Hôm nay, các bạn hãy cùng Khoa Cử chúng tôi đi đến những công thức nguyên hàm cơ bản cho đến những công thức nguyên hàm nâng cao rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Khoa cử chúng tôi hy vọng rằng với những thông tin được chia sẽ bên dưới đây sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán lớp 12 bằng bảng công thức nguyên hàm đầy đủ nhé!
I. LÝ THUYẾT VỀ NGUYÊN HÀM
Để có thể làm được các dạng bài tập của của nguyên hàm – tích phân một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức nguyên hàm lượng giác hay công thức nguyên hàm đạo hàm cũng như công thức nguyên hàm từng phần của mỗi dạng như sau:
Kí hiệu $\text{K}$ là một khoảng, hay một đoạn hay một nửa khoảng.
1) Định nghĩa nguyên hàm:
Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\text{K}$. Hàm số $F\left( x \right)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$trên $\text{K}$nếu ${F}’\left( x \right)=f\left( x \right)$ với mọi x thuộc $\text{K}$.
2) Định lý của nguyên hàm
- Nếu $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\text{K}$thì $\forall C\in \text{R}$ hàm số $F\left( x \right)+C$ cũng là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\text{K}$.
- Đảo lại nếu $F\left( x \right),\,G\left( x \right)$ là hai nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\text{K}$thì tồn tại một hằng số $C$ sao cho $F\left( x \right)=G\left( x \right)+C$
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ký hiệu là $\int{f\left( x \right)=F\left( x \right)+C}$.
Chú ý: Người ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên $\text{K}$ đều có nguyên hàm trên $\text{K}$”
3) Tính chất của nguyên hàm.
- Nếu $f,g$ là hai hàm số liên tục trên $\text{K}$thì $\int{\left[ f(x)\pm g(x) \right]}\text{d}x=\int{f(x)\text{d}x\pm \int{g(x)\text{d}x}}$.
- $\int{kf(x)\text{d}x=k\int{f(x)\text{d}x}}$ với mọi số thực $k$ khác 0.
Suy ra$\int{\left[ k.f(x)+l.g(x) \right]}\text{d}x=k\int{f(x)\text{d}x+l\int{g(x)\text{d}x}}$
- ${{\left( \int{f(x)\text{d}x} \right)}^{\prime }}=f(x)$.
4) Công thức nguyên hàm từng phần
$\int{u\text{d}v}=uv-\int{v\text{d}u}$.
5) Công thức đổi biến số
$\int{f\text{ }\!\![\!\!\text{ }u\left( x \right)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }{u}’\left( x \right)\text{d}x}=F\text{ }\!\![\!\!\text{ }u\left( x \right)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }+C$.
6) Bảng nguyên hàm và vi phân của những hàm số thường gặp
| Hàm sơ cấp | Hàm số hợp$u=u\left( x \right)$ | Thường gặp |
| $\,1)\int{\text{d}x}=x+C$ | $\,1)\int{\text{d}u}=u+C$. | 1) Vi phân$\,\,\,\text{d}\left( ax+b \right)=\frac{1}{a}\text{d}x$ |
| $2)\,\int{{{x}^{\alpha }}\text{d}x}=\frac{{{x}^{\alpha +1}}}{\alpha +1}+C\,\,\,\left( \alpha \ne -1 \right)$ | $2)\,\int{{{u}^{\alpha }}\text{d}u}=\frac{{{u}^{\alpha +1}}}{\alpha +1}+C\,\,\,\left( \alpha \ne -1 \right)$ | $2)\,\int{{{\left( a\,x+b \right)}^{\alpha }}\text{d}x=\frac{1}{a}}\cdot \frac{1}{\alpha +1}{{(ax+b)}^{\alpha +1}}+C$ |
| $3)\,\,\int{\frac{\text{d}x}{x}}=\ln \left| x \right|+C\,\,\,\left( x\ne 0 \right)$ | $3)\,\,\int{\frac{\text{d}u}{u}}=\ln \left| u \right|+C\,\,\,\left( u\left( x \right)\ne 0 \right)$ | $3)\,\,\int{\frac{\text{d}x}{ax+b}}=\frac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+C\,\,\,\left( a\ne 0 \right)$ |
