Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về lý thuyết bài tập của các dạng bài tập đường thẳng vuông góc với mặt phẳng rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về giáo án bài tập đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có lời giải lớp 11 có lời giải bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình Học lớp 11 đạt được kết quả cao trong học tập nhé!
DẠNG 1. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG:
1. Đường thẳng song song với mặt phẳng:
Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó song song với một đường thẳng bất kì thuộc mặt phẳng.
Viết dạng mệnh đề: $d//\left( P \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a\subset \left( P \right) \\& d//a \\\end{align} \right.$.
2. Tính chất giao tuyến song song:
Nếu hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ chứa hai đường thẳng $a,\,\,b$ song song với nhau thì giao tuyến nếu có của hai mặt phẳng phải song song với $a$ và $b$.
Viết dạng mệnh đề: $\left\{ \begin{align}& a\subset \left( P \right);\,\,b\subset \left( Q \right);\,\,\left( P \right)\cap \left( Q \right)=\Delta \\& a//b \\\end{align} \right.\to \Delta //a//b$.
3. Tính chất để dựng thiết diện song song:
Nếu đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$; một mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $a$, cắt $\left( P \right)$ theo giao tuyến $\Delta $ thì $\Delta $ phải song song với $a$.
Viết dạng mệnh đề: $\left\{ \begin{align}& a//\left( P \right) \\& a\subset \left( Q \right) \\& \left( P \right)\cap \left( Q \right)=\Delta \\\end{align} \right.\to \Delta //a$.
4. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
+ Định nghĩa: Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ khi nó vuông góc với mọi đường thẳng $a$ nằm trong $\left( P \right)$.
Viết dạng mệnh đề: $d\bot \left( P \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \forall a\subset \left( P \right) \\& d\bot a \\\end{align} \right.$.
+ Hệ quả 1: Để chứng minh đường thẳng $d$ vuông góc với $\left( P \right)$ ta chỉ cần chứng minh $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $\left( P \right)$.
+ Hệ quả 2: Nếu hai đường thẳng phân biệt ${{d}_{1}};\,\,{{d}_{2}}$ cùng vuông góc với $\left( P \right)$ thì ${{d}_{1}}//{{d}_{2}}$.
+ Hệ quả 3: Nếu hai mặt phẳng $\left( {{P}_{1}} \right);\,\,\left( {{P}_{2}} \right)$ cùng vuông góc với đường thẳng $d$ thì $\left( {{P}_{1}} \right)//\left( {{P}_{2}} \right)$.
+ Hệ quả 4: Nếu đường thẳng $d$ cùng vuông góc với một đường thẳng $a$ và một mặt phẳng $\left( P \right)$ thì khi đó đường thẳng $a$ hoặc song song với $\left( P \right)$ hoặc nằm trong $\left( P \right)$.
Viết dạng mệnh đề: $\left\{ \begin{align}& d\bot a \\& d\bot \left( P \right) \\\end{align} \right.$$\to \left[ \begin{align}& a//\left( P \right) \\& a\subset \left( P \right) \\\end{align} \right.$.
+ Hệ quả 5: Nếu đường thẳng $d$ có hình chiếu vuông góc xuống $\left( P \right)$ là ${d}’$; đường thẳng $a$ nằm trong $\left( P \right)$ vuông góc với $d$ khi và chỉ khi $a$ vuông góc với ${d}’$.
Bài tập 1:
Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thì $d$ vuông góc với hai đường thẳng trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.
B. Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thì $d$ vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.
C. Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thì $d$ vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.
D. Nếu $d\bot \left( \alpha \right)$ và đường thẳng $a\,\text{//}\left( \alpha \right)$ thì $d\bot a$.
Lời giải
Khẳng định $B$ sai vì: đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ mà hai đường thẳng đó song song thì $d$ không vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.
Do đó, đáp án đúng nhất mà ta chọn được ở câu này chính là B.
Bài tập 2:
Trong không gian, khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
D. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
Lời giải
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Do đó, đáp án đúng nhất mà ta chọn được ở câu này chính là B.
Bài tập 3:
Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau đây?
A. Góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( Q \right)$ thì mặt phẳng $\left( P \right)$ song song hoặc trùng với mặt phẳng $\left( Q \right)$.
B. Góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng góc giữa đường thẳng $b$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ thì đường thẳng $a$ song song với đường thẳng $b$.
C. Góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng góc giữa đường thẳng $b$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ thì đường thẳng $a$ song song hoặc trùng với đường thẳng $b$.
D. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.
Lời giải
Phát biểu D đúng theo định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG:
1) Khái niệm
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu vuông góc của nó xuống mặt phẳng.
2) Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Giả sử cần xác định góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)$, ta thực hiện theo các bước sau
– Tìm hình chiếu ${d}’$ của $d$ lên $\left( P \right)$
– Khi đó, $\widehat{\left( d,\left( P \right) \right)}=\widehat{\left( d,{d}’ \right)}$, và bài toán quay về tìm góc giữa hai đường thẳng.
Chú ý:
Thông thường đường thẳng $d$ cho dạng đoạn thẳng ($MN$ chẳng hạn), khi đó để tìm hình chiếu của $MN$ ta tìm hình chiếu của từng điểm $M$và $N$ xuống $\left( P \right)$, tức là tìm các điểm $H,K$ sao cho $MH\bot \left( P \right)$, $NK\bot \left( P \right)$
Bài tập 1:
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy $(ABCD)$.
Khẳng định nào sau đây sai?
A. $CD\bot (SBC)$. B. $SA\bot (ABC)$. C. $BC\bot (SAB)$. D. $BD\bot (SAC)$.
Lời giải
Từ giả thiết, ta có : $SA\bot (ABC)\Rightarrow $ B đúng.
Ta có : $\left\{ \begin{align}& BC\bot AB \\& BC\bot SA \\\end{align} \right.$$\Rightarrow BC\bot (SAB)\Rightarrow $ C đúng.
Ta có: $\left\{ \begin{align}& BD\bot AC \\& BD\bot SA \\\end{align} \right.$$\Rightarrow BD\bot (SAC)\Rightarrow $ D đúng.
Nhận xét: Ta có cũng có thể giải như sau:
$\left\{ \begin{align}& CD\bot AD \\& CD\bot SA \\\end{align} \right.$$\Rightarrow CD\bot (SAD)$
Mà $(SCD)$ và $(SAD)$ không song song hay
Do đó, đáp án đúng nhất mà ta chọn được ở câu này chính là A.
Bài tập 2:
Cho tứ diện $ABCD$ có hai mặt $ABC$ và $ABD$ là hai tam giác đều. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $CM\bot \left( ABD \right)$. B. $AB\bot \left( MCD \right)$.
C. $AB\bot \left( BCD \right)$. D. $DM\bot \left( ABC \right)$.
Lời giải
$\left. \begin{align}& CM\bot AB \\& DM\bot AB \\\end{align} \right\}\Rightarrow AB\bot \left( CDM \right)$.
Do đó, đáp án đúng nhất mà ta chọn được ở câu này chính là B.
Bài tập 3:
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông và $SA$ vuông góc đáy. Mệnh đề nào sau đây sai?A. $BC\bot \left( SAB \right)$. B. $AC\bot \left( SBD \right)$. C. $BD\bot \left( SAC \right)$. D. $CD\bot \left( SAD \right)$.
Lời giải
Ta có:
+ $\left\{ \begin{align}& BC\bot AB \\& BC\bot SA \\\end{align} \right.$$\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)$.
+ $\left\{ \begin{align}& CD\bot AD \\& CD\bot SA \\\end{align} \right.$$\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)$.
+ $\left\{ \begin{align}& BD\bot AC \\& BD\bot SA \\\end{align} \right.$$\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)$.
Do đó, đáp án đúng nhất mà ta chọn được ở câu này chính là B.
DẠNG 3. THIẾT DIỆN:
Bài tập 1:
Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$, đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AB=a$, $\widehat{ACB}={{30}^{0}}$. $M$là trung điểm $AC$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh ${A}’$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là trung điểm $H$ của $BM$. Khoảng cách từ ${C}’$ đến mặt phẳng $\left( BM{B}’ \right)$ bằng $\frac{3a}{4}$. Tính số đo góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy của hình lăng trụ.
