Lý thuyết và bài tập mẫu bất phương trình mũ và logarit

Hôm nay, các bạn hãy cùng Khoa Cử chúng tôi đi đến những dạng bài tập bất phương trình mũ và logarit bằng cách tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Khoa cử chúng tôi hy vọng rằng với những thông tin được chia sẽ bên dưới đây sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán lớp 12 nhé!

I. Lý thuyết về bất phương trình mũ và logarit

Để có thể làm bài tập bất phương trình mũ và logarit khó một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các lý thuyết của mỗi dạng như sau:

Dạng 1: Bất phương trình cơ bản – Phương pháp đưa về cùng cơ số

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ:

  • Nếu $a>1$ , $b>0$ thì ${{a}^{f(x)}}>{{a}^{g(x)}}\Leftrightarrow f\left( x \right)>g\left( x \right)$

${{a}^{f(x)}}>b\Leftrightarrow f\left( x \right)>lo{{g}_{a}}b$

  • Nếu $0<a<1$, $b>0$ thì ${{a}^{f(x)}}>{{a}^{g(x)}}\Leftrightarrow f\left( x \right)<g\left( x \right)$

${{a}^{f(x)}}>b\Leftrightarrow f\left( x \right)<lo{{g}_{a}}b$

  • Lưu ý: $b\le 0$ thì ${{a}^{f(x)}}>b$ đúng với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện xác định của$f\left( x \right)$, còn ${{a}^{f(x)}}\le b$ vô nghiệm

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT:

bất phương trình mũ và logarit khó

Dạng 2: Bất phương trình mũ giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ

bài tập bất phương trình mũ và logarit

Ta thường gặp các dạng:

Dạng toán I: Đặt một ẩn, đưa BPT ban đầu về một BPT theo ẩn mới.

  • $m.{{a}^{2f\left( x \right)}}+n.{{a}^{f\left( x \right)}}+p>0$.
  • $m.{{a}^{f\left( x \right)}}+n.{{b}^{f\left( x \right)}}+p>0$, trong đó $a.b=1$. Đặt $t={{a}^{f\left( x \right)}}\text{ }\left( \text{ }t>0 \right)$, suy ra ${{b}^{f\left( x \right)}}=\frac{1}{t}$.
  • $m.{{a}^{2f\left( x \right)}}+n.{{\left( a.b \right)}^{f\left( x \right)}}+p.{{b}^{2f\left( x \right)}}>0$. Chia hai vế cho ${{b}^{2f\left( x \right)}}$ và đặt $t={{\left( \frac{a}{b} \right)}^{f\left( x \right)}}>0$.

Dạng toán II: Đặt một ẩn phụ, nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó, đưa BPT ban đầu về dạng tích hoặc xem một ẩn là tham số để giải.

Dạng toán III: Đặt nhiều ẩn phụ chuyển BPT mũ ban đầu thành BPT tích hoặc xem một ẩn là tham số để giải.

Dạng 3: Bất phương trình Logatit giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Dạng bất phương trình: $A\log _{a}^{2}x+B{{\log }_{a}}x+C>0$$\left( 0<a\ne 1 \right)$.

Phương pháp giải

Đặt ${{\log }_{a}}x=t$ , bất phương trình trở thành: $A{{t}^{2}}+Bt+C>0$.

Giải bất phương trình ẩn $t$, từ đó giải ra $x$.

Dạng bất phương trình: $A{{\log }_{a}}x+B{{\log }_{x}}a+C>0$$\left( 0<a\ne 1,\text{ }0<x\ne 1 \right)$.

Phương pháp giải

Đặt ${{\log }_{a}}x=t$ , bất phương trình trở thành: $At+\frac{B}{t}+C>0$.

Giải bất phương trình ẩn $t$, từ đó giải ra $x$.

Dạng 4: Bất phương trình mũ – Loga phương pháp xét hàm

Dạng 5: Một số bài toán kết hợp với các phương pháp

II. Bài tập mẫu bất phương trình mũ và logarit

Bài tập 1: Giải bất phương trình sau

Giải bất phương trình ${{9}^{x-1}}-{{36.3}^{x-3}}+3\le 0$.

Lời giải

Ta có: ${{9}^{x-1}}-{{36.3}^{x-3}}+3\le 0\Leftrightarrow \frac{{{9}^{x}}}{9}-\frac{4}{3}{{.3}^{x}}+3\le 0\Leftrightarrow \frac{1}{9}.{{\left( {{3}^{x}} \right)}^{2}}-\frac{4}{3}{{.3}^{x}}+3\le 0$$\Leftrightarrow {{\left( {{3}^{x}} \right)}^{2}}-{{12.3}^{x}}+27\le 0$

Đặt $t={{3}^{x}}$ ( điều kiện: $t>0$)

Khi đó bất phương trình $\left( * \right)$ trở thành: ${{t}^{2}}-12t+27\le 0\Leftrightarrow 3\le t\le 9$ $\Rightarrow 3\le {{3}^{x}}\le 9$ $\Leftrightarrow 1\le x\le 2$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=\left[ 1;2 \right]$.

