Bài viết sau đây giới thiệu đến các bạn công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp, cách giải bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác cùng với các bài tập xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp để luyện tập. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt môn Toán lớp 12!
I. CÁCH GIẢI
1. Các khái niệm cơ bản
Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.
$\Rightarrow $ Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.
Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
$\Rightarrow $ Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
$\Rightarrow $ Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
2. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói cách khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp.
Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
3. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện cơ bản
a/ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương.
– Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương).
$\Rightarrow $Tâm là $I$, là trung điểm của $AC’$.
Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương).
$\Rightarrow $Bán kính: $R=\frac{AC’}{2}$.
b/ Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn.
Xét hình lăng trụ đứng ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}…{{A}_{n}}.A_{1}^{‘}A_{2}^{‘}A_{3}^{‘}…A_{n}^{‘}$, trong đó có 2 đáy
${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}…{{A}_{n}}$và$A_{1}^{‘}A_{2}^{‘}A_{3}^{‘}…A_{n}^{‘}$ nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( O’ \right)$. Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:
– Tâm: $I$ với $I$ là trung điểm của $OO’$.
– Bán kính: $R=I{{A}_{1}}=I{{A}_{2}}=…=IA_{n}^{‘}$.
c/ Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông.
Hình chóp $S.ABC$ có $\widehat{SAC}=\widehat{SBC}={{90}^{0}}$.
+ Tâm: $I$ là trung điểm của$SC$.
+ Bán kính: $R=\frac{SC}{2}=IA=IB=IC$.
– Hình chóp $S.ABCD$ có
$\widehat{SAC}=\widehat{SBC}=\widehat{SDC}={{90}^{0}}$.
+ Tâm: $I$là trung điểm của$SC$.
+ Bán kính: $R=\frac{SC}{2}=IA=IB=IC=ID$.
d/ Hình chóp đều.
Cho hình chóp đều$S.ABC…$
– Gọi $O$là tâm của đáy$\Rightarrow SO$là trục của đáy.
– Trong mặt phẳng xác định bởi$SO$và một cạnh bên,
chẳng hạn như $mp\left( SAO \right)$, ta vẽ đường trung trực của cạnh$SA$
là $\Delta $ cắt $SA$ tại $M$ và cắt $SO$ tại $I$$\Rightarrow I$ là tâm của mặt cầu.
– Bán kính:
Ta có: $\Delta SMI\sim \Delta SOA\Rightarrow \frac{SM}{SO}=\frac{SI}{SA}\Rightarrow $ Bán kính là:
$R=IS=\frac{SM.SA}{SO}=\frac{S{{A}^{2}}}{2SO}=IA=IB=IC=…$
e/ Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.
Cho hình chóp $S.ABC…$ có cạnh bên $SA\bot $ đáy $\left( ABC… \right)$ và đáy $ABC…$ nội tiếp được trong đường tròn tâm $O$. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC…$được xác định như sau:
– Từ tâm $O$ ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng $d$ vuông góc với $mp\left( ABC… \right)$ tại $O$.
– Trong $mp\left( d,SA \right)$, ta dựng đường trung trực $\Delta $của cạnh$SA$, cắt$SA$ tại$M$, cắt $d$tại $I$.
$\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
và bán kính $R=IA=IB=IC=IS=…$
Tìm bán kính:
Ta có: $MIOB$là hình chữ nhật.
Xét $\Delta MAI$ vuông tại $M$ có:
$R=AI=\sqrt{M{{I}^{2}}+M{{A}^{2}}}=\sqrt{A{{O}^{2}}+{{\left( \frac{SA}{2} \right)}^{2}}}$.
f/ Hình chóp khác.
– Dựng trục $\Delta $ của đáy.
– Dựng mặt phẳng trung trực $\left( \alpha \right)$ của một cạnh bên bất kì.
– $\left( \alpha \right)\cap \Delta =I\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
– Bán kính: khoảng cách từ $I$ đến các đỉnh của hình chóp.
g/ Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp.
Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán.
II. BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1:
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Tam giác $SAB$ nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$. Biết rằng $AB=a,\ AD=a\sqrt{3}$ và $\widehat{ASB}=60{}^\circ $. Tính diện tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.