A. ${{60}^{0}}$. B. ${{30}^{0}}$. C. ${{90}^{0}}$. D. ${{45}^{0}}$.
Lời giải
Ta có: $d\left( {C}’\,,\,\,\left( BM{B}’ \right) \right)=d\left( C\,,\,\,\left( BM{B}’ \right) \right)=d\left( A\,,\,\,\left( BM{B}’ \right) \right)=\frac{3a}{4}$,
Trong tam giác $ABC$có:$AC=2a\,,\,BM=a\,,\,AM=a$ suy ra tam giác $ABM$ là tam giác đều cạnh $a$. Dựng hình bình hành $A{A}'{H}’H$ suy ra ${H}’\in \left( BM{B}’ \right)$, $K$là hình chiếu của $A$ lên ${H}’H$.
$\left\{ \begin{align}& BM\bot AH \\& BM\bot {A}’H \\\end{align} \right.$$\Rightarrow BM\bot \left( A{A}'{H}’H \right)\Rightarrow BM\bot AK$.
$\left\{ \begin{align}& AK\bot BM \\& AK\bot H{H}’ \\\end{align} \right.$$\Rightarrow AK\bot \left( BM{B}’ \right)\Rightarrow d\left( A\,,\,\left( BM{B}’ \right) \right)=AK=\frac{3a}{4}$.
Trong hình bình hành $A{A}'{H}’H$ ta có $AK.H{H}’={A}’H.AH\Rightarrow \frac{{A}’H}{H{H}’}=\frac{AK}{AH}=\frac{3a}{4}.\frac{2}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Mặt khác: $\widehat{\left( A{A}’,\,\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( A{A}’,\,AH \right)}=\widehat{A’AH}$.
Trong tam giác vuông $AA’H$ có $\sin \widehat{A{A}’H}=\frac{A’H}{A{A}’}=\frac{A’H}{H{H}’}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \widehat{A{A}’H}={{60}^{0}}$.
Do đó, đáp án đúng nhất mà ta chọn được ở câu này chính là A.
Bài tập 2:
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$,$SB$, $SC$ đôi một vuông góc với nhau và $SA=SB=SC=a$. $\sin $ của góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng
A. $\frac{\sqrt{6}}{3}$. B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$. C. $\frac{1}{\sqrt{3}}$. D. $\frac{2}{\sqrt{6}}$.
Lời giải
Trong tam giác $ABC$ kẻ đường cao $AK$ và $CF$ và $AK\cap CF=\left\{ E \right\}$ nên $E$ là trực tâm tam giác $ABC$.
$\left\{ \begin{align}& SC\bot SA \\& SC\bot SB \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow SC\bot \left( SAB \right)$ hay $SC\bot AB$
Mà $CF\bot AB$ nên $AB\bot \left( SCF \right)$$\Rightarrow AB\bot SE$. Chứng minh tương tự ta được $BC\bot \left( SAK \right)$$\Rightarrow BC\bot SE$. Vậy $SE\bot \left( ABC \right)$.
Ta có $CE$ là hình chiếu của $SC$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
$\left( SC,\left( ABC \right) \right)$$=\left( SC,CE \right)$$=\widehat{SCE}$
Ta có tam giác $SCF$ vuông tại $S$ nên $\frac{1}{S{{E}^{2}}}=\frac{1}{S{{C}^{2}}}+\frac{1}{S{{F}^{2}}}$. Mặt khác tam giác $SAB$ vuông tại $S$ nên $\frac{1}{S{{F}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{S{{B}^{2}}}$. Suy ra $\frac{1}{S{{E}^{2}}}=\frac{1}{S{{C}^{2}}}+\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{S{{B}^{2}}}$$\Leftrightarrow \frac{1}{S{{E}^{2}}}=\frac{3}{{{a}^{2}}}$$\Leftrightarrow SE=\frac{a}{\sqrt{3}}$.
$\sin \widehat{SCE}=\frac{SE}{SC}$$=\frac{a}{\sqrt{3}}:a$$=\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về lý thuyết cũng như bài tập đường thẳng vuông góc với mặt phẳng lớp 11 có lời giải mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ về bài tập đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có lời giải thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất có thể nhé!