Bài tập phương trình logarit có lời giải

Ngay sau đây chúng tôi sẽ gửi đến các bạn những bài tập phương trình logarit có lời giải sẽ có nhiều bài tập cho các bạn tham khảo. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ bên dưới đây sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt môn Toán lớp 12!

Câu 1: Giải phương trình logarit

Giải phương trình sau: ${{\log }_{3}}x=4$.

Lời giải

Điều kiện: $x>0$

Ta có: ${{\log }_{3}}x=4\Leftrightarrow x={{3}^{4}}\Leftrightarrow x=81$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=81$.

Câu 2: Giải phương trình logarit

Giải phương trình sau: ${{\log }_{2}}\left( 2x-2 \right)=3$.

Lời giải

Điều kiện: $2x-2>0\Leftrightarrow x>1$

Ta có: ${{\log }_{2}}\left( 2x-2 \right)=3\Leftrightarrow 2x-2=8\Leftrightarrow 2x=10\Leftrightarrow x=5$(nhận).

Vậy nghiệm của phương trình là $x=5$.

Câu 3: Giải phương trình logarit

Giải phương trình sau: ${{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}+5x+10 \right)=2$.

Lời giải

Vì ${{x}^{2}}+5x+10={{\left( x+\frac{5}{2} \right)}^{2}}+\frac{15}{4}>0,\,\forall x\in \mathbb{R}$ nên tập xác định $D=\mathbb{R}$.

bài tập phương trình logarit có lời giải

Vậy nghiệm của phương trình là $x=1$ hay $x=-6$.

Câu 4: Giải phương trình logarit

Giải phương trình sau: $\log {{\left( x-1 \right)}^{2}}=2$.

Lời giải

Điều kiện: ${{\left( x-1 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow x\ne 1$

bài tập phương trình logarit có lời giải

Vậy nghiệm của phương trình là $x=11$ hay $x=-9$.

Câu 5: Giải phương trình logarit

Giải phương trình sau: ${{\log }_{5}}\sqrt{{{x}^{2}}-3x+1}=1$.

Lời giải

bài tập phương trình logarit có lời giải

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{3-\sqrt{105}}{2}$ hay $x=\frac{3+\sqrt{105}}{2}$.

Câu 6: Giải phương trình logarit

Giải phương trình sau: ${{\log }_{2}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+\sqrt{x+1} \right)={{\log }_{2}}\left( x+2 \right)$.       

Lời giải

bài tập phương trình logarit có lời giải

${{\log }_{2}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+\sqrt{x+1} \right)={{\log }_{2}}\left( x+2 \right)$ $\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+\sqrt{x+1}=x+2$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+1+x+1+2\sqrt{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)\left( x+1 \right)}={{x}^{2}}+4x+4$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{{{x}^{3}}+1}=4x+2\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{3}}+1}=2x+1$

bài tập phương trình logarit có lời giải

Vậy nghiệm của phương trình là $x=0$ hay $x=2+2\sqrt{2}$.

Câu 7: Giải phương trình logarit

Giải phương trình sau: $\log \left( \left| \sin x \right| \right)=0$.

Lời giải  

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi |k\in \mathbb{Z} \right\}$.

bài tập phương trình logarit có lời giải

Xem thêm: Lý thuyết và bài tập mẫu bất phương trình mũ và logarit

Câu 8: Giải phương trình logarit

Giải phương trình sau: ${{\log }_{2}}\left( x-5 \right)+{{\log }_{2}}\left( x+2 \right)=3$.

Lời giải

bài tập phương trình logarit có lời giải

Ta có: ${{\log }_{2}}\left( x-5 \right)+{{\log }_{2}}\left( x+2 \right)=3\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x-5 \right)\left( x+2 \right)=3\Leftrightarrow \left( x-5 \right)\left( x+2 \right)=8$

bài tập phương trình logarit có lời giải

Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình là $x=6$.

Câu 9: Giải phương trình logarit

Giải phương trình $\frac{1}{{{\log }_{2}}x}+\frac{1}{{{\log }_{3}}x}+…+\frac{1}{{{\log }_{2018}}x}=2018$.

