Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về các dạng bài tập phép vị tự lớp 11 rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về bài tập phép vị tự có đáp án cũng như các bài tập về trắc nghiệm phép vị tự lớp 11 có lời giải bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình Học lớp 11 nhé!
DẠNG 1. KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP VỊ TỰ:
Bài tập 1: Chọn mệnh đề đúng
Cho hai điểm $O,I$. Xét phép vị tự $V$ tâm $I$ tỉ số $k\ne 1$ và phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{u}=\left( 1-k \right)\overrightarrow{IO}$. Lấy điểm $M$ bất kì, ${{M}_{1}}=V\left( M \right),{{M}_{2}}=T\left( {{M}_{1}} \right)$. Phép biến hình $F$ biến $M$ thành ${{M}_{2}}$. Chọn mệnh đề đúng:
A. $F$ là phép vị tự tâm $O$ tỉ số $1-k$. B. $F$ là phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k$.
C. $F$ là phép vị tự tâm $O$ tỉ số $\frac{1}{k}$. D. $F$ là phép vị tự tâm $O$ tỉ số $-\frac{1}{k}$.
Lời giải:
$\overrightarrow{I{{M}_{1}}}=K.\overrightarrow{IM}\,\left( 1 \right)$
$\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=\overrightarrow{u}=\left( 1-k \right)\overrightarrow{IO}\Rightarrow \overrightarrow{I{{M}_{2}}}-\overrightarrow{I{{M}_{1}}}=\left( 1-k \right)\overrightarrow{IO}\Leftrightarrow \overrightarrow{I{{M}_{2}}}=\overrightarrow{I{{M}_{1}}}+\left( 1-k \right)\overrightarrow{IO}\,\left( 2 \right)$
Thế $\left( 1 \right)$ vào $\left( 2 \right)$: $\overrightarrow{I{{M}_{2}}}=k\overrightarrow{IM}+\left( 1-k \right)\overrightarrow{IO}\Rightarrow \overrightarrow{O{{M}_{2}}}=k\overrightarrow{OM}$
Vậy $F$ là phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là B.
Bài tập 2: Mệnh đề nào sau đây là đúng
Cho hai đường tròn $\left( O;R \right)$ và $\left( {O}’;{R}’ \right)$ tiếp xúc trong tại $A$ $\left( R>{R}’ \right)$. Đường kính qua $A$ cắt $\left( O;R \right)$ tại $B$ và cắt $\left( {O}’;{R}’ \right)$ tại $C$. Một đường thẳng di động qua $A$ cắt $\left( O;R \right)$ tại $M$ và cắt $\left( {O}’;{R}’ \right)$ tại $N$. Gọi $I$ là giao điểm của $BN$ và $CM$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Tập hợp điểm $I$ là đường tròn: $\left( {{{O}’}’} \right)={{V}_{\left( C,\frac{{{R}’}}{R+{R}’} \right)}}\left( \left( O,R \right) \right)$.
B. Tập hợp điểm $I$ là đường tròn: $\left( {{{O}’}’} \right)={{V}_{\left( C,\frac{R}{R+{R}’} \right)}}\left( \left( O,R \right) \right)$.
C. Tập hợp điểm $I$ là đường tròn: $\left( {{{O}’}’} \right)={{V}_{\left( M,\frac{{{R}’}}{R+{R}’} \right)}}\left( \left( O,R \right) \right)$.
D. Tập hợp điểm $I$ là đường tròn: $\left( {{{O}’}’} \right)={{V}_{\left( M,\frac{R}{R+{R}’} \right)}}\left( \left( O,R \right) \right)$.
Lời giải:
Ta dự đoán ${{V}_{\left( C;\frac{CI}{CM} \right)}}\left( M \right)=I$ mà $M$ nắm trên đường tròn $\left( O \right)\Rightarrow I$ nằm trên đường tròn
$\left( {{O}_{1}} \right)={{V}_{\left( C;\frac{CI}{CM} \right)}}\left( O \right)$
Ta cần chứng minh $\frac{CI}{CM}$ theo $R$ và ${R}’$
Ta có $\frac{CM}{CI}=\frac{CI+IM}{CI}=1+\frac{IM}{CI}$ mà $\frac{IM}{CI}=\frac{IB}{IN}=\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}=\frac{R}{{{R}’}}\Rightarrow \frac{CI}{CM}=\frac{{{R}’}}{R+{R}’}$
$\Rightarrow {{V}_{\left( C,\frac{{R}’\,}{R+{R}’\,} \right)}}\left( M \right)=I$
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là A.