A. $S=\frac{13\pi {{a}^{2}}}{2}$. B. $S=\frac{13\pi {{a}^{2}}}{3}$. C. $S=\frac{11\pi {{a}^{2}}}{2}$. D. $S=\frac{11\pi {{a}^{2}}}{3}$.
Lời giải
Gọi I, J là tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác ABCD và tam giác SAB. M là trung điểm của AB và O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Ta có: $JM\bot AB$ và $IM\bot AB$ và $mp\left( SAB \right)\bot mp\left( ABCD \right)$ nên $IM\bot JM$, ngoài ra O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nên $OI\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow OI\bot IM$; $OJ\bot \left( SAB \right)\Rightarrow OJ\bot JM$.
Do đó $O,\ J,\ M,\ I$ đồng phẳng và tứ giác $OJMI$ là hình chữ nhật.
Gọi $R,\ {{R}_{b}}$ lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $SAB$.
Ta có: $R=SO=\sqrt{S{{J}^{2}}+O{{J}^{2}}}=\sqrt{R_{b}^{2}+I{{M}^{2}}}=\sqrt{R_{b}^{2}+I{{A}^{2}}-A{{M}^{2}}}=\sqrt{R_{b}^{2}+I{{A}^{2}}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}}$
Áp dụng định lý Pytago: $I{{A}^{2}}=\frac{B{{D}^{2}}}{4}=\frac{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}{4}=\frac{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}{4}={{a}^{2}}\Rightarrow IA=a$.
Áp dụng định lý sin trong tam giác $SAB$: ${{R}_{b}}=\frac{AB}{2\sin \widehat{ASB}}=\frac{a}{2.\sin 60{}^\circ }=\frac{a}{\sqrt{3}}$
Do đó: $R=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{3}+{{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\sqrt{\frac{13}{12}{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow S=4\pi {{R}^{2}}=\frac{13}{3}\pi {{a}^{2}}$.
Nhận xét: Bài toán này áp dụng một bổ đề quan trọng sau:
Xét hình chóp đỉnh $S$, có mặt bên $\left( SAB \right)$ vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt phẳng đáy nội tiếp trong đường tròn bán kính ${{R}_{d}}$, bán kính mặt cầu ngoại tiếp tam giác $SAB$ là ${{R}_{b}}$. Khi đó hình chóp này nội tiếp trong 1 mặt cầu có bán kính $R=\sqrt{R_{d}^{2}+R_{b}^{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}}$
Bài tập 2:
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $AB=2a,\,\,AD=a.$ Tam giác$SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ bằng
A. $\frac{a\sqrt{57}}{6}.$ B. $\frac{a\sqrt{19}}{4}.$ C. $\frac{2a\sqrt{15}}{3}.$ D. $\frac{a\sqrt{13}}{3}.$
Lời giải
Chọn A
Gọi O là tâm của đáy, M là trung điểm của AB và G là tâm của tam giác đều$SAB$.
Gọi $d,\Delta $ lần lượt là trục của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $ABCD$ và tam giác $SAB$.
Do $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right),\left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB,SM\bot AB$ nên $SM\bot \left( ABCD \right)$.
Mặt khác $d\bot \left( ABCD \right)$ nên $d\,\text{//}\,SM$ hay $\Delta \subset mp\left( d,SM \right)$, $\Delta $ và $d$ cắt nhau tại $I$.
Ta có $I$ cách đều $S,A,B,C,D$ nên $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Tứ giác $GMOI$ có $GM\bot MO,IG\bot GM,SM\,\text{//}\,IO$ nên $GMOI$là hình chữ nhật.$SM=a\sqrt{3},GM=\frac{1}{3}SM=\frac{a\sqrt{3}}{3},\,AO=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là $R=IA=\sqrt{I{{O}^{2}}+A{{O}^{2}}}=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{3}+\frac{5{{a}^{2}}}{4}}=\frac{\sqrt{57}a}{6}$.
Bài tập 3:
Cho hình chóp ${S.ABC}$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ${S.ABC}$ là
A. $\frac{5{{\text{a}}^{\text{2}}}\pi }{12}$. B. $\frac{5{{\text{a}}^{\text{2}}}\pi }{3}$. C. $\frac{5{{\text{a}}^{\text{2}}}}{3}$. D. $\frac{5{{\text{a}}^{\text{2}}}}{12}$.