Lời giải

Điều kiện: $0<x\ne 1$.

Ta có $\frac{1}{{{\log }_{2}}x}+\frac{1}{{{\log }_{3}}x}+…+\frac{1}{{{\log }_{2018}}x}=2018$$\Leftrightarrow {{\log }_{x}}2+{{\log }_{x}}3+…+{{\log }_{x}}2018=2018$

$\Leftrightarrow {{\log }_{x}}\left( 2.3…2018 \right)=2018$$\Leftrightarrow {{\log }_{x}}\left( 2018! \right)=2018$$\Leftrightarrow {{x}^{2018}}=2018!$$\Leftrightarrow x=\pm \sqrt[2018]{2018!}$.

Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình là $x=\sqrt[2018]{2018!}$.

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình ${{\log }_{3}}\left( 1-{{x}^{2}} \right)+{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( x+m-4 \right)=0$ có hai nghiệm thực phân biệt.

 Lời giải

Điều kiện $1-{{x}^{2}}>0$ $I$.

Pt $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 1-{{x}^{2}} \right)={{\log }_{3}}\left( x+m-4 \right)$ $\Leftrightarrow 1-{{x}^{2}}=x+m-4$ $\Leftrightarrow m=-{{x}^{2}}-x+5$.

Xét hàm số $f\left( x \right)=-{{x}^{2}}-x+5$ trên khoảng $\left( -1;\,1 \right)$.

Ta có ${f}’\left( x \right)=-2x-1$; ${f}’\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}$.

Bảng biến thiên ta sẽ có như sau:

Bài tập phương trình logarit có lời giải

Dựa vào BBT, ta thấy phương trình có hai nghiệm khi $m\in \left( 5;\,\frac{21}{4} \right)$.

Câu 11: Giải phương trình logarit

Giải phương trình:${{\log }_{25}}{{\left( 4x+5 \right)}^{2}}+{{\log }_{5}}x={{\log }_{3}}27$.

Lời giải

Điều kiện: $x>0.$

Phương trình đã cho trở thành:

bài tập phương trình logarit có lời giải

Câu 12: Giải phương trình logarit

Giải phương trình: {{\log }_{2}}x+{{\log }_{3}}x+{{\log }_{4}}x={{\log }_{20}}x$

Lời giải

Điều kiện:$x>0.$

Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

{{\log }_{2}}x+\frac{{{\log }_{2}}x}{{{\log }_{2}}3}+\frac{{{\log }_{2}}x}{{{\log }_{2}}4}=\frac{{{\log }_{2}}x}{{{\log }_{2}}20}$

\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x\left( 1+\frac{1}{{{\log }_{2}}3}+\frac{1}{{{\log }_{2}}4}-\frac{1}{{{\log }_{2}}20} \right)=0\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=0\Leftrightarrow x=1$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=1.$

Câu 13: Tìm tập nghiệm của phương trình

Tìm tập nghiệm S của phương trình {{\log }_{3}}(2x+1)-{{\log }_{3}}(x-1)=1$.                                                            

Lời giải

bài tập phương trình logarit có lời giải

+${{\log }_{3}}(2x+1)-{{\log }_{3}}(x-1)=1$

$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( \frac{2x+1}{x-1} \right)=1$

$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( \frac{2x+1}{x-1} \right)={{\log }_{3}}3$

$\Leftrightarrow \frac{2x+1}{x-1}=3\Leftrightarrow \frac{2x+1}{x-1}-3=0\Leftrightarrow \frac{-x+4}{x-1}=0\Leftrightarrow x=4.$Thỏamãnđiềukiệnxácđịnh.

Câu 14: Tính tích của x1,x2

Gọi${{x}_{1}},{{x}_{2}}$là nghiệm của phương trình${{\log }_{x}}2-{{\log }_{16}}x=0$. Tính ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}$.

Lời giải

Điều kiện: $0<x\ne 1$.

