Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về bài tập hàm số lượng giác 11 rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về bài tập hàm số lượng giác 11 sgk cũng như bài tập bài tập hàm số lượng giác có đáp án bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
DẠNG 1. TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. Với hàm số $f\left( x \right)$ cho bởi biểu thức đại số thì ta có:
- $f\left( x \right)=\frac{{{f}_{1}}\left( x \right)}{{{f}_{2}}\left( x \right)}$, điều kiện: * ${{f}_{1}}\left( x \right)$ có nghĩa
* ${{f}_{2}}\left( x \right)$ có nghĩa và ${{f}_{2}}\left( x \right)\ne 0$.
- $f\left( x \right)=\sqrt[2m]{{{f}_{1}}\left( x \right)},\left( m\in \mathbb{N} \right)$, điều kiện: ${{f}_{1}}\left( x \right)$ có nghĩa và ${{f}_{1}}\left( x \right)\ge 0$.
- $f\left( x \right)=\frac{{{f}_{1}}\left( x \right)}{\sqrt[2m]{{{f}_{2}}\left( x \right)}},\left( m\in \mathbb{N} \right)$, điều kiện: ${{f}_{1}}\left( x \right),{{f}_{2}}\left( x \right)$ có nghĩa và ${{f}_{2}}\left( x \right)>0$.
B. Hàm số $y=\sin x;y=\cos x$ xác định trên $\mathbb{R}$, như vậy
$y=\sin \left[ u\left( x \right) \right];y=\cos \left[ u\left( x \right) \right]$ xác định khi và chỉ khi $u\left( x \right)$ xác định.
- $y=\tan \left[ u\left( x \right) \right]$ có nghĩa khi và chỉ khi $u\left( x \right)$ xác định và $u\left( x \right)\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.
- $y=\cot \left[ u\left( x \right) \right]$ có nghĩa khi và chỉ khi $u\left( x \right)$ xác định và $u\left( x \right)\ne +k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.
Chú ý
Ở phần này chúng ta chỉ cần nhớ kĩ điều kiện xác định của các hàm số cơ bản như sau:
- Hàm số $y=\sin x$ và $y=\cos x$ xác định trên $\mathbb{R}$.
- Hàm số $y=\tan x$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}$.
- Hàm số $y=\cot x$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}$.
C. Dạng chứa tham số trong bài toán liên quan đến tập xác định của hàm sô lượng giác.
Với $S\subset {{D}_{f}}$ (là tập xác định của hàm số $f\left( x \right)$) thì
$*\text{ }f\left( x \right)\le m,\forall x\in S\Leftrightarrow \underset{S}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)\le m$. $*\text{ }f\left( x \right)\ge m,\forall x\in S\Leftrightarrow \underset{S}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\ge m$.
$*\text{ }\exists {{x}_{0}}\in S,f\left( {{x}_{0}} \right)\le m\Leftrightarrow \underset{S}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\le m$ $*\text{ }\exists {{x}_{0}}\in S,f\left( {{x}_{0}} \right)\ge m\Leftrightarrow \underset{S}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)\ge m$.
Bài tập mẫu
Tìm tập xác định của các hàm số sau
a) $y=\tan \left( 2x+\frac{\pi }{6} \right)$
b) $y=\cot \left( -2x-\frac{\pi }{3} \right)$
c) $y=\frac{2}{\sin 2x}$
d) $y=2\cos \sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}$
Bài giải:
a) Xét $\cos \left( 2x+\frac{\pi }{6} \right)=0\Rightarrow 2x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}$.
b) Xét $\sin \left( -2x-\frac{\pi }{3} \right)=0\Rightarrow -2x-\frac{\pi }{3}=k\pi \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{6}-\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{\pi }{6}-\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}$.
c) Xét $\sin 2x=0\Rightarrow 2x=k\pi \Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}$.
d) $y$ xác định khi ${{x}^{2}}-3x+2\ge 0\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\ge 0\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ,1 \right]\cup \left[ 2,\infty \right)$.
