Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn bài tập về phép đồng dạng là một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về bài tập phép đồng dạng hình học 11 bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 và đạt được thành tích cao trong học tập nhé!
DẠNG 1. KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ĐỒNG DẠNG
Bài tập 1:
Cho các khẳng định sau:
(1) Phép vị tự là một phép dời hình.
(2) Phép đối xứng tâm là một phép dời hình.
(3) Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
(4) Phép quay tâm $O$ góc quay bất kì biến $M$ thành ${M}’$ thì $O,M,{M}’$ thẳng hàng.
Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định đúng?
A. $4$. B. $1$. C. $3$. D. $2$.
Lời giải
Chọn D
+Phép vị tự không phải là phép dời hình mà là phép đồng dạng, nên (1) sai.
+ Phép đối xứng tâm là một phép dời hình, nên (2) đúng.
+ Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì, nên (3) đúng.
+ Phép quay tâm $O$ góc quay bất kì biến $M$ thành ${M}’$và $O,M,{M}’$ thẳng hàng chỉ khi đó là phép quay tâm $O$ có góc quay là $0{}^\circ $ hoặc $180{}^\circ $, nên (4) sai.
Bài tập 2:
Cho hình chữ nhật $ABCD$ và $AC=2AB$. Gọi $Q$ là phép quay tâm $A$ góc quay $\varphi =\left( AB,AC \right)$ V là phép vị tự tâm $A$ tỉ số 2, $F$ là phép hợp thành của $V$ và $Q$. $F$ biến đường tròn tâm $B$ bán kính $BA$ thành đường tròn nào sau đây?
A. Đường tròn tâm $D$ bán kính $DB$. B. Đường tròn tâm $C$ bán kính $CA$.
C. Đường tròn tâm $D$ bán kính $DC$. D. Đường tròn tâm $A$ bán kính $AC$.
Lời giải:
Đáp án B.
${{V}_{\left( A;2 \right)}}\left( B \right)={{B}_{1}};{{Q}_{\left( A;\varphi \right)}}\left( {{B}_{1}} \right)=C$
Qua ${{V}_{\left( A;2 \right)}}$ biến đường tròn tâm $B$ bán kính $BA$ thành đường tròn tâm ${{B}_{1}}$ bán kính ${{B}_{1}}A$.
Qua ${{Q}_{\left( A;\varphi \right)}}$biến đường tròn tâm ${{B}_{1}}$ bán kính ${{B}_{1}}A$ thành đường tròn tâm $C$ bán kính $CA$.
Bài tập 3:
Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$ (điểm được đặt theo chiều kim đồng hồ). ${A}’,{B}’,{C}’,{D}’$ theo thứ tự là trung điểm của $AB,BC,CD,DA$. Gọi $V$ là phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=\sqrt{2}$ và $Q$ là phép quay tâm $O$ góc quay $-\frac{\pi }{4}$. Phép biến hình $F$ được xác định là hợp thành liên tiếp của phép quay và phép vị tự. Khi đó qua $F$ ảnh của đoạn thẳng ${B}'{D}’$ là:
A. Đoạn ${D}'{B}’$. B. Đoạn ${A}'{C}’$. C. Đoạn $CA$. D. Đoạn $BD$.
Lời giải:
Đáp án C.
Ta có: ${{Q}_{\left( O;\frac{\pi }{4} \right)}}$ biến ${B}’,{D}’$ thành ${{B}_{1}},{{D}_{1}}:{{B}_{1}}{{D}_{1}}={B}'{D}’$ và ${{B}_{1}},{{D}_{1}}$ nằm trên đường thẳng qua $AC$
${{V}_{\left( O;\sqrt{2} \right)}}\left( {{B}_{1}} \right)={{B}_{2}};{{V}_{\left( O;\sqrt{2} \right)}}\left( {{D}_{1}} \right)={{D}_{2}}\Rightarrow O{{B}_{2}}=\sqrt{2}O{{B}_{1}},O{{D}_{2}}=\sqrt{2}O{{D}_{1}}\Rightarrow {{B}_{2}}{{D}_{2}}=\sqrt{2}{{B}_{1}}{{D}_{1}}=\sqrt{2}{B}'{D}’=AC$.
