Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn bài tập phép dời hình lớp 11 là một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau cũng như bài tập về phép dời hình lớp 11 bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 và đạt được thành tích cao trong học tập nhé!
Bài tập 1:
Trong mặt phẳng xét hình $\left( H \right)$ là hình gồm hai đường tròn tâm O và tâm $O’$ có bán kính tương ứng là $R$ và $\text{R}’$ (với $R>R’$). Khi đó:
A. Đường nối tâm $\text{OO}’$ sẽ chia hình $\left( H \right)$ thành hai phần bằng nhau.
B. Đường vuông góc với đường nối tâm $\text{OO}’$ và đi qua trung điểm của $\text{OO}’$ sẽ chia hình $\left( H \right)$ thành hai phần bằng nhau.
C. Đường nối hai điểm bất kì $A,\,\,B$ (không trùng với $\text{OO}’$) với A thuộc $\left( O \right)$, B thuộc $\left( O’ \right)$ sẽ chia hình $\left( H \right)$ thành hai phần bằng nhau.
D. Mỗi đường thẳng bất kì đi qua $\text{O}$ hoặc $\text{O}’$ chia hình $\left( H \right)$ thành hai phần bằng nhau.
Lời giải:
Đáp án A
Bài tập 2:
Xét hai phép biến hình sau, đâu là phép dời hình?
(I) Phép biến hình ${{F}_{1}}:\,{{M}_{1}}\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)\to {{M}_{1}}^{\prime }\left( -{{y}_{1}};{{x}_{1}} \right)$
(II) Phép biến hình ${{F}_{2}}:\,{{M}_{2}}\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\to {{M}_{2}}^{\prime }\left( 2{{x}_{2}};2{{y}_{2}} \right)$
A. Chỉ phép biến hình (I).
B. Chỉ phép biến hình (II).
C. Cả hai phép biến hình (I) và (II).
D. Cả hai phép biến hình (I) và (II) đều không là phép dời hình.
Lời giải:
Đáp án A
Chọn hai điểm $M\left( {{x}_{M}};{{y}_{M}} \right),\,N\left( {{x}_{N}};{{y}_{N}} \right)$ bất kỳ.
Xét phép biến hình $\left( I \right)$ có: ${{F}_{1}}\left( \,M \right)={M}’\left( -{{y}_{M}};{{x}_{M}} \right);\,{{F}_{1}}\left( \,N \right)={N}’\left( -{{y}_{N}};{{x}_{N}} \right)\Rightarrow MN={M}'{N}’=\sqrt{{{\left( {{x}_{M}}-{{x}_{N}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{M}}-{{y}_{N}} \right)}^{2}}}$
Xét tương tự với phép biến hình (II) không là phép dời hình.
Bài tập 3:
Cho hai phép biến hình: ${{F}_{1}}:\,M\left( x;y \right)\to M’\left( x+1;y-3 \right)$, ${{F}_{2}}:\,M\left( x;y \right)\to M’\left( -y;x \right)$. Phép biến hình nào trong hai phép biến hình trên là phép dời hình.
A. Chỉ phép biến hình ${{F}_{1}}$.
B. Chỉ phép biến hình ${{F}_{2}}$.
C. Cả hai phép biến hình ${{F}_{1}}$ và ${{F}_{1}}$.
D. Cả hai phép biến hình ${{F}_{1}}$ và ${{F}_{1}}$ đều không là phép dời hình.
Lời giải:
Đáp án C.
Xét hai điểm $\text{A}\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)$ và $B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$ qua hai phép biến hình ${{F}_{1}}$ và ${{F}_{2}}$. Với phép biến hình ${{F}_{1}}:$$A\to A’\left( {{x}_{A}}+1;{{y}_{A}}-3 \right)$; $B\to B’\left( {{x}_{B}}+1;{{y}_{B}}-3 \right)$ $\Rightarrow AB=A’B’=\sqrt{{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}}$
Tương tự với phép biến hình ${{F}_{2}}$thì $AB=A’B’$ nên ta chọn đáp án C
Bài tập 4:
Cho hình chữ nhật và một phép dời hình $F$ trong mặt phẳng. Biết rằng qua phép dời hình $F$ tam giác $\text{A}BC$ biến thành tam giác $BA\text{D}$, tam giác $A\text{D}C$ biến thành tam giác nào sau đây?
A. $CBA$. B. $BC\text{D}$. C. $\text{DAB}$. D. $BM\text{D}$.
Lời giải:
Đáp án B
Theo giả thiết $F:\,\Delta ABC\to \Delta BA\text{D}$
$\Rightarrow F\left( A \right)=B;\,F\left( B \right)=A;\,F\left( C \right)=D$.
Ta xác định ảnh của D qua phép dời hình F.
Giả sử $F\left( D \right)=E$, ta có $\text{AD}=BE,\,B\text{D}=A\text{E},C\text{D}=DE$
Vậy điểm E là điểm chung của ba đường tròn. Đường tròn tâm B bán kính AD, tâm A bán kính BD và tâm D bán kính b.
