Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn bài tập hai đường thẳng vuông góc trong không gian rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về cách giải cũng như bài tập hai đường thẳng vuông góc trong không gian bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình Học lớp 11 nhé!
Dạng 1. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
1)Góc giữa hai véctơ
Giả sử ta có $\left\{ \begin{align} & \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u} \\ & \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v} \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow \widehat{\left( \overrightarrow{u};\,\overrightarrow{v} \right)}=\widehat{\left( \overrightarrow{AB};\,\overrightarrow{AC} \right)}=\widehat{BAC}$, với $0{}^\circ \le \widehat{BAC}\le 180{}^\circ $.
2)Tích vô hướng của hai véctơ
Giẳ sử ta có $\left\{ \begin{align} & \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u} \\ & \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v} \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow \overrightarrow{u}.\,\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}.\,\overrightarrow{AC}=\left| \overrightarrow{AB} \right|.\,\left| \overrightarrow{AC} \right|.\cos \widehat{\left( \overrightarrow{AB};\,\overrightarrow{AC} \right)}$.
Nhận xét:
+) Khi $\left[ \begin{align} & \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0} \\ & \overrightarrow{v}=\overrightarrow{0} \\\end{align} \right.$ $\to \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$
+) Khi $\overrightarrow{u}\uparrow \uparrow \overrightarrow{v}$ $\to \widehat{\left( \overrightarrow{u};\,\overrightarrow{v} \right)}=0{}^\circ $
+) Khi $\overrightarrow{u}\uparrow \downarrow \overrightarrow{v}$$\to \widehat{\left( \overrightarrow{u};\,\overrightarrow{v} \right)}=180{}^\circ $
+) Khi $\overrightarrow{u}\bot \overrightarrow{v}$$\to \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$
Bài tập 1:
Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, tam giác ${A}’BC$ đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với $\left( ABC \right)$. $M$ là trung điểm cạnh $C{C}’$. Tính cosin góc $\alpha $ giữa hai đường thẳng $A{A}’$ và $BM$.
A. $c\text{os}\alpha =\frac{2\sqrt{22}}{11}$. B. $c\text{os}\alpha =\frac{\sqrt{33}}{11}$. C. $c\text{os}\alpha =\frac{\sqrt{11}}{11}$. D. $c\text{os}\alpha =\frac{\sqrt{22}}{11}$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $AH={A}’H=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và $AH\bot BC,{A}’H\bot BC$$\Rightarrow BC\bot \left( A{A}’H \right)$$\Rightarrow BC\bot A{A}’$ hay
$BC\bot B{B}’$. Do đó: $BC{C}'{B}’$ là hình chữ nhật.
Khi đó: $C{C}’=A{A}’=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$$\Rightarrow BM=\sqrt{{{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}.6}{16}}=a\frac{\sqrt{22}}{4}$.
Xét: $\overrightarrow{A{A}’}.\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{A{A}’}.\left( \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM} \right)$$=0+A{A}’.CM$$=\frac{3{{a}^{2}}}{4}$.
Suy ra $\cos \left( A{A}’,BM \right)=\frac{\left| \frac{3{{a}^{2}}}{4} \right|}{\frac{a\sqrt{6}}{2}.\frac{a\sqrt{22}}{4}}$$=\frac{\sqrt{33}}{11}$.
Bài tập 2:
Cho tứ diện ABCD. Gọi $M$,$N$ lần lượt là trung điểm của $BC$,$AD$. Biết $AB=2a$, $CD=2a\sqrt{2}$ và $MN=a\sqrt{5}.$ Số đo góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ là
A. ${{60}^{\circ }}$. B. ${{30}^{\circ }}$. C. ${{90}^{\circ }}$. D. ${{45}^{\circ }}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}$ và $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DN}$. Suy ra $2\overrightarrow{MN}=\left( \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right)+\left( \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD} \right)+\left( \overrightarrow{AN}+\overrightarrow{DN} \right)=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}$(Vì $M$ là trung điểm $BC$ và $N$ là trung điểm $AD$).
Khi đó: $4{{\overrightarrow{MN}}^{2}}={{\overrightarrow{BA}}^{2}}+{{\overrightarrow{CD}}^{2}}+2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CD}$$\Leftrightarrow \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\left( 4{{\overrightarrow{MN}}^{2}}-{{\overrightarrow{BA}}^{2}}-{{\overrightarrow{CD}}^{2}} \right)=4{{a}^{2}}$.