Tập xác định $D=\left( -\infty ,1 \right]\cup \left[ 2,\infty \right)$.
DẠNG 2. TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Định nghĩa: Hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập $D$ được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số $T\ne 0$ sao cho với mọi $x\in D$ ta có
$x\pm T\in D$ và $f(x+T)=f(x)$.
Nếu có số $T$ dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì $T$.
* y = sin(ax + b) có chu kỳ ${{T}_{0}}\,\,=\,\,\frac{2\pi }{\left| a \right|}$
* y = cos(ax + b) có chu kỳ ${{T}_{0}}\,\,=\,\,\frac{2\pi }{\left| a \right|}$
* y = tan(ax + b) có chu kỳ ${{T}_{0}}\,\,=\,\,\frac{\pi }{\left| a \right|}$
* y = cot(ax + b) có chu kỳ ${{T}_{0}}\,\,=\,\,\frac{\pi }{\left| a \right|}$
$\bullet $ y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2
Thì hàm số $y\,\,=\,\,{{f}_{1}}(x)\,\,\pm \,\,{{f}_{2}}(x)$ có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2.
Bài tập mẫu
Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của các hàm số sau:
a) $y=1-\sin 5x.$
b) $y={{\cos }^{2}}x-1$.
c) $y=\sin \left( \frac{2}{5}x \right).\cos \left( \frac{2}{5}x \right)$.
d) $y=\cos x+\cos \left( \sqrt{3}.x \right)$
Bài giải
Ta có hàm số $y=k\sin \left( ax+b \right)+c$; $y=k\cos \left( ax+b \right)+c$ là hàm số tuần hoàn và có chu kỳ$T=\frac{2\pi }{\left| a \right|}$
a) Hàm số $y=1-\sin 5x$ tuần hoàn và có chu kỳ ${{T}_{1}}=\frac{2\pi }{5}$.
b) Hàm số $y={{\cos }^{2}}x-1=\frac{\cos 2x-1}{2}$ tuần hoàn và có chu kỳ ${{T}_{2}}=\pi $.
c) Hàm số $y=\sin \left( \frac{2}{5}x \right).\cos \left( \frac{2}{5}x \right)=\frac{1}{2}\sin \left( \frac{4}{5}x \right)$ tuần hoàn và có chu kỳ ${{T}_{2}}=\frac{5\pi }{2}$.
d) Hàm số $y=\cos x+\cos \left( \sqrt{3}.x \right)$ không tuần hoàn
Vì ta có hàm số $y=\cos x$ có chu kỳ ${{T}_{1}}=2\pi $và hàm số $y=\cos \left( \sqrt{3}.x \right)$ có chu kỳ ${{T}_{2}}=\frac{2\pi }{\sqrt{3}}$nhưng không tồn tại bội số chung nhỏ nhất của ${{T}_{1}}=2\pi $và ${{T}_{2}}=\frac{2\pi }{\sqrt{3}}$
DẠNG 3. TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bước 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số, khi đó
$*$ Nếu $D$ là tập đối xứng (tức $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D$), thì ta thực hiện tiếp bước 2.
$*$ Nếu $D$ không phải tập đối xứng(tức là $\exists x\in D$ mà $-x\notin D$) thì ta kết luận hàm số không chẵn không lẻ.
Bước 2: Xác định $f\left( -x \right)$:
$*$ Nếu $f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D$ thì kết luận hàm số là hàm số chẵn.
$*$ Nếu $f\left( -x \right)=-f\left( x \right),\forall x\in D$ thì kết luận hàm số là hàm số lẻ.
$*$ Nếu không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì kết luận hàm số không chẵn không lẻ.
Các kiến thức đã học về hàm lượng giác cơ bản:
1, Hàm số $y=\sin x$ là hàm số lẻ trên $D=\mathbb{R}$.
2, Hàm số $y=\cos x$ là hàm số chẵn trên $D=\mathbb{R}$.
3, Hàm số $y=\tan x$ là hàm số lẻ trên $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z} \right\}$.
