Với bài tập xét tính đơn điệu của hàm số lớp 12 có lời giải (9 dạng) Toán lớp 12 gồm đầy đủ các phương pháp giải, hướng dẫn cách làm và bài tập mẫu từng dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số có lời giải chi tiết sẽ giúp các em học sinh ôn luyện, biết cách làm bài tập tính đơn điệu của hàm số nâng cao, qua đó đạt điểm cao trong kỳ thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12!
DẠNG 1. TÌM KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ THÔNG QUA BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ THỊ
1. Định lí
Giả sử hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $K.$
- Nếu ${f}'(x)>0,\text{ }\forall x\in K$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $K.$
- Nếu ${f}'(x)<0,\text{ }\forall x\in K$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng $K.$
- Nếu ${f}'(x)=0,\text{ }\forall x\in K$ thì hàm số không đổi trên khoảng $K.$
2. Hình dáng đồ thị
- Nếu hàm số đồng biến trên $K$ thì từ trái sang phải đồ thị đi lên.
- Nếu hàm số nghịch biến trên $K$ thì từ trái sang phải đồ thị đi xuống.
3. Bài tập mẫu
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( -\frac{1}{2};+\infty \right)$.
- B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;3 \right)$.
- C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( 3;+\infty \right)$.
- D. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-\frac{1}{2} \right)$ và $\left( 3;+\infty \right)$.
Lời giải
Chọn C
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( 3;+\infty \right)$.
DẠNG 2. TÌM KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHO TRƯỚC
- Bước 1. Tìm tập xác định $D$ của hàm số.
- Bước 2. Tính đạo hàm ${y}’={f}'(x).$ Tìm các điểm ${{x}_{i}},\text{ }(i=1,2,3,…,n)$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Bước 3. Sắp xếp các điểm ${{x}_{i}}$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
- Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dưa vào bảng biến thiên.
Bài tập mẫu: Cho hàm số $y=\frac{{{x}^{3}}}{3}-{{x}^{2}}+x+2019$
- A. Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- B. Hàm số đã cho nghịch biến trên $\left( -\infty ;1 \right)$.
- C. Hàm số đã cho đồng biến trên $\left( -\infty ;1 \right)$ và nghịch biến trên $\left( 1;+\infty \right)$.
- D. Hàm số đã cho đồng biến trên $\left( 1;+\infty \right)$ và nghịch biến trên $\left( -\infty ;1 \right)$.
Lời giải
Chọn A
Ta có ${y}’={{x}^{2}}-2x+1={{\left( x-1 \right)}^{2}}\ge 0,\forall x$ và ${y}’=0\Leftrightarrow x=1$
Do đó hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$
Xem thêm: Lý thuyết và bài tập mẫu tính đơn điệu của hàm số
DẠNG 3. TÌM M ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN CÁC KHOẢNG XÁC ĐỊNH CỦA NÓ
Xét hàm số bậc ba $y=f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d.$
– Bước 1. Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$
– Bước 2. Tính đạo hàm ${y}’={f}'(x)=3a{{x}^{2}}+2bx+c.$
Lưu ý: Dấu của tam thức bậc hai $f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c.$
Bài tập mẫu: Cho hàm số $y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+\left( 3m+2 \right)x+1$. Tìm tất cả giá trị của $m$ để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Lời giải
Chọn B
TXĐ: $D=\mathbb{R}$, ${y}’=-{{x}^{2}}+2mx+3m+2$.
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi ${y}’\le 0$, $\forall x\in \mathbb{R}$
DẠNG 4. TÌM M ĐỂ HÀM SỐ NHẤT BIẾN ĐƠN ĐIỆU TRÊN KHOẢNG CHO TRƯỚC
Bài tập mẫu: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{mx-4}{x-m}$ đồng biến trên khoảng $\left( -1;+\infty \right)$ là
A. $\left( -2;1 \right]$. B. $\left( -2;2 \right)$. C. $\left( -2;-1 \right]$. D. $\left( -2;-1 \right)$.
Lời giải
Chọn C
Đạo hàm ${y}’=\frac{-{{m}^{2}}+4}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}>0,\forall x\ne m$.
Do đó hàm số đồng biến trên $\left( -1;+\infty \right)$ khi
DẠNG 5. TÌM M ĐỂ HÀM SỐ BẬC 3 ĐƠN ĐIỆU TRÊN KHOẢNG CHO TRƯỚC
Bài tập mẫu: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-mx-4$. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;\,0 \right)$ là
A. $\left( -1;5 \right)$. B. $\left( -\infty ;\,-3 \right]$. C. $\left( -\infty ;\,-4 \right]$. D. $\left( -1;\,+\infty \right)$.
