Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn bài tập quy tắc đếm lớp 11 có lời giải đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về bài tập về quy tắc đếm lớp 11, bài tập về quy tắc đếm có đáp án bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
I. QUY TẮC CỘNG
Định nghĩa: Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong $k$ phương án khác nhau
$\left. \begin{align} & {{A}_{1}}…………….{{n}_{1}} \\ & {{A}_{2}}…………….{{n}_{2}} \\ & …………………… \\ & {{A}_{k}}…………….{{n}_{k}} \\ \end{align} \right\}\Rightarrow$ có ${{n}_{1}}+{{n}_{2}}+…+{{n}_{k}}=\sum\limits_{i=1}^{k}{{{n}_{i}}.}$
Bài tập 1:
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số $5,\,6,\,7,\,8,9.$ Tính tổng tất cả các số thuộc tâp $S.$
A. $9333420.$ B. $46666200.$ C. $9333240.$ D. $46666240.$
Lời giải
Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ $5,6,7,8,9$ là $5!=120$ số.
Vì vai trò các chữ số như nhau nên mỗi chữ số $5,6,7,8,9$ xuất hiện ở hàng đơn vị là $4!=24$ lần.
Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là $24\left( 5+6+7+8+9 \right)=840$.
Tương tự thì mỗi lần xuất hiện ở các hàng chục, trăm, nghìn, chục nghìn của mỗi chữ số là 24 lần.
Vậy tổng các số thuộc tập $S$ là $840\left( 1+10+{{10}^{2}}+{{10}^{3}}+{{10}^{4}} \right)=9333240$.
Bài tập 2:
Cho $5$ chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $6$. Lập các số tự nhiên có $3$ chữ số đôi một khác nhau từ $5$ chữ số đã cho. Tính tổng của các số lập được.
A. $12321$ B. $21312$ C. $12312$ D. $21321$
Lời giải
Mỗi số số tự nhiên có $3$ chữ số đôi một khác nhau từ $5$ chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ là một chỉnh hợp chập $3$ của các chữ số này. Do đó, ta lập được $A_{5}^{3}=60$ số.
Do vai trò các số $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ như nhau, nên số lần xuất hiện của mỗi chữ số trong các chữ số này ở mỗi hàng (hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm) là như nhau và bằng $60:5=12$ lần.
Vậy, tổng các số lập được là:
$S=12.\left( 1+2+3+4+6 \right)\left( 100+10+1 \right)$$=21312$.
Bài tập 3:
Từ các chữ số $1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }4,\text{ }5,\text{ }6$ có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên bé hơn $100$?
A. $36.$ B. $62.$ C. $54.$ D. $42.$
Lời giải.
Các số bé hơn $100$ chính là các số có một chữ số và hai chữ số được hình thành từ tập $A=\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}.$ Từ tập $A$ có thể lập được $6$ số có một chữ số.
Gọi số có hai chữ số có dạng $\overline{ab}$ với $\left( a,b \right)\in A.$
Trong đó:
$\bullet $ $a$ được chọn từ tập $A$ (có $6$ phần tử) nên có $6$ cách chọn.
$\bullet $ $b$ được chọn từ tập $A$ (có $6$ phần tử) nên có $6$ cách chọn.
Như vậy, ta có $6\times 6=36$ số có hai chữ số.
Vậy, từ $A$ có thể lập được $36+6=42$ số tự nhiên bé hơn $100.$
Bài tập 4:
Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố danh sách các đề tài bao gồm: $8$ đề tài về lịch sử, $7$ đề tài về thiên nhiên, $10$ đề tài về con người và $6$ đề tài về văn hóa. Mỗi thí sinh được quyền chọn một đề tài. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu khả năng lựa chọn đề tài?
A. $20.$ B. $3360.$ C. $31.$ D. $30.$
Lời giải.
$\bullet $ Nếu chọn đề tài về lịch sử có $8$ cách.
$\bullet $ Nếu chọn đề tài về thiên nhiên có $7$ cách.
$\bullet $ Nếu chọn đề tài về con người có $10$ cách.
$\bullet $ Nếu chọn đề tài về văn hóa có $6$ cách.
Theo qui tắc cộng, ta có $8+7+10+6=31$ cách chọn.
II. QUY TẮC NHÂN
Định nghĩa: Giả sử một công việc phải thực hiện theo $k$ công đoạn liên tiếp nhau, trong đó
$\left. \begin{align} & {{A}_{1}}………….{{n}_{1}} \\ & {{A}_{2}}………….{{n}_{2}} \\ & ……………….. \\ & {{A}_{k}}………….{{n}_{k}} \\ \end{align} \right\}\Rightarrow$ có ${{n}_{1}}.{{n}_{2}}…{{n}_{k}}=\prod\limits_{i=1}^{k}{{{n}_{i}}.}$
Bài tập 1:
Từ các chữ số , , , , , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số .
A. $36$số. B. $108$số. C. $228$số. D. $144$số.
Lời giải
Gọi số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau là $\overline{abcd}$. Do số cần lập là số lẻ và phải có mặt chữ số $3$ nên ta có các trường hợp.
TH1: $a=3$ khi đó số có dạng $\overline{3bcd}$.
- Có $2$ cách chọn $d$.
- Có $4$ cách chọn $a$.
- Có $3$ cách chọn $c$.
Theo quy tắc nhân có $1.4.3.2=24$ (số).
TH2: $b=3$ khi đó số có dạng $\overline{a3cd}$.
- Có $2$ cách chọn $d$.
- Có $3$ cách chọn $a$ (do $a\ne 0$).
- Có $3$ cách chọn $c$.
