Cách giải và bài tập ứng dụng tích phân chi tiết

Hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn giới thiệu đến các bạn về các dạng bài tập ứng dụng tích phân có cách giải rất chi tiết và đầy đủ cho các bạn tham khảo. Khoa Cử hy vọng rằng với những chia sẻ bên dưới đây đã phần nào hỗ trợ cho bạn học tốt hơn trong môn học toán 12 này nhé!

DẠNG 1: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÌM DIỆN TÍCH

Bài tập ứng dụng tích phân

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Hình thức đề thường hay cho:

Hình thức 1: Không cho hình vẽ, cho dạng $(H):\{y=f(x),\text{ }y=g(x),\text{ }x=a,\text{ }x=b\text{ }(a<b)\}$

$\xrightarrow{\text{casio}}\int\limits_{a}^{b}{\left| f(x)-g(x) \right|\text{d}x}=$ kết quả, so sánh với bốn đáp án.

Hình thức 2: Không cho hình vẽ, cho dạng $(H):\{y=f(x),\text{ }y=g(x)\}$

Giải $f(x)=g(x)$ tìm nghiệm ${{x}_{1}},…,{{x}_{i}},$ với ${{x}_{1}}$ nhỏ nhất, ${{x}_{i}}$ lớn nhất $\xrightarrow{\text{casio}}\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{i}}}{\left| f(x)-g(x) \right|\text{d}x}.$

Hình thức 3: Cho hình vẽ, sẽ giải phương trình tìm tọa độ giao điểm , chia từng diện tích nhỏ, xổ hình từ trên xuống, ghi công thức và bấm máy tính.

Hình thức 4: Cho ba hàm trở lên, chẳng hạn $y=f(x),\text{ }y=g(x),\text{ }y=h(x)$ ta nên vẽ hình.

2. Các bài tập mẫu:

Bài tập 1: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,\,\,x=b$ được tính theo công thức

A. $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|}\,\text{d}x$.                     B. $S=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}\,\text{d}x$.                   C. $S=-\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}\,\text{d}x$.                  D. $S=\int\limits_{b}^{a}{\left| f\left( x \right) \right|}\,\text{d}x$.

Lời giải

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,\,\,x=b$ được tính bởi công thức: $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|}\,\text{d}x$.

Do đó, nên ta chọn A là đáp án chính xác.

Bài tập 2: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right]$. Gọi $D$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left( C \right):y=f\left( x \right)$, trục hoành, hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ . Giả sử ${{S}_{D}}$ là diện tích hình phẳng $D$. đúng trong các phương án A, B, C, D cho dưới đây?

Bài tập ứng dụng tích phân

A. ${{S}_{D}}=\int\limits_{a}^{0}{f\left( x \right)\text{d}x}+\int\limits_{0}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}$.                                        B. ${{S}_{D}}=-\int\limits_{a}^{0}{f\left( x \right)\text{d}x}+\int\limits_{0}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}$.

C. ${{S}_{D}}=\int\limits_{a}^{0}{f\left( x \right)\text{d}x}-\int\limits_{0}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}$.                                        D. ${{S}_{D}}=-\int\limits_{a}^{0}{f\left( x \right)\text{d}x}-\int\limits_{0}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}$.

Lời giải

Ta có ${{S}_{D}}=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|\text{d}x}=\int\limits_{a}^{0}{\left| f\left( x \right) \right|\text{d}x}+\int\limits_{0}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|\text{d}x}$.

Vì $f\left( x \right)\le 0,\,\forall x\in \left[ a\,;\,0 \right]\,,\,f\left( x \right)\ge 0,\,\forall x\in \left[ 0\,;\,b \right]$ nên:

${{S}_{D}}=\int\limits_{a}^{0}{\left( -f\left( x \right) \right)\text{d}x}+\int\limits_{0}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}=-\int\limits_{a}^{0}{f\left( x \right)\text{d}x}+\int\limits_{0}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}.$

Do đó, nên ta chọn B là đáp án chính xác.

Bài tập 3: Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $\left( H \right)\,:\,y=\frac{x-1}{x+1}$ và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của $S$ bằng

A. $2\ln 2-1$.                                 B. $\ln 2+1$.                               C. $\ln 2-1$.                              D. $2\ln 2+1$.

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $\left( H \right)$ và trục hoành $\frac{x-1}{x+1}=0\Leftrightarrow x=1$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( H \right)$ và các trục tọa độ là $S=\int\limits_{0}^{1}{\left| \frac{x-1}{x+1} \right|\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{-x+1}{x+1}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\left( -1+\frac{2}{x+1} \right)\text{d}x}=\left( -x+2\ln \left| x+1 \right| \right)\left| \begin{align}&1\\&0\\\end{align} \right.=2\ln 2-1$.

Do đó, nên ta chọn A là đáp án chính xác.

Bài tập 4: Gọi $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\frac{\ln x}{{{x}^{2}}}$, $y=0$, $x=1$, $x=e$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $S=\pi \int\limits_{1}^{e}{\frac{\ln x}{{{x}^{2}}}\text{d}x}$.                       B. $S=\int\limits_{1}^{e}{\frac{\ln x}{{{x}^{2}}}\text{d}x}$.                     C. $S=\int\limits_{1}^{e}{{{\left( \frac{\ln x}{{{x}^{2}}} \right)}^{2}}\text{d}x}$.                      D. $S=\pi \int\limits_{1}^{e}{{{\left( \frac{\ln x}{{{x}^{2}}} \right)}^{2}}\text{d}x}$

Lời giải

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi miền D gồm các đường $y=\frac{\ln x}{{{x}^{2}}}$, $y=0$, $x=1$, $x=e$ là:

$S=\int\limits_{1}^{e}{\left| \frac{\ln x}{{{x}^{2}}} \right|\text{d}x}=\int\limits_{1}^{e}{\frac{\ln x}{{{x}^{2}}}\text{d}x}$ vì $\frac{\ln x}{{{x}^{2}}}>0,\,\,\forall x\in \left( 1;e \right)$.

Do đó, nên ta chọn B là đáp án chính xác.

DẠNG 2. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÌM THỂ TÍCH

1. Thể tích vật thể:

Gọi $B$ là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại các điểm $a$ và $b,$ $S(x)$ là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm $x,$ $(a\le x\le b).$ Giả sử $S(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $\text{ }\!\![\!\!\text{ }a;b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\text{.}$ Khi đó, thể tích của vật thể $B$ được xác định:

Bài tập ứng dụng tích phân

2. Thể tích khối tròn xoay:

a) Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đường như sau $y=f(x),$ trục hoành và hai đường thẳng $x=a,\text{ }x=b$ quanh trục $Ox:$

Bài tập ứng dụng tích phân

b) Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $x=g(y),$ trục hoành và hai đường thẳng $y=c,$ $y=d$ quanh trục $Oy:$

Bài tập ứng dụng tích phân

c) Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x),$ $y=g(x)$ 

Bài tập ứng dụng tích phân

3. Các bài tập mẫu:

Bài tập 1: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y={{x}^{2}}-2x$, trục hoành, đường thẳng $x=0$ và $x=1$quanh trục hoành bằng

A. $\frac{16\pi }{15}$.                               B. $\frac{2\pi }{3}$.                             C. $\frac{4\pi }{3}$.                              D. $\frac{8\pi }{15}$.

Lời giải

Ta có $V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{\left( {{x}^{2}}-2x \right)}^{2}}\text{d}x}=\pi \int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}} \right)\text{d}x=\pi .\left. \left( \frac{{{x}^{5}}}{5}-{{x}^{4}}+\frac{4{{x}^{3}}}{3} \right) \right|_{0}^{1}=\pi .\left( \frac{1}{5}-1+\frac{4}{3} \right)=\frac{8\pi }{15}}.$

Do đó, nên ta chọn D là đáp án chính xác.

Bài tập 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{\tan \text{x}},y=0,x=0,x=\frac{\pi }{4}$ quay xung quanh trục $Ox$. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra.

A. $\frac{\pi \ln 2}{2}$.                               B. $\frac{\pi \ln 3}{4}$                             C. $\frac{\pi }{4}$.                             D. $\pi \ln 2$.

Lời giải

Thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra là$V=\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\left( \sqrt{\tan x} \right)}^{2}}.\text{d}x}=\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\tan x}.\text{d}x=\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\sin x}{cosx}}.\text{d}x=-\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{d\left( cosx \right)}{cosx}}$

$=-\pi \left. \left( \ln \left| cosx \right| \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{4}}=-\pi \ln \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)=\frac{\pi \ln 2}{2}$.

Do đó, nên ta chọn A là đáp án chính xác.

Bài tập 3: Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành do quay xung quanh trục hoành một elip có phương trình $\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{16}=1$. $V$ có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. $550$                                       B. $400$                                            C. $670$                                          D. $335$

Lời giải

Quay elip đã cho xung quanh trục hoành chính là quay hình phẳng:

$H=\left\{ y=4\sqrt{1-\frac{{{x}^{2}}}{25}},\,y=0,\,x=-5,\,x=5 \right\}$.

Vậy thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi $H$ khi quay xung quanh trục hoành là:

$V=\pi \int_{-5}^{5}{\left( 16-\frac{16{{x}^{2}}}{25} \right)}dx=\pi \left( 16x-\frac{16{{x}^{3}}}{75} \right)\left| \begin{align}&5\\&-5\\\end{align} \right.=\frac{320\pi }{3}\simeq 335,1$

Do đó, nên ta chọn D là đáp án chính xác.

Bài tập 4: Cho vật thể $\left( T \right)$ giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0\,;\,x=2$. Cắt vật thể $\left( T \right)$ bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x\left( 0\le x\le 2 \right)$ ta thu được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng $\left( x+1 \right){{e}^{x}}$. Thể tích vật thể $\left( T \right)$ bằng

Lời giải

Diện tích thiết diện là $S\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2}}{{e}^{2x}}$.

Thể tích của vật thể $\left( T \right)$ là $V=\int\limits_{0}^{2}{S\left( x \right)}dx=\int\limits_{0}^{2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}{{e}^{2x}}}dx$.

$V=\left. \frac{1}{2}{{\left( x+1 \right)}^{2}}{{e}^{2x}} \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{\left( x+1 \right){{e}^{2x}}}dx=\frac{9{{e}^{4}}-1}{2}-\left( \left. \frac{x+1}{2}{{e}^{2x}} \right|_{0}^{2}-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{{{e}^{2x}}dx} \right)$

$=\frac{9{{e}^{4}}-1}{2}-\frac{3{{e}^{4}}-1}{2}+\left. \frac{1}{4}{{e}^{2x}}\right|_{0}^{2}=3{{e}^{4}}+\frac{1}{4}{{e}^{4}}-\frac{1}{4}=\frac{13{{e}^{4}}-1}{4}$.

Bên trên là tất cả những dạng bài tập về ứng dụng tích phân mà các bạn không nên bỏ qua và hãy tìm hiểu thật kỹ các dạng này. Nếu có các câu hỏi thắc mắc hay cần sự trợ giúp của Khoa Cử thì các bạn đừng ngần ngại gì mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp nhé!

Xem thêm:

Cách giải và bài tập mẫu tích phân từng phần

Cách giải và bài tập mẫu ứng dụng tích phân tính diện tích

Lý thuyết và bài tập mẫu nguyên hàm