Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn bài tập phép biến hình – hình học 11 nâng cao (đủ dạng) rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về phép biến hình cũng như các bài tập phép biến hình có lời giải bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Hình lớp 11 nhé!
I. Phép tịnh tiến
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tìm phương trình đường tròn $\left( {{C}’} \right)$ là ảnh cảu đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2\text{x}+4y-1=0$ qua ${{T}_{{\vec{v}}}}$ với $\vec{v}=\left( 1;2 \right)$.
A. ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=\sqrt{6}$. B. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=6$.
B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2\text{x}-5=0$. D. $2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-8x+4=0$.
Lời giải:
Cách 1: Theo tính chất của phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Ta có: đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 1;-2 \right)$, bán kính $R=\sqrt{6}$.
Suy ra: ${{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( I \right)={I}’\left( 2;0 \right)$.
Vậy đường tròn $\left( {{C}’} \right)$có tâm ${I}’\left( 2;0 \right)$, bán kính ${R}’=R=\sqrt{6}$ có phương trình:
${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=6$.
Cách 2: Sử dụng quỹ tích:
Gọi $M\left( x;y \right)\in \left( C \right)\Rightarrow {{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)={M}’\left( {x}’;{y}’ \right)$
$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& {x}’=x+1 \\& {y}’=y+2 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x={x}’-1 \\& y={y}’-2 \\\end{align} \right.$
Thế $x,\text{ }y$ vào phương trình đường tròn $\left( C \right)$, ta có:
${{\left( {x}’-1 \right)}^{2}}+{{\left( {y}’-2 \right)}^{2}}-2\left( {x}’-1 \right)+4\left( {y}’-2 \right)-1=0\Leftrightarrow {{\left( {{x}’} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}’} \right)}^{2}}-4{x}’-2=0$
Vậy $\left( {{C}’} \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=6$.
Do đó đáp án đúng nhất ở câu này ta chọn được là B.
II. Phép đối xứng
a. Phép đối xứng trục
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-2y-4=0$. Tìm ảnh đường tròn $\left( {{C}’} \right)$ của $\left( C \right)$ qua phép đối xứng tâm $I\left( 1;3 \right)$.
A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10x-16=0$. B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10y-16=0$.
C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10y+16=0$. D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-10y+9=0$.
Lời giải:
Cách 1: ${{}_{I}}\left( \left( C \right) \right)=\left( {{C}’} \right):$ Với mọi $M\left( x;y \right)$ qua phép đối xứng tâm $I$ ta được
${M}’\left( {x}’;{y}’ \right)\in \left( {{C}’} \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align}& {x}’=2{{x}_{I}}-x=2-x \\& {y}’=2{{y}_{I}}-y=6-y \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=2-{x}’ \\& y=6-{y}’ \\\end{align} \right.$. Thế vào $\left( C \right)$ ta có:
${{\left( 2-{x}’ \right)}^{2}}+{{\left( 6-{y}’ \right)}^{2}}-4\left( 2-{x}’ \right)-2\left( 6-{y}’ \right)-4=0\Leftrightarrow {{\left( {{x}’} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}’} \right)}^{2}}-10{y}’+16=0$
Vậy đường tròn $\left( {{C}’} \right)$: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10y+16=0$.
Cách 2: Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $M\left( 2;1 \right)$, bán kính $R=3$, ${{}_{I}}\left( M \right)={M}’\Rightarrow {M}’\left( 0;5 \right)$.
Vậy đường tròn $\left( {{C}’} \right)$: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10y+16=0$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là C.
b. Phép đối xứng tâm
Cho $\Delta ABC$ và đường tròn tâm $O$. Trên đoạn $AB$, lấy điểm $E$ sao cho $BE=2AE$, $F$ là trung điểm của $AC$ và $I$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $AEIF$. Với mỗi điểm $P$ trên $\left( O \right)$ ta dựng điểm $Q$ sao cho $\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}=6\overrightarrow{IQ}$. Khi đó tập hợp điểm $Q$ khi $P$ thay đổi là:
A. Đường tròn tâm ${O}’$ là ảnh của đường tròn $\left( O \right)$ qua ${{}_{I}}$.
B. Đường tròn tâm ${O}’$ là ảnh của đường tròn $\left( O \right)$ qua ${{}_{E}}$
C. Đường tròn tâm ${O}’$ là ảnh của đường tròn $\left( O \right)$ qua phép đối xứng tâm ${{}_{F}}$
D. Đường tròn tâm ${O}’$ là ảnh của đường tròn $\left( O \right)$ qua phép đối xứng tâm ${{}_{B}}$.
Lời giải:
Gọi $K$ là điểm xác định bởi $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$.
