Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về các dạng toán nhị thức newton rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về bài tập nhị thức newton lớp 11 bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH ĐIỀU KIỆN CỦA SỐ HẠNG THỎA MÃN YÊU CẦU CHO TRƯỚC
Bài tập 1: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton
Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức Newton của ${{\left( 2{{x}^{2}}-\frac{3}{x} \right)}^{n}}$ $\left( x\ne 0 \right)$, biết rằng $1.C_{n}^{1}+2.C_{n}^{2}+3.C_{n}^{3}+…+n.C_{n}^{n}=256n$ ($C_{n}^{k}$ là số tổ hợp chập k của n phần tử).
A. $489888$ B. $49888$. C. $48988$. D. $4889888$.
Lời giải
Chọn A
Tìm $n.$
Trước hết ta chứng minh công thức $\frac{k}{n}C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k-1}$ với $1\le k\le n$ và $n\ge 2.$
Thật vậy, $\frac{k}{n}C_{n}^{k}=\frac{k}{n}.\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}=C_{n-1}^{k-1}.$
Áp dụng công thức trên ta có
$1.C_{n}^{1}+2.C_{n}^{2}+3.C_{n}^{3}+…+n.C_{n}^{n}=n\left( \frac{1}{n}.C_{n}^{1}+\frac{2}{n}.C_{n}^{2}+\frac{3}{n}.C_{n}^{3}+…+\frac{n}{n}.C_{n}^{n} \right)$
$=n\left( C_{n-1}^{0}+C_{n-1}^{1}+C_{n-1}^{2}+…+C_{n-1}^{n-1} \right)=n{{2}^{n-1}}$
Theo đề $1.C_{n}^{1}+2.C_{n}^{2}+3.C_{n}^{3}+…+n.C_{n}^{n}=256n\Leftrightarrow n{{2}^{n-1}}=256n\Leftrightarrow {{2}^{n-1}}=256\Leftrightarrow n=9.$
Chọn A.
Bài tập 2: Tìm hệ số ${{a}_{i}}$ lớn nhất
Cho khai triển ${{\left( 1+3x \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}{{x}^{1}}+…+{{a}_{n}}{{x}^{n}}$ trong đó $n\in \mathbb{N}*$ và các hệ số thỏa mãn hệ thức ${{a}_{0}}+\frac{{{a}_{1}}}{3}+…+\frac{{{a}_{n}}}{{{3}^{n}}}=4096$. Tìm hệ số ${{a}_{i}}$ lớn nhất.
A. $1732104.$ B. $3897234.$ C. $4330260.$ D. $3247695$.
Lời giải
Chọn C
Xét khai triển ${{\left( 1+3x \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}{{x}^{1}}+…+{{a}_{n}}{{x}^{n}}$.
Cho $x=\frac{1}{3}$ ta được ${{\left( 1+3.\frac{1}{3} \right)}^{n}}={{a}_{0}}+\frac{{{a}_{1}}}{{{3}^{1}}}+…+\frac{{{a}_{n}}}{{{3}^{n}}}\Rightarrow {{2}^{n}}=4096\Leftrightarrow n=12.$
Khi đó ${{\left( 1+3x \right)}^{12}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{.3}^{k}}.{{x}^{k}}}$.
