Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn bài tập hàm số liên tục, bài tập về hàm số liên tục đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về bài tập hàm số liên tục nâng cao, bài tập hàm số liên tục lớp 11, bài tập hàm số liên tục có đáp án bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
I. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Phương pháp giải: Để xét tính liên tục của hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm ${{x}_{0}}$ ta thực hiện các bước như sau:
-Tìm tập xác định $D$ của hàm số.
-Kiểm tra xem ${{x}_{0}}$ có thuộc tập xác định $D$? Nếu ${{x}_{0}}\in D$ thì thực hiện bước kế tiếp, nếu ${{x}_{0}}\notin D$ thì kết luận hàm số gián đoạn tại ${{x}_{0}}$.
-Tính $f\left( {{x}_{0}} \right)$ và $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)$.
-So sánh và kết luận:
-Nếu $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)$thì hàm số liên tục tại ${{x}_{0}}$.
-Nếu $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\ne f\left( {{x}_{0}} \right)$ hoặc không tồn tại $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim f\left( x \right)}}\,$ thì hàm số gián đoạn tại ${{x}_{0}}$.
Chú ý:
1.Nếu hàm số liên tục tại ${{x}_{0}}$thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó.
2.$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=a\Leftrightarrow \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=a$.
3.Hàm số $f(x)\,\,=\,\,\left\{ \begin{align} & \,A\left( x \right)\,,\,\,\,\,khi\,\,x\ne {{x}_{0}} \\ & \,B\left( x \right)\,,\,\,\,\,khi\,\,x={{x}_{0}} \\\end{align} \right.$ liên tục tại ${{x}_{0}}$ khi $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,A\left( x \right)=B\left( {{x}_{0}} \right)$.
4.Hàm số $f(x)\,\,=\,\,\left\{ \begin{align} & \,A\left( x \right)\,,\,\,\,\,khi\,x\ge {{x}_{0}} \\ & \,B\left( x \right)\,,\,\,\,\,khi\,\,x<{{x}_{0}} \\\end{align} \right.$ liên tục tại ${{x}_{0}}$ khi $\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,A\left( x \right)=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,B\left( x \right)=A\left( {{x}_{0}} \right)$.
Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên khoảng, nửa khoảng, đoạn
Phương pháp giải:
1.Hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $(a;b)\Leftrightarrow f(x)$ liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng $(a;b)$.
2.Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\left[ a;b \right]\Leftrightarrow f(x)$ liên tục trên khoảng $(a;b)$ và $\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(a)$; $\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(b)$.
Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp giải: Để chứng minh phương trình có nghiệm bằng cách sử dụng tính liên tục của hàm số, ta thực hiện các bước sau
-B1: Biến đổi phương trình về dạng $f\left( x \right)=0$.
-B2: Tìm hai số $a$ và $b$$\left( a<b \right)$sao cho $f\left( a \right).f\left( b \right)<0$.
-B3: Chứng minh hàm số $f\left( x \right)$liên tục trên $\left[ a;b \right]$.
Từ đó suy ra phương trình $f\left( x \right)=0$có ít nhất một nghiệm thuộc $\left( a;b \right)$.
II. BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1:
Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\left[ a;b \right]$. Tìm mệnh đề đúng.
A. Nếu hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ a;b \right]$ và $f\left( a \right)f\left( b \right)>0$ thì phương trình $f\left( x \right)=0$ không có nghiệm trong khoảng $\left( a;b \right)$.
B. Nếu $f\left( a \right)f\left( b \right)<0$ thì phương trình $f\left( x \right)=0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $\left( a;b \right)$.
C. Nếu hàm số $f\left( x \right)$ liên tục, tăng trên $\left[ a;b \right]$ và $f\left( a \right)f\left( b \right)>0$ thì phương trình $f\left( x \right)=0$ không có nghiệm trong khoảng $\left( a;b \right)$.