Bài tập 2: Giải bất phương trình sau

Giải bất phương trình: ${{2.4}^{{{x}^{2}}+1}}+{{6}^{{{x}^{2}}+1}}\ge {{9}^{{{x}^{2}}+1}}$.

Lời giải

Bất phương trình đã cho tương đương với $2+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{{{x}^{2}}+1}}\ge {{\left( \frac{9}{4} \right)}^{{{x}^{2}}+1}}$.

Đặt $t={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{{{x}^{2}}+1}},t>0$; bất phương trình trở thành ${{t}^{2}}-t-2\le 0\Leftrightarrow -1\le t\le 2$.

Vì $t>0$ nên $0<t\le 2\Rightarrow {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{{{x}^{2}}+1}}\le 2\Leftrightarrow {{x}^{2}}+1\le {{\log }_{\frac{3}{2}}}2$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}\le {{\log }_{\frac{3}{2}}}2-1\Leftrightarrow -\sqrt{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\left( \frac{4}{3} \right)}\le x\le \sqrt{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\left( \frac{4}{3} \right)}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left[ -\sqrt{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\left( \frac{4}{3} \right)};\sqrt{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\left( \frac{4}{3} \right)} \right]$.

Bài tập 3: Giải bất phương trình sau

Giải bất phương trình: ${{\left( 4+\sqrt{15} \right)}^{x}}+{{\left( 4-\sqrt{15} \right)}^{x}}\le 62$.

Lời giải

Ta có: $\left( 4+\sqrt{15} \right).\left( 4-\sqrt{15} \right)=1$

${{\left( 4+\sqrt{15} \right)}^{x}}+{{\left( 4-\sqrt{15} \right)}^{x}}\le 62$$\Leftrightarrow {{\left( 4+\sqrt{15} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{1}{4+\sqrt{15}} \right)}^{x}}\le 62$$\Leftrightarrow {{\left( 4+\sqrt{15} \right)}^{x}}+\frac{1}{{{\left( 4+\sqrt{15} \right)}^{x}}}\le 62$

Đặt $t={{\left( 4+\sqrt{15} \right)}^{x}},\,\,t>0$.

Bất phương trên trở thành: $t+\frac{1}{t}\le 62\Leftrightarrow {{t}^{2}}-62t+1\le 0\Leftrightarrow 31-8\sqrt{15}\le t\le 31+8\sqrt{15}$

$\Rightarrow 31-8\sqrt{15}\le {{\left( 4+\sqrt{15} \right)}^{x}}\le 31+8\sqrt{15}\Leftrightarrow -2\le x\le 2$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=\left[ -2;2 \right]$.

Xem thêm: Lý thuyết và bài tập mẫu phương trình mũ và logarit

Bài tập 4: Tìm các giá trị thực của tham số m thỏa mãn điều kiện

Tìm các giá trị thực của tham số m để bất phương trình  ${{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right).{{\log }_{2}}\left( {{2.5}^{x}}-2 \right)\ge m$

Lời giải

Ta có: ${{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right).{{\log }_{2}}\left( {{2.5}^{x}}-2 \right)\ge m\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right)\left[ 1+{{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right) \right]\ge m$.

Đặt $t={{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right)$. Vì $x\ge 1$ nên $t\in \left[ 2;+\infty  \right)$.

Bất phương trình trở thành: $t\left( t+1 \right)\ge m\Leftrightarrow {{t}^{2}}+t\ge m$ với mọi $t\in \left[ 2;+\infty  \right)$

Xét $f\left( t \right)={{t}^{2}}+t$, ${f}’\left( t \right)=2t+1>0$ với  $t\in \left[ 2;+\infty  \right)$ nên hàm đồng biến trên $t\in \left[ 2;+\infty  \right)$.

Nên $\underset{\left[ 2;+\infty  \right)}{\mathop{\min \,}}\,f\left( t \right)=f\left( 2 \right)=6$

Bất phương trình ${{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right).{{\log }_{2}}\left( {{2.5}^{x}}-2 \right)\ge m$ nghiệm đúng với mọi  $x\ge 1$ khi và chỉ khi

$f\left( t \right)\ge m\,\,\forall t\in \left[ 2;+\infty  \right)$$\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ 2;+\infty  \right)}{\mathop{\min \,}}\,f\left( t \right)\Leftrightarrow m\le 6$.

Bài tập 5: Giải bất phương trình sau

Giải bất phương trình ${{2}^{x+1}}+{{3}^{x+1}}<{{6}^{x}}-1$.