Do vậy ta có: $\cos \left( AB,CD \right)=\frac{\left| \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CD} \right|}{\left| \overrightarrow{BA} \right|.\left| \overrightarrow{CD} \right|}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Vậy, số đo góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ là ${{45}^{\circ }}.$
Bài tập 3:
Cho hình chóp $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng $a$ và $ABCD$ là hình vuông. Gọi $M$ là trung điểm của $CD.$ Giá trị $\overrightarrow{MS}.\overrightarrow{CB}$ bằng
A. $\frac{{{a}^{2}}}{2}$. B. $-\frac{{{a}^{2}}}{2}$. C. $\frac{{{a}^{2}}}{3}$. D. $\frac{\sqrt{2}{{a}^{2}}}{2}$.
Lời giải
Chọn A
Do tất cả các cạnh của hình chóp bằng nhau nên hình chóp $S.ABCD$ là hình chóp đều $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & SO\bot (ABCD) \\ & AC\bot BD \\\end{align} \right.$.
Do M là trung điểm của CD nên ta có:
$\overrightarrow{MS}=\overrightarrow{\text{O}S}-\overrightarrow{OM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{\text{O}S}$, $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}$.
Do $\overrightarrow{OC};$ $\overrightarrow{OS};$ $\overrightarrow{OD}$ đôi một vuông góc với nhau nên ta có:
$\overrightarrow{MS}.\overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}O{{C}^{2}}+\frac{1}{2}O{{D}^{2}}=O{{C}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{2}$
Dạng 2. Góc giữa hai đường thẳng
1)Khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng
Một vectơ $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ mà có phương song song hoặc trùng với $\left( d \right)$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\left( d \right)$.
2)Góc giữ hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ là góc giữa hai đường thẳng ${a}’$, ${b}’$ lần lượt song song với $a$, $b$. Kí hiệu $\widehat{\left( a;\,b \right)}$
Từ định nghĩa ta có sơ đồ: $\left\{ \begin{align} & a//{a}’ \\ & b//{b}’ \\\end{align} \right.\Rightarrow \widehat{\left( a;\,b \right)}=\widehat{\left( {a}’;\,{b}’ \right)}$.
–Nhận xét:
+) Giả sử $a$, $b$ có vectơ chỉ phương tương ứng là $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ và $\widehat{\left( \overrightarrow{u};\,\overrightarrow{v} \right)}=\varphi $.
Khi đó $\left\{ \begin{align} & \widehat{\left( a;\,b \right)}=\varphi \,\,\,;\,\,0{}^\circ \le \varphi \le 90{}^\circ \\ & \widehat{\left( a;\,b \right)}=180{}^\circ -\varphi \,\,\,;\,\,90{}^\circ \le \varphi \le 180{}^\circ \\\end{align} \right.$
+) Nếu $a//b$ hoặc $a\equiv b$ thì $\widehat{\left( a;\,b \right)}=0{}^\circ $.
Cách xác định góc giữa hai đường thẳng.
| Phương án 1
(sử dụng định nghĩa) Tạo ra các đường $\left\{ \begin{align} & {a}’//a \\ & {b}’//b \\\end{align} \right.\Rightarrow \widehat{\left( a;\,b \right)}=\widehat{\left( {a}’;\,{b}’ \right)}$ |
Phương án 2
-Lấy một điểm $O$ bất kỳ thuộc $a$. -Qua $O$, dựng đường $\Delta //b$$\Rightarrow \widehat{\left( a;\,b \right)}=\widehat{\left( a;\,\Delta \right)}$ |
–Chú ý:
Các phương pháp tính toán góc giữa hai đường thẳng:
-Nếu góc thuộc tam giác vuông thì dùng các công thức tính toán trong tam giác vuông; $\sin $, $\cos in$, $\tan $, $\cot $.
-Nếu góc thuộc tam giác thường thì sử dụng định lý hàm số cosin trong tam giác $ABC$:
${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos A$ $\Rightarrow \cos A=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}$.
Bài tập 1:
Cho hình chóp $S.ABC$ có độ dài các cạnh $SA=SB=SC=AB=AC=a$ và $BC=a\sqrt{2}$. Góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$ là?
A. $45{}^\circ $. B. $90{}^\circ $. C. $60{}^\circ $. D. $30{}^\circ $.
Lời giải
Ta có $BC=a\sqrt{2}$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Vì $SA=SB=SC=a$ nên hình chiếu vuông góc của $S$ lên $\left( ABC \right)$ trùng với tâm $I$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $I$ là trung điểm của $BC$.