Ta có hệ số ${{a}_{k}}={{3}^{k}}C_{12}^{k}={{3}^{k}}.\frac{12!}{k!.\left( 12-k \right)!}$
Hệ số ${{a}_{k}}$ lớn nhất nên $\left\{ \begin{align} & {{a}_{k}}\ge {{a}_{k-1}} \\ & {{a}_{k}}\ge {{a}_{k+1}} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{3}^{k}}.\frac{12!}{k!.\left( 12-k \right)!}\ge {{3}^{k-1}}.\frac{12!}{\left( k-1 \right)!.\left( 12-k+1 \right)!} \\ & {{3}^{k}}.\frac{12!}{k!.\left( 12-k \right)!}\ge {{3}^{k+1}}.\frac{12!}{\left( k+1 \right)!.\left( 12-k-1 \right)!} \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{3}{k}\ge \frac{1}{13-k} \\ & \frac{1}{12-k}\ge \frac{3}{k+1} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 39-3k\ge k \\ & k+1\ge 36-3k \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & k\le \frac{39}{4} \\ & k\ge \frac{35}{4} \\\end{align} \right.$
Vì $k\in \mathbb{N}$ nên nhận $k=9.$
Vậy hệ số lớn nhất ${{a}_{9}}={{3}^{9}}.C_{12}^{9}=4330260.$
Xem thêm: lý thuyết và bài tập của xác suất của biến cố
Bài tập 3: Tìm Hệ số của số hạng chứa trong khai triển
Hệ số của số hạng chứa ${{x}^{7}}$trong khai triển ${{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)}^{6}}$bằng
A. $-6432$. B. $-4032$. C. $-1632$. D. $-5418$.
Lời giải
${{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)}^{6}}={{\left( x-1 \right)}^{6}}{{\left( x-2 \right)}^{6}}$
Số hạng tổng quát trong khai triển ${{\left( x-1 \right)}^{6}}$ là $C_{6}^{k}.{{x}^{k}}{{\left( -1 \right)}^{6-k}}$ với $k=0;1;2…;6$.
Số hạng tổng quát trong khai triển ${{\left( x-2 \right)}^{6}}$ là $C_{6}^{i}.{{x}^{i}}{{\left( -2 \right)}^{6-i}}$ với $i=0;1;2…;6$.
Số hạng tổng quát trong khai triển ${{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)}^{6}}={{\left( x-1 \right)}^{6}}{{\left( x-2 \right)}^{6}}$là $C_{6}^{k}{{x}^{k}}{{\left( -1 \right)}^{6-k}}.C_{6}^{i}{{x}^{i}}{{\left( -2 \right)}^{6-i}}$
$=C_{6}^{k}C_{6}^{i}{{x}^{i+k}}{{\left( -1 \right)}^{12-i-k}}.{{\left( 2 \right)}^{6-i}}$
Số hạng chứa ${{x}^{7}}$ứng với $i+k=7$. Kết hợp với điều kiện ta được các nghiệm
$i=1\Rightarrow k=6$ $\Rightarrow $ hệ số là $=C_{6}^{6}C_{6}^{1}{{\left( -1 \right)}^{5}}.{{\left( 2 \right)}^{5}}=-192$
$i=2\Rightarrow k=5$$\Rightarrow $ hệ số là $=C_{6}^{5}C_{6}^{2}{{\left( -1 \right)}^{5}}.{{\left( 2 \right)}^{4}}=-1440$
$i=3\Rightarrow k=4$$\Rightarrow $ hệ số là $=C_{6}^{4}C_{6}^{3}{{\left( -1 \right)}^{5}}.{{\left( 2 \right)}^{3}}=-2400$
$i=4\Rightarrow k=3$$\Rightarrow $ hệ số là $=C_{6}^{3}C_{6}^{4}{{\left( -1 \right)}^{5}}.{{\left( 2 \right)}^{2}}=-1200$
$i=5\Rightarrow k=2$$\Rightarrow $ hệ số là $=C_{6}^{2}C_{6}^{5}{{\left( -1 \right)}^{5}}.{{\left( 2 \right)}^{1}}=-180$
$i=6\Rightarrow k=1$$\Rightarrow $ hệ số là $=C_{6}^{1}C_{6}^{6}{{\left( -1 \right)}^{5}}.{{\left( 2 \right)}^{0}}=-6$
Vậy hệ số của số hạng chứa ${{x}^{7}}$trong khai triển ${{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)}^{6}}$bằng $-5418$
Cách 2.
${{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)}^{6}}={{\left( {{x}^{2}}+\left( -3x+2 \right) \right)}^{6}}$
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là $C_{6}^{k}.{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{6-k}}{{\left( -3x+2 \right)}^{k}}$ với $k=0;1;2…;6$.