Khi đó $\overrightarrow{KA}+2\left( \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB} \right)+3\left( \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AC} \right)=\overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{AK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
Mặt khác $AEIF$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ nên $K\equiv I$.
Từ giả thiết $\Rightarrow 6\overrightarrow{PK}+\left( \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC} \right)=6\overrightarrow{IQ}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{PK}=\overrightarrow{IQ}$ hay $\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{IQ}$
$\Rightarrow {{}_{I}}\left( P \right)=Q$ $\Rightarrow $ khi $P$ di động trên $\left( O \right)$ thì $Q$ di động trên đường $\left( {{O}’} \right)$ là ảnh của $\left( O \right)$ qua phép đối xứng tâm $I$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là A.
Xem thêm: Các dạng bài tập về phép đối xứng trục có lời giải chi tiết
III. Phép quay
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, viết phương trình đường tròn $\left( C \right)$ là ảnh của $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+4y-4=0$ qua phép quay${{Q}_{\left( O,-\frac{\pi }{2} \right)}}$.
A. ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=9$. B. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=9.$
C. $\left( x-2 \right){{3}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=9.$ D. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=9.$
Lời giải:
Đáp án A
Cách 1: Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 1;-2 \right)$, bán kính $R=3$.
${{Q}_{\left( O,-\frac{\pi }{2} \right)}}\left( I \right)=I’\Rightarrow I’\left( -2;-1 \right)$
Đường tròn $\left( C’ \right)$ có tâm $I’\left( -2;-1 \right)$, bán kính $R’=R=3$ có phương trình: ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=9$
Cách 2: Phương pháp quỹ tích
Ta có ${{Q}_{\left( O,-\frac{\pi }{2} \right)}}:M\left( x;y \right)\to M’\left( x’;y’ \right)$ với $\forall M\in \left( C \right)\Rightarrow M’\in \left( C’ \right)$
Từ biểu thức tọa độ $\left\{ \begin{align} & x’=y \\ & y’=-x \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=-y’ \\ & y=x’ \\\end{align} \right.$
Thế vào $\left( C \right):{{\left( -y’ \right)}^{2}}+{{\left( x’ \right)}^{2}}+2y’+4x’-4=0$
$\begin{align} & \Leftrightarrow {{\left( x’ \right)}^{2}}+{{\left( y’ \right)}^{2}}+4x’+2y’-4=0 \\ & \Leftrightarrow {{\left( x’+2 \right)}^{2}}+{{\left( y’+1 \right)}^{2}}=9 \\\end{align}$
IV. Phép dời hình
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-7 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=4$. Ảnh của đường tròn qua việc thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo véc tơ $\overrightarrow{v}=\left( 1;5 \right)$ và phép quay tâm $O$, góc quay $-{{45}^{\circ }}$ là
A. ${{\left( x+8 \right)}^{2}}+{{\left( y-8 \right)}^{2}}=4$. B. ${{x}^{2}}+{{\left( y-8\sqrt{2} \right)}^{2}}=4$.
C. ${{\left( x-8\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-8 \right)}^{2}}=4$. D. ${{\left( x-8\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4$.
Lời giải
Chọn D.
Gọi $I$ là tâm đường tròn và $2$ là ảnh của $8$khi thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo véc tơ $9$ và phép quay tâm $8!+9!$, góc quay $72$.
Gọi $17$ là ảnh của $8!.9!$ khi thực hiện phép tịnh tiến theo véc tơ $C_{8}^{1}$.
Ta có$C_{9}^{1}$ nên $C_{8}^{1}.C_{9}^{1}=72$.
Gọi $5$ là ảnh của $3$ khi thực hiện phép quay tâm $8!$, góc quay $2.5!.3!$.
Suy ra $5!.3!$. Do đó $2.\left( 5!+3! \right)$là ảnh của $2!=2$ khi thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo véc tơ $5!$ và phép quay tâm $3!$, góc quay $2.5!.3!$hay $-90{}^\circ $ là tâm của $-90{}^\circ $. Hơn nữa, phép quay và phép tịnh tiến đều bảo toàn khoảng cách nên $y=\frac{1-\sin x}{\cos x-1}$.