Theo quy tắc nhân có $3.1.3.2=18$ (số).
TH3: $c=3$ khi đó số có dạng $\overline{ab3d}$.
- Có $2$ cách chọn $d$.
- Có $3$ cách chọn $a$ (do $a\ne 0$).
- Có $3$ cách chọn $b$.
Theo quy tắc nhân có $3.1.3.2=18$ (số).
TH4: $d=3$ khi đó số có dạng $\overline{abc3}$.
- Có $4$ cách chọn $a$ (do $a\ne 0$).
- Có $4$ cách chọn $b$.
- Có $3$ cách chọn $c$.
Theo quy tắc nhân có $4.4.3.1=48$ (số).
Theo quy tắc cộng có $24+18+18+48=108$ (số).
Bài tập 2:
Từ các chữ số $0$, $2$, $3$, $5$, $6$, $8$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $6$ chữ số đôi một khác nhau trong đó hai chữ số $0$ và $5$ không đứng cạnh nhau.
A. $384$ B. $120$ C. $216$ D. $600$
Lời giải
Số các số có $6$ chữ số được lập từ các chữ số $0$, $2$, $3$, $5$, $6$, $8$ là $6!-5!$.
Số các số có chữ số $0$ và $5$ đứng cạnh nhau: $2.5!-4!$.
Số các số có chữ số $0$ và $5$ không đúng cạnh nhau là: $6!-5!-\left( 2.5!-4! \right)=384$.
Bài tập 3:
Từ các chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có $6$ chữ số khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị
A. $32$. B. $72$. C. $36$. D. $24$.
Lời giải
Gọi $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}}$ là số cần tìm
Ta có ${{a}_{6}}\in \left\{ 1;\,3;\,5 \right\}$ và $\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}} \right)-\left( {{a}_{4}}+{{a}_{5}}+{{a}_{6}} \right)=1$
¦ Với ${{a}_{6}}=1$ thì $\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}} \right)-\left( {{a}_{4}}+{{a}_{5}} \right)=2$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{a}_{1}},\,{{a}_{2}},\,{{a}_{3}}\in \left\{ 2,\,3,\,6 \right\} \\ & {{a}_{4}},\,{{a}_{5}}\in \left\{ 4,\,5 \right\} \\\end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align} & {{a}_{1}},\,{{a}_{2}},\,{{a}_{3}}\in \left\{ 2,\,4,\,5 \right\} \\ & {{a}_{4}},\,{{a}_{5}}\in \left\{ 3,\,6 \right\} \\\end{align} \right.$
¦ Với ${{a}_{6}}=3$ thì $\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}} \right)-\left( {{a}_{4}}+{{a}_{5}} \right)=4$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{a}_{1}},\,{{a}_{2}},\,{{a}_{3}}\in \left\{ 2;\,4;\,5 \right\} \\ & {{a}_{4}},\,{{a}_{5}}\in \left\{ 1,\,6 \right\} \\\end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align} & {{a}_{1}},\,{{a}_{2}},\,{{a}_{3}}\in \left\{ 1,\,4,\,6 \right\} \\ & {{a}_{4}},\,{{a}_{5}}\in \left\{ 2,\,5 \right\} \\\end{align} \right.$
¦ Với ${{a}_{6}}=5$ thì $\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}} \right)-\left( {{a}_{4}}+{{a}_{5}} \right)=6$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{a}_{1}},\,{{a}_{2}},\,{{a}_{3}}\in \left\{ 2,\,3,\,6 \right\} \\ & {{a}_{4}},\,{{a}_{5}}\in \left\{ 1,\,4 \right\} \\\end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align} & {{a}_{1}},\,{{a}_{2}},\,{{a}_{3}}\in \left\{ 1,\,4,\,6 \right\} \\ & {{a}_{4}},\,{{a}_{5}}\in \left\{ 2,\,3 \right\} \\\end{align} \right.$
Mỗi trường hợp có $3!.2!=12$ số thỏa mãn yêu cầu
Vậy có tất cả $6.12=72$ số cần tìm.
Bài tập 4:
Tô màu các cạnh của hình vuông $ABCD$ bởi $6$ màu khác nhau sao cho mỗi cạnh được tô bởi một màu và hai cạnh kề nhau thì tô bởi hai màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách tô?
A. $360$. B. $480$. C. $600$. D. $630$.
Lời giải
Trường hợp 1: Tô cạnh $AB$ và $CD$ khác màu:
- Số cách tô cạnh $AB$: $6$ cách.
- Số cách tô cạnh $BC$: $5$ cách (tô khác màu với cạnh $AB$).
- Số cách tô cạnh $CD$: $4$ cách (tô khác màu với các cạnh $AB$ và $BC$).
- Số cách tô cạnh $AD$: $4$cách (tô khác màu với các cạnh $AB$ và $CD$).
Theo quy tắc nhân ta có: $6.5.4.4=480$ cách tô cạnh $AB$ và $CD$ khác màu.
Trường hợp 2: Tô cạnh $AB$ và $CD$ cùng màu:
- Số cách tô cạnh $AB$: $6$ cách.
- Số cách tô cạnh $BC$: $5$ cách (tô khác màu với cạnh $AB$).
- Số cách tô cạnh $CD$: $1$ cách (tô cùng màu với cạnh $AB$).
- Số cách tô cạnh $AD$: $5$cách (tô khác màu với cạnh $AB$).
Theo quy tắc nhân ta có: $6.5.1.5=150$ cách tô cạnh $AB$ và $CD$ cùng màu.
Vậy số cách tô màu thỏa đề bài là: $480+150=630$ cách.