| $4)\,\int{\cos x\text{d}x}=\sin x+C$ | $4)\,\int{\cos u\text{d}u}=\sin u+C$ | $4)\,\int{\cos (ax+b)\text{d}x}=\frac{1}{a}\sin (ax+b)+C\,$ |
| $5)\,\int{\sin x\text{d}x}=-\cos x+C$ | $5)\,\int{\sin u\text{d}u}=-\cos u+C$ | $5)\,\int{\sin (ax+b)\text{d}x}=-\frac{1}{a}\cos (ax+b)+C\,$ |
| $6)\,\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\text{d}x}=\tan x+C$
Với $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ |
$6)\,\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}u}\text{d}u}=\tan u+C$
Với $u\left( x \right)\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ |
$6)\,\int{\frac{\text{d}x}{{{\cos }^{2}}\left( ax+b \right)}}=\frac{1}{a}\tan \left( ax+b \right)+C$ |
| $7)\,\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\text{d}x}=-\cot x+C$
Với $x\ne k\pi$ |
$7)\,\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}u}\text{d}u}=-\cot u+C$
Với $u\left( x \right)\ne k\pi$ |
$7)\,\int{\frac{\text{d}x}{{{\sin }^{2}}\left( ax+b \right)}}=\frac{-1}{a}\cot \left( ax+b \right)+C$ |
| $8)\,\int{{{e}^{x}}\text{d}x}={{e}^{x}}+C$ | $8)\,\int{{{e}^{u}}\text{d}u}={{e}^{u}}+C$ | $8)\,\int{{{e}^{ax+b}}\text{d}x}=\frac{1}{a}{{e}^{ax+b}}+C$ |
| $9)\,\int{{{a}^{x}}\text{d}x}=\frac{{{a}^{x}}}{\ln a}+C\,\,\,\left( 0<a\ne 1 \right)$ | $9)\,\int{{{a}^{u}}\text{d}u}=\frac{{{a}^{u}}}{\ln a}+C\,\,\,\left( 0<a\ne 1 \right)$ | $9)\,\int{{{a}^{px+q}}\text{d}x}=\frac{1}{p.\ln a}{{a}^{px+q}}+C\,\,\,\left( 0<a\ne 1 \right)$ |
Xem thêm: Lý thuyết và bài tập mẫu nguyên hàm
7) Các dạng toán thường gặp
Trước khi chúng ta cùng đến với các bài tập thì cần phải lưu ý đến 2 dạng chính sau đây:
1. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất định. Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau:
a) Nếu: $\int{f(x)=F(x)+C}$ và với $u=\left( x \right)$ là hàm số có đạo hàm thì: $\int{f(u)du=F(u)+C}$
b) Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt $x=\varphi \left( t \right)$. Trong đó $\varphi \left( t \right)$ cùng với đạo hàm của nó ($\varphi ‘\left( t \right)$ là những hàm số liên tục ) thì ta được: $\int{f(x)dx=\int{f\left[ \varphi \left( t \right) \right]\varphi ‘\left( t \right)dt=\int{g(t)dt=G(t)+C}}}$.
Từ đó ta trình bày hai dạng toán về phương pháp đổi biến số như sau:
Dạng 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 để tính nguyên hàm: $I=\int{f(x)dx}$.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG.
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Chọn t = $\varphi \left( x \right)$. Trong đó $\varphi \left( x \right)$ là hàm số mà ta chọn thích hợp.
Bước 2: Tính vi phân hai vế: $dt=\varphi ‘\left( x \right)dx$.
Bước 3: Biểu thị: $f(x)dx=g\left[ \varphi \left( x \right) \right]\varphi ‘\left( x \right)dx=g(t)dt$.
Bước 4: Khi đó: $I=\int{f(x)dx}=\int{g(t)dt=G(t)+C}$
2. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Cho hai hàm số $u$ và $v$ liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right]$ và có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right]$.
Khi đó:$\int{u\text{d}v=uv-\int{v\text{d}u}}.$ $\left( * \right)$
Để tính nguyên hàm $\int{f\left( x \right)\text{d}x}$ bằng từng phần ta làm như sau:
Bước 1: Chọn $u,\text{ }v$ sao cho $f\left( x \right)\text{d}x=u\text{d}v$ (chú ý $~\text{d}v=v’\left( x \right)\text{d}x$).