4, Hàm số $y=\cot x$ là hàm số lẻ trên $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi |k\in \mathbb{Z} \right\}$.
Bài tập mẫu
Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
a) $y=2x\sin x.$
b) $y=\cos x+\sin 2x.$
c) $y=\frac{\cos 2x}{x}.$
d) $y={{\tan }^{7}}2x.\sin 5x.$
Lời giải
a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ là tập đối xứng do đó $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\,\,\,\left( 1 \right).$
Đặt $y=f\left( x \right)=2x\sin x.$
NX: $\forall x\in D$, $f\left( -x \right)=2\left( -x \right)\sin \left( -x \right)=2x\sin x=f\left( x \right)\,\,\,\left( 2 \right).$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta kết luận hàm số đã cho là hàm số chẵn.
b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ là tập đối xứng do đó $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\,.$
Đặt $y=f\left( x \right)=\cos x+\sin 2x.$
Xét $x=\frac{\pi }{3}\in D\,\Rightarrow \,-x=-\frac{\pi }{3}\in D$.
$f\left( \frac{\pi }{3} \right)=c\text{os}\frac{\pi }{3}+\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$f\left( -\frac{\pi }{3} \right)=c\text{os}\left( -\frac{\pi }{3} \right)+\sin \left( -\frac{2\pi }{3} \right)=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ta thấy $f\left( \frac{\pi }{3} \right)\ne f\left( -\frac{\pi }{3} \right)$ nên hàm số đã cho không là hàm số chẵn
Và $-f\left( \frac{\pi }{3} \right)\ne f\left( -\frac{\pi }{3} \right)$ nên hàm số đã cho không là hàm số lẻ.
c) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$là tập đối xứng do đó$\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\,.$
Đặt $y=f\left( x \right)=\frac{\cos 2x}{x}.$
Ta có $\forall x\in D$: $f\left( -x \right)=\frac{\text{cos}\left( -2x \right)}{-x}=-\frac{\text{cos}\left( 2x \right)}{x}=-f\left( x \right).$
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.
d) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}|k\in \mathbb{Z} \right\}$là tập đối xứng do đó $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\,.$
Đặt $y=f\left( x \right)={{\tan }^{7}}2x.\sin 5x.$
Ta có $\forall x\in D$: $f\left( -x \right)={{\tan }^{7}}\left( -2x \right)\sin \left( -5x \right)={{\tan }^{7}}\left( 2x \right)\sin \left( 5x \right)=f\left( x \right).$
Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.
DẠNG 4. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
- Hàm số $y=\sin x:$
* Đồng biến trên các khoảng $\left( -\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\,\,\frac{\pi }{2}+k2\pi \right),\,k\in \mathbb{Z}.$
* Nghịch biến trên các khoảng $\left( \frac{\pi }{2}+k2\pi ;\,\,\frac{3\pi }{2}+k2\pi \right),\,k\in \mathbb{Z}.$
- Hàm số $y=\cos x:$
* Đồng biến trên các khoảng $\left( -\pi +k2\pi ;\,\,k2\pi \right),\,k\in \mathbb{Z}.$
* Nghịch biến trên các khoảng $\left( k2\pi ;\,\,\pi +k2\pi \right),\,k\in \mathbb{Z}.$
- Hàm số $y=\tan x$ đồng biến trên các khoảng $\left( -\frac{\pi }{2}+k\pi ;\,\,\frac{\pi }{2}+k\pi \right),\,k\in \mathbb{Z}.$
- Hàm số $y=\cot x$ nghịch biến trên các khoảng $\left( k\pi ;\,\,\pi +k\pi \right),\,k\in \mathbb{Z}.$
Bài tập mẫu
Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau
a) $y=\operatorname{sinx}$trên $\left( -\frac{\pi }{4};\,\,\,\frac{\pi }{3} \right)$
b) $y=\cos x$ trên $\left( \frac{\pi }{3};\,\,\,\frac{3\pi }{2} \right)$
c) $y=\cot \left( x-\frac{\pi }{6} \right)$ trên $\left( -\frac{3\pi }{4};\,\,\,-\frac{\pi }{2} \right)$
d) $y=\tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right)$ trên $\left( -\frac{\pi }{4};\,\,\,\frac{\pi }{2} \right)$
Bài giải
a) $y$ đồng biến trên $\left( -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{3} \right)$ .