Bài tập 3: Hợp của hai phép vị tự đó là phép nào sau đây
Cho hai phép vị tự ${{V}_{\left( O,k \right)}}$ và ${{V}_{\left( {O}’,{k}’ \right)}}$ với $O$ và ${O}’$ là hai điểm phân biệt và $k.{k}’=1$. Hợp của hai phép vị tự đó là phép nào sau đây?
A. Phép tịnh tiến. B. Phép đối xứng trục.
C. Phép đối xứng tâm. D. Phép quay.
Lời giải:
Lấy điểm $M$ bất kỳ: ${{V}_{\left( O;k \right)}}\left( M \right)={{M}_{1}}$ và ${{V}_{\left( {O}’;{k}’ \right)}}\left( {{M}_{1}} \right)={{M}_{2}}\Rightarrow \overrightarrow{O{{M}_{1}}}=k\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{{O}'{{M}_{2}}}={k}’\overrightarrow{{O}'{{M}_{1}}}$
Khi đó phép hợp thành $F\left( M \right)={{M}_{2}}.$ Gọi $I$ là ảnh của $O$ qua phép hợp ${{V}_{\left( {O}’;k \right)}}\Rightarrow \overrightarrow{{O}’I}=k\overrightarrow{{O}’O}$
Khi đó $\overrightarrow{I{{M}_{2}}}={k}’\overrightarrow{O{{M}_{1}}}=k.{k}’\overrightarrow{OM}$ nên: $\overrightarrow{M{{M}_{2}}}=\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{O{O}’}+\overrightarrow{{O}’I}=\left( 1-{k}’ \right)\overrightarrow{O{O}’}$
Vậy $F$ là phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}=\left( 1-{k}’ \right)\overrightarrow{O{O}’}$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là A.
Xem thêm: Lý thuyết và bài tập về phép tịnh tiến
Bài tập 4: Tìm tập hợp trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$
Cho đường tròn $\left( O;R \right)$ và một điểm $A$ cố định trên đường tròn. $BC$ là dây cung di động và $BC$ có độ dài không đổi bằng $2a$ $\left( a<R \right)$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Khi đó tập hợp trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$ là:
A. $G={{V}_{\left( A,\frac{2}{3} \right)}}\left( M \right)$, tập hợp là một đường tròn.
B. $G={{V}_{\left( O,\frac{1}{2} \right)}}\left( M \right)$, tập hợp là một đường thẳng.
C. $G={{V}_{\left( A,\frac{1}{3} \right)}}\left( M \right)$, tập hợp là một đường tròn.
D. $G={{V}_{\left( B,\frac{2}{3} \right)}}\left( M \right)$, tập hợp là một đường thẳng.
Lời giải:
Ta có: $OM\bot BC\Rightarrow OM=\sqrt{{{R}^{2}}-{{a}^{2}}}\Rightarrow M\in \left( O;\sqrt{{{R}^{2}}-{{a}^{2}}} \right)$
Ta có: $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}\Rightarrow G={{V}_{\left( A,\frac{2}{3} \right)}}\left( M \right)$
Khi $M$ di động trên đường tròn $\left( O;\sqrt{{{R}^{2}}-{{a}^{2}}} \right)$ thì $G$ chạy trên đường tròn $\left( {{O}’} \right)$ là ảnh của đường tròn $\left( O \right)$ qua phép vị tự ${{V}_{\left( A,\frac{2}{3} \right)}}$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là A.
Bài tập 5:
Cho đường tròn $\left( O \right)$ với dây cung $PQ$. Dựng hình vuông $ABCD$ có hai đỉnh $A,B$ nằm trên đường thẳng $PQ$ và hai đỉnh $C,D$ nằm trên đường tròn.
Lời giải
Giả sử đã dựng được hình vuông $ABCD$ thỏa mãn điều kiện của bài toán. Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $PQ$ thì $OI$ là đường trung trực của $PQ$ nên cũng là đường trung trực của $DC$ và do đó cũng là đường trung trực của $AB$. Từ đó suy ra, nếu dựng hình vuông $PQMN$ thì có phép vị tự tâm $I$ biến hình vuông $PQMN$ thành hình vuông $ABCD$.