D. Nếu phương trình $f\left( x \right)=0$có nghiệm trong khoảng $\left( a;b \right)$ thì hàm số $f\left( x \right)$ phải liên tục trên $\left( a;b \right)$.
Lời giải
Vì $f\left( a \right)f\left( b \right)>0$ nên $f\left( a \right)$ và $f\left( b \right)$ cùng dương hoặc cùng âm. Mà $f\left( x \right)$ liên tục, tăng trên $\left[ a;b \right]$ nên đồ thị hàm $f\left( x \right)$ nằm trên hoặc nằm dưới trục hoành trên $\left[ a;b \right]$ hay phương trình $f\left( x \right)=0$ không có nghiệm trong khoảng $\left( a;b \right)$.
Bài tập 2:
Cho hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \frac{\sqrt{x+3}-m}{x-1}\,khi\,x\ne 1 \\ & n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x=1 \\\end{align} \right..$ Để hàm số liên tục tại ${{x}_{0}}=1$ thì giá trị của biểu thức $\left( m+n \right)$ tương ứng bằng:
A. $\frac{3}{4}.$ B. $1.$ C. $-\frac{1}{2}.$ D. $\frac{9}{4}.$
Lời giải
Chọn D
Ta có: $f\left( 1 \right)=n.$
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+3-{{m}^{2}}}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x+3}+m \right)}.$
Hàm số liên tục tại $x=1$ $\Leftrightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)\,\Leftrightarrow n=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+3-{{m}^{2}}}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x+3}+m \right)}\,\,\,\,(1).$
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)$tồn tại khi $1$ là nghiệm của phương trình: $1+3-{{m}^{2}}=0\,\Rightarrow \left[ \begin{align} & m=2 \\ & m=-2 \\\end{align} \right..$
+ Khi $m=2$ thì $\left( 1 \right)\,\Rightarrow n=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x+3}+2 \right)}\Rightarrow n=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}\Rightarrow n=\frac{1}{4}.$
+ Khi $m=-2$ thì $\left( 1 \right)\Rightarrow n=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x+3}-2}$ suy ra không tồn tại $n.$
Vậy $m+n=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}.$
Bài tập 3:
Tìm $a$ để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$: $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & 2x+a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{khi}\,\,\,x\le 1 \\ & \frac{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x-2}{x-1}\,\,\,\text{khi}\,\,\,x>1\,. \\\end{align} \right.$
A. $a=-2$. B. $a=1$. C. $a=2$. D. $a=-1$.
Lời giải
Khi $x<1$ thì $f\left( x \right)=2x+a$ là hàm đa thức nên liên tục trên khoảng $\left( -\infty ;\,1 \right)$.
Khi $x>1$ thì $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x-2}{x-1}$ là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên khoảng $\left( 1;\,+\infty \right)$ nên liên tục trên khoảng $\left( 1;\,+\infty \right)$.
Xét tính liên tục của hàm số tại điểm $x=1$, ta có:
+ $f\left( 1 \right)=2+a$.
+ $\underset{x\,\to \,{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\,\to \,{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 2x+a \right)=2+a$.
+ $\underset{x\,\to \,{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\,\to \,{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x-2}{x-1}=\underset{x\,\to \,{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+2 \right)}{x-1}=\underset{x\,\to \,{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+2 \right)=3$.
Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow $ hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại $x=1$
Û $\underset{x\,\to \,{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\,\to \,{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)$ Û $2a+1=3$ Û $a=1$.
Bài tập 4:
Cho hàm số $y=\left\{ \begin{align} & -{{x}^{2}}+x+3\text{ khi}\,\,x\ge 2 \\ & 5x+2\text{ khi}\,\,x<2 \\\end{align} \right.$. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Hàm số liên tục tại ${{x}_{0}}=1$.
B. Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.