b) $y$ nghịch biến trên $\left( \frac{\pi }{3};\pi \right)$ , đồng biến trên $\left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right)$.
c) $x\in \left( -\frac{3\pi }{4};-\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow x-\frac{\pi }{6}\in \left( -\frac{11\pi }{12};-\frac{2\pi }{3} \right)$ . Suy ra $y$ nghịch biến trên $\left( -\frac{3\pi }{4};-\frac{\pi }{2} \right)$.
d) $x\in \left( -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow x+\frac{\pi }{3}\in \left( \frac{\pi }{12};\frac{5\pi }{6} \right)$.
$y$ đồng biến trên $\left( -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{6} \right)$ , nghịch biến trên $\left( \frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2} \right)$ và không xác định tại $x=\frac{\pi }{6}$.
DẠNG 5. TẬP GIÁ TRỊ, MIN_MAX CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
*Các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên miền $D\subset R$ .
- Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên D nếu $\left\{ \begin{align}& f\left( x \right)\le M,\forall x\in D \\& \exists {{x}_{0}}\in D,f\left( {{x}_{0}} \right)=M \\\end{align} \right.$
- Số thực N được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left( x \right)$trên D nếu $\left\{ \begin{align}& f\left( x \right)>m,\forall x\in D \\& \exists {{x}_{0}}\in D,f\left( {{x}_{0}} \right)=m \\\end{align} \right.$
Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này:
- Tính bị chặn của hàm số lượng giác .
- Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất giữa $\sin $ và $\cos $ .
Lưu ý
1. Bất đẳng thức AM – GM.
a, Với hai số:
Cho hai số thực $a,\,b$là hai số dương, ta có $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$dấu bằng xảy ra khi $a=\,b$.
b, Với $n$ số:
Cho hai số thực ${{x}_{1}};\,{{x}_{2}};\,{{x}_{3}};\,…;\,{{x}_{n}}$là các số dương $n\in {{N}^{*}}$, ta có $\frac{{{x}_{1}}+\,{{x}_{2}}+\,{{x}_{3}}+\,…+\,{{x}_{n}}}{n}\ge \sqrt[n]{{{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}.{{x}_{3}}.\,..\,{{x}_{n}}}$dấu bằng xảy ra khi ${{x}_{1}}=\,{{x}_{2}}=\,{{x}_{3}}=\,…={{x}_{n}}$.
2. Bất đẳng thức Bunyakovsky
a, Bất đẳng thuwcsBunyakovsky dạng thông thường.
$\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)\ge {{\left( ac+bd \right)}^{2}}$ . Dấu bằng xảy ra khi $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$
b, Bất đẳng thức Bunyakovsky cho bộ hai số
Với hai bộ số $\left( {{a}_{1}};\,{{a}_{2}};\,…;\,{{a}_{n}} \right)$và $\left( {{b}_{1}};\,{{b}_{2}};\,…;\,{{b}_{n}} \right)$ta có
$\,\left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2} \right)\,\left( b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+…+b_{n}^{2} \right)\ge {{\left( {{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+…+{{a}_{n}}{{b}_{n}} \right)}^{2}}$
c, Hệ quả của bất đẳng thức Bunyakopvsky ta có $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)\ge 4abcd$
Bài tập mẫu
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
a) $y=2\sin \left( 3x-\frac{\pi }{2} \right)-3$
b) $y=-5+2{{\cos }^{2}}\left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)$
c) $y=2\sqrt{\cos 3x}-1$
d) $y=\frac{{{\sin }^{2}}(3x)}{2}-3{{\cos }^{2}}\left( 3x \right)$
Bài giải
a) Ta có $-1\le \sin \left( 3x-\frac{\pi }{2} \right)\le 1$
$\Rightarrow -2\le 2\sin \left( 3x-\frac{\pi }{2} \right)\le 2$
$\Rightarrow -5\le 2\sin \left( 3x-\frac{\pi }{2} \right)-3\le 1$
Suy ra ${{y}_{\max }}=-1$ khi $\sin \left( 3x-\frac{\pi }{2} \right)=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{3}+\frac{k2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.
${{y}_{\min }}=-5$ khi $\sin \left( 3x-\frac{\pi }{2} \right)=-1\Leftrightarrow x=\frac{k2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.
b) Ta có $0\le {{\cos }^{2}}\left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)\le 1$.
$\Rightarrow 0\le 2{{\cos }^{2}}\left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)\le 2$
$\Rightarrow -5\le 2{{\cos }^{2}}\left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)-5\le -3$
Suy ra ${{y}_{\min }}=-5$ khi ${{\cos }^{2}}\left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)=0\Rightarrow \cos \left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)=0\Leftrightarrow x=\frac{5\pi }{12}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.
${{y}_{\max }}=-3$khi ${{\cos }^{2}}\left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)=1\Rightarrow \cos \left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)=\pm 1\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ & x=\frac{2\pi }{3}+k\pi \\\end{align} \right.,k\in \mathbb{Z}$.
c) Ta có $0\le \sqrt{\cos 3x}\le 1$
$\Rightarrow -1\le 2\sqrt{\cos 3x}-1\le 1$
Suy ra ${{y}_{\min }}=-1$ khi $\cos 3x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.
${{y}_{\max }}=1$ khi $\cos 3x=1\Leftrightarrow x=\frac{k2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.
d) Ta có $y=\frac{{{\sin }^{2}}3x-6\left( 1-{{\sin }^{2}}3x \right)}{2}=\frac{7{{\sin }^{2}}3x-6}{2}$ .
$0\le {{\sin }^{2}}3x\le 1\Rightarrow -3\le \frac{7{{\sin }^{2}}3x-6}{2}\le \frac{1}{2}$
Suy ra ${{y}_{\min }}=-3$ khi $\sin 3x=0\Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.
${{y}_{\max }}=\frac{1}{2}$ khi ${{\sin }^{2}}3x=1\Leftrightarrow \sin 3x=\pm 1\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3} \\ & x=-\frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3} \\\end{align} \right.,k\in \mathbb{Z}$.
DẠNG 6. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Các kiến thức cơ bản về dạng của hàm số lượng giác được đưa ra ở phần I:
Lý thuyết cơ bản:Sau đây ta bổ sung một số kiến thức lý thuyết để giải quyết bài toán nhận dạng đồ thị hàm số lượng giác một cách hiệu quả.
Sơ đồ biến đổi đồ thị hàm số cơ bản:
Các kiến thức liên quan đến suy diễn đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Từ đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ ta suy diễn:
– Đồ thị hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|~$ gồm:
*Đối xứng phần đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$ phía dưới trục hoành qua trục hoành.
*Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị $y=f\left( x \right)$.
– Đồ thị hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ gồm:
*Đối xứng phần đồ thị trên qua trục $Oy$.
*Phần đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$ nằm bên phải trục $Oy$
– Đồ thị hàm số $y=\left| u\left( x \right) \right|.v\left( x \right)$ với $f\left( x \right)=u\left( x \right).v\left( x \right)$ gồm:
*Đối xứng phần đồ thị $y=f\left( x \right)$ trên trên miền $u\left( x \right)<0$ qua trục hoành.
*Phần đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên miền thỏa mãn $u\left( x \right)\ge 0$
Bài tập mẫu
Vẽ đồ thị của các hàm số sau
a) $y=\sin 2x$
b) $y=|\operatorname{sinx}|$
c) $y=\tan \frac{x}{2}$
d) $y=-\cot x$
Bài giải
a) $y=\sin 2x$
b) $y=\left| \sin x \right|$
c) $y=\tan \frac{x}{2}$
d) $y=-\cot x$