Cách dựng
Dựng hình vuông $PQMN$. Lấy giao điểm $C$ và ${C}’$ của đường thẳng $IM$ và đường tròn, lấy giao điểm $D$ và ${D}’$ của $IN$ và đường tròn (ta kí hiệu sao cho hai điểm $C,D$ nằm về một phía đối với đường thẳng $PQ$ ). Gọi các điểm $B,A,{B}’,{A}’$ lần lượt là hình chiếu của các điểm $C,D,{C}’,{D}’$ trên đường thẳng $PQ$. Ta được các hình vuông $ABCD$ và ${A}'{B}'{C}'{D}’$ thỏa mãn điều kiện của bài toán.
DẠNG 2. TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC HÌNH QUA PHÉP VỊ TỰ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Bài tập 1: Tìm diện tích của hình tròn $\left( {{C}’} \right)$
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right)$: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y-2=0$. Gọi $\left( {{C}’} \right)$ là ảnh của $\left( C \right)$ qua phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=-2$. Khi đó diện tích của hình tròn $\left( {{C}’} \right)$ là
A. $7\pi $. B. $4\sqrt{7}\pi $. C. $28\pi $. D. $28{{\pi }^{2}}$.
Lời giải
Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( -1;2 \right)$, bán kính $R=\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}-\left( -2 \right)}$$=\sqrt{7}$.
Suy ra bán kính của đường tròn $\left( {{C}’} \right)$ là ${R}’=\left| k \right|.R$$=2R$$=2\sqrt{7}$.
Vậy diện tích của $\left( {{C}’} \right)$ là: ${S}’=\pi {{\left( {{R}’} \right)}^{2}}$$=28\pi $.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là C.
Bài tập 2: Viết phương trình đường thẳng là ảnh của đường thẳng $d$ qua phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=-\frac{1}{2}$
Trong mặt phẳng $Oxy,$ cho đường thẳng $d:3x+y-2=0.$ Viết phương trình đường thẳng là ảnh của đường thẳng $d$ qua phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=-\frac{1}{2}$
A. $3x+y+1=0$. B. $3x-y+1=0$. C. $x+3y+1=0$. D. $3x+y-1=0$.
Lời giải
Gọi $M\left( x;y \right)$ là một điểm thuộc đường thẳng $d$
${M}’\left( {x}’;{y}’ \right)$ là ảnh của $M$ qua phép vị tự tâm $O$ theo tỉ số $k=-\frac{1}{2}$
$\Rightarrow \overrightarrow{O{M}’}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{OM}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {x}’=-\frac{x}{2} \\& {y}’=-\frac{y}{2} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=-2{x}’ \\& y=-2{y}’ \\\end{align} \right.$
$\Rightarrow 3\left( -2{x}’ \right)+\left( -2{y}’ \right)-2=0\Leftrightarrow 3{x}’+{y}’+1=0$
$\Rightarrow $ ảnh của $d$ qua phép vị tự tâm $O$là $3x+y+1=0$
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là A.
Bài tập 3: Viết phương trình đường tròn $\left( {{C}’} \right)$
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x=0$, phép vị tự tâm $O$ tỉ số $2$ biến đường tròn $\left( C \right)$ thành đường tròn $\left( {{C}’} \right)$. Viết phương trình đường tròn $\left( {{C}’} \right)$.
A. $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4y=0$. B. $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4y=0$.
C. $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x=0$. D. $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x=0$.
Lời giải
Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( -1;0 \right)$ và bán kính $R=1$.
Gọi ${I}’\left( x;y \right)$, ${R}’$ lần lượt là tâm đường tròn và bán kính đường tròn $\left( {{C}’} \right)$.
Do $\left( {{C}’} \right)$ là ảnh của đường tròn $\left( C \right)$ qua phép vị tự tâm $O$ tỉ số $2$ khi đó $\left\{ \begin{align}& {{V}_{\left( O;2 \right)}}\left( I \right)={I}’ \\& {R}’=2R=2 \\\end{align} \right.$.
Ta có ${{V}_{\left( O;2 \right)}}\left( I \right)={I}’\Leftrightarrow \overrightarrow{O{I}’}=2\overrightarrow{OI}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=-2 \\& y=0 \\\end{align} \right.\Rightarrow {I}’\left( -2;0 \right)$.
