Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về bài tập phương pháp quy nạp toán học rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về bài tập phương pháp quy nạp toán học nâng cao có lời giải bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
DẠNG CHUNG: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC, TÍNH CHIA HẾT, HÌNH HỌC…
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Giả sử cần chứng minh đẳng thức $P(n)=Q(n)$ (hoặc $P(n)>Q(n)$) đúng với $\forall n\ge {{n}_{0}},\text{ }{{n}_{0}}\in \mathbb{N}$ ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính $P({{n}_{0}}),\text{ }Q({{n}_{0}})$ rồi chứng minh $P({{n}_{0}})=Q({{n}_{0}})$
Bước 2: Giả sử $P(k)=Q(k);\text{ }k\in \mathbb{N},k\ge {{n}_{0}}$, ta cần chứng minh
$P(k+1)=Q(k+1)$.
2. BÀI TẬP:
Bài tập 1: Cho ${{S}_{n}}=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+…+\frac{1}{n.\left( n+1 \right)}$với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ${{S}_{n}}=\frac{n-1}{n}.$ B. ${{S}_{n}}=\frac{n}{n+1}.$ C. ${{S}_{n}}=\frac{n+1}{n+2}.$ D. ${{S}_{n}}=\frac{n+2}{n+3}.$
Lời giải.
Cách trắc nghiệm: Ta tính được ${{S}_{1}}=\frac{1}{2},\text{ }{{S}_{2}}=\frac{2}{3},\text{ }{{S}_{3}}=\frac{3}{4}$. Từ đó ta thấy quy luật là từ nhỏ hơn mẫu đúng 1 đơn vị.
Do đó, đáp án đúng nhất ở đây ta chọn chính là B.
Cách tự luận. Ta có ${{S}_{1}}=\frac{1}{2},\text{ }{{S}_{2}}=\frac{2}{3},\text{ }{{S}_{3}}=\frac{3}{4}\xrightarrow{{}}$ dự đoán ${{S}_{n}}=\frac{n}{n+1}.$
$\bullet $ Với $n=1$, ta được ${{S}_{1}}=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{1+1}$: đúng.
$\bullet $ Giả sử mệnh đề đúng khi $n=k$ $\left( k\ge 1 \right)$, tức là $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+…+\frac{1}{k\left( k+1 \right)}=\frac{k}{k+1}$.
$\bullet $ Ta có $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+…+\frac{1}{k\left( k+1 \right)}=\frac{k}{k+1}$
$\begin{align}& \Leftrightarrow \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+…+\frac{1}{k\left( k+1 \right)}+\frac{1}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)} \\& \Leftrightarrow \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+…+\frac{1}{k\left( k+1 \right)}+\frac{1}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}=\frac{{{k}^{2}}+2k+1}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}\,\, \\\end{align}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+…+\frac{1}{k\left( k+1 \right)}+\frac{1}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}=\frac{k+1}{k+2}.$ Suy ra mệnh đề đúng với $n=k+1$.
Bài tập 2: Với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$, hãy rút gọn biểu thức $S=1.4+2.7+3.10+…+n\left( 3n+1 \right)$.
A. $S=n{{\left( n+1 \right)}^{2}}$. B. $S=n{{\left( n+2 \right)}^{2}}$.
C. $S=n\left( n+1 \right)$. D. $S=2n\left( n+1 \right)$.
Lời giải
Để chọn được $S$ đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây:
Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của $n$.
Với $n=1$ thì $S=1.4=4$ (loại ngay được phương án B và C); với $n=2$ thì $S=1.4+2.7=18$ (loại được phương án D).
Cách 2: Bằng cách tính $S$ trong các trường hợp $n=1,S=4;\text{ }n=2,S=18;\text{ }n=3,S=48$ ta dự đoán được công thức $S=n{{\left( n+1 \right)}^{2}}$.
Cách 3: Ta tính $S$ dựa vào các tổng đã biết kết quả như $1+2+…+n=\frac{n\left( n+1 \right)}{2}$ và ${{1}^{2}}+{{2}^{2}}+…+{{n}^{2}}=\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}$. Ta có: $S=3\left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}}+…+{{n}^{2}} \right)+\left( 1+2+…+n \right)=n{{\left( n+1 \right)}^{2}}$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở đây ta chọn chính là A.
Bài tập 3: Với mọi số nguyên dương $n$ thì${{S}_{n}}={{4}^{2n}}-{{3}^{2n}}-7$ chia hết cho số nào sau đây?
A. ${{2}^{3}}.3$. B. ${{2}^{2}}.3.7$. C. ${{2.3}^{2}}.7$. D. ${{2.3.7}^{2}}$.
Lời giải
Ta chứng minh bằng qui nạp:
Với mọi số nguyên dương $n$ thì ${{S}_{n}}={{4}^{2n}}-{{3}^{2n}}-7$ chia hết cho số ${{2}^{2}}.3.7$$\left( 1 \right)$.