Sau đó tính $v=\int{\text{d}v}$ và $\text{d}u=u’.\text{d}x$.
Bước 2: Thay vào công thức $\left( * \right)$ và tính $\int{v\text{d}u}$.
Chú ý. Cần phải lựa chọn và $\text{d}v$ hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được $v$ và tích phân $\int{v\text{d}u}$ dễ tính hơn $\int{u\text{d}v}$. Ta thường gặp các dạng sau
- Dạng 1. $I=\int{P\left( x \right)\sin \left( ax+b \right)\text{d}x}$, trong đó $P\left( x \right)$ là đa thức.
- Dạng 2. $I=\int{P\left( x \right)\cos \left( ax+b \right)\text{d}x}$, trong đó $P\left( x \right)$ là đa thức.
- Dạng 3. $I=\int{P\left( x \right){{e}^{ax+b}}\text{d}x}$, trong đó $P\left( x \right)$ là đa thức.
- Dạng 4. $I=\int{P\left( x \right)\ln g\left( x \right)\text{d}x}$, trong đó $P\left( x \right)$ là đa thức.
II. BÀI TẬP MẪU NGUYÊN HÀM
Bài tập 1: Tìm các họ nguyên hàm sau đây
a) $\int{x\sqrt[4]{1-{{x}^{2}}}\text{d}x}$ b) $\int{\frac{1}{x\sqrt{x+1}}\text{d}x}$ c) $\int{{{x}^{3}}\sqrt{{{x}^{2}}+9}\,\text{d}x}$
Lời giải
a) Xét $\int{x\sqrt[4]{1-{{x}^{2}}}\text{d}x}$.
Đặt $t=\sqrt[4]{1-{{x}^{2}}}\Rightarrow {{t}^{4}}=1-{{x}^{2}},$ suy ra $4{{t}^{3}}\text{d}t=-2x\text{d}x\Rightarrow -2{{t}^{3}}\text{d}t=x\text{d}x$
Khi đó $\int{x\sqrt[4]{1-{{x}^{2}}}\text{d}x}=-2\int{t.{{t}^{3}}\text{d}t=}-\frac{2{{t}^{5}}}{5}+C=-\frac{2\left( 1-{{x}^{2}} \right)\sqrt[4]{1-{{x}^{2}}}}{5}+C$
b) Xét $\int{\frac{1}{x\sqrt{x+1}}\text{d}x}$.
Khi đó $\int{\frac{1}{x\sqrt{x+1}}\text{d}x}=\int{\frac{2t}{\left( {{t}^{2}}-1 \right)t}\text{d}t}=\int{\frac{2}{{{t}^{2}}-1}\text{d}t}=\int{\left( \frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1} \right)\text{d}t}$
$=\ln \left| \frac{t-1}{t+1} \right|+C=\ln \left| \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1} \right|+C$
c) Xét $\int{{{x}^{3}}\sqrt{{{x}^{2}}+9}\,\text{d}x}=\int{{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}+9}.x\text{d}x}$.
Khi đó $\int{{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}+9}.x\text{d}x}=\int{\left( {{t}^{2}}-9 \right)t.t\text{d}t}=\int{\left( {{t}^{4}}-9{{t}^{2}} \right)\text{d}t}$$=\frac{{{t}^{5}}}{5}-3{{t}^{3}}+C.$
Như vậy $\int{{{x}^{3}}\sqrt{{{x}^{2}}+9}\,\text{d}x}=\frac{{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+9} \right)}^{5}}}{5}-3{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+9} \right)}^{3}}+C$
Bài tập 2: Tìm các họ nguyên hàm sau đây
a) $\int{\frac{{{\ln }^{2}}x-1}{x\ln x}\text{d}x}$ b) $\int{\frac{x\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{x}^{2}}+1}\text{d}x}$ c) $\int{\frac{{{\ln }^{2}}x}{x\left( 1+\sqrt{\ln x+1} \right)}\text{d}x}$
Lời giải
a) Xét $\int{\frac{{{\ln }^{2}}x-1}{x\ln x}\text{d}x}$.