Vậy đường tròn $\left( {{C}’} \right)$ có tâm ${I}’\left( -2;0 \right)$ và bán kính $R=2$ có phương trình là ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x=0$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là D.
Bài tập 4:
Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-2y+1=0$,
$\left( {{C}_{2}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-16x-8y+64=0$. Gọi ${{I}_{1}},{{I}_{2}}$ là tâm vị tự trong và tâm vị tự ngoài của $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$. Tính độ dài đoạn thẳng ${{I}_{1}}{{I}_{2}}$.
A. $\sqrt{5}$. B. $2\sqrt{5}$. C. $3\sqrt{5}$. D. $4\sqrt{5}$.
Lời giải
Đường tròn$\left( {{C}_{1}} \right)$có tâm ${{O}_{1}}\left( 2;1 \right)$, bán kính ${{R}_{1}}=2$.
Đường tròn$\left( {{C}_{2}} \right)$có tâm ${{O}_{2}}\left( 8;4 \right)$, bán kính ${{R}_{2}}=4$.
Giả sử ${{I}_{1}}\left( x;y \right)$ là tâm vị tự ngoài khi đó ta có phép vị tự tâm ${{I}_{1}}$, tỉ số $k=\frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}=2$ sẽ biến đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$thành đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ suy ra $\overrightarrow{{{I}_{1}}{{O}_{2}}}=2\overrightarrow{{{I}_{1}}{{O}_{1}}}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 8-x=2\left( 2-x \right) \\& 4-y=2\left( 1-y \right) \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=-4 \\& y=-2 \\\end{align} \right.$
$\Rightarrow {{I}_{1}}\left( -4;-2 \right)$.
Nếu ${{I}_{2}}\left( x;y \right)$ là tâm vị tự trong thì ta có phép vị tự tâm ${{I}_{2}}$, tỉ số $k=-\frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}=-2$ sẽ biến đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$thành đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ suy ra $\overrightarrow{{{I}_{2}}{{O}_{2}}}=-2\overrightarrow{{{I}_{2}}{{O}_{1}}}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 8-x=-2\left( 2-x \right) \\& 4-y=-2\left( 1-y \right) \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=4 \\& y=2 \\\end{align} \right.$$\Rightarrow {{I}_{2}}\left( 4;2 \right)$.
Khi đó ${{I}_{1}}{{I}_{2}}=\sqrt{{{8}^{2}}+{{4}^{2}}}=4\sqrt{5}$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là D.
Bài tập 5: Viết phương trình đường tròn $\left( {{C}’} \right)$
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+4y-4=0$ và điểm $I\left( 2;1 \right)$. Phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k=2$ biến đường tròn $\left( C \right)$ thành đường tròn $\left( {{C}’} \right)$. Viết phương trình đường tròn $\left( {{C}’} \right)$.
A. ${{x}^{2}}+{{\left( y+5 \right)}^{2}}=36$. B. ${{x}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}=36$. C. ${{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=36$. D. ${{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=36$.
Lời giải
$\left( C \right)$ có phương trình: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+4y-4=0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=9$.
Do đó $\left( C \right)$ có tâm ${{I}_{1}}\left( 1;-2 \right)$ và bán kính ${{R}_{1}}=3$.
Gọi ${{I}_{2}}\left( x;y \right)$ và ${{R}_{2}}$ là tâm và bán kính đường tròn $\left( {{C}’} \right)$. Vì phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k=2$ biến đường tròn $\left( C \right)$ thành đường tròn $\left( {{C}’} \right)$ nên ta có: $\left\{ \begin{align}& \overrightarrow{I{{I}_{2}}}=2\overrightarrow{I{{I}_{1}}} \\& {{R}_{2}}=\left| 2 \right|{{R}_{1}} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x-2=2\left( 1-2 \right) \\& y-1=2\left( -2-1 \right) \\& {{R}_{2}}=2.3 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=0 \\& y=-5 \\& {{R}_{2}}=6 \\\end{align} \right.$.
Vậy $\left( {{C}’} \right)$: ${{x}^{2}}+{{\left( y+5 \right)}^{2}}=36$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là A.
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết của các dạng toán về chuyên để các dạng bài tập phép vị tự lớp 11 có lời giải cực kì chi tiết mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ về các dạng bài tập của bài tập về phép vị tự thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!
Xem thêm:
