Bài tập phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về bài tập phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình Học lớp 11 nhé!

I. PHÉP DỜI HÌNH

Bài tập 1:

Trong mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ cho đường tròn $\left( C \right):{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=10.$ Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn $\left( C \right)$ qua phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}=\left( 3;2 \right)$ và phép đối xứng trục $Oy$

A. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=10$.                           B. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+6 \right)}^{2}}=10$.

C. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=10$.                           D. ${{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=10$.

Lời giải

Chọn C

Tâm $I\left( -2;4 \right)$, Gọi ${I}’={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( I \right)$. Ta có:

$\overrightarrow{I{I}’}=\overrightarrow{v}\Leftrightarrow \left( {{x}_{{{I}’}}}-{{x}_{I}};{{y}_{{{I}’}}}-{{y}_{I}} \right)=\left( 3;2 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   {{x}_{{{I}’}}}-{{x}_{I}}=3  \\   {{y}_{{{I}’}}}-{{y}_{I}}=2  \\\end{matrix} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   {{x}_{{{I}’}}}=1  \\   {{y}_{{{I}’}}}=6  \\\end{matrix} \right.$

Gọi ${I}”$ là ảnh của ${I}’$ qua phép đối xứng trục $Oy$. Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{{{I}”}}}=-{{x}_{{{I}’}}}=-1  \\   {{y}_{{{I}”}}}={{y}_{{{I}’}}}=6  \\\end{matrix} \right.$

Bài tập 2:

Tìm ảnh của điểm $N\left( 2\,;\,-4 \right)$ qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm $O$ góc quay $-90{}^\circ $ và phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}=\left( -1\,;\,2 \right)$.

A. $N’\left( -5\,;\,0 \right)$.                           B. $N’\left( -2\,;\,-4 \right)$.                           C. $N’\left( -4\,;\,-2 \right)$.                            D. $N’\left( 2\,;\,-4 \right)$.

Lời giải

Chọn A

Ảnh của điểm $N\left( 2\,;\,-4 \right)$ qua phép quay tâm $O$ góc quay $-90{}^\circ $ là ${{N}_{1}}\left( -4\,;\,-2 \right)$.

Ảnh của điểm ${{N}_{1}}\left( -4\,;\,-2 \right)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}\left( -1\,;\,2 \right)$ là $N’\left( -5\,;\,0 \right)$.

Vậy ảnh của điểm $N\left( 2\,;\,-4 \right)$ qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm $O$ góc quay $-{{90}^{0}}$ và phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}\left( -1;2 \right)$ là $N’\left( -5;0 \right)$.

Bài tập 3:

Cho $\Delta ABC$ và điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{CM}$. $F$ là phép dời hình. Gọi $F\left( A \right)={{A}_{1}};\,F\left( B \right)={{B}_{1}};\,F\left( C \right)={{C}_{1}};\,F\left( M \right)={{M}_{1}}$, biết $AB=4,\,\,BC=5,\,\,CA=6$. Độ dài đoạn ${{\text{A}}_{1}}{{M}_{1}}$ bằng:

A. $116$.                          B. $\sqrt{106}$.                           C. $57$.                           D. $74$.

Lời giải:

Đáp án       B.

Theo tính chất phép dời hình $AM={{A}_{1}}{{M}_{1}}$

$\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{CM}\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=2\left( \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC} \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$$\Rightarrow A{{M}^{2}}=4\text{A}{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-4\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$ $\left( * \right)$

Ta có: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\Rightarrow B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}$, thế vào $\left( * \right)$ ta có: $A{{M}^{2}}=2\text{A}{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}+2B{{C}^{2}}=72-16+50=106$ $\Rightarrow AM=\sqrt{106}$

Bài tập 4:

Cho hai phép biến hình: ${{F}_{1}}:\,M\left( x;y \right)\to M’\left( x+1;y-3 \right)$, ${{F}_{2}}:\,M\left( x;y \right)\to M’\left( -y;x \right)$. Phép biến hình nào trong hai phép biến hình trên là phép dời hình.

A. Chỉ phép biến hình ${{F}_{1}}$.

B. Chỉ phép biến hình ${{F}_{2}}$.

C. Cả hai phép biến hình ${{F}_{1}}$ và ${{F}_{1}}$.

D. Cả hai phép biến hình ${{F}_{1}}$ và ${{F}_{1}}$ đều không là phép dời hình.

Lời giải:

Đáp án       C.