Bài tập 4:
Cho $\Delta ABC$ có đường cao $AH,H$ nằm giữa $BC.$ Biết $AH=4,HB=2,HC=8.$ Phép đồng dạng $F$ biến $\Delta HBA$ thành $\Delta HAC$. $F$ được hình thành bởi hai phép biến hình nào?
A. Phép đối xứng tâm $H$ và phép vị tự tâm $H$ tỉ số $k=\frac{1}{2}$.
B. Phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{BA}$ và phép vị tự tâm$H$ tỉ số $k=2$.
C. Phép vị tự tâm $H$ tỉ số $k-2$ và phép quay tâm $H$ góc quay là góc $\left( HB,HA \right)$.
D. Phép vị tự tâm $H$ tỉ số $k=2$ và phép đối xứng trục
Đáp án C
Lời giải:
Ta có ${{V}_{\left( H,2 \right)}}$ và ${{Q}_{\left( H;\varphi \right)}}$với $\varphi =\left( HB,HA \right)$ biến $B$ thành $A$ và $A$ thành $C,$ vậy $F$ là phép đồng dạng hợp thành của ${{V}_{\left( H,2 \right)}}$ và ${{Q}_{\left( H;\varphi \right)}}$biến $\Delta HBA$ thành $\Delta HAC$.
DẠNG 2. TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC MỘT HÌNH QUA PHÉP ĐỒNG DẠNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Bài tập 1:
Trong mặt phẳng $\text{Ox}y$, cho đường thẳng $d$:$x+2y-3=0$. Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số $k=2$ và phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=\left( 1;2 \right)$ biến đường thẳng $d$ thành đường thẳng ${d}’$ có phương trình
A. $x+2y+11=0$. B. $x+2y-11=0$. C. $x+2y-6=0$. D. $x+2y+6=0$.
Lời giải
Chọn B
Gọi $\Delta $ là ảnh của $d$ qua phép vị tự tâm $O$ tỉ số 2.
Lấy $M(x;y)\in d,$${{M}_{1}}={{V}_{(O,2)}}\left( M \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{O{{M}_{1}}}=2\overrightarrow{OM}$với ${{M}_{1}}({{x}_{1}};{{y}_{1}})\in \Delta$.
Ta có $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=2x \\ & {{y}_{1}}=2y \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=\frac{1}{2}{{x}_{1}} \\ & y=\frac{1}{2}{{y}_{1}} \\\end{align} \right.$. Vì $M(x;y)\in d$ nên $\frac{1}{2}{{x}_{1}}+2.\frac{1}{2}{{y}_{1}}-3=0$.
Vậy phương trình $\Delta$ là $x+2y-6=0$.
Gọi ${d}’$ là ảnh của $\Delta$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=\left( 1;2 \right)$. Khi đó ${M}’={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( {{M}_{1}} \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{{{M}_{1}}{M}’}=\overrightarrow{v}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {x}’={{x}_{1}}+1 \\ & {y}’={{y}_{1}}+2 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=x’-1 \\ & {{y}_{1}}={y}’-2 \\\end{align} \right.$
Vì ${{M}_{1}}({{x}_{1}};{{y}_{1}})\in \Delta $ nên ${x}’-1+2({y}’-2)-6=0$.
Vậy phương trình ${d}’$ là $x+2y-11=0$
Bài tập 2:
Trong mặt phẳng $Oxy$, xét phép biến hình $F$ biến mỗi điểm $M\left( x;\,y \right)$ thành điểm ${M}’\left( 2x-1;\,-2y+3 \right)$. Viết phương trình đường thẳng ${d}’$ là ảnh của đường thẳng $d:\,x-2y+6=0$ qua phép biến hình.
A. $x+2y+7=0$. B. $x+2y+5=0$. C. $2x+y+5=0$. D. $2x+y+7=0$.
Lời giải
Chọn A
Chọn $A\left( 0;\,3 \right)$ và $B\left( 2;\,4 \right)$ là hai điểm thuộc đường thẳng $d$.
Gọi ${A}’=F\left( A \right)$ và ${B}’=F\left( B \right)$, ta có ${A}’\left( -1;\,-3 \right)$ và ${B}’\left( 3;\,-5 \right)$.