Đặt $t=\ln x,$ suy ra $\text{d}t=\frac{1}{x}\text{d}x$
Khi đó $\int{\frac{{{\ln }^{2}}x-1}{x\ln x}\text{d}x}=\int{\frac{{{t}^{2}}-1}{t}\text{d}t}=\int{\left( t-\frac{1}{t} \right)\text{d}t}=\frac{{{t}^{2}}}{2}-\ln \left| t \right|+C=\frac{{{\ln }^{2}}x}{2}-\ln \left| \ln x \right|+C$
b) Xét $\int{\frac{x\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{x}^{2}}+1}\text{d}x}$.
Đặt $t=\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)$, suy ra $\text{d}t=\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}\text{d}x\Rightarrow \frac{1}{2}\text{d}t=\frac{x}{{{x}^{2}}+1}\text{d}x$.
Khi đó $\int{\frac{x\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{x}^{2}}+1}\text{d}x}=\frac{1}{2}\int{t\text{d}t}=\frac{1}{4}{{t}^{2}}+C=\frac{1}{4}{{\ln }^{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)+C$.
c) Xét $\int{\frac{{{\ln }^{2}}x}{x\left( 1+\sqrt{\ln x+1} \right)}\text{d}x}$.
Đặt $t=1+\sqrt{1+\ln x}\Rightarrow {{\left( t-1 \right)}^{2}}=1+\ln x\Leftrightarrow \ln x={{t}^{2}}-2t$
suy ra $\frac{\text{d}x}{x}=\left( 2t-2 \right)\text{d}t$.
Khi đó $\int{\frac{{{\ln }^{2}}x}{x\left( 1+\sqrt{\ln x+1} \right)}\text{d}x}=\int{\frac{{{\left( {{t}^{2}}-2t \right)}^{2}}}{t}\cdot \left( 2t-2 \right)\text{d}t}$
$=2\int{\left( {{t}^{4}}-5{{t}^{3}}+8{{t}^{2}}-4t \right)\text{d}t}=\frac{2}{5}{{t}^{5}}-\frac{5}{2}{{t}^{4}}+\frac{16}{3}{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}+C$.
Như vậy $\int{\frac{{{\ln }^{2}}x}{x\left( 1+\sqrt{\ln x+1} \right)}\text{d}x}=\frac{2}{5}{{t}^{5}}-\frac{5}{2}{{t}^{4}}+\frac{16}{3}{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}+C$ với $t=1+\sqrt{\ln x+1}$
Bài tập 3: Tìm nguyên hàm
a) $I=\int{(x+1)\sqrt[3]{3-2x}dx}$ b) $J=\int{\frac{xdx}{\sqrt[3]{2x+2}}}$ c) $K=\int{\frac{xdx}{\sqrt{x+3}+\sqrt{5x+3}}}$
Lời giải.
Đặt $t=\sqrt[3]{3-2x}\Rightarrow x=\frac{3-{{t}^{3}}}{2}\Rightarrow dx=-\frac{3}{2}{{t}^{2}}dt$
$\Rightarrow I=-\frac{3}{2}\int{\left( \frac{3-{{t}^{3}}}{2}+1 \right)t.{{t}^{2}}dt}=-\frac{3}{4}\int{(5{{t}^{3}}-{{t}^{6}})dt}$
$=-\frac{3}{4}\left( \frac{5{{t}^{4}}}{4}-\frac{{{t}^{7}}}{7} \right)+C=\frac{3}{4}\left( \frac{\sqrt[3]{{{(3-2x)}^{7}}}}{7}-\frac{5\sqrt[3]{{{(3-2x)}^{4}}}}{4} \right)+C$
Đặt $t=\sqrt[3]{2x+2}\Rightarrow x=\frac{{{t}^{3}}-2}{2}\Rightarrow dx=\frac{3}{2}{{t}^{2}}dt$
Suy ra $J=\int{\frac{\frac{{{t}^{3}}-2}{2}\frac{3}{2}{{t}^{2}}dt}{t}}=\frac{3}{4}\int{({{t}^{4}}-2t)dt}=\frac{3}{4}\left( \frac{{{t}^{5}}}{5}-{{t}^{2}} \right)+C$
$=\frac{3}{4}\left( \frac{\sqrt[3]{{{(2x+2)}^{5}}}}{5}-\sqrt[3]{{{(2x+2)}^{2}}} \right)+C$.