Lời giải
Chọn B
Gọi $G,\,I$ là lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $SAB$.
Trục của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $SAB$ cắt nhau tại $J$ nên $J$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ${S.ABC}$, bán kính mặt cầu là $R=SJ$
Ta có $IJ=GD=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$ và $SI=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ nên $R=SJ=\sqrt{S{{I}^{2}}+J{{I}^{2}}}=\frac{\sqrt{15}a}{6}$
Vậy Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ${S.ABC}$ là $S=4\pi {{R}^{2}}=\frac{5\pi {{a}^{2}}}{3}$
Bài tập 4:
Nếu tứ diện đều có cạnh bằng $a$ thì mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện có bán kính bằng:
A. $\frac{a\sqrt{2}}{6}$. B. $\frac{a\sqrt{2}}{4}$. C. $\frac{a\sqrt{6}}{4}$. D. $\frac{a\sqrt{6}}{6}$.
Lời giải
Gọi tứ diện đều là$ABCD$, $O$là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác$BCD$ thì ta có $AO\bot \left( BCD \right)$. Trong mặt phẳng $\left( AOD \right)$ dựng đường trung trực của$AD$ cắt$AO$ tại$I$, vậy$I$là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện$ABCD$ với$AI$ là bán kính.
Gọi $E$ là trung điểm $AD$. Ta có $\Delta AEI\sim\Delta AOD$$\Rightarrow \frac{AO}{AE}=\frac{AD}{AI}\Rightarrow R=AI=\frac{AD.AE}{AO}=\frac{A{{D}^{2}}}{2AO}$.
$AO=\sqrt{A{{D}^{2}}-D{{O}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$$\Rightarrow R=\frac{{{a}^{2}}}{2.\frac{a\sqrt{6}}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{4}$.
Công thức tính nhanh: Tứ diện đều $ABCD$ có: độ dài cạnh bên $AB=AC=AD=x$ và chiều cao $h$. Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ là $R=\frac{{{x}^{2}}}{2h}$.
Bài tập 5:
Hình chóp đều $S.ABCD$ tất cả các cạnh bằng $a$. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là
A. $4\pi {{a}^{2}}$. B. $\pi {{a}^{2}}$. C. $\sqrt{2}\pi {{a}^{2}}$ D. $2\pi {{a}^{2}}$.
Lời giải
Gọi $O=AC\cap BD$; $M$ là trung điểm $SA$.
Trong mặt phẳng $\left( SAC \right)$ gọi $I$ là giao điểm của trung trực đoạn $SA$ với $SO$.
Khi đó $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.
Tam giác $SAO$ đồng dạng với tam giác $SIM$.
$\Rightarrow \frac{SI}{SA}=\frac{SM}{AO}\Rightarrow R=SI=\frac{SM.SA}{AO}=\frac{\frac{a}{2}\cdot a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là $S=4\pi {{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}=2\pi {{a}^{2}}$.
Cách 2:
Gọi $O=AC\cap BD$.
Vì $\Delta SBD=\Delta ABD$ nên $OS=OA$.
Mà $OA=OB=OC=OD$ $\Rightarrow O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.
Bán kính mặt cầu $R=OA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là $S=4\pi {{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}=2\pi {{a}^{2}}$.
Bài tập 6:
Cho hình chóp đều $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $AB=a$, góc giữa mặt bên với mặt phẳng đáy bằng ${{60}^{0}}$. Tính bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh của hình chóp $S.ABC$
A. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. B. $\frac{7a}{12}$. C. $\frac{7a}{16}$. D. $\frac{a}{2}$.