Lời giải

Ta có: ${{2}^{x+1}}+{{3}^{x+1}}<{{6}^{x}}-1\Leftrightarrow 2.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{x}}+3.{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{1}{6} \right)}^{x}}<1$ (*)

Đặt $f\left( x \right)=2.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{x}}+3.{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{1}{6} \right)}^{x}}$.

Ta có: $f’\left( x \right)=2.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{x}}.\ln \left( \frac{1}{3} \right)+3.{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}.\ln \left( \frac{1}{2} \right)+{{\left( \frac{1}{6} \right)}^{x}}.\ln \left( \frac{1}{6} \right)<0,\forall x\in \mathbb{R}$

Suy ra hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Do đó: $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)<f\left( 2 \right)\Leftrightarrow x>2$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình: $S=\left( 2;+\infty  \right)$.

Bài tập 6: Tìm tham số m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x

Tìm tham số $m$ để bất phương trình: $m+{{\text{e}}^{\frac{x}{2}}}\ge \sqrt[4]{{{\text{e}}^{2x}}+1}$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Lời giải

TXĐ: $\mathbb{R}$

Ta có bất phương trình tương đương $m\ge \sqrt[4]{{{e}^{2x}}+1}-{{e}^{\frac{x}{2}}}$.

Đặt ${{e}^{\frac{x}{2}}}=t,\,\,t>0$, khi đó yêu cầu bài toán tương đương $m\ge \sqrt[4]{{{t}^{4}}+1}-t$ đúng với mọi $t>0$ (*)

Đặt $y=f\left( t \right)=\sqrt[4]{{{t}^{4}}+1}-t,\,\,t>0$.

Ta có: ${f}’\left( t \right)=\frac{{{t}^{3}}}{\sqrt[4]{{{\left( {{t}^{4}}+1 \right)}^{3}}}}-1$; ${f}’\left( t \right)=0\Leftrightarrow \frac{{{t}^{3}}}{\sqrt[4]{{{\left( {{t}^{4}}+1 \right)}^{3}}}}-1=0$

$\Leftrightarrow {{t}^{3}}=\sqrt[4]{{{\left( {{t}^{4}}+1 \right)}^{3}}}\Leftrightarrow {{t}^{12}}={{\left( {{t}^{4}}+1 \right)}^{3}}$ $\Leftrightarrow {{t}^{12}}={{t}^{12}}+3{{t}^{8}}+3{{t}^{4}}+1\Leftrightarrow 3{{t}^{8}}+3{{t}^{4}}+1=0$ (Vô nghiệm)

Nhận xét: ${f}’\left( t \right)=\frac{{{t}^{3}}}{\sqrt[4]{{{\left( {{t}^{4}}+1 \right)}^{3}}}}-1=\frac{{{t}^{3}}-\sqrt[4]{{{\left( {{t}^{4}}+1 \right)}^{3}}}}{\sqrt[4]{{{\left( {{t}^{4}}+1 \right)}^{3}}}}<0,\,\,\forall t>0$ (vì $\sqrt[4]{{{\left( {{t}^{4}}+1 \right)}^{3}}}>\sqrt[4]{{{\left( {{t}^{4}} \right)}^{3}}}={{t}^{3}}$)

Mặt khác   $\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=1$;

$\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt[4]{{{t}^{4}}+1}-t \right)=\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{t}^{4}}+1}-{{t}^{2}}}{\left( \sqrt[4]{{{t}^{4}}+1}+t \right)}$ $=\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\left( \sqrt[4]{{{t}^{4}}+1}+t \right)\left( \sqrt{{{t}^{4}}+1}+{{t}^{2}} \right)}=0$.

Bảng biến thiên, như sau:

tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm

Do đó (*) $\Leftrightarrow m\ge 1$. Vậy $m\ge 1$.

Bài tập 7: Tìm tham số m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình${{\log }_{2}}({{5}^{x}}-1).{{\log }_{2}}({{2.5}^{x}}-2)\ge m$ có nghiệm với mọi $x\ge 1$?

Lời giải

BPT$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}({{5}^{x}}-1).{{\log }_{2}}({{2.5}^{x}}-2)\le m\Leftrightarrow {{\log }_{2}}({{5}^{x}}-1).\left[ 1+{{\log }_{2}}({{5}^{x}}-1) \right]\le m$

Đặt $t={{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right)$ do$x\ge 1$$\Rightarrow t\in \left[ 2;+\infty  \right)$

BPT$\Leftrightarrow t(1+t)\ge m\Leftrightarrow {{t}^{2}}+t\ge m\Leftrightarrow f(t)\ge m$

Với $f(t)={{t}^{2}}+t$

${{f}^{,}}(t)=2t+1>0$với$t\in \left[ 2;+\infty  \right)$nên hàm đồng biến trên $t\in \left[ 2;+\infty  \right)$