Ta có: $I=\int{\frac{x(\sqrt{5x+3}-\sqrt{x+3})dx}{5x+3-x-3}}=\frac{1}{4}\int{(\sqrt{5x+3}-\sqrt{x+3})dx}$
$=\frac{1}{6}\left( \frac{1}{5}\sqrt{{{(5x+3)}^{3}}}-\sqrt{{{(x+3)}^{3}}} \right)+C$.
Bài tập 4: Tìm nguyên hàm
1) $I=\int{\frac{dx}{{{e}^{x}}+2{{e}^{-x}}-3}}$ 2) $J=\int{\frac{{{e}^{2x}}}{1+\sqrt{{{e}^{x}}+2}}dx}$ 3) $K=\int{\sqrt{\frac{{{e}^{x}}+4}{4{{e}^{x}}+1}}dx}$
Lời giải.
Ta có: $I=\int{\frac{{{e}^{x}}dx}{{{e}^{2x}}-3{{e}^{x}}+2}}$. Đặt $t={{e}^{x}}\Rightarrow dt={{e}^{x}}dx$
Suy ra: $I=\int{\frac{dt}{{{t}^{2}}-3t+2}}=\int{\frac{dt}{(t-1)(t-2)}}=\ln \left| \frac{t-2}{t-1} \right|+C=\ln \left| \frac{{{e}^{x}}-2}{{{e}^{x}}-1} \right|+C$
Đặt $t=\sqrt{{{e}^{x}}+2}\Rightarrow {{e}^{x}}={{t}^{2}}-2\Rightarrow {{e}^{x}}dx=2tdt$
$J=\int{\frac{({{t}^{2}}-2)2tdt}{1+t}}=2\int{\left( {{t}^{2}}-t-1+\frac{1}{t+1} \right)dt}$$=2\left( \frac{{{t}^{3}}}{3}-\frac{{{t}^{2}}}{2}-t+\ln \left| t+1 \right| \right)+C$
$=2\left[ \frac{\sqrt{{{({{e}^{x}}+2)}^{3}}}}{3}-\frac{{{e}^{x}}+2}{2}-\sqrt{{{e}^{x}}+2}+\ln \left( \sqrt{{{e}^{x}}+2}+1 \right) \right]+C$
Đặt $t=\sqrt{\frac{{{e}^{x}}+4}{4{{e}^{x}}+1}}\Rightarrow {{e}^{x}}=-\frac{{{t}^{2}}-4}{4{{t}^{2}}-1}\Rightarrow {{e}^{x}}dx=-\frac{30t}{{{(4{{t}^{2}}-1)}^{2}}}dt$
$\Rightarrow dx=\frac{30t}{({{t}^{2}}-4)(4{{t}^{2}}-1)}dt$
$K=30\int{\frac{{{t}^{2}}dt}{({{t}^{2}}-4)(4{{t}^{2}}-1)}}=2\int{\left( \frac{1}{{{t}^{2}}-4}-\frac{4}{4{{t}^{2}}-1} \right)dt}$$=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{t-2}{t+2} \right|-\ln \left| \frac{2t-1}{2t+1} \right|+C$,
với $t=\sqrt{\frac{{{e}^{x}}+4}{4{{e}^{x}}+1}}$.
Bài tập 5: Tìm nguyên hàm
1) $I=\int{\frac{dx}{2{{\sin }^{2}}x-3\sin 2x+2}}$ 2) $J=\int{\frac{dx}{2\cos x-\sin x+1}}$
Lời giải.