Ta có $\cos \left( AB,SC \right)$$=\left| \cos \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{SC} \right) \right|$$=\frac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{SC} \right|}{AB.SC}$.
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{SC}=$$\overrightarrow{AB}\left( \overrightarrow{SI}+\overrightarrow{IC} \right)$$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{SI}$$=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$$=-\frac{1}{2}BA.BC.\cos 45{}^\circ $$=-\frac{{{a}^{2}}}{2}$.
$\cos \left( AB,SC \right)=$$\frac{\frac{{{a}^{2}}}{2}}{{{a}^{2}}}$$=\frac{1}{2}$$\Rightarrow \widehat{\left( AB,SC \right)}$$=60{}^\circ $.
Cách 2: $\cos \left( AB,SC \right)$$=\left| \cos \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{SC} \right) \right|$$=\frac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{SC} \right|}{AB.SC}$
Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{SC}$$=\left( \overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA} \right)\overrightarrow{SC}$ $=\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}$$=SB.SC.\cos 90{}^\circ -SA.SC.\cos 60{}^\circ $$=-\frac{{{a}^{2}}}{2}$.
Khi đó $\cos \left( AB,SC \right)=\frac{\left| \frac{-{{a}^{2}}}{2} \right|}{{{a}^{2}}}=\frac{1}{2}$
Bài tập 2:
Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=AC=AD=1$; $\widehat{BAC}=60{}^\circ $; $\widehat{BAD}=90{}^\circ $; $\widehat{DAC}=120{}^\circ $. Tính côsin của góc tạo bởi hai đường thẳng $AG$ và $CD$, trong đó $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$.
A. $\frac{1}{\sqrt{6}}$. B. $\frac{1}{3}$. C. $\frac{1}{6}$. D. $\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Lời giải
*$\Delta ABC$ đều $\Rightarrow BC=1$.
*$\Delta ACD$ cân tại $A$ có $CD=\sqrt{A{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}-2AC.AD.\cos 120{}^\circ }=\sqrt{3}$.
*$\Delta ABD$ vuông cân tại $A$ có $BD=\sqrt{2}$.
*$\Delta BCD$ có $C{{D}^{2}}=B{{C}^{2}}+B{{D}^{2}}$ $\Rightarrow \Delta BCD$ vuông tại $B$.
Dựng đường thẳng $d$ qua $G$ và song song $CD$, cắt $BC$ tại $M$.
Ta có $MG\ \text{//}\ CD$$\Rightarrow \left( AG,CD \right)=\left( AG,MG \right)$.
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$, xét $\Delta BDI$ vuông tại $B$có $DI=\sqrt{B{{D}^{2}}+B{{I}^{2}}}$$=\sqrt{2+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}=\frac{3}{2}$.
Ta có $\frac{IM}{IC}=\frac{MG}{CD}=\frac{IG}{ID}=\frac{1}{3}$$\Rightarrow IM=\frac{1}{3}.IC$$=\frac{1}{3}.\frac{BC}{2}$$=\frac{1}{6}$; $MG=\frac{1}{3}.CD=\frac{\sqrt{3}}{3}$; $IG=\frac{1}{3}.ID=\frac{1}{2}$.
Xét $\Delta AIM$ vuông tại $I$ có $AM=\sqrt{A{{I}^{2}}+I{{M}^{2}}}$$=\sqrt{{{\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{6} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{7}}{3}$.
$\cos \widehat{AID}=\frac{A{{I}^{2}}+I{{D}^{2}}-A{{D}^{2}}}{2AI.ID}$ $=\frac{{{\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}-{{1}^{2}}}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{3}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{9}$
$AG=\sqrt{A{{I}^{2}}+I{{G}^{2}}-2AI.IG.\cos \widehat{AID}}$$=\sqrt{{{\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}-2.\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2}.\frac{4\sqrt{3}}{9}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Xét $\Delta AMG$ có
$\cos \left( AG,MG \right)=\left| \cos \widehat{AGM} \right|$$=\left| \frac{A{{G}^{2}}+G{{M}^{2}}-A{{M}^{2}}}{2.AG.GM} \right|$$=\left| \frac{{{\left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{\sqrt{7}}{3} \right)}^{2}}}{2.\frac{\sqrt{3}}{3}.\frac{\sqrt{3}}{3}} \right|=\frac{1}{6}$.