Lời giải
Chọn B
Ta có ${y}’=3{{x}^{2}}+6x-m$.
Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;\,0 \right)$ thì ${y}’\ge 0,\,\,\forall x\in \left( -\infty ;\,0 \right)$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+6x-m\ge 0,\,\forall x\in \left( -\infty ;\,0 \right)\,$
$\Leftrightarrow m\le 3{{x}^{2}}+6x,\,\forall x\in \left( -\infty ;\,0 \right)$.
Đặt $g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+6x$, hàm số $g\left( x \right)$ có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có $\Leftrightarrow m\le 3{{x}^{2}}+6x,\,\forall x\in \left( -\infty ;\,0 \right)$$\Leftrightarrow m\le -3$.
DẠNG 6. TÌM M ĐỂ HÀM SỐ KHÁC ĐƠN ĐIỆU TRÊN KHOẢNG CHO TRƯỚC
Bài tập mẫu: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{5}{{m}^{2}}{{x}^{5}}-\frac{1}{3}m{{x}^{3}}+10{{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-m-20 \right)x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc $S$ bằng
A. $\frac{5}{2}$. B. $-2$. C. $\frac{1}{2}$. D. $\frac{3}{2}$.
Lời giải
Ta có ${f}’\left( x \right)={{m}^{2}}{{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+20x-\left( {{m}^{2}}-m-20 \right)={{m}^{2}}\left( {{x}^{4}}-1 \right)-m\left( {{x}^{2}}-1 \right)+20\left( x+1 \right)$
$={{m}^{2}}\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)-m\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+20\left( x+1 \right)$
$=\left( x+1 \right)\left[ {{m}^{2}}\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)-m\left( x-1 \right)+20 \right]$
Ta có ${f}’\left( x \right)=0$ có một nghiệm đơn là $x=-1$, do đó nếu $\left( * \right)$ không nhận $x=-1$ là nghiệm thì ${f}’\left( x \right)$ đổi dấu qua $x=-1$. Do đó để $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì ${f}’\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ hay $\left( * \right)$ nhận $x=-1$ làm nghiệm .
Suy ra ${{m}^{2}}\left( -1-1 \right)\left( 1+1 \right)-m\left( -1-1 \right)+20=0\Leftrightarrow -4{{m}^{2}}+2m+20=0$.
Tổng các giá trị của $m$ là $\frac{1}{2}$.
DẠNG 7. TÌM KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ $g\left( x \right)=f\left[ u\left( x \right) \right]$ KHI BIẾT ĐỒ THỊ HÀM SỐ ${f}’\left( x \right)$
Cách 1:
- Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $g\left( x \right)$, ${g}’\left( x \right)={u}’\left( x \right).{f}’\left[ u\left( x \right) \right]$.
- Bước 2: Sử dụng đồ thị của ${f}’\left( x \right)$, lập bảng xét dấu của ${g}’\left( x \right)$.
- Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Cách 2:
- Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $g\left( x \right)$, ${g}’\left( x \right)={u}’\left( x \right).{f}’\left[ u\left( x \right) \right]$.
- Bước 2: Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến $\Leftrightarrow {g}’\left( x \right)\ge 0$;
- Bước 3: Giải bất phương trình $\left( * \right)$ từ đó kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Bài tập mẫu: Cho hàm số ${f}'(x)$ có bảng xét dấu như sau:
Hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}+2x \right)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây
A. $\left( -2;1 \right)$. B. $\left( -4;-3 \right)$. C. $\left( 0;1 \right)$. D. $\left( -2;-1 \right)$.
Lời giải
Ta có: Đặt: $y=g(x)=f\left( {{x}^{2}}+2x \right)$; ${g}'(x)=\left[ f({{x}^{2}}+2x) \right]{{\,}^{\prime }}=\left( 2x+2 \right).{f}'({{x}^{2}}+2x)$
${g}'(x)=0\Leftrightarrow \left( 2x+2 \right).{f}'({{x}^{2}}+2x)=0$
+ Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}+2x \right)$nghịch biến trên khoảng $\left( -2;-1 \right)$.
Chú ý: Cách xét dấu ${g}'(x)$:
Chọn giá trị $x=0\in \left( -1;-1+\sqrt{2} \right)\Rightarrow {{x}^{2}}+2x=0\Rightarrow {g}'(0)={f}'(0)>0$. Suy ra ${g}'(x)>0\,\forall x\in \left( -1;-1+\sqrt{2} \right)$, sử dụng quy tắc xét dấu đa thức “ lẻ đổi, chẵn không” suy ra dấu của ${g}'(x)$ trên các khoảng còn lại
DẠNG 8. TÌM KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ $g\left( x \right)=f\left[ u\left( x \right) \right]+v\left( x \right)$ KHI BIẾT ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ ${f}’\left( x \right)$
Cách 1:
- Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $g\left( x \right)$, ${g}’\left( x \right)={u}’\left( x \right).{f}’\left[ u\left( x \right) \right]+{v}’\left( x \right)$.
- Bước 2: Sử dụng đồ thị của ${f}’\left( x \right)$, lập bảng xét dấu của ${g}’\left( x \right)$.
- Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Cách 2:
- Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $g\left( x \right)$, ${g}’\left( x \right)={u}’\left( x \right).{f}’\left[ u\left( x \right) \right]+{v}’\left( x \right)$.
- Bước 2: Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến $\Leftrightarrow {g}’\left( x \right)\ge 0$;
- Bước 3: Giải bất phương trình $\left( * \right)$ từ đó kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Cách 3:
- Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $g\left( x \right)$, ${g}’\left( x \right)={u}’\left( x \right).{f}’\left[ u\left( x \right) \right]+{v}’\left( x \right)$.
- Bước 3: Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $K$ $\Leftrightarrow {g}’\left( x \right)\ge 0,\,\forall x\in K$;
- Bước 3: Lần lượt chọn thay giá trị từ các phương án vào ${g}’\left( x \right)$ để loại các phương án sai.
Bài tập mẫu:
Cho hàm số $f\left( x \right)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
Hàm số $y=f\left( x-1 \right)+{{x}^{3}}-12x+2019$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây
A. $\left( 1\,;\,+\infty \right)$. B. $\left( 1\,;\,2 \right)$. C. $\left( -\infty \,;\,1 \right)$. D. $\left( 3\,;\,4 \right)$.
Lời giải
Ta có ${y}’={f}’\left( x-1 \right)+3{{x}^{2}}-12={f}’\left( t \right)+3{{t}^{2}}+6t-9={f}’\left( t \right)-\left( -3{{t}^{2}}-6t+9 \right)$, với $t=x-1$
Nghiệm của phương trình ${y}’=0$ là hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số $y={f}’\left( t \right)\,;\,y=-3{{t}^{2}}-6t+9$.
Vẽ đồ thị của các hàm số $y={f}’\left( t \right)\,;\,y=-3{{t}^{2}}-6t+9$ trên cùng một hệ trục tọa độ như hình vẽ sau:
Dựa vào đồ thị trên, ta có BXD của hàm số ${y}’={f}’\left( t \right)-\left( -3{{t}^{2}}-6t+9 \right)$ như sau:$\left( {{t}_{0}}<-1 \right)$
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $t\in \left( {{t}_{0}}\,;\,1 \right)$. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $x\in \left( 1\,;\,2 \right)\subset \left( {{t}_{0}}+1\,;\,1 \right)$.
DẠNG 9. BÀI TOÁN HÀM ẨN, HÀM HỢP LIÊN QUAN ĐẾN THAM SỐ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC
Bài tập mẫu: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết hàm số $y={f}’\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên $m\in \left[ -5\,;\,\text{5} \right]$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( x+m \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1\,;\,2 \right)$. Hỏi $S$có bao nhiêu phần tử?
A. $4$. B. $3$. C. $6$. D. $5$.
Lời giải
Ta có ${g}’\left( x \right)={f}’\left( x+m \right)$. Vì $y={f}’\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên ${g}’\left( x \right)={f}’\left( x+m \right)$ cũng liên tục trên $\mathbb{R}$. Căn cứ vào đồ thị hàm số $y={f}’\left( x \right)$ ta thấy
Hàm số $g\left( x \right)=f\left( x+m \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1\,;\,2 \right)$
Mà $m$ là số nguyên thuộc đoạn $\left[ -5\,;\,5 \right]$ nên ta có $S=\left\{ -5;-4;-3;0;1 \right\}$.
Vậy $S$ có 5 phần tử.
Xem Thêm:
Cách giải và bài tập mẫu tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