Ta có: $I=\frac{1}{2}\int{\frac{dx}{2{{\sin }^{2}}x-3\sin x\cos x+{{\cos }^{2}}x}}=\frac{1}{2}\int{\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x(2{{\tan }^{2}}x-3\tan x+1)}}$
Đặt $t=\tan x\Rightarrow dx=\frac{dt}{1+{{t}^{2}}}$
Ta được: $I=\frac{1}{2}\int{\frac{dt}{2{{t}^{2}}-3t+1}}=\frac{1}{2}\int{\frac{(2t-1)-2(t-1)}{(2t-1)(t-1)}dt}$
$=\frac{1}{2}\int{\left( \frac{1}{t-1}-\frac{2}{2t-1} \right)dt}=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{t-1}{2t-1} \right|+C=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{\tan x-1}{2\tan x-1} \right|+C$
Đặt $t=\tan \frac{x}{2}\Rightarrow dx=\frac{2dt}{1+{{t}^{2}}}$ và $\sin x=\frac{2t}{1+{{t}^{2}}},\cos x=\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}$
Suy ra:$2\cos x-\sin x+1=\frac{-{{t}^{2}}-2t+3}{1+{{t}^{2}}}$
$J=-2\int{\frac{dt}{{{t}^{2}}+2t-3}}=-\frac{1}{2}\int{\frac{(t+3)-(t-1)}{(t-1)(t+3)}dt}=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{t+3}{t-1} \right|+C=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{\tan \frac{x}{2}+3}{\tan \frac{x}{2}-1} \right|+C$
Bài tập 6: Tìm nguyên hàm
${{I}_{1}}=\int{x\sqrt{x+1}}dx$ $\text{ }{{I}_{2}}=\int{\frac{{{x}^{2}}dx}{{{\left( x+3 \right)}^{10}}}}$ ${{I}_{3}}=\int{\frac{{{\left( x+1 \right)}^{2010}}}{{{\left( 3x+1 \right)}^{2012}}}dx}$
1. ${{I}_{1}}=\int{x\sqrt{x+1}}dx$.
Cách 1: Đặt $t=x+1\Rightarrow x=t-1$ và $dx=dt$
Khi đó ${{I}_{1}}=\int{\left( t-1 \right)\sqrt{t}}dt=\int{t\sqrt{t}}dt-\int{\sqrt{t}}dt$
$=\frac{2}{5}{{t}^{2}}\sqrt{t}-\frac{2}{3}t\sqrt{t}+C=2t\sqrt{t}\left( \frac{t}{5}-\frac{1}{3} \right)+C=2\left( x+1 \right)\sqrt{x+1}\left( \frac{x+1}{5}-\frac{1}{3} \right)+C$.
Cách 2: ${{I}_{1}}=\int{\left( x+1 \right)\sqrt{x+1}}dx-\int{\sqrt{x+1}dx}$
$=\int{\left( x+1 \right)\sqrt{x+1}}d\left( x+1 \right)-\int{\sqrt{x+1}d\left( x+1 \right)}$
$=\frac{2{{\left( x+1 \right)}^{2}}\sqrt{x+1}}{5}-\frac{2\left( x+1 \right)\sqrt{x+1}}{3}+C=2\left( x+1 \right)\sqrt{x+1}\left( \frac{x+1}{5}-\frac{1}{3} \right)+C$
$=2\left( x+1 \right)\sqrt{x+1}\left( \frac{3x-2}{15} \right)+C$.
2. $\text{ }{{I}_{2}}=\int{\frac{{{x}^{2}}dx}{{{\left( x+3 \right)}^{10}}}}$
Đặt $t=x+3\Rightarrow x=t-3$ và $dx=dt$.
Khi đó ${{I}_{2}}=\int{\frac{{{\left( t-3 \right)}^{2}}}{{{t}^{10}}}dt}=\int{\left( {{t}^{-8}}-6{{t}^{-9}}+9{{t}^{-10}} \right)dt}=-\frac{1}{7{{t}^{7}}}+\frac{3}{4{{t}^{8}}}-\frac{1}{{{t}^{9}}}+C$
$=-\frac{1}{7{{\left( x+3 \right)}^{7}}}+\frac{3}{4{{\left( x+1 \right)}^{8}}}-\frac{1}{{{\left( x+3 \right)}^{9}}}+C$.