– Với $n=1\Rightarrow {{S}_{1}}=0\,\,\vdots \,\,{{2}^{2}}.3.7$ ( luôn đúng ).
– Giả sử $\left( 1 \right)$ đúng với $n=k$ ta có: ${{S}_{k}}={{4}^{2k}}-{{3}^{2k}}-7\,\,\,\,\,\vdots \,\,{{2}^{2}}.3.7$.
Ta chứng minh:${{S}_{k+1}}={{4}^{2k+2}}-{{3}^{2k+2}}-7\,\,\,\,\,\vdots \,\,{{2}^{2}}.3.7$.
Thật vậy ta có: ${{S}_{k+1}}-{{S}_{k}}={{4}^{2k+2}}-{{3}^{2k+2}}-7\,\,\,\,-\left( {{4}^{2k}}-{{3}^{2k}}-7 \right)$$={{15.4}^{2k}}-{{8.3}^{2k}}$$=15\left( {{4}^{2k}}-{{3}^{2k}}-7 \right)+{{7.3}^{2k}}+15.7$mà ${{S}_{k}}={{4}^{2k}}-{{3}^{2k}}-7\,\,\,\vdots \,\,{{2}^{2}}.3.7$ $\Rightarrow {{S}_{k+1}}-{{S}_{k}}\,\,\,\vdots \,\,3,7\left( 2 \right)$
Và: ${{S}_{k+1}}-{{S}_{k}}={{15.4}^{2k}}-{{8.3}^{2k}}\,\,\vdots \,\,4\,\,\left( 3 \right)$
Từ $\left( 2 \right);\left( 3 \right)$mà các số $3,4,7$ đôi một nguyên tố cùng nhau do đó:$\Rightarrow {{S}_{k+1}}-{{S}_{k}}\,\,\,\vdots \,\,4.3.7$$\Rightarrow {{S}_{k+1}}\,\,\vdots \,\,4.3.7$.Do đó $\left( 1 \right)$ đúng với $n=k+1$.
Vậy theo nguyên lí qui nạp thì $\left( 1 \right)$ đúng với mọi số nguyên dương $n$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở đây ta chọn chính là B.
Bài tập 4: Biết rằng mọi số nguyên dương $n$, ta có $1.2+2.3+…+n\left( n+1 \right)={{a}_{1}}{{n}^{3}}+{{b}_{1}}{{n}^{2}}+{{c}_{1}}n+{{d}_{1}}$ và $1.2+2.5+3.8+…+n\left( 3n-1 \right)={{a}_{2}}{{n}^{3}}+{{b}_{2}}{{n}^{2}}+{{c}_{2}}n+{{d}_{2}}$. Tính giá trị biểu thức $T={{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}+{{c}_{1}}{{c}_{2}}+{{d}_{1}}{{d}_{2}}$.
A. $T=2$. B. $T=1$. C. $M=\frac{4}{3}$. D. $T=\frac{2}{3}$.
Lời giải
Cách 1: Sử dụng các tổng lũy thừa bậc 1 và bậc 2 ta có:
+) $1.2+2.3+…+n\left( n+1 \right)=\left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}}+…+{{n}^{2}} \right)+\left( 1+2+…+n \right)=\frac{1}{3}{{n}^{3}}+{{n}^{2}}+\frac{2}{3}n$.
Suy ra ${{a}_{1}}=\frac{1}{3};{{b}_{1}}=1;{{c}_{1}}=\frac{2}{3};{{d}_{1}}=0$.
+) $1.2+2.5+3.8+…+n\left( 3n-1 \right)=3\left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}}+…+{{n}^{2}} \right)-\left( 1+2+…+n \right)={{n}^{3}}+{{n}^{2}}.$
Suy ra ${{a}_{2}}={{b}_{2}}=1;{{c}_{2}}={{d}_{2}}=0$.
Do đó $T={{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}+{{c}_{1}}{{c}_{2}}+{{d}_{1}}{{d}_{2}}=\frac{4}{3}$.
Cách 2: Cho $n=1,n=2,n=3,n=4$ và sử dụng phương pháp hệ số bất đinh ta cũng tìm được ${{a}_{1}}=\frac{1}{3};{{b}_{1}}=1;{{c}_{1}}=\frac{2}{3};{{d}_{1}}=0$; ${{a}_{2}}={{b}_{2}}=1;{{c}_{2}}={{d}_{2}}=0$.
Do đó $T={{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}+{{c}_{1}}{{c}_{2}}+{{d}_{1}}{{d}_{2}}=\frac{4}{3}$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở đây ta chọn chính là C.
Bài tập 5: Biết rằng $\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+…+\frac{1}{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}=\frac{a{{n}^{2}}+bn}{c{{n}^{2}}+dn+16}$, trong đó $a,b,c,d$ và $n$ là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức $T=\left( a+c \right)\left( b+d \right)$. là :
A. $T=75$. B. $T=364$. C. $T=300$. D. $T=256$.
Lời giải
Phân tích phần tử đại diện, ta có: $\frac{1}{k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}=\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{k\left( k+1 \right)}-\frac{1}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)} \right]$.
Suy ra: $\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+…+\frac{1}{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}$
$=\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-.\frac{1}{3.4}+…+\frac{1}{n\left( n+1 \right)}-\frac{1}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)} \right]$
$=\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{2}-\frac{1}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)} \right]$=$\frac{{{n}^{2}}+3n}{4{{n}^{2}}+12n+8}=\frac{2{{n}^{2}}+6n}{8{{n}^{2}}+24n+16}$.
Đối chiếu với hệ số, ta được: $a=2;b=6;c=8;d=24$.
Suy ra: $T=\left( a+c \right)\left( b+d \right)=300$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở đây ta chọn chính là C.
Bài tập 6: Với mọi số nguyên dương $n$ thì${{S}_{n}}={{4}^{n}}+15n-1$ chia hết cho số nào sau đây?
A. $4$. B. $6$. C. $9$. D. $7$.
Lời giải
Ta chứng minh bằng qui nạp:
Với mọi số nguyên dương $n$ thì ${{S}_{n}}={{4}^{n}}+15n-1$ chia hết cho số $9$$\left( 1 \right)$.
– Với $n=1\Rightarrow {{S}_{1}}=18\,\,\vdots \,\,9$ ( luôn đúng ).
– Giả sử $\left( 1 \right)$ đúng với $n=k$ ta có: ${{S}_{k}}={{4}^{k}}+15k-1\,\,\,\,\,\vdots \,\,9$.
Ta chứng minh: ${{S}_{k+1}}={{4}^{k+1}}+15\left( k+1 \right)-1\,\,\,\,\vdots \,\,9$.
Thật vậy ta có: ${{S}_{k+1}}-{{S}_{k}}={{4}^{k+1}}+15\left( k+1 \right)-1\,\,\,\,-\left( {{4}^{k}}+15k-1 \right)$$={{3.4}^{k}}+15$$=3\left( {{4}^{k}}+15k-1 \right)-45k-18$
mà ${{S}_{k}}={{4}^{k}}+15k-1\,\,\,\vdots \,\,9$ $\Rightarrow {{S}_{k+1}}-{{S}_{k}}\,\,\,\vdots \,\,9$$\Rightarrow {{S}_{k+1}}\,\,\vdots \,\,9$. Do đó $\left( 1 \right)$ đúng với $n=k+1$.
Vậy theo nguyên lí qui nạp thì $\left( 1 \right)$ đúng với mọi số nguyên dương $n$.
Đáp án A,B,D sai vì vì với $n=2\Rightarrow {{S}_{2}}=45$ không chia hết cho $4,6,7$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở đây ta chọn chính là C.
Bài tập 7: Với mọi $n\in N*$, tổng ${{S}_{n}}={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+…+{{n}^{2}}$ thu gọn có dạng là biểu thức nào sau đây?
A. $\frac{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}{6}$. B. $\frac{n\left( n+2 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}$.
C. $\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}$. D. $\frac{{{n}^{2}}\left( n+1 \right)}{2}$.
Lời giải
Ta chứng minh bằng qui nạp:
Với mọi số nguyên dương $n$ thì ${{S}_{n}}=\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}$ $\left( 1 \right)$.
– Với $n=1\Rightarrow {{S}_{1}}=1$ ( luôn đúng ).
– Giả sử $\left( 1 \right)$ đúng với $n=k$ ta có:${{S}_{k}}=\frac{k\left( k+1 \right)\left( 2k+1 \right)}{6}$.
Ta chứng minh:${{S}_{k+1}}=\frac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( 2\left( k+1 \right)+1 \right)}{6}$.
Thật vậy ta có: ${{S}_{k+1}}={{S}_{k}}+{{\left( k+1 \right)}^{2}}$$=\frac{k\left( k+1 \right)\left( 2k+1 \right)}{6}+{{\left( k+1 \right)}^{2}}$$=\frac{\left( k+1 \right)\left( 2{{k}^{2}}+k+6k+6 \right)}{6}$
$=\frac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( 2k+3 \right)}{6}$$=\frac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( 2\left( k+1 \right)+1 \right)}{6}$.
Do đó $\left( 1 \right)$ đúng với $n=k+1$.
Vậy theo nguyên lí qui nạp thì $\left( 1 \right)$ đúng với mọi số nguyên dương $n$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở đây ta chọn chính là C.
Bài tập 8: Mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
A. Với mọi số tự nhiên $n$, tồn tại một đa thức $P\left( n \right)$ sao cho $\cos n\alpha ={{P}_{n}}\left( \cos \alpha \right)$.
B. $1+2+….+n=\frac{n\left( n-1 \right)}{2},\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.
D. ${{2}^{n}}>{{n}^{2}},\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$
C. ${{\left( n+1 \right)}^{n}}>{{n}^{n+1}},\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.
Lời giải
Với $n=1$ đáp án B sai.
Với $n=2$ đáp án C sai.
$n=3$ đáp án D sai
Ta chứng minh đáp án A đúng
Với $n=0$, chúng ta có $\cos 0=1$
do đó chúng ta có thể chọn đa thức ${{P}_{0}}\left( x \right)=1$ và mệnh đề đúng với trường hợp $n=0$.
Mệnh đề hiển nhiên đúng với trường hợp $n=1$ với đa thức ${{P}_{1}}\left( x \right)=x$.
Giả sử mệnh đề đúng với các trường hợp $0\le n\le k$ trong đó $k\ge 1$. Chúng ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với trường hợp $n=k+1$.
Chúng ta có $\cos (k+1)\alpha +\cos (k-1)\alpha =2\cos k\alpha \cos \alpha $
Do đó $\cos (k+1)\alpha =2\cos k\alpha \cos \alpha -\cos (k-1)\alpha $
Vì $0\le k-1<k$, theo giả thiết quy nạp thì mệnh đề đúng cho trường hợp $n=k-1$, cho nên sẽ tồn tại một đa thức ${{P}_{k-1}}\left( x \right)$ để $\cos (k-1)\alpha ={{P}_{k-1}}(\cos \alpha )$
Cũng theo giả thiết quy nạp thì mệnh đề đúng cho trường hợp $n=k$, do đó sẽ tồn tại một đa thức ${{P}_{k}}\left( x \right)$ để $\cos k\alpha ={{P}_{k}}(\cos \alpha )$. Suy ra $\cos (k+1)\alpha =2{{P}_{k}}(\cos \alpha )\cos \alpha -{{P}_{k-1}}(\cos \alpha )$
Do đó nếu chúng ta chọn đa thức ${{P}_{k+1}}\left( x \right)\text{ }=\text{ }2\text{ }{{P}_{k}}\left( x \right)\text{ }x\text{ }-\text{ }{{P}_{k-1}}\left( x \right)$ thì $\cos \left( k+1 \right)\alpha ={{P}_{k+1}}\left( \cos \alpha \right)$. Như vậy thì mệnh đề đúng cho trường hợp $n=k+1$.
Theo nguyên lý quy nạp thì mệnh đề đúng với mọi n.
Do đó, đáp án đúng nhất ở đây ta chọn chính là A.
Bài 9: Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho ${{2}^{n+1}}>{{n}^{2}}+3n.$
A. $n\ge 3$. B. $n\ge 5$. C. $n\ge 6$. D. $n\ge 4$.
Lời giải
Kiểm tra tính đúng – sai của bất đẳng thức với các trường hợp $n=1,2,3,4,$ ta dự đoán được ${{2}^{n+1}}>{{n}^{2}}+3n,$ với $n\ge 4.$ Ta chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vây:
-Bước 1: Với $n=4$ thì vế trái bằng ${{2}^{4+1}}={{2}^{5}}=32,$ còn vế phải bằng ${{4}^{2}}+3.4=28.$
Do $32>28$ nên bất đẳng thức đúng với $n=4.$
-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với $n=k\ge 4,$ nghĩa là ${{2}^{k+1}}>{{k}^{2}}+3k.$
Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với $n=k+1,$ tức là phải chứng minh ${{2}^{\left( k+1 \right)+1}}>{{\left( k+1 \right)}^{2}}+3\left( k+1 \right)$ hay ${{2}^{k+2}}>{{k}^{2}}+5k+4.$
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có ${{2}^{k+1}}>{{k}^{2}}+3k.$
Suy ra ${{2.2}^{k+1}}>2\left( {{k}^{2}}+3k \right)$ hay ${{2}^{k+2}}>2{{k}^{2}}+6k$
Mặt khác $2{{k}^{2}}+6k-\left( {{k}^{2}}+5k+4 \right)={{k}^{2}}+k-4\ge {{4}^{2}}+4-4=16$ với mọi $k\ge 4.$
Do đó ${{2}^{k+2}}>2\left( {{k}^{2}}+3k \right)>{{k}^{2}}+5k+4$ hay bất đẳng thức đúng với $n=k+1.$
Suy ra bất đẳng thức được chứng minh.
Do đó, đáp án đúng nhất ở đây ta chọn chính là D.
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về các bài tập về phương pháp quy nạp toán học có lời giải mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ về các dạng bài tập phương pháp quy nạp toán học thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!