Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về các dạng bài tập tổ hợp chỉnh hợp hoán vị rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về bài tập tổ hợp chỉnh hợp hoán vị có đáp án bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
DẠNG 1. HOÁN VỊ
Bài tập 1:
(học sinh giải theo 2 cách: quy tắc đếm và hoán vị) Cho các số tự nhiên: 0, 1, 2, 3, 4.
- Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?
- Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và chữ số 3 đứng ở chính giữa?
Lời giải
Cách 1:
1. Số tự nhiên cần lập có dạng abcde (a ¹0)
Trong đó chữ sổ a có 4 cách chọn.
Chữ số b có 4 cách chọn.
Chữ số c có 3 cách chọn.
Chữ số d có 2 cách chọn.
Chữ số e có 1 cách chọn.
Nên có tất cả 4.4.3.2.1 = 96 số thỏa mãn yêu cầu đề bài.
2. Số tự nhiên cần lập có dạng ab3de (a ¹0).
Chữ số a có 3 cách chọn.
Chữ số b có 3 cách chọn.
Chữ số d có 2 cách chọn.
Chừ sô e có 1 cách chọn.
Vậy thành lập được tất cả 3.3.2 = 18 số có 5 chữ số khác nhau mà số 3 đứng chính giữa từ các số trên.
Cách 2:
1. Mồi số có 5 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là một hoán vị của {0; 1; 2; 3; 4}.
Các số có dạng 0abcd mà a;b;c;d khác nhau là một hoán vị của các số {1; 2; 3; 4}.
Nên 5 có tất cả 5! – 4! = 96 số có 5 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên.
2. Tương tự phần a; các số có dạng ab3de bằng với số hoán vị của 4 số {0; 1; 2; 4}.
Các số có dạng 0a3cd bằng số hoán vị của 3 số {l;2;4}.
Nên có tất cả 4!—3! = 18 số có 5 chữ số khác nhau có số 3 đứng giữa được thành lập từ các số trên.
Bài tập 2:
Cho các chữ số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$. Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có $4$ chữ số và các chữ số đôi một bất kỳ khác nhau.
A. $160$. B. $156$. C. $752$. D. $240$.
Lời giải
Gọi số cần tìm là: $\overline{abcd}$ (với $b,\,c,\,d\,\in \left\{ 0;\,1;\,2;\,3;\,4;\,5 \right\}$, $a\,\in \left\{ 1;\,2;\,3;\,4;\,5 \right\}$).
Trường hợp 1:
Chọn $d=0$, nên có $1$ cách chọn.
Chọn $a\in \left\{ \left. 1,\,2,\,3,\,4,\,5 \right\} \right.$ nên có $5$ cách chọn.
Chọn $b$ có $4$ cách chọn.
Chọn $c$ có $3$ cách chọn.
Suy ra, có $1.5.4.3=60$ số.
Trường hợp 2:
Chọn $d\in \left\{ 2,\,4 \right\}$, nên có $2$ cách chọn.
Chọn $a\ne 0$ nên có $4$ cách chọn.
Chọn $b$ có $4$ cách chọn.
Chọn $c$ có $3$ cách chọn.
Suy ra, có $2.4.4.3=96$ số.
Vậy có tất cả: $60+96=156$ số.
Do đó, đáp án chính xác ở câu này ta chọn được chính là B.
Bài tập 3:
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt mà tổng các chữ số là số lẻ?
A. $320$. B. $144$. C. $180$. D. $60$.
Lời giải
Ø Trường hợp 1: 3 chữ số đều lẻ. Có $A_{5}^{3}=60$ số thỏa mãn.
Ø Trường hợp 2: số đó gồm 2 chữ số chẵn và 1 chữ số lẻ
– Chọn 2 chữ số chẵn khác nhau có $C_{5}^{2}=10$ cách.
– Chọn 1 chữ số lẻ có 5 cách.
– Từ 3 số đã chọn đó lập được $3!=6$ số.
Do đó có $10.5.6=300$ dãy gồm 3 chữ số phân biệt, trong đó có 2 chữ số chẵn, 1 chữ số lẻ kể cả chữ số 0 đứng đầu.
Xét dãy số có 3 chữ số phân biệt, gồm 2 chữ số chẵn, 1 chữ số lẻ mà chữ số đầu bằng 0
– Chọn 1 chữ số lẻ có 5 cách.
– Chọn 1 chữ số chẵn khác chữ số 0 có 4 cách.
Vậy có $4.5.2!=40$ số có 3 chữ số phân biệt, gồm 2 chữ số chẵn, 1 chữ số lẻ mà chữ số đầu bằng 0.
Do đó có $60+300-40=320$ số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt mà tổng các chữ số là số lẻ.