3. ${{I}_{3}}=\int{{{\left( \frac{x+1}{3x+1} \right)}^{2010}}\frac{dx}{{{\left( 3x+1 \right)}^{2}}}}$
Đặt $t=\frac{x+1}{3x+1}\Rightarrow dt=\frac{-2dx}{{{\left( 3x+1 \right)}^{2}}}\Rightarrow \frac{dx}{{{\left( 3x+1 \right)}^{2}}}=-\frac{1}{2}dt$
Khi đó ${{I}_{3}}=-\frac{1}{2}\int{{{t}^{2010}}dt}=-\frac{{{t}^{2011}}}{4022}+C=-\frac{1}{4022}{{\left( \frac{x+1}{3x+1} \right)}^{2011}}+C$
Bài tập 7: Tìm nguyên hàm
${{I}_{1}}=\int{\frac{dx}{\sqrt{1+x}+\sqrt[3]{1+x}}}$ ${{I}_{2}}=\int{{{x}^{2}}.\sqrt{{{x}^{2}}+9}dx}$
${{I}_{3}}=\int{\frac{dx}{x\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}$ ${{I}_{4}}=\int{\frac{xdx}{\sqrt{1+{{x}^{2}}+\sqrt{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{3}}}}}}.$
1. Đặt $t=\sqrt[6]{1+x}\Rightarrow {{t}^{6}}=1+x\Rightarrow 6{{t}^{5}}dt=dx$
${{I}_{1}}=\int{\frac{dx}{\sqrt{1+x}+\sqrt[3]{1+x}}}=6\int{\frac{{{t}^{5}}dt}{{{t}^{3}}+{{t}^{2}}}}=6\int{\left( {{t}^{2}}-t+1-\frac{1}{t+1}dt \right)}$
$=2{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+6t-6\ln \left| t+1 \right|+C$
$=2\sqrt{1+x}-3\sqrt[3]{1+x}+6\sqrt[6]{1+x}-6\ln \left| \sqrt[6]{1+x}+1 \right|+C$
2. Đặt $\sqrt{{{x}^{2}}+9}=x-t\Rightarrow x=\frac{{{t}^{2}}-9}{2t}\Rightarrow dx=\frac{{{t}^{2}}+9}{2{{t}^{2}}}dt$
${{I}_{2}}=\int{\left( \frac{{{t}^{2}}+9}{2{{t}^{2}}} \right).\left( \frac{-{{t}^{2}}-9}{2t} \right)}\frac{{{\left( {{t}^{2}}-9 \right)}^{2}}}{4{{t}^{2}}}dt=-\frac{1}{16}\int{\frac{{{\left( {{t}^{4}}-81 \right)}^{2}}}{{{t}^{5}}}}dt$
$=-\frac{1}{16}\int{\left( {{t}^{3}}-\frac{162}{t}+\frac{6561}{{{t}^{5}}} \right)dt=}-\frac{1}{16}\left( \frac{{{t}^{4}}}{4}-162\ln \left| t \right|-\frac{6561}{4{{t}^{4}}} \right)+C$
$=-\frac{1}{16}\left( \frac{{{\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}+9} \right)}^{4}}}{4}-162\ln \left| x-\sqrt{{{x}^{2}}+9} \right|-\frac{6561}{4{{\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}+9} \right)}^{4}}} \right)+C$
3. Đặt: $t=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow {{t}^{2}}={{x}^{2}}+1\Rightarrow tdt=xdx$
${{I}_{3}}=\int{\frac{dx}{x\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\int{\frac{xdx}{{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}}=\int{\frac{tdt}{\left( {{t}^{2}}-1 \right)t}}$
$=\int{\frac{dt}{{{t}^{2}}-1}}=\frac{1}{2}\int{\left( \frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1} \right)dt}=\frac{1}{2}\left( \ln \left| \frac{t-1}{t+1} \right| \right)+C$
Vậy ${{I}_{3}}=\frac{1}{2}\ln \left( \frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+1} \right)+C$.
4. Đặt: $t=\sqrt{1+{{x}^{2}}}\Rightarrow {{t}^{2}}={{x}^{2}}+1\Rightarrow tdt=xdx$
$\Rightarrow \frac{xdx}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}.\sqrt{1+\sqrt{1+{{x}^{2}}}}}=\frac{tdt}{t\sqrt{1+t}}=\frac{dt}{\sqrt{1+t}}$
${{I}_{4}}=\int{\frac{dt}{\sqrt{1+t}}}=2\sqrt{1+t}+C=2\sqrt{1+\sqrt{1+{{x}^{2}}}}+C.$
Xem thêm:
Cách giải và bài tập ứng dụng tích phân chi tiết
Cách giải và bài tập mẫu ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay
