Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho bạn các dạng bài tập số phức rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về bài tập số phức bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán lớp 12 nhằm đạt được kết quả cao trong học tập nhé!
Dạng 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC
Bài tập 1:
Giải phương trình bậc hai sau: ${{z}^{2}}+2z+3=0$.
Giải:
Biệt thức $\Delta ={{2}^{2}}-4.1.3=-8=8{{i}^{2}}$ . Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là:
${{z}_{1}}=\frac{-2+4i}{2}=-1+2i;\text{ }{{z}_{2}}=\frac{-2-4i}{2}=-1-2i$.
Bài tập 2:
Giải phương trình bậc hai sau: ${{z}^{2}}+2z+4i-2=0$.
Giải:
Biệt thức: $\Delta ={{2}^{2}}-4.1.(4i-2)=4-16i+8=12-16i=16-2.4.2i+4{{i}^{2}}={{(4-2i)}^{2}}$.
Chọn $\sigma =4-2i.$ Phương trình trên có hai nghiệm là :
${{z}_{1}}=\frac{-B+\sigma }{2A}=\frac{-2+4-2i}{2}=1-i;\text{ }{{z}_{2}}=\frac{-B-\sigma }{2A}=\frac{-2-4+2i}{2}=-3+i.$
Dạng 2: ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO VỀ NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
| Bước 1: Để đưa phương trình thành nhân tử thì ta phải nhẩm nghiệm của phương trình. Có các cách nhẩm nghiệm như sau:
o Tổng các hệ số của phương trình bằng 0 thì nghiệm của phương trình là $x=1$. o Tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng hệ số bậc lẻ thì nghiệm của phương trình $x=-1$. o Định lý Bézout: Phần dư trong phép chia đa thức $f\left( x \right)$ cho $x-a$ bằng giá trị của đa thức $f(x)$ tại $x-a$. Tức là $f\left( x \right)=\left( x-a \right)g\left( x \right)-f\left( a \right)$ Hệ quả: Nếu $f\left( a \right)=0$ thì $f\left( x \right)\vdots \left( x-a \right)$. Nếu $f\left( x \right)~\vdots \left( x-a \right)$ thì $f\left( a \right)=0$. o Sử dụng máy tính Casio để nhẩm nghiệm: – Nhập phương trình vào máy tính. – Bấm phím r rồi nhập 1 giá trị X bất kỳ, máy tính sẽ cho ra nghiệm của phương trình. Sau đó dùng sơ đồ hoocne để phân tích thành nhân tử. o Sơ đồ Hoocne: Với đa thức f(x) = ${{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+{{a}_{n-2}}{{x}^{n-2}}+ … + {{a}_{1}}x+{{a}_{0}}$ chia cho x – a thương là g(x) = ${{b}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+{{b}_{n-2}}{{x}^{n-2}}+{{b}_{n-3}}{{x}^{n-3}}+ … +{{b}_{1}}x+{{b}_{0}}$dư $r$. Nếu $r=0$ thì $f\left( x \right)\vdots g\left( x \right)$, nghĩa là: $f\left( x \right)=\left( x-a \right)g\left( x \right)$ . Ta đi tìm các hệ số ${{b}_{n-1}},{{b}_{n-2}},{{b}_{n-3}} … {{b}_{1}},{{b}_{0}}$bằng bảng sau đây.
Bước 2: Giải phương trình bậc nhất hoặc phương trình hai số phức, kết luận nghiệm. |
Bài tập 1:
Giải phương trình sau: ${{z}^{3}}-3\left( 1+2i \right){{z}^{2}}+\left( -3+8i \right)z+5-2i=0.$
Giải:
Nhẩm nghiệm: Ta thấy tổng các hệ số của phương trình bằng 0 nên phương trình có nghiệm $z=1$.
Khi đó:
$\begin{align}& {{z}^{3}}-3\left( 1+2i \right){{z}^{2}}+\left( -3+8i \right)z+5-2i=0\Leftrightarrow \left( z-1 \right)\left[ {{z}^{2}}-2\left( 1+3i \right)z+2i-5 \right]=0 \\& \text{ }\Leftrightarrow z=1\text{ }v\text{ }z=i\text{ v }z=2+5i. \\\end{align}$
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : $z=1\text{ ; }z=i\text{ ; }z=2+5i.$
Bài tập 2:
Cho phương trình sau: ${{z}^{3}}+\left( 22i \right){{z}^{2}}+\left( 54i \right)z10i=0\left( 1 \right)$ biết rằng phương trình có nghiệm thuần ảo.
Giải:
Đặt $z=yi$ với $y\in \mathbb{R}$. Phương trình (1) trở thành:
${{\left( iy \right)}^{3}}+\left( 2i-2 \right){{\left( yi \right)}^{2}}+\left( 5-4i \right)\left( yi \right)10i=0$ Û $-i{{y}^{3}}2{{y}^{2}}+2i{{y}^{2}}+5iy+4y10i=0=0+0i$
Giải hệ này ta được nghiệm duy nhất $y=2$ .
Suy ra phương trình (1) có nghiệm thuần ảo $z=2i$.
* Vì phương trình (1) nhận nghiệm $2i$.
Þ vế trái của (1) có thể phân tích dưới dạng:
${{z}^{3}}+\left( 22i \right){{z}^{2}}+\left( 54i \right)z10i=\left( z2i \right)\left( {{z}^{2}}+az+b \right)\text{ }(a,b\in \mathbb{R})$ đồng nhất hoá hai vế ta giải được $a=2$ và $b=5$ .
Vậy phương trình (1) có 3 nghiệm.
Dạng 3: TẬP HỢP ĐIỂM CỦA SỐ PHỨC
| 1. Các dạng phương trình đường thẳng
– Dạng tổng quát: $ax+by+c=0$ . – Dạng đại số: $y=ax+b$ . – Dạng tham số: $\left\{ \begin{align}& x={{x}_{0}}+at \\& y={{y}_{0}}+bt \\\end{align} \right.$ – Dạng chính tắc: $\frac{x-{{x}_{0}}}{a}=\frac{y-{{y}_{0}}}{b}$ . – Phương trình đoạn chắn $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$. – Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ biết hệ số góc k: $y=k(x-{{x}_{0}})+{{y}_{0}}$ 2. Phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R: ${{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}={{R}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0$ với $c={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{R}^{2}}$ Lưu ý điều kiện để phương trình: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2ax+2by+c=0$ là phương trình đường tròn: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c>0$ có tâm $I\left( -a,-b \right)$ và bán kính$R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}$. 3. Phương trình (Elip): $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ Với hai tiêu cự ${{F}_{1}}(-c;0),{{F}_{2}}(c;0),{{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c$. Trục lớn 2a, trục bé 2b và ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}$. |
Bài tập 1:
Trong mặt phẳng $Oxy$, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-i \right|=\left| \left( 1+i \right)z \right|$.
Giải:
Đặt $z=x+yi\text{ }(x,y)\in \mathbb{R}.$
Ta có:
$\begin{align}& \text{ }\left| z-i \right|=\left| \left( 1+i \right)z \right|\Leftrightarrow \left| x+\left( y-1 \right)i \right|=\left| \left( x-y \right)+\left( x+y \right)i \right| \\& \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}={{\left( x-y \right)}^{2}}+{{\left( x+y \right)}^{2}} \\\end{align}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy-1=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=2$
Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức $z$ là đường tròn có phương trình ${{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=2$.
Bài tập 2:
Cho các số phức ${{z}_{1}},\text{ }{{z}_{2}},\text{ }{{z}_{3}}$ có biểu diễn trên mặt phẳng phức là ba đỉnh của tam giác đều có phương trình đường tròn ngoại tiếp là ${{\left( x+2017 \right)}^{2}}+{{\left( y-2018 \right)}^{2}}=1.$ Tổng phần thực và phần ảo của số phức $w={{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}$ bằng?
Giải:
Đường tròn đã cho có tâm $I$ biểu diễn số phức $z=-2017+2018i$.
Gọi $A,\text{ }B,\text{ }C$ lần lượt là điểm biểu diễn các số phức ${{z}_{1}},\text{ }{{z}_{2}},\text{ }{{z}_{3}}$.
Ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}=3\overrightarrow{OI}$ (do tam giác $ABC$ đều nên $G\equiv I$).
Suy ra ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}=3\left( -2017+2018i \right)=-6051+6054i$.
Nên tổng phần thực và phần ảo của số phức $w$ bằng 3.
Dạng 4: BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC
| Bài toán: Trong các số phức thoả mãn điều kiện T. Tìm số phức để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
Phương pháp tổng quát: Ta sẽ đặt phương trình số phức như sau:
Từ điều kiện T, biến đổi để tìm cách rút ẩn rồi thế vào biểu thức P để được hàm một biến. Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) tuỳ theo yêu cầu bài toán của hàm số một biến vừa tìm được. |
Bài tập 1:
Cho các số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|={{m}^{2}}+2m+5$, với $m$ là tham số thực. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $w=\left( 3-4i \right)z-2i$ là một đường tròn. Bán kính nhỏ nhất của đường tròn đó bằng?
Giải :
Cách 1 : Gọi $w=x+yi$.
Từ giả thiết, ta có $x+yi=\left( 3-4i \right)z-2i\Rightarrow z=\frac{x+\left( y+2 \right)i}{3-4i}=\frac{3x-4y-8}{25}+\frac{4x+3y+6}{25}.i$
$\Rightarrow \left| z \right|=\frac{\sqrt{{{\left( 3x-4y-8 \right)}^{2}}+{{\left( 4x+3y+6 \right)}^{2}}}}{25}$.
Mà $\left| z \right|={{m}^{2}}+2m+5\Leftrightarrow {{\left( 3x-4y-8 \right)}^{2}}+{{\left( 4x+3y+6 \right)}^{2}}={{25}^{2}}\left( {{m}^{2}}+2m+25 \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4y+4=25{{\left[ {{\left( m+1 \right)}^{2}}+4 \right]}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=25{{\left[ {{\left( m+1 \right)}^{2}}+4 \right]}^{2}}\ge 400={{20}^{2}}.$
Vậy bán kính nhỏ nhất của đường tròn đó là 20. Dấu $”=”$ xảy ra khi $m=-1$.
Cách 2: Từ giả thiết, ta có $w+2i=\left( 3-4i \right)z$.
Lấy môđun hai vế, ta được $\left| w+2i \right|=\left| 3-4i \right|.\left| z \right|=5.\left( {{m}^{2}}+2m+5 \right)=5\left[ {{\left( m+1 \right)}^{2}}+4 \right]\ge 20.$
Bài tập 2:
Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-1 \right|=2$. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w=\left( 1+\sqrt{3}i \right)z+2$ là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.
Giải:
Cách 1:
Ta có: $w=\left( 1+\sqrt{3}i \right)z+2\Rightarrow z=\frac{w-2}{1+\sqrt{3}i}\Rightarrow z-1=\frac{w-3-\sqrt{3}i}{1+\sqrt{3}i}$
Suy ra $\left| z-1 \right|=\left| \frac{w-3-\sqrt{3}i}{1+\sqrt{3}i} \right|=\frac{\left| w-3-\sqrt{3}i \right|}{\left| 1+\sqrt{3}i \right|}\Leftrightarrow 2=\frac{\left| w-3-\sqrt{3}i \right|}{2}\Leftrightarrow \left| w-3-\sqrt{3}i \right|=4$
Như vậy bán kính của đường tròn là 4.
Cách 2:
Ta có: $w=\left( 1+\sqrt{3}i \right)z+2\Leftrightarrow w=\left( 1+\sqrt{3}i \right)\left( z-1 \right)+3+\sqrt{3}i\Leftrightarrow w-\left( 3+\sqrt{3}i \right)=\left( 1+\sqrt{3}i \right)\left( z-1 \right)$.
Lấy môđun hai vế ta được: $\left| w-\left( 3+\sqrt{3}i \right) \right|=\left| 1+\sqrt{3}i \right|.\left| z-1 \right|=2.2=4$.
Như vậy bên trên là tổng hợp về 4 dạng bài tập số phức có lời giải mà các bạn học sinh cần lưu ý nắm rõ. Nếu như còn có thắc mắc gì về các thông tin mà Khoa Cử đã chia sẽ ở bên trên thì các bạn đừng ngần ngại mà liên hệ ngay cho chúng tôi để nhận được sự giải đáp nhanh và sớm nhất nhé!
Xem thêm:
Tổng hợp các công thức số phức chi tiết và đầy đủ
Cách giải phương trình số phức và bài tập mẫu chi tiết