Bài tập 3:
Cho hình chóp đều $S.ABC$ có $SA=9a$,$AB=6a$. Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $SC$sao cho $SM=\frac{1}{2}MC$. Côsin của góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $AM$ bằng
A. $\frac{7}{2\sqrt{48}}$. B. $\frac{1}{2}$. C. $\frac{\sqrt{19}}{7}$. D. $\frac{14}{3\sqrt{48}}$.
Lời giải
Chọn D
Cách 1
Ta có $\cos \widehat{ASB}=\frac{S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2SA.SB}=\frac{7}{9}=\cos \widehat{CSB}=\cos \widehat{ASC}$
$A{{M}^{2}}=S{{A}^{2}}+S{{M}^{2}}-2SA.SM.\cos \overset\frown{ASC}=48\Rightarrow AM=4\sqrt{3}$
$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{SM}-\overrightarrow{SA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}$
Do đó $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{SB}=\left( \frac{1}{3}\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA} \right)\overrightarrow{SB}=\frac{1}{3}.SC.SB.\cos \overset\frown{BSC}-SA.SB.\cos \overset\frown{ASB}=-42{{a}^{2}}$nên $\cos (AM;SB)=\frac{\left| \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{SB} \right|}{AM.SB}=\frac{42}{4\sqrt{3}.9}=\frac{14}{3\sqrt{48}}$.
Cách 2.
Gọi $E$ là trung điểm$AC$.
Ta có $2\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AS}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
Dễ chứng minh được $AC\bot \left( SBE \right)$ nên $AC\bot SB$.
$\cos \widehat{ASB}=\frac{S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2SA.SB}=\frac{7}{9}$
Do đó $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{SB}=\left( \frac{2}{3}\overrightarrow{AS}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \right).\overrightarrow{SB}=\frac{2}{3}.\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{SB}=\frac{2}{3}AS.SB.\cos \left( \overrightarrow{AS},\overrightarrow{SB} \right)=\frac{2}{3}.9a.9a.\left( \frac{-7}{9} \right)=-42{{a}^{2}}.$
Vậy $\cos (AM;SB)=\frac{\left| \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{SB} \right|}{AM.SB}=\frac{42}{4\sqrt{3}.9}=\frac{14}{3\sqrt{48}}$.
Dạng 3. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Hai đường thẳng $a,b$ được gọi là vuông góc với nhau nếu $\widehat{(a,b)}={{90}^{0}}$. Kí hiệu là $a\bot b$.
–Chú ý: Các phương pháp chứng minh $a\bot b$:
-Chứng minh $\widehat{(a,b)}={{90}^{0}}$.
-Chứng minh hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng vuông góc với nhau: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$.
-Chứng minh hai đường thẳng có quan hệ theo định lí Pitago, trung tuyến tam giác cân, đều, …
Bài tập 1:
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
B. Trong không gian hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
C. Trong không gian hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
D. Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
Lời giải
Chọn B
Đáp án A sai do hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Ví dụ: Cho lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ ta có $\left\{ \begin{align} & A{A}’\bot AB \\ & AD\bot AB \\\end{align} \right.$. Dễ thấy $A{A}’$ và $AD$ cắt nhau.
Đáp án C sai do hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng có thể trùng nhau.
Đáp án D sai do trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì có thể chéo nhau.
Bài tập 2:
Trong hình hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. $B{B}’\bot BD$. B. ${A}'{C}’\bot BD$. C. ${A}’B\bot D{C}’$. D. $B{C}’\bot {A}’D$.
Lời giải
Chọn A
Vì hình hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ có tất cả các cạnh đều bằng nhau nên các tứ giác $ABCD$, ${A}'{B}’BA$, ${B}'{C}’CB$ đều là hình thoi nên ta có
$AC\bot BD$ mà $AC\,\text{//}\,{A}'{C}’$$\Rightarrow {A}'{C}’\bot BD$ (B đúng).
${A}’B\bot A{B}’$ mà $A{B}’\,\text{//}\,D{C}’$$\Rightarrow {A}’B\bot D{C}’$ (C đúng).
$B{C}’\bot {B}’C$ mà ${B}’C\,\text{//}\,{A}’D$$\Rightarrow B{C}’\bot {A}’D$ (D đúng).
Bài tập 3:
Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Qua một điểm cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
B. Qua một điểm cho trước có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đường thẳng cho trước.
C. Hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Khi đó có một và chỉ một mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
D. Qua một điểm cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Lời giải
Chọn D
Qua một điểm cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. Các đường thẳng này cùng nằm trên mặt phẳng qua và vuông góc với đường thẳng ấy.
Vậy D sai.