${{\log }_{x}}2-{{\log }_{16}}x=0$$\Leftrightarrow {{\log }_{x}}2-{{\log }_{{{2}^{4}}}}x=0\Leftrightarrow \frac{1}{{{\log }_{2}}x}-\frac{1}{4}{{\log }_{2}}x=0$

bài tập phương trình logarit có lời giải

Vậy tích${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=4.\frac{1}{4}=1$.

Câu 15: Tính tổng các nghiệm thực của phương trình

Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình ${{\log }_{2}}x.{{\log }_{2}}(32x)+4=0$ bằng

Lời giải

Điều kiện xác định: $x>0$.

Khi đó ${{\log }_{2}}x.{{\log }_{2}}(32x)+4=0\,$$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x.({{\log }_{2}}x+5)+4=0\,$$\Leftrightarrow \log _{2}^{2}x+5.{{\log }_{2}}x+4=0\,$

bài tập phương trình logarit có lời giải

Do đó tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho bằng .

Câu 16: Tìm công bội của cấp số nhân

Ba số $a+{{\log }_{2}}3$; $a+{{\log }_{4}}3$; $a+{{\log }_{8}}3$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Công bội của cấp số nhân này bằng

Lời giải

Do các số $a+{{\log }_{2}}3$; $a+{{\log }_{4}}3$; $a+{{\log }_{8}}3$ theo thứ tự là cấp số nhân nên ${{\left( a+{{\log }_{4}}3 \right)}^{2}}=\left( a+{{\log }_{2}}3 \right)\left( a+{{\log }_{8}}3 \right)$

$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2a{{\log }_{4}}3+\log _{4}^{2}3={{a}^{2}}+a{{\log }_{2}}3+a{{\log }_{8}}3+{{\log }_{2}}3.{{\log }_{8}}3$

$\Leftrightarrow a{{\log }_{2}}3+\frac{1}{4}\log _{2}^{2}3=\frac{4}{3}a{{\log }_{2}}3+\frac{1}{3}\log _{2}^{2}3$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3}a=-\frac{1}{12}{{\log }_{2}}3\Leftrightarrow a=-\frac{1}{4}{{\log }_{2}}3$.

Suy ra công bội của cấp số nhân là: $\frac{-\frac{1}{4}{{\log }_{2}}3+{{\log }_{4}}3}{-\frac{1}{4}{{\log }_{2}}3+{{\log }_{2}}3}=\frac{-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}}{-\frac{1}{4}+1}=\frac{1}{3}.$

Câu 17: Tính giá trị của biểu thức

Cho phương trình $\log _{3}^{2}x-2{{\log }_{\sqrt{3}}}x-2{{\log }_{\frac{1}{3}}}x-3=0$ có hai nghiệm phân biệt là ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$. Tính giá trị của biểu thức $P={{\log }_{3}}{{x}_{1}}+{{\log }_{27}}{{x}_{2}}$ biết ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$.

Lời giải

Điều kiện$x>0$.

$\log _{3}^{2}x-2{{\log }_{\sqrt{3}}}x-2{{\log }_{\frac{1}{3}}}x-3=0$$\Leftrightarrow \log _{3}^{2}x-4{{\log }_{3}}x+2{{\log }_{3}}x-3=0$

bài tập phương trình logarit có lời giải

Do ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$nên${{x}_{1}}=\frac{1}{3}$và${{x}_{2}}=27$.

Vậy$P={{\log }_{3}}{{x}_{1}}+{{\log }_{27}}{{x}_{2}}={{\log }_{3}}\frac{1}{3}+{{\log }_{27}}27=0$.

Câu 18: Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình: $\frac{1}{2}{{\log }_{\sqrt{3}}}\left( x+3 \right)+\frac{1}{4}{{\log }_{9}}{{\left( x-1 \right)}^{8}}={{\log }_{3}}\left( 4x \right)$

Lời giải

bài tập phương trình logarit có lời giải

Ta có : $\frac{1}{2}{{\log }_{\sqrt{3}}}\left( x+3 \right)+\frac{1}{4}{{\log }_{9}}{{\left( x-1 \right)}^{8}}={{\log }_{3}}\left( 4x \right)$

$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+3 \right)+{{\log }_{3}}\left| x-1 \right|={{\log }_{3}}\left( 4x \right)$

$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left[ \left( x+3 \right).\left| x-1 \right| \right]={{\log }_{3}}\left( 4x \right)$

$\Leftrightarrow \left( x+3 \right).\left| x-1 \right|=4x$$\left( 1 \right)$.