Nên $Minf(t)=f(2)=6$

Do đó để để bất phương trình ${{\log }_{2}}({{5}^{x}}-1).{{\log }_{2}}({{2.5}^{x}}-2)\ge m$ có nghiệm với mọi $x\ge 1$thì :

$m\le Minf(t)\Leftrightarrow m\le 6$

Bài tập 8: Tìm tham số m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ -1\,;9 \right]$ và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây

bất phương trình mũ và logarit khó

Tìm tham số $m$ để bất phương trình ${{16.3}^{f\left( x \right)}}-\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)+2f\left( x \right)-8 \right]{{.4}^{f\left( x \right)}}\ge \left( {{m}^{2}}-3m \right){{.6}^{f\left( x \right)}}$ nghiệm đúng với mọi giá trị $x$ thuộc đoạn $\left[ -1;9 \right]$?

Lời giải

Từ đồ thị ta suy ra $-4\le f\left( x \right)\le 2\text{  }\forall x\in \left[ -1;9 \right]$.

Đặt $t=f\left( x \right),\text{ }t\in \left[ -4;2 \right]$.

Ta tìm $m$ sao cho bất phương trình ${{16.3}^{t}}-\left[ {{t}^{2}}+2t-8 \right]{{.4}^{t}}\ge \left( {{m}^{2}}-3m \right){{.6}^{t}}$(1)
đúng với$\forall t\in \left[ -4;2 \right]$.

$(1)\Leftrightarrow \frac{16}{{{2}^{t}}}-\left[ {{t}^{2}}+2t-8 \right].{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{t}}\ge {{m}^{2}}-3m$ với $\forall t\in \left[ -4;2 \right]$ (*).

Ta có $\frac{16}{{{2}^{t}}}\ge 4,\text{ }\forall t\in \left[ -4;2 \right]$. Dấu bằng xảy ra khi $t=2$.

Lại có ${{t}^{2}}+2t-8\le 0$ với $\forall t\in \left[ -4;2 \right]$.

Do đó $\left( {{t}^{2}}+2t-8 \right).{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{t}}\le 0,\text{ }\forall t\in \left[ -4;2 \right]$. Dấu bằng xảy ra khi $t=2\vee t=-4$.

Như vậy $\frac{16}{{{2}^{t}}}-\left[ {{t}^{2}}+2t-8 \right].{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{t}}\ge 4\text{ }\forall t\in \left[ 4;-2 \right]$. Mà $\frac{16}{{{2}^{t}}}-\left[ {{t}^{2}}+2t-8 \right].{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{t}}\ge {{m}^{2}}-3m$ với $\forall t\in \left[ -4;2 \right]$.

Suy ra ${{m}^{2}}-3m\le 4\Leftrightarrow -1\le m\le 4$.

Vậy $-1\le m\le 4$.

Bài tập 9: Giải bất phương trình sau

Giải bất phương trình ${{x}^{2}}+{{3}^{{{\log }_{2}}x}}>{{x}^{{{\log }_{2}}5}}$

Lời giải

+) Điều kiện: $x>0$

+) Đặt $t={{\log }_{2}}x\Rightarrow x={{2}^{t}}$.

Khi đó bất phương trình đã cho có dạng: ${{\left( {{2}^{t}} \right)}^{2}}+{{3}^{t}}>{{\left( {{2}^{t}} \right)}^{{{\log }_{2}}5}}\Leftrightarrow {{4}^{t}}+{{3}^{t}}>{{5}^{t}}$.

Chia 2 vế của bất phương trình cho ${{5}^{t}}$, ta được: ${{\left( \frac{4}{5} \right)}^{t}}+{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{t}}>1$.

+) Xét hàm số $f\left( t \right)={{\left( \frac{4}{5} \right)}^{t}}+{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{t}}\Rightarrow {f}’\left( t \right)={{\left( \frac{4}{5} \right)}^{t}}\ln \frac{4}{5}+{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{t}}\ln \frac{3}{5}<0,\forall t$.

Do đó hàm số $f\left( t \right)$nghịch biến trên$\mathbb{R}$.

Mà $f\left( 2 \right)=1$ nên $f\left( t \right)>1\Leftrightarrow f\left( t \right)>f\left( 2 \right)\Leftrightarrow t<2\Rightarrow {{\log }_{2}}x<2\Leftrightarrow x<4$.

+) Đối chiếu điều kiện ta được: $0<x<4$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là: $S=(0;4)$.

Bên trên là tất cả những thông tin về lý thuyết cũng như bài tập về dạng bất phương trình mũ và logarit. Mong rằng qua bài viết trên đã có thể giúp bạn nắm vững vàng về các dạng trên nhé!

Xem thêm:

Giải phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Cách giải và bài tập mẫu các dạng bài tập hàm số lũy thừa

Lý thuyết và bài tập hàm số lũy thừa