Số hạng tổng quát trong khai triển ${{\left( -3x+2 \right)}^{k}}$ là $C_{k}^{i}{{.2}^{k-i}}{{\left( -3x \right)}^{i}}$ với $0\le i\le k$.
Số hạng tổng quát trong khai triển ${{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)}^{6}}$là $C_{6}^{k}.{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{6-k}}C_{k}^{i}{{.2}^{k-i}}{{\left( -3x \right)}^{i}}$
$=C_{6}^{k}C_{k}^{i}{{.2}^{k-i}}{{\left( -3 \right)}^{i}}.\left( {{x}^{12-2k+i}} \right)$
Số hạng chứa ${{x}^{7}}$ứng với $12-2k+i=7$$\Leftrightarrow 2k-i=5$. Kết hợp với điều kiện ta được các nghiệm
$k=3\Rightarrow i=1$$\Rightarrow $ hệ số là $=C_{6}^{3}C_{3}^{1}{{2}^{2}}{{\left( -3 \right)}^{1}}=-720$
$k=4\Rightarrow i=3$$\Rightarrow $ hệ số là $=C_{6}^{4}C_{4}^{3}{{\left( -3 \right)}^{3}}.{{\left( 2 \right)}^{1}}=-3240$
$k=5\Rightarrow i=5$$\Rightarrow $ hệ số là $=C_{6}^{5}C_{5}^{5}{{\left( 2 \right)}^{0}}.{{\left( -3 \right)}^{5}}=-1458$
Vậy hệ số của số hạng chứa ${{x}^{7}}$trong khai triển ${{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)}^{6}}$bằng $-5418$.
Bài tập 4: Sau khi khai triển và rút gọn thì có tất cả bao nhiêu số hạng
Sau khi khai triển và rút gọn thì $P(x)={{(1+x)}^{12}}+{{\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{x} \right)}^{18}}$có tất cả bao nhiêu số hạng
A. $27$. B. $28$. C. $30$. D. $25$
Lời giải
Chọn A
Đặt $A={{\left( 1+x \right)}^{12}}$; $B={{\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{x} \right)}^{18}}$
Ta có khai triển $A={{\left( 1+x \right)}^{12}}=\sum\limits_{k=}^{12}{C_{12}^{k}{{x}^{k}}}$ có 13 số hạng.
Và khai triển $B={{\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{x} \right)}^{18}}=\sum\limits_{l=0}^{18}{C_{18}^{l}{{x}^{36-3l}}}$ có 19 số hạng.
Ta đi tìm các số hạng có cùng lũy thừa, mà giản ước được trong khai triển $P(x)$, ta phải có :
$36-3l=k\Leftrightarrow k+3l=36\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Phương trình cho ta ta 5 cặp nghiệm thỏa mãn $(k;l)=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }(0;12),(3;11),(6;10),(9;9),(12;8)\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$tương ứng với 5 số hạng.
Vậy sau khi khai triển và rút gọn $P(x)$ ta có $13+19-5=27$số hạng.
DẠNG 2: TÍNH TỔNG BẰNG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON
Bài tập 1: Tính tổng bằng khai triển nhị thức Newton
Tính tổng ${S=C_{22}^{12}+C_{22}^{13}+….+C_{22}^{20}+C_{22}^{21}+C_{22}^{22}}$.
A. $S={{2}^{21}}+C_{22}^{11}$. B. $S={{2}^{21}}+\frac{C_{22}^{11}}{2}$.
C. $S={{2}^{21}}-\frac{C_{22}^{11}}{2}$. D. $S={{2}^{21}}-C_{22}^{11}$.
Lời giải
Chọn C
Ta có : ${{2}^{22}}={{\left( 1+1 \right)}^{22}}=C_{22}^{0}+C_{22}^{1}+C_{22}^{2}+….+C_{22}^{20}+C_{22}^{21}+C_{22}^{22}$.
