãng đường đi được: S = n.4A + S_thêm, với S_thêm là quãng đường đi được từ thời điểm t₁ + nT đến thời điểm t₂.

* Nếu biểu diễn:

Quãng đường đi được: S = m.2A + S_thêm, với S_thêm là quãng đường đi được từ thời điểm t₁ + mT/2 đến thời điểm t₂.

Để tìm S_thêm thông thường dùng ba cách sau:

Cách 1:

Dùng trục thời gian để xác định quãng đường dịch chuyển từ trạng thái 1 đến trạng thái 2.

Cách 2:

Dùng vòng tròn lượng giác để xác định quãng đường dịch chuyển từ trạng thái 1 đến trạng thái 2.

Cách 3:

Dùng tích phân xác định.

Cơ sở phương pháp:

$v=\frac{dx}{dt}\Rightarrow \left| v \right|=\frac{\left| dx \right|}{dt}=\frac{ds}{dt}\Rightarrow ds=\left| v \right|dt$ ( trong đó ds là quãng đường đi được trong thời gian dt) Quãng đường chất điểm đi được từ thời điểm t₁ + mT/2 đến t₂: S_thêm $=\int\limits_{{{t}_{1}}+mT/2}^{{{t}_{2}}}{\left| v \right|dt}$

(chính là diện tích phần tô màu)

Nếu phương trình li độ $x=A\cos \left( \omega t+\varphi  \right)$ thì phương trình vận tốc $v=\omega A\sin \left( \omega t+\varphi  \right)$

Để tính tích phân này ta có thể dùng máy tính cần tay CASIO fx−570ES, 570ES Plus.

Các bước thực với máy tính cầm tay CASIO fx−570ES, 570ES Plus

Ví dụ: Một vật dao động điều hoà có phương trình dao động: x = 5cos(4πt + π/3) (x đo bằng cm, t đo bằng s). Trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t = 0,875 s, quãng đường vật đi được và số lần đi qua điểm có li độ x = 3,5 cm lần lượt là

  A. 36,8 cm và 4 lần.            B. 32,5 cm và 3 lần.           C. 32,5 cm và 4 lần.              D. 36,8 cm và 3 lần.

Hướng dẫn

Chú ý: Đối với đề thi trắc nghiệm thông thường liên quan đến các trường hợp đặc biệt sau đây:

+ Bất kể vật xuất phát từ đâu, quãng đường vật đi sau một chu kì luôn luôn là 4A.

+ Bất kể vật xuất phát từ đâu, quãng đường vật đỉ sau nửa chu kì luôn luôn là 2A.

+ Nếu vật xuất phát từ vị trí cân bằng (x(t₁) = 0) hoặc từ vị trí biên (x(t₁) = ± A) thì quãng đường vật đi sau một phần tư chu kì là A.

+ Căn cứ vào tỉ số: $\frac{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}{0,5T}=q$

Ví dụ: Một vật nhỏ dao động điều hòa x = 4.cos3ωt (cm) (t tính bằng giây).

1) Quãng đường mà vật đi được từ thời điểm t₁ = 2/3 (s) đến thời điểm 13/3 s là bao nhiêu?

     A. 108 cm.          B. 54 cm.             C. 88 cm.                    D. 156 cm.

2) Quãng đường mà vật đi được từ thời điểm ban đầu đến thời điểm 4,5 s là bao nhiêu?

 A. 108 cm          B. 54 cm.             C. 80 cm.                    D. 156 cm.

3) Quãng đường mà vật đi được từ thời điểm ban đầu đến thời  điểm 20/9 s là bao nhiêu?

A. 48 cm.            B. 54 cm.             C. 72 cm.                    D. 60 cm.

Hướng dẫn

1) $q=\frac{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}{0,5T}=\frac{\frac{13}{5}-\frac{2}{3}}{0,5.\frac{2}{3}}=11\Rightarrow S=q.2A=88cm\Rightarrow $ Chọn C

2) $q=\frac{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}{0,5T}=\frac{4,5-0}{0,5.\frac{2}{3}}13,5$ mà ${{x}_{{{t}_{1}}}}=A\Rightarrow S=q.2A=108cm\Rightarrow $ Chọn A.

Cách 2:

$n=\left[ \frac{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}{T} \right]=\left[ \frac{\frac{20}{9}-0}{\frac{2}{3}} \right]=3$

(Bài này bấm máy thính chờ khoảng 3 phút sẽ thấy kết quả)

2.2. Thời gian đi quãng đường nhất định

Phương pháp chung

+ Các trường hợp riêng:

Quãng đường đi được sau nửa chu kỳ là 2A và sau nT/2 là n.2A.

Quãng đường đi được sau một chu kỳ là 4A và sau mT là m.4A.

Nếu vật xuất phát từ vị trí cân bằng (x(t₁) = 0) hoặc vị trí biên (x(t₁) = ±A) thì quãng đường đi được sau 1/4 chu kì là A và sau nT/4 là nA.

+ Các trường hợp khác:

Phối hợp vòng tròn lượng giác với trục thời gian để xác định.

Ví dụ:  Một vật dao động điều hoà dọc theo phương trình: x = 5cos(2π/3 − π/3) (cm). Kể từ thời điểm t = 0, sau thời gian bao lâu thì vật đi được quãng đường 7,5 cm?

    A. 1,25 s.                    B. 1,5 s.                      C. 0,5 s.                      D. 0,25 s.

Hướng dẫn