C. Hàm số liên tục trên các khoảng $\left( -\infty ;\,2 \right),\,\,\left( 2;\,+\infty \right)$.
D. Hàm số gián đoạn tại ${{x}_{0}}=2$.
Lời giải
Chọn B
+ Với $x>2$, ta có $f\left( x \right)=-{{x}^{2}}+x+3$ là hàm đa thức
$\Rightarrow $ hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên khoảng $\left( 2;\,+\infty \right)$.
+ Với $x<2$, ta có $f\left( x \right)=5x+2$ là hàm đa thức
$\Rightarrow $ hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên khoảng $\left( -\infty ;\,2 \right)$.
+ Tại $x=2$
$\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( -{{x}^{2}}+x+3 \right)=1$
$\underset{x\to {{2}^{^{-}}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 5x+2 \right)=12$
$\Rightarrow \underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\ne \underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\Rightarrow $ không tồn tại $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\Rightarrow $ hàm số gián đoạn tại ${{x}_{0}}=2$.
$\Rightarrow $ Hàm số không liên tục trên $\mathbb{R}$.
Bài tập 5:
Cho hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} \sin \pi x & \text{khi}\,\,\left| x \right|\le 1 \\ x+1\ & \text{khi}\,\ \left| x \right|>1 \\\end{matrix} \right.$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.
B. Hàm số liên tục trên các khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$ và $\left( -1;+\infty \right)$.
C. Hàm số liên tục trên các khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$.
D. Hàm số gián đoạn tại $x=\pm 1$.
Lời giải
Ta có: $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x+1 \right)=2$ và $\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\sin \pi x=0$$\Rightarrow \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\ne \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)$ do đó hàm số gián đoạn tại $x=1$.
Tương tự: $\underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x+1 \right)=0$ và $\underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\sin \pi x=0$
$\Rightarrow \underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)$$=\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)$$=f\left( -1 \right)$ do đó hàm số liên tục tại $x=-1$.
Với $x\ne \pm 1$ thì hàm số liên tục trên tập xác định.
Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$.
Bài tập 6:
Tìm $m$ để hàm số $y=f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+2\sqrt{x-2}\,\,\,\,\,\,\,khi\,x\ge 2 \\ & 5x-5m+{{m}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,khi\,x<2 \\\end{align} \right.$ liên tục trên $\mathbb{R}$?
A. $m=2;\,m=3$. B. $m=-2;\,m=-3$. C. $m=1;\,m=6$. D. $m=-1;\,m=-6$.
Lời giải
Chọn A
TXĐ: $\mathbb{R}\,.$
+ Xét trên $\left( 2;\,+\infty \right)$ khi đó $f\left( x \right)={{x}^{2}}+2\sqrt{x-2}$.
$\forall {{x}_{0}}\,\in \left( 2;\,+\infty \right)\,:\,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}_{0}}^{2}\,+2\sqrt{{{x}_{0}}-2} \right)={{x}_{0}}^{2}\,+2\sqrt{{{x}_{0}}-2}=f\left( {{x}_{0}} \right)\,\Rightarrow $hàm số liên tục trên $\left( 2;\,+\infty \right)$.
+ Xét trên $\left( -\infty ;\,2 \right)$ khi đó $f\left( x \right)=5x-5m+{{m}^{2}}$ là hàm đa thức liên tục trên $\mathbb{R}\,\Rightarrow $ hàm số liên tục trên $\left( -\infty ;\,2 \right)$.
+ Xét tại ${{x}_{0}}=2$, ta có: $f\left( 2 \right)=4$.
$\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+2\sqrt{x-2} \right)=4;\,\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 5x-5m+{{m}^{2}} \right)={{m}^{2}}-5m+10$.
Để hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$ thì nó phải liên tục tại ${{x}_{0}}=2$.
$\Leftrightarrow \underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\,\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{m}^{2}}-5m+10=4\,\Leftrightarrow {{m}^{2}}-5m+6=0\,\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=2 \\ & m=3 \\\end{align} \right.$.
Bài tập 7:
Nếu hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+ax+b\,\,\text{khi}\,\,x<-5\,\, \\ & x+17\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{khi}\,-5\le x\le 10 \\ & ax+b+10\,\,\,\text{khi}\,x>10 \\\end{align} \right.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thì $a+b$ bằng
A. $-1$. B. $0$. C. $1$. D. $2$.
Lời giải
Với $x<-5$ ta có $f\left( x \right)={{x}^{2}}+ax+b$, là hàm đa thức nên liên tục trên $\left( -\infty ;-5 \right)$.
Với $-5<x<10$ ta có $f\left( x \right)=x+7$, là hàm đa thức nên liên tục trên $\left( -5;10 \right)$.
Với $x>10$ ta có $f\left( x \right)=ax+b+10$, là hàm đa thức nên liên tục trên $\left( 10;+\infty \right)$.
Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số phải liên tục tại $x=-5$ và $x=10$.
Ta có:
$f\left( -5 \right)=12$;$f\left( 10 \right)=17$.
$\underset{x\to -{{5}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)$$=\underset{x\to -{{5}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+ax+b \right)$ $=-5a+b+25$.
$\underset{x\to -{{5}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to -{{5}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x+17 \right)=12$.
$\underset{x\to {{10}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{10}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x+17 \right)=27$.
$\underset{x\to {{10}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{10}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( ax+b+10 \right)=10a+b+10$.
Hàm số liên tục tại $x=-5$ và $x=10$ khi
$\left\{ \begin{align} & 5a+b+25=12 \\ & 10a+b+10=27 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -5a+b=-13 \\ & 10a+b=17 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=2 \\ & b=-3 \\\end{align} \right.$$\Rightarrow a+b=-1$
Bài tập 8:
Cho phương trình $4{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-x-3=0$ $\left( 1 \right)$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Phương trình $\left( 1 \right)$ vô nghiệm trên khoảng $\left( -1;\,1 \right)$.
B. Phương trình $\left( 1 \right)$ có đúng một nghiệm trên khoảng $\left( -1;\,1 \right)$.
C. Phương trình $\left( 1 \right)$ có đúng hai nghiệm trên khoảng $\left( -1;\,1 \right)$.
D. Phương trình $\left( 1 \right)$ có ít nhất hai nghiệm trên khoảng $\left( -1;\,1 \right)$.
Lời giải
Xét $f\left( x \right)=4{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-x-3=0$ trên khoảng $\left[ -1;\,1 \right]$.
Ta có $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ -1;\,1 \right]$.
$f\left( -1 \right)=4$, $f\left( 0 \right)=-3$, $f\left( 1 \right)=2$$\Rightarrow f\left( -1 \right).f\left( 0 \right)<0$, $f\left( 1 \right).f\left( 0 \right)<0$.
Như vậy phương trình $f\left( x \right)=0$ có hai nghiệm trong khoảng $\left( -1;\,1 \right)$.
Mặt khác ${f}’\left( x \right)=6{{x}^{3}}+4x-1$. Ta có ${f}’\left( -1 \right)=-11$, ${f}’\left( 1 \right)=9$$\Rightarrow {f}’\left( -1 \right).{f}’\left( 1 \right)<0$. Do đó phương trình ${f}’\left( x \right)=0$ có nghiệm trong khoảng $\left( -1;\,1 \right)$.
${{f}’}’\left( x \right)=18{{x}^{2}}+4>0$ với $\forall x\in \left( -1;1 \right)$ nên ${f}’\left( x \right)$ là hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -1;1 \right)$$\Rightarrow $ phương trình ${f}’\left( x \right)=0$ có duy nhất nghiệm trên khoảng $\left( -1;\,1 \right)$. Do đó $f\left( x \right)=0$ có tối đa hai nghiệm trên khoảng $\left( -1;\,1 \right)$.
Vậy phương trình $\left( 1 \right)$ có đúng hai nghiệm trên khoảng $\left( -1;\,1 \right)$.