Lời giải
Chọn B
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $H$ là trọng tâm tam giác $ABC$
Khi đó $SH\bot \left( ABC \right)$$\Rightarrow \widehat{\left( \left( SBC \right),\left( ABC \right) \right)}=\widehat{SMA}={{60}^{0}}$
Gọi $N$ là trung điểm của $SA$, kẻ $NI\bot SA\left( I\in SH \right)$
Khi đó ta có $IS=IA=IB=IC$, nên $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$
$\Delta ABC$ đều cạnh $a$ nên $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow HM=\frac{a\sqrt{3}}{6},AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
$\tan \widehat{SMA}=\frac{SH}{HM}\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{6}.\sqrt{3}=\frac{1}{2}a$
$S{{A}^{2}}=S{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{4}+\frac{{{a}^{2}}}{3}=\frac{7{{a}^{2}}}{12}$
$\Delta SAH\sim \Delta SIN\Rightarrow \frac{SA}{SI}=\frac{SH}{SN}\Rightarrow SI=\frac{SA.SN}{SH}=\frac{S{{A}^{2}}}{2SH}=\frac{7{{a}^{2}}}{12.2.\frac{1}{2}a}=\frac{7a}{12}$.
Bài tập 7:
Cho mặt cầu tâm $O$ và tam giác $ABC$ có ba đỉnh nằm trên mặt cầu với góc $\widehat{BAC}={{30}^{0}}$ và $BC=a$. Gọi $S$ là điểm nằm trên mặt cầu, không thuộc mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và thỏa mãn $SA=SB=SC$, góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng ${{60}^{0}}$. Tính thể tích $V$ của khối cầu tâm $O$ theo $a$.
A. $V=\frac{\sqrt{3}}{9}\pi {{a}^{3}}$ B. $V=\frac{32\sqrt{3}}{27}\pi {{a}^{3}}$ C. $V=\frac{4\sqrt{3}}{27}\pi {{a}^{3}}$ D. $V=\frac{15\sqrt{3}}{27}\pi {{a}^{3}}$
Lời giải
Gọi $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, khi đó $SH\bot \left( ABC \right)$ và $SH$ là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $\widehat{SAH}={{60}^{0}}$.
Gọi $N$ là trung điểm $SA$, mặt phẳng trung trực của cạnh $SA$ cắt $SH$ tại $O$. Khi đó $OS=OA=OB=OC$ nên $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
Khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $AH=\frac{BC}{2\sin {{30}^{0}}}=a.$$SH=AH.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}$, $SA=\sqrt{S{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}}=2a$.
Bán kính mặt cầu là $R=SO=\frac{SN.SA}{SH}=\frac{S{{A}^{2}}}{2SH}=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$.
Thể tích của khối cầu tâm $O$ là $V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{32\sqrt{3}}{27}\pi {{a}^{3}}$.
Bài tập 8:
Cho tứ diện $OABC$ có $OA=a,\text{ }OB=b,\,\,OC=c$ và đôi một vuông góc với nhau. Gọi $r$ là bán kính mặt cầu tiếp xúc với cả bốn mặt của tứ diện. Giả sử $a\ge b,a\ge c$. Giá trị nhỏ nhất của $\frac{a}{r}$ là
A. $1+\sqrt{3}$. B. $2+\sqrt{3}$. C. $\sqrt{3}$. D. $3+\sqrt{3}$.
Lời giải
Chọn D
Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $ABC$.
Dễ thấy $OH\bot BC$ nên $\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{B}^{2}}}+\frac{1}{O{{C}^{2}}}\Rightarrow OH=\frac{bc}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$.
Tam giác $AOH$ vuông tại $O$ có $A{{H}^{2}}=O{{A}^{2}}+O{{H}^{2}}\Rightarrow AH=\frac{\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}}}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$.
Tam giác $OBC$ có $BC=\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$ nên ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AH.BC=\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$.
Vậy diện tích toàn phần của hình chóp $O.ABC$là: ${{S}_{tp}}={{S}_{OAB}}+{{S}_{OBC}}+{{S}_{OCA}}+{{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left( ab+bc+ca+\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}} \right)$.
Dễ thấy thể tích khối chóp $O.ABC$ là $V=\frac{1}{6}abc=\frac{1}{3}{{S}_{tp}}.r$.
Suy ra
$\frac{1}{6}abc=\frac{1}{3}{{S}_{tp}}.r$ $\Rightarrow \frac{a}{r}=\frac{2{{S}_{tp}}}{bc}=\frac{ab+bc+ca+\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}}}{bc}$
$=\frac{a}{c}+1+\frac{a}{b}+\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{{{c}^{2}}}+1+\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}}\ge 1+1+1+\sqrt{1+1+1}=3+\sqrt{3}$.
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.