Vậy $E\equiv C$ hay $F\left( D \right)=C$$\Rightarrow \Delta A\text{D}C\to \Delta BC\text{D}$ qua F
Bài tập 5:
Cho $\Delta ABC$ và điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{CM}$. $F$ là phép dời hình. Gọi $F\left( A \right)={{A}_{1}};\,F\left( B \right)={{B}_{1}};\,F\left( C \right)={{C}_{1}};\,F\left( M \right)={{M}_{1}}$, biết $AB=4,\,\,BC=5,\,\,CA=6$. Độ dài đoạn ${{\text{A}}_{1}}{{M}_{1}}$ bằng:
A. $116$. B. $\sqrt{106}$. C. $57$. D. $74$.
Lời giải:
Đáp án B.
Theo tính chất phép dời hình $AM={{A}_{1}}{{M}_{1}}$
$\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{CM}\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=2\left( \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC} \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$$\Rightarrow A{{M}^{2}}=4\text{A}{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-4\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$ $\left( * \right)$
Ta có: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\Rightarrow B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$
$\Rightarrow 2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}$, thế vào $\left( * \right)$ ta có: $A{{M}^{2}}=2\text{A}{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}+2B{{C}^{2}}=72-16+50=106$ $\Rightarrow AM=\sqrt{106}$
Bài tập 6:
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-7 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=4$. Ảnh của đường tròn qua việc thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo véc tơ $\overrightarrow{v}=\left( 1;5 \right)$ và phép quay tâm $O$, góc quay $-{{45}^{\circ }}$ là
A. ${{\left( x+8 \right)}^{2}}+{{\left( y-8 \right)}^{2}}=4$. B. ${{x}^{2}}+{{\left( y-8\sqrt{2} \right)}^{2}}=4$.
C. ${{\left( x-8\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-8 \right)}^{2}}=4$. D. ${{\left( x-8\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4$.
Lời giải
Chọn D.
Gọi $I$ là tâm đường tròn và $2$ là ảnh của $8$khi thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo véc tơ $9$ và phép quay tâm $8!+9!$, góc quay $72$.
Gọi $17$ là ảnh của $8!.9!$ khi thực hiện phép tịnh tiến theo véc tơ $C_{8}^{1}$.
Ta có$C_{9}^{1}$ nên $C_{8}^{1}.C_{9}^{1}=72$.
Gọi $5$ là ảnh của $3$ khi thực hiện phép quay tâm $8!$, góc quay $2.5!.3!$.
Suy ra $5!.3!$. Do đó $2.\left( 5!+3! \right)$là ảnh của $2!=2$ khi thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo véc tơ $5!$ và phép quay tâm $3!$, góc quay $2.5!.3!$hay $-90{}^\circ $ là tâm của $-90{}^\circ $. Hơn nữa, phép quay và phép tịnh tiến đều bảo toàn khoảng cách nên $y=\frac{1-\sin x}{\cos x-1}$.
Vậy có $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$ phương trình là $M$.
Bài tập 7:
Tìm ảnh của điểm $N\left( 2\,;\,-4 \right)$ qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm $O$ góc quay $-90{}^\circ $ và phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}=\left( -1\,;\,2 \right)$.
A. $N’\left( -5\,;\,0 \right)$. B. $N’\left( -2\,;\,-4 \right)$. C. $N’\left( -4\,;\,-2 \right)$. D. $N’\left( 2\,;\,-4 \right)$.
Lời giải
Chọn A
Ảnh của điểm $N\left( 2\,;\,-4 \right)$ qua phép quay tâm $O$ góc quay $-90{}^\circ $ là ${{N}_{1}}\left( -4\,;\,-2 \right)$.
Ảnh của điểm ${{N}_{1}}\left( -4\,;\,-2 \right)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}\left( -1\,;\,2 \right)$ là $N’\left( -5\,;\,0 \right)$.
Vậy ảnh của điểm $N\left( 2\,;\,-4 \right)$ qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm $O$ góc quay $-{{90}^{0}}$ và phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}\left( -1;2 \right)$ là $N’\left( -5;0 \right)$.
Bài tập 8:
Trong mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ cho đường tròn $\left( C \right):{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=10.$ Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn $\left( C \right)$ qua phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}=\left( 3;2 \right)$ và phép đối xứng trục $Oy$
A. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=10$. B. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+6 \right)}^{2}}=10$.
C. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=10$. D. ${{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=10$.
Lời giải
Chọn C
Tâm $I\left( -2;4 \right)$, Gọi ${I}’={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( I \right)$. Ta có:
$\overrightarrow{I{I}’}=\overrightarrow{v}\Leftrightarrow \left( {{x}_{{{I}’}}}-{{x}_{I}};{{y}_{{{I}’}}}-{{y}_{I}} \right)=\left( 3;2 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{x}_{{{I}’}}}-{{x}_{I}}=3 \\ {{y}_{{{I}’}}}-{{y}_{I}}=2 \\\end{matrix} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{x}_{{{I}’}}}=1 \\ {{y}_{{{I}’}}}=6 \\\end{matrix} \right.$
Gọi ${I}”$ là ảnh của ${I}’$ qua phép đối xứng trục $Oy$. Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} {{x}_{{{I}”}}}=-{{x}_{{{I}’}}}=-1 \\ {{y}_{{{I}”}}}={{y}_{{{I}’}}}=6 \\\end{matrix} \right.$