Do đó, đáp án chính xác ở câu này ta chọn được chính là A.
Bài tập 4:
Từ các chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có $6$ chữ số khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị
A. $32$. B. $72$. C. $36$. D. $24$.
Lời giải
Gọi $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}}$ là số cần tìm
Ta có ${{a}_{6}}\in \left\{ 1;\,3;\,5 \right\}$ và $\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}} \right)-\left( {{a}_{4}}+{{a}_{5}}+{{a}_{6}} \right)=1$
Với ${{a}_{6}}=1$ thì $\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}} \right)-\left( {{a}_{4}}+{{a}_{5}} \right)=2$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{a}_{1}},\,{{a}_{2}},\,{{a}_{3}}\in \left\{ 2,\,3,\,6 \right\} \\& {{a}_{4}},\,{{a}_{5}}\in \left\{ 4,\,5 \right\} \\\end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align}& {{a}_{1}},\,{{a}_{2}},\,{{a}_{3}}\in \left\{ 2,\,4,\,5 \right\} \\& {{a}_{4}},\,{{a}_{5}}\in \left\{ 3,\,6 \right\} \\\end{align} \right.$
Với ${{a}_{6}}=3$ thì $\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}} \right)-\left( {{a}_{4}}+{{a}_{5}} \right)=4$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{a}_{1}},\,{{a}_{2}},\,{{a}_{3}}\in \left\{ 2;\,4;\,5 \right\} \\& {{a}_{4}},\,{{a}_{5}}\in \left\{ 1,\,6 \right\} \\\end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align}& {{a}_{1}},\,{{a}_{2}},\,{{a}_{3}}\in \left\{ 1,\,4,\,6 \right\} \\& {{a}_{4}},\,{{a}_{5}}\in \left\{ 2,\,5 \right\} \\\end{align} \right.$
Với ${{a}_{6}}=5$ thì $\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}} \right)-\left( {{a}_{4}}+{{a}_{5}} \right)=6$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{a}_{1}},\,{{a}_{2}},\,{{a}_{3}}\in \left\{ 2,\,3,\,6 \right\} \\& {{a}_{4}},\,{{a}_{5}}\in \left\{ 1,\,4 \right\} \\\end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align}& {{a}_{1}},\,{{a}_{2}},\,{{a}_{3}}\in \left\{ 1,\,4,\,6 \right\} \\& {{a}_{4}},\,{{a}_{5}}\in \left\{ 2,\,3 \right\} \\\end{align} \right.$
Mỗi trường hợp có $3!.2!=12$ số thỏa mãn yêu cầu
Vậy có tất cả $6.12=72$ số cần tìm.
DẠNG 2. CHỈNH HỢP
Bài tập 1:
Có bao nhiêu số tự nhiên có bẩy chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số $2$ đứng liền giữa hai chữ số $1$ và$3$.
A. $3204$ số. B. $249$số. C. $2942$ số. D. $7440$số.
Lời giải
Vì chữ số $2$ đứng liền giữa hai chữ số $1$ và$3$ nên số cần lập có bộ ba số $123$ hoặc $321$.
TH1: Số cần lập có bộ ba số $123$.
Nếu bộ ba số $123$ đứng đầu thì số có dạng $\overline{123abcd}$.
Có $A_{7}^{4}=840$ cách ốn số $a$, $b$, $c$, $d$ nên có $A_{7}^{4}=840$ số.
Nếu bộ ba số $123$ không đứng đầu thì số có $4$ vị trí đặt bộ ba số $123$.
Có $6$ cách chọn số đứng đầu và có $A_{6}^{3}=120$ cách a số $b$, $c$, $d$.
Theo quy tắc nhân có $6.4.A_{6}^{3}=2880$ số
Theo quy tắc cộng có $840+2880=3720$ số.
TH2: Số cần lập có bộ ba số $321$.
Do vai trò của bộ ba số $123$ và$321$ như nhau nên có $2\left( 840+2880 \right)=7440$
Do đó, đáp án chính xác ở câu này ta chọn được chính là D.
Bài tập 2:
Từ các chữ số của tập hợp $\left\{ 0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5 \right\}$, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $5$ chữ số đôi một khác nhau mà trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số $0$?
A. $504$. B. $480$. C. $720$. D. $120$.
Lời giải
Cách 1: Gọi số cần tìm là $n=\overline{abcde}$.
Có $4$ vị trí xếp số $0$ vì $a\ne 0$.
– $a,\,\,b,\,\,c,\,\,d$ được chọn trong $5$ số còn lại và sắp, có $A_{5}^{4}=120$ cách.
Vậy số các số cần tìm là $4.120=480$.
Cách 2: Gọi số cần tìm là $n=\overline{abcde}$.
Có $5$ vị trí xếp số $0$ (kể cả vị trí đầu tiên), $4$ vị trí còn lại chọn $4$ trong $5$ số và sắp, nên có $5.A_{5}^{4}=600$ số.
Các số có dạng $\overline{0bcde}$ là $A_{5}^{4}=120$ số.
Vậy số các số cần tìm là $600-120=480$.
Bài tập 3:
(Học sinh giải theo 2 cách: quy tắc đém và chỉnh hợp) Cho các số tự nhiên 0,1,2,3,4,5,6,7.
a. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?
b. Bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau?
Lời giải
Cách 1:
a. Gọi số cần lập là $\overline{abcd}$.
Vì $a\ne 0$ nên có 7 cách chọn, b có 7 cách chọn, c có 6 cách chọn, d có 5 cách chọn.
Vậy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số trên là 7.7.6.5=1470 số.
b. Gọi số cần lập là $\overline{abc}$
Vì số cần lập là số chẵn nên c=0;2;4;6.
Nếu c=0 thì a có 7 cách chọn, b có 6 cách chọn.
Vậy có tất cả 7.6=42 số có dạng $\overline{ab0}$ được thành lập từ các số trên.
Nếu c=2;4;6 thì a có 6 cách chọn; b có 6 cách chọn.
Vậy có tất cả 3.6.6=108 số.
Vậy số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là 108+42=150 số.
Cách 2:
a. Số có 4 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số trên là: $A_{8}^{4}=1680$ số.
Số có dạng $\overline{0abc}(a,b,c)$khác nhau được thành lập từ các chữ số trên là: $A_{7}^{3}=210$số.
Vậy số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là: $A_{8}^{4}-A_{7}^{3}=1470$ số.
b. Số số có 3 chữ số được thành lập từ các chữ số trên là: $A_{8}^{3}-A_{7}^{2}=294$số.
Gọi số cần lập $\overline{abc}$là số lẻ. Khi đó c có cách chọn, a có 6 cách chọn, b có 6 cách chọn. Vậy số lẻ được thành lập từ các chữ số trên là: 4.6.6=144 số.
Vậy số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là: 294-144=150 số.
Bài tập 4:
Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau, sao cho trong mỗi số đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0?
A. $7056$. B. $120$. C. $5040$. D. $15120$.
Lời giải
Gọi số đó có dạng $\overline{abcde}$ ( $a,b,c,d,e\in \left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right\}$, $a\ne 0$).
TH1: e = 0
Số các số tự nhiên thỏa mãn bài toán là: $A_{9}^{4}$ ( số).
TH2: $e\ne 0$.
Khi đó e có 4 cách chọn ( vì e được lấy từ các số 2, 4, 6, 8).
Có 3 cách để xếp chữ số 0 vào 3 vị trí b, c, d.
Số cách lấy 3 số trong 8 số còn lại và sắp xếp là $A_{8}^{3}$.
Số các số tự nhiên thỏa mãn bài toán là: $4.3.A_{8}^{3}$ ( số).
Vậy số các số tự nhiên chẳn có 5 chữ số đôi một khác nhau, sao cho trong mỗi số đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0 là: $A_{9}^{4}+4.3.A_{8}^{3}=7056$( số)
Do đó, đáp án chính xác ở câu này ta chọn được chính là A.
DẠNG 3. TỔ HỢP
Bài tập 1:
Một lớp 50 học sinh, có 30 nữ. Cô giáo muốn lấy ra 5 học sinh để lập thành một đội văn nghệ. Hỏi cô có bao nhiêu cách chọn nếu:
a. Chọn bất kỳ?
b. Có hai học sinh nam?
c. Có ít nhất 1 bạn nam?
Lời giải
a. Có $C_{50}^{5}=2118760$ cách chọn.
b. Số cách chọn 2 học sinh nam: $C_{20}^{2}$
Số cách chọn 3 hs nữ còn lại: $C_{30}^{3}$
Số cách chọn 5hs trong đó có 2 hs nam là: $C_{20}^{2}$.$C_{30}^{3}=771400$
c. Số cách chọn không có bạn nam nào (tất cả 5 hs đều là nữ): $C_{30}^{5}$
Số cách chọn 5hs trong đó có ít nhất 1 hs nam là: $C_{50}^{5}-C_{30}^{5}=1976254$
Bài tập 2:
Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số được lập từ các số $0,1,2,3,4,5,6,7,8$. Trong đó chữ số 3 có mặt đúng 2 lần. Các chữ số khác có mặt 1 lần?
Lời giải
– Xét TH 1 số $3$ đứng đầu, khi đó số $3$ thứ $2$ có $4$ cách chọn và ba vị trí còn lại có $A_{8}^{3}$ cách chọn
Nếu 1 số 3 đứng đầu thì có: $4A_{8}^{3}$ cách
– Xét TH 2 không có số $3$ đứng đầu tiên, khi đó
+ Có $C_{4}^{2}$ cách chọn $2$ số $3$ vào hai vị trí trong$4$ vị trí còn lại.
+ Có $7$ cách chọn vào vị trí đầu tiên
+ Có $A_{7}^{2}$ (Chọn $2$ số khác vị trí đầu và số $3$) cách chọn vào $2$ vị trí còn lại
Nếu không có số $3$ đứng đầu thì có $7.A_{4}^{2}.A_{7}^{2}$.
Như vậy có $4A_{8}^{3}+7C_{4}^{2}.A_{7}^{2}$ cách chọn.
Bài tập 3:
Có $10$ quyển sách toán giống nhau, $11$ quyển sách lý giống nhau và $9$ quyển sách hóa giống nhau. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng cho $15$ học sinh có kết quả thi cao nhất của khối A trong kì thi thử lần hai của trường THPT Lục Ngạn số 1, biết mỗi phần thưởng là hai quyển sách khác loại?
A. $C_{15}^{7}C_{9}^{3}$. B. $C_{15}^{6}C_{9}^{4}$. C. $C_{15}^{3}C_{9}^{4}$. D. $C_{30}^{2}$.
Lời giải
Có duy nhất một cách chia $30$ quyển sách thành $15$ bộ, mỗi bộ gồm hai quyển sách khác loại, trong đó có:
+ $4$ bộ giống nhau gồm $1$ toán và $1$ hóa.
+ $5$ bộ giống nhau gồm $1$ hóa và $1$ lí.
+ $6$ bộ giống nhau gồm $1$ lí và toán.
Số cách trao phần thưởng cho $15$ học sinh được tính như sau:
+ Chọn ra $4$ người (trong $15$người) để trao bộ sách toán và hóa $\Rightarrow $ có $C_{15}^{4}$ cách.
+ Chọn ra $5$ người (trong $11$ người còn lại) để trao bộ sách hóa và lí $\Rightarrow $ có $C_{11}^{5}$ cách.
+ Còn lại $6$ người trao bộ sách toán và lí $\Rightarrow $ có $1$ cách.
Vậy số cách trao phần thưởng là $C_{15}^{4}.C_{11}^{5}=C_{15}^{6}.C_{9}^{4}=630630$ (cách).
Do đó, đáp án chính xác ở câu này ta chọn được chính là B.
Bài tập 4:
Một trường cấp 3 của tỉnh Đồng Tháp có $8$ giáo viên Toán gồm có $3$ nữ và $5$ nam, giáo viên Vật lý thì có $4$ giáo viên nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một đoàn thanh tra công tác ôn thi THPTQG gồm $3$ người có đủ $2$ môn Toán và Vật lý và phải có giáo viên nam và giáo viên nữ trong đoàn?
A. $60$ (cách). B. $120$ (cách). C. $12960$ (cách). D. $90$ (cách).
Lời giải
Vì chọn ra $3$ người mà yêu cầu phải có giáo viên nam và giáo viên nữ trong đoàn nên số giáo viên nữ được chọn chỉ có thể bằng $1$ hoặc $2$. Ta xét hai trường hợp:
* Trường hợp 1: Chọn $1$ giáo viên nữ: Có $C_{3}^{1}$ cách. Khi đó:
– Chọn $1$ giáo viên nam môn Toán và $1$ nam môn Vật lý: Có $C_{5}^{1}\times C_{4}^{1}$ cách.
– Chọn $2$ giáo viên nam môn Vật lý: Có $C_{4}^{2}$ cách.
Trường hợp này có $C_{3}^{1}\left( C_{5}^{1}\times C_{4}^{1}+C_{4}^{2} \right)$ cách chọn.
* Trường hợp 2: Chọn $2$ giáo viên nữ: Có $C_{3}^{2}$ cách chọn. Khi đó chọn thêm $1$ giáo viên nam môn Vật lý: Có $C_{4}^{1}$ cách. Trường hợp này có $C_{3}^{2}\times C_{4}^{1}$ cách chọn.
Vậy tất cả có $C_{3}^{1}\left( C_{5}^{1}\times C_{4}^{1}+C_{4}^{2} \right)+C_{3}^{2}\times C_{4}^{1}$$=90$ cách chọn.
Do đó, đáp án chính xác ở câu này ta chọn được chính là D.
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về các dạng bài tập về tổ hợp chỉnh hợp hoán vị hay bài tập về tổ hợp chỉnh hợp lớp 11 mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ về các dạng toán tổ hợp chỉnh hợp thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!