Áp dụng tính chất : $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$, suy ra:
$C_{22}^{0}=C_{22}^{22}$, $C_{22}^{1}=C_{22}^{21}$, $C_{22}^{2}=C_{22}^{20}$,……,$C_{22}^{10}=C_{22}^{12}$.
Do đó: $C_{22}^{0}+C_{22}^{1}+C_{22}^{2}+….+C_{22}^{20}+C_{22}^{21}+C_{22}^{22}=2\left( C_{22}^{12}+C_{22}^{13}+….+C_{22}^{20}+C_{22}^{21}+C_{22}^{22} \right)+C_{22}^{11}$.
$\Leftrightarrow C_{22}^{12}+C_{22}^{13}+….+C_{22}^{20}+C_{22}^{21}+C_{22}^{22}=\frac{C_{22}^{0}+C_{22}^{1}+C_{22}^{2}+….+C_{22}^{20}+C_{22}^{21}+C_{22}^{22}}{2}-\frac{C_{22}^{11}}{2}$
$\Leftrightarrow C_{22}^{12}+C_{22}^{13}+….+C_{22}^{20}+C_{22}^{21}+C_{22}^{22}=\frac{{{2}^{22}}}{2}-\frac{C_{22}^{11}}{2}$
$\Leftrightarrow C_{22}^{12}+C_{22}^{13}+….+C_{22}^{20}+C_{22}^{21}+C_{22}^{22}={{2}^{21}}-\frac{C_{22}^{11}}{2}$.
Vậy $S={{2}^{21}}-\frac{C_{22}^{11}}{2}$.
Bài tập 2: Tính tổng sau
Kí hiệu $C_{n}^{k}$ là số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử $\left( 0\le k\le n;k,n\in \mathbb{Z} \right)$ tính tổng sau:
$S=C_{2018}^{0}+2C_{2018}^{1}+3C_{2018}^{2}+…+2018C_{2018}^{2017}+2019C_{2018}^{2018}$
A. ${{1009.2}^{2016}}$. B. ${{1006.2}^{2018}}$. C. ${{1010.2}^{2018}}$. D. ${{1007.2}^{2018}}\sqrt{14}$.
Lời giải
${{\left( 1+x \right)}^{2018}}=$$C_{2018}^{0}+xC_{2018}^{1}+{{x}^{2}}C_{2018}^{2}+{{x}^{3}}C_{2018}^{3}+…+{{x}^{2018}}C_{2018}^{2018}$ $\left( 1 \right)$
Đạo hàm 2 vế của đẳng thức $\left( 1 \right)$ta được:
$2018{{\left( 1+x \right)}^{2017}}=$$C_{2018}^{1}+2xC_{2018}^{2}+3{{x}^{2}}C_{2018}^{3}+…+2018{{x}^{2017}}C_{2018}^{2018}$. Cho $x=1$ ta được:
${{2018.2}^{2017}}=$$C_{2018}^{1}+2C_{2018}^{2}+3C_{2018}^{3}+…+2018C_{2018}^{2018}$. $\left( 2 \right)$
Đồng thời, thay $x=1$ vào $\left( 1 \right)$ ta cũng có:
${{2}^{2018}}=$$C_{2018}^{0}+C_{2018}^{1}+C_{2018}^{2}+C_{2018}^{3}+…+C_{2018}^{2018}$. $\left( 3 \right)$
Lấy $\left( 2 \right)+\left( 3 \right)$ ta được:
$S=$${{2018.2}^{2017}}+{{2}^{2018}}=$$C_{2018}^{0}+2C_{2018}^{1}+3C_{2018}^{2}+…+2018C_{2018}^{2017}+2019C_{2018}^{2018}.$
Vậy $S=$${{1009.2}^{2018}}+{{2}^{2018}}={{1010.2}^{2018}}.$
Bài tập 3: Có bao nhiêu số dương thỏa mãn điều kiện là một số có $1000$ chữ số
Có bao nhiêu số dương $n$ sao cho$S=2+\left( C_{1}^{0}+C_{2}^{0}+…+C_{n}^{0} \right)+\left( C_{1}^{1}+C_{2}^{1}+…+C_{n}^{1} \right)+…+\left( C_{n-1}^{n-1}+C_{n}^{n-1} \right)+C_{n}^{n}$ là một số có $1000$ chữ số?