Vậy có $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$ phương trình là $M$.
V. Phép đồng dạng
Trong mặt phẳng $\text{Ox}y$, cho đường thẳng $d$:$x+2y-3=0$. Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số $k=2$ và phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=\left( 1;2 \right)$ biến đường thẳng $d$ thành đường thẳng ${d}’$ có phương trình
A. $x+2y+11=0$. B. $x+2y-11=0$. C. $x+2y-6=0$. D. $x+2y+6=0$.
Lời giải
Chọn B
Gọi $\Delta $ là ảnh của $d$ qua phép vị tự tâm $O$ tỉ số 2.
Lấy $M(x;y)\in d,$${{M}_{1}}={{V}_{(O,2)}}\left( M \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{O{{M}_{1}}}=2\overrightarrow{OM}$với ${{M}_{1}}({{x}_{1}};{{y}_{1}})\in \Delta$.
Ta có $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=2x \\ & {{y}_{1}}=2y \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=\frac{1}{2}{{x}_{1}} \\ & y=\frac{1}{2}{{y}_{1}} \\\end{align} \right.$. Vì $M(x;y)\in d$ nên $\frac{1}{2}{{x}_{1}}+2.\frac{1}{2}{{y}_{1}}-3=0$.
Vậy phương trình $\Delta$ là $x+2y-6=0$.
Gọi ${d}’$ là ảnh của $\Delta$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=\left( 1;2 \right)$. Khi đó ${M}’={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( {{M}_{1}} \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{{{M}_{1}}{M}’}=\overrightarrow{v}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {x}’={{x}_{1}}+1 \\ & {y}’={{y}_{1}}+2 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=x’-1 \\ & {{y}_{1}}={y}’-2 \\\end{align} \right.$
Vì ${{M}_{1}}({{x}_{1}};{{y}_{1}})\in \Delta $ nên ${x}’-1+2({y}’-2)-6=0$.
Vậy phương trình ${d}’$ là $x+2y-11=0$
VI. Phép vị tự
Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-2y+1=0$,
$\left( {{C}_{2}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-16x-8y+64=0$. Gọi ${{I}_{1}},{{I}_{2}}$ là tâm vị tự trong và tâm vị tự ngoài của $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$. Tính độ dài đoạn thẳng ${{I}_{1}}{{I}_{2}}$.
A. $\sqrt{5}$. B. $2\sqrt{5}$. C. $3\sqrt{5}$. D. $4\sqrt{5}$.
Lời giải
Đường tròn$\left( {{C}_{1}} \right)$có tâm ${{O}_{1}}\left( 2;1 \right)$, bán kính ${{R}_{1}}=2$.
Đường tròn$\left( {{C}_{2}} \right)$có tâm ${{O}_{2}}\left( 8;4 \right)$, bán kính ${{R}_{2}}=4$.
Giả sử ${{I}_{1}}\left( x;y \right)$ là tâm vị tự ngoài khi đó ta có phép vị tự tâm ${{I}_{1}}$, tỉ số $k=\frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}=2$ sẽ biến đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$thành đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ suy ra $\overrightarrow{{{I}_{1}}{{O}_{2}}}=2\overrightarrow{{{I}_{1}}{{O}_{1}}}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 8-x=2\left( 2-x \right) \\& 4-y=2\left( 1-y \right) \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=-4 \\& y=-2 \\\end{align} \right.$
$\Rightarrow {{I}_{1}}\left( -4;-2 \right)$.
Nếu ${{I}_{2}}\left( x;y \right)$ là tâm vị tự trong thì ta có phép vị tự tâm ${{I}_{2}}$, tỉ số $k=-\frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}=-2$ sẽ biến đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$thành đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ suy ra $\overrightarrow{{{I}_{2}}{{O}_{2}}}=-2\overrightarrow{{{I}_{2}}{{O}_{1}}}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 8-x=-2\left( 2-x \right) \\& 4-y=-2\left( 1-y \right) \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=4 \\& y=2 \\\end{align} \right.$$\Rightarrow {{I}_{2}}\left( 4;2 \right)$.
Khi đó ${{I}_{1}}{{I}_{2}}=\sqrt{{{8}^{2}}+{{4}^{2}}}=4\sqrt{5}$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là D.