+ Nếu $0<x<1$ thì phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành

bài tập phương trình logarit có lời giải

+ Nếu $x>1$ thì phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành

bài tập phương trình logarit có lời giải

Phương trình đã cho có tập nghiệm là $S=\left\{ -3+2\sqrt{3};3 \right\}$.

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là $2\sqrt{3}$.

Câu 19: Giải phương trình logarit

Giải phương trình:${{\log }_{2}}\left( 8-{{x}^{2}} \right)+{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} \right)-2=0$.

Lời giải

Điều kiện: $-1\le x\le 1.$

Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

${{\log }_{2}}\left( 8-{{x}^{2}} \right)=2+{{\log }_{2}}\left( \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} \right)$

$\Leftrightarrow 8-{{x}^{2}}=4\left( \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} \right)$$\left( * \right)$

Đặt$t=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$, phươngtrình$\left( * \right)$trởthành:

${{\left( t-\text{2} \right)}^{\text{2}}}\left( {{t}^{\text{2}}}+4t+\text{8} \right)=0\Leftrightarrow t=2$.

$\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}=2\Leftrightarrow x=0$.

Câu 20: Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Tìm $m$để phương trình: ${{\log }_{\sqrt{2}}}\left( mx-6{{x}^{3}} \right)+2{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( -14{{x}^{2}}+29x-2 \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt.

Lời giải

Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

${{\log }_{2}}\left( mx-6{{x}^{3}} \right)={{\log }_{2}}\left( -14{{x}^{2}}+29x-2 \right)$

Bài tập phương trình logarit có lời giải

Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $$\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt $x\in \left( \frac{1}{14};2 \right)$.

Xét hàm số$f\left( x \right)=6{{x}^{2}}-14x+29-\frac{2}{x},\text{ }\frac{1}{14}<x<2$.

Ta có:$f’\left( x \right)=12x-14+\frac{2}{{{x}^{2}}}=\frac{12{{x}^{3}}-14{{x}^{2}}+2}{{{x}^{2}}}$

bài tập phương trình logarit có lời giải

Dựa vào phương trình trên thì chúng ta sẽ có bảng biến thiên, như sau:

Bài tập phương trình logarit có lời giải

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra $\left( * \right)$có ba nghiệm phân biệt$x\in \left( \frac{1}{14};2 \right)$khi$19<m<\frac{39}{2}$.

Câu 21:

Giải phương trình: ${{\log }_{3}}{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\log }_{\sqrt{3}}}\frac{x}{{{x}^{2}}-3x+3}=0$.

Lời giải

Điều kiện: $0<x\ne 2.$

Phương trình cho tương đương với phương trình: ${{\log }_{3}}{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\log }_{3}}{{\left( \frac{x}{{{x}^{2}}-3x+3} \right)}^{2}}=0$

$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{\left( x-2 \right)}^{2}}.{{\left( \frac{x}{{{x}^{2}}-3x+3} \right)}^{2}} \right)=0$$\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}.{{\left( \frac{x}{{{x}^{2}}-3x+3} \right)}^{2}}=1$

bài tập phương trình logarit có lời giải

Bên trên là tất cả những dạng bài tập phương trình logarit có lời giải mà chúng ta cần phải nắm bắt và hiểu rõ được từng chi tiết cách giải của bài tập. Khoa Cử hy vọng rằng qua những dạng bài tập trên đã có thể phần nào mang đến cho các bạn những dạng bài tập hay cũng như mang đến những lời giải có ích cho các bạn trong kỳ thi sắp tới nhé!

Xem thêm:

Lý thuyết và bài tập mẫu bất phương trình mũ và logarit

Cách giải và bài tập mẫu đạo hàm logarit

Lý thuyết và bài tập logarit