Xét hai điểm $\text{A}\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)$ và $B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$ qua hai phép biến hình ${{F}_{1}}$ và ${{F}_{2}}$. Với phép biến hình ${{F}_{1}}:$$A\to A’\left( {{x}_{A}}+1;{{y}_{A}}-3 \right)$; $B\to B’\left( {{x}_{B}}+1;{{y}_{B}}-3 \right)$ $\Rightarrow AB=A’B’=\sqrt{{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}}$

Tương tự với phép biến hình ${{F}_{2}}$thì $AB=A’B’$ nên ta chọn đáp án C

Bài tập 5:

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-7 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=4$. Ảnh của đường tròn qua việc thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo véc tơ $\overrightarrow{v}=\left( 1;5 \right)$ và phép quay tâm $O$, góc quay $-{{45}^{\circ }}$ là

A. ${{\left( x+8 \right)}^{2}}+{{\left( y-8 \right)}^{2}}=4$.                                  B. ${{x}^{2}}+{{\left( y-8\sqrt{2} \right)}^{2}}=4$.

C. ${{\left( x-8\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-8 \right)}^{2}}=4$.                           D. ${{\left( x-8\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4$.

Lời giải

Chọn          D.

Gọi $I$ là tâm đường tròn và $2$ là ảnh của $8$khi thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo véc tơ $9$ và phép quay tâm $8!+9!$, góc quay $72$.

Gọi $17$ là ảnh của $8!.9!$ khi thực hiện phép tịnh tiến theo véc tơ $C_{8}^{1}$.

Ta có$C_{9}^{1}$ nên $C_{8}^{1}.C_{9}^{1}=72$.

Gọi $5$ là ảnh của $3$ khi thực hiện phép quay tâm $8!$, góc quay $2.5!.3!$.

bài tập phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Suy ra $5!.3!$. Do đó $2.\left( 5!+3! \right)$là ảnh của $2!=2$ khi thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo véc tơ $5!$ và phép quay tâm $3!$, góc quay $2.5!.3!$hay $-90{}^\circ $ là tâm của $-90{}^\circ $. Hơn nữa, phép quay và phép tịnh tiến đều bảo toàn khoảng cách nên $y=\frac{1-\sin x}{\cos x-1}$.

Vậy có $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$ phương trình là $M$.

II. PHÉP ĐỒNG DẠNG

Bài tập 1:

Cho các khẳng định sau:

(1) Phép vị tự là một phép dời hình.

(2) Phép đối xứng tâm là một phép dời hình.

(3) Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

(4) Phép quay tâm $O$ góc quay bất kì biến $M$ thành ${M}’$ thì $O,M,{M}’$ thẳng hàng.

Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định đúng?

A. $4$.                            B. $1$.                           C. $3$.                          D. $2$.

Lời giải

Chọn D

+Phép vị tự không phải là phép dời hình mà là phép đồng dạng, nên (1) sai.

+ Phép đối xứng tâm là một phép dời hình, nên (2) đúng.

+ Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì, nên (3) đúng.

+ Phép quay tâm $O$ góc quay bất kì biến $M$ thành ${M}’$và $O,M,{M}’$ thẳng hàng chỉ khi đó là phép quay tâm $O$ có góc quay là $0{}^\circ $ hoặc $180{}^\circ $, nên (4) sai.

Bài tập 2:

Trong mặt phẳng $\text{Ox}y$, cho đường thẳng $d$:$x+2y-3=0$. Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số $k=2$ và phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=\left( 1;2 \right)$ biến đường thẳng $d$ thành đường thẳng ${d}’$ có phương trình

A. $x+2y+11=0$.               B. $x+2y-11=0$.              C. $x+2y-6=0$.              D. $x+2y+6=0$.

Lời giải

Chọn B

Gọi $\Delta $ là ảnh của $d$ qua phép vị tự tâm $O$ tỉ số 2.

Lấy $M(x;y)\in d,$${{M}_{1}}={{V}_{(O,2)}}\left( M \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{O{{M}_{1}}}=2\overrightarrow{OM}$với ${{M}_{1}}({{x}_{1}};{{y}_{1}})\in \Delta$.

Ta có $\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}=2x \\ & {{y}_{1}}=2y \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=\frac{1}{2}{{x}_{1}} \\ & y=\frac{1}{2}{{y}_{1}} \\\end{align} \right.$. Vì $M(x;y)\in d$ nên $\frac{1}{2}{{x}_{1}}+2.\frac{1}{2}{{y}_{1}}-3=0$.

Vậy phương trình $\Delta$ là $x+2y-6=0$.

Gọi ${d}’$ là ảnh của $\Delta$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=\left( 1;2 \right)$. Khi đó ${M}’={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( {{M}_{1}} \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{{{M}_{1}}{M}’}=\overrightarrow{v}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {x}’={{x}_{1}}+1 \\ & {y}’={{y}_{1}}+2 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}=x’-1 \\ & {{y}_{1}}={y}’-2 \\\end{align} \right.$

Vì ${{M}_{1}}({{x}_{1}};{{y}_{1}})\in \Delta $ nên ${x}’-1+2({y}’-2)-6=0$.

Vậy phương trình ${d}’$ là $x+2y-11=0$

Bài tập 3:

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $A\left( -3;4 \right)$, bán kính $R=\sqrt{2}$. Viết phương trình đường tròn $\left( {{C}’} \right)$ là ảnh của đường tròn $\left( C \right)$ qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=\left( 1;-1 \right)$ và phép vị tự tâm $I\left( 0;4 \right)$ tỉ số $k=-2$.

A. ${{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=2$.                           B. ${{\left( x+6 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=8$.

C. ${{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=2$.                           D. ${{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=8$.

Lời giải

Chọn D

Gọi $\left( {{C}_{1}} \right)$ là ảnh của $\left( C \right)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=\left( 1;-1 \right)$.

Khi đó $\left( {{C}_{1}} \right)$ có tâm ${{A}_{1}}={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( A \right)$ và bán kính ${{R}_{1}}=R=\sqrt{2}$.

Ta có ${{A}_{1}}\left( -3+1;4-1 \right)$ hay ${{A}_{1}}\left( -2;3 \right)$.

Do $\left( {{C}’} \right)$ là ảnh của đường tròn $\left( C \right)$ qua phép đồng dạng đã cho nên $\left( {{C}’} \right)$ là ảnh của đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ qua phép vị tự tâm $I\left( 0;4 \right)$ tỉ số $k=-2$.

$\left( {{C}’} \right)$ có tâm ${A}’={{V}_{\left( I;-2 \right)}}\left( {{A}_{1}} \right)$ và bán kính ${R}’=\left| -2 \right|.{{R}_{1}}=2\sqrt{2}$.

Gọi ${A}’\left( {x}’;{y}’ \right)$. Ta có $\overrightarrow{I{A}’}=-2\overrightarrow{I{{A}_{1}}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {x}’-0=-2\left( -2-0 \right) \\ & {y}’-4=-2\left( 3-4 \right) \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {x}’=4 \\ & {y}’=6 \\\end{align} \right.$$\Rightarrow {A}’\left( 4;6 \right)$.

Vậy đường tròn $\left( {{C}’} \right)$ có phương trình là ${{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=8$.

Bài tập 4:

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ với $A(3;1),B(2;3),C(9;4)$. Gọi $A’,B’,C’$ là ảnh của $A,B,C$ qua phép đồng dạng $F$ có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=-2$ và phép tịnh tiến theo vec tơ $\overrightarrow{AB}$. Tính diện tích tam giác $A’B’C’$ (theo đơn vị diện tích).

A. $7,5$.                            B. $60$.                           C. $30$.                        D. $15$.

Lời giải

Chọn C

Ta có $AB=\sqrt{{{(2-3)}^{2}}+{{(3-1)}^{2}}}=\sqrt{5}$, tương tự $AC=3\sqrt{5},BC=5\sqrt{2}.$

Áp dụng công thức Hê rông tính được diện tích tam giác $ABC$: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{\left( \frac{5}{2}\sqrt{2}+\sqrt{5} \right)\left( \frac{5}{2}\sqrt{2}-\sqrt{5} \right)\left( \frac{5}{2}\sqrt{2}+2\sqrt{5} \right)\left( 2\sqrt{5}-\frac{5}{2}\sqrt{2} \right)}=\frac{15}{2}$.

Tam giác $ABC$qua phép đồng dạng F như đề cho biến thành tam giác $A’B’C’$ đồng dạng với tam giác tam giác $ABC$ theo tỉ số đồng dạng $k=|-2|=2$ nên diện tích tam giác $A’B’C’$:

${{S}_{A’B’C’}}=4{{S}_{ABC}}=4.\frac{15}{2}=30.$

Bài tập 5:

Cho $\Delta ABC$ có đường cao $AH,H$ nằm giữa $BC.$ Biết $AH=4,HB=2,HC=8.$ Phép đồng dạng $F$ biến $\Delta HBA$ thành $\Delta HAC$. $F$ được hình thành bởi hai phép biến hình nào?

A. Phép đối xứng tâm $H$ và phép vị tự tâm $H$ tỉ số $k=\frac{1}{2}$.

B. Phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{BA}$ và phép vị tự tâm$H$ tỉ số $k=2$.

C. Phép vị tự tâm $H$ tỉ số $k-2$ và phép quay tâm $H$ góc quay là góc $\left( HB,HA \right)$.

D. Phép vị tự tâm $H$ tỉ số $k=2$ và phép đối xứng trục

Đáp án C

Lời giải:

bài tập phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Ta có ${{V}_{\left( H,2 \right)}}$ và ${{Q}_{\left( H;\varphi  \right)}}$với $\varphi =\left( HB,HA \right)$ biến $B$ thành $A$ và $A$ thành $C,$ vậy $F$ là phép đồng dạng hợp thành của ${{V}_{\left( H,2 \right)}}$ và ${{Q}_{\left( H;\varphi  \right)}}$biến $\Delta HBA$ thành $\Delta HAC$.