Do $A$, $B$ là hai điểm thuộc đường thẳng $d$ và ${d}’=F\left( d \right)$ nên ${A}’$ và ${B}’$ thuộc ${d}’.$ Hay đường thẳng ${d}’$ chính là đường thẳng ${A}'{B}’.$
Ta có $\overrightarrow{{A}'{B}’}=\left( 4;\,-2 \right)$. VTPT của đường thẳng ${A}'{B}’$ là $\overrightarrow{n}=\left( 1;\,2 \right)$.
Đường thẳng ${A}'{B}’$ đi qua điểm ${A}’\left( -1;\,-3 \right)$ và có VTPT $\overrightarrow{n}=\left( 1;\,2 \right)$ nên có phương trình là
$\left( x+1 \right)+2\left( y+3 \right)=0\Leftrightarrow x+2y+7=0$.
Bài tập 3:
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ với $A(3;1),B(2;3),C(9;4)$. Gọi $A’,B’,C’$ là ảnh của $A,B,C$ qua phép đồng dạng $F$ có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=-2$ và phép tịnh tiến theo vec tơ $\overrightarrow{AB}$. Tính diện tích tam giác $A’B’C’$ (theo đơn vị diện tích).
A. $7,5$. B. $60$. C. $30$. D. $15$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $AB=\sqrt{{{(2-3)}^{2}}+{{(3-1)}^{2}}}=\sqrt{5}$, tương tự $AC=3\sqrt{5},BC=5\sqrt{2}.$
Áp dụng công thức Hê rông tính được diện tích tam giác $ABC$: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{\left( \frac{5}{2}\sqrt{2}+\sqrt{5} \right)\left( \frac{5}{2}\sqrt{2}-\sqrt{5} \right)\left( \frac{5}{2}\sqrt{2}+2\sqrt{5} \right)\left( 2\sqrt{5}-\frac{5}{2}\sqrt{2} \right)}=\frac{15}{2}$.
Tam giác $ABC$qua phép đồng dạng F như đề cho biến thành tam giác $A’B’C’$ đồng dạng với tam giác tam giác $ABC$ theo tỉ số đồng dạng $k=|-2|=2$ nên diện tích tam giác $A’B’C’$:
${{S}_{A’B’C’}}=4{{S}_{ABC}}=4.\frac{15}{2}=30.$
Bài tập 4:
Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $A\left( -3;4 \right)$, bán kính $R=\sqrt{2}$. Viết phương trình đường tròn $\left( {{C}’} \right)$ là ảnh của đường tròn $\left( C \right)$ qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=\left( 1;-1 \right)$ và phép vị tự tâm $I\left( 0;4 \right)$ tỉ số $k=-2$.
A. ${{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=2$. B. ${{\left( x+6 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=8$.
C. ${{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=2$. D. ${{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=8$.
Lời giải
Chọn D
Gọi $\left( {{C}_{1}} \right)$ là ảnh của $\left( C \right)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=\left( 1;-1 \right)$.
Khi đó $\left( {{C}_{1}} \right)$ có tâm ${{A}_{1}}={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( A \right)$ và bán kính ${{R}_{1}}=R=\sqrt{2}$.
Ta có ${{A}_{1}}\left( -3+1;4-1 \right)$ hay ${{A}_{1}}\left( -2;3 \right)$.
Do $\left( {{C}’} \right)$ là ảnh của đường tròn $\left( C \right)$ qua phép đồng dạng đã cho nên $\left( {{C}’} \right)$ là ảnh của đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ qua phép vị tự tâm $I\left( 0;4 \right)$ tỉ số $k=-2$.
$\left( {{C}’} \right)$ có tâm ${A}’={{V}_{\left( I;-2 \right)}}\left( {{A}_{1}} \right)$ và bán kính ${R}’=\left| -2 \right|.{{R}_{1}}=2\sqrt{2}$.
Gọi ${A}’\left( {x}’;{y}’ \right)$. Ta có $\overrightarrow{I{A}’}=-2\overrightarrow{I{{A}_{1}}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {x}’-0=-2\left( -2-0 \right) \\ & {y}’-4=-2\left( 3-4 \right) \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {x}’=4 \\ & {y}’=6 \\\end{align} \right.$$\Rightarrow {A}’\left( 4;6 \right)$.
Vậy đường tròn $\left( {{C}’} \right)$ có phương trình là ${{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=8$.