A. $2$. B. $3$. C. $0$. D. $1$.
Lời giải
$S=2+\left( C_{1}^{0}+C_{2}^{0}+…+C_{n}^{0} \right)+\left( C_{1}^{1}+C_{2}^{1}+…+C_{n}^{1} \right)+…+\left( C_{n-1}^{n-1}+C_{n}^{n-1} \right)+C_{n}^{n}$
$=2+\left( C_{1}^{0}+C_{1}^{1} \right)+\left( C_{2}^{0}+C_{2}^{1}+C_{2}^{2} \right)+…+\left( C_{n-1}^{0}+C_{n-1}^{1}+…+C_{n-1}^{n-1} \right)+\left( C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+…+C_{n}^{n} \right)$
$=2+2+{{\left( 1+1 \right)}^{2}}+…+{{\left( 1+1 \right)}^{n-1}}+{{\left( 1+1 \right)}^{n}}$
$=2+{{2}^{1}}+{{2}^{2}}+…+{{2}^{n}}$$=2+2.\frac{{{2}^{n}}-1}{2-1}$$\Rightarrow S={{2}^{n+1}}$.
$S$ là một số có $1000$ chữ số $\Rightarrow {{10}^{999}}\le S<{{10}^{1000}}$$\Leftrightarrow {{10}^{999}}\le {{2}^{n+1}}<{{10}^{1000}}$
$\Leftrightarrow 999{{\log }_{2}}10-1\le n<1000{{\log }_{2}}10-1$
Do $n\in \mathbb{N}$ nên $n\in \left\{ 3318;3319;3320 \right\}$.
Vậy có $3$ số nguyên dương $n$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài tập 4:
Gọi $n$ là số nguyên dương thỏa mãn: $\frac{1}{1!\left( n-1 \right)!}+\frac{1}{3!\left( n-3 \right)!}+\frac{1}{5!\left( n-5 \right)!}+…..+\frac{1}{\left( n-1 \right)!1!}=\frac{1024}{n!}$
Tìm mệnh đề đúng.
A. $n$ là số chia hết cho $10$. B. $n$ là số nguyên tố.
C. $n$ là số chia hết cho $3$. D. $n$ là số chia hết cho $4$.
Lời giải
Chọn B
$\Leftrightarrow \frac{n!}{1!\left( n-1 \right)!}+\frac{n!}{3!\left( n-3 \right)!}+\frac{n!}{5!\left( n-5 \right)!}+….+\frac{n!}{\left( n-1 \right)!1!}=1024$
$\Leftrightarrow C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+C_{n}^{5}+…..+C_{n}^{n}=1024$.
Ta chứng minh đẳng thức $C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+C_{n}^{5}+…..+C_{n}^{n}={{2}^{n-1}}$ (2).
Thật vậy, xét ${{\left( 1+x \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}{{x}^{2}}+….+C_{n}^{n}{{x}^{n}}$.
Với $n$ là số nguyên dương
Thay $x=1$thì ${{2}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+…..+C_{n}^{n}$.
Thay $x=-1$thì $0=C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-C_{n}^{3}+……-C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n}$
$\Rightarrow \underbrace{C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+C_{n}^{4}+……+C_{n}^{n}}_{A}=\underbrace{C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+…..+C_{n}^{n-1}}_{B}$.
Từ đó ta có: $\left\{ \begin{align} & A=B \\ & A+B={{2}^{n}} \\\end{align} \right.\Leftrightarrow 2B={{2}^{n}}\Leftrightarrow B={{2}^{n-1}}$.
Do đó đẳng thức (2) được chứng minh.
Thay vào (1) ${{2}^{n-1}}=1024={{2}^{10}}$ nên $n=11$, chọn đáp án B
Xem thêm:
Lý thuyết và bài tập về phép thử và biến cố
