Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn tổng hợp bài tập cấp số nhân lớp 11 rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về cách giải bài tập cấp số nhân cũng như các bài tập cấp số nhân có lời giải bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT DÃY $(u_{n})$ LÀ CẤP SỐ NHÂN.
Chứng minh $\forall n\ge 1,{{u}_{n+1}}={{u}_{n}}.q$ trong đó $q$ là một số không đổi.
Nếu $u_{n}\neq0$ với mọi $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ thì ta lập tỉ số $T=\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}$
$*$ T là hằng số thì $(u_{n})$ là cấp số nhân có công bội $q=T$.
$*$ T phụ thuộc vào n thì $(u_{n})$ không là cấp số nhân.
Bài tập 1:
Trong các dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ sau, dãy nào là cấp số nhân?
A. ${{u}_{n}}={{n}^{2}}+n+1$. B. ${{u}_{n}}=\left( n+2 \right){{.3}^{n}}$.
C. $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=2 \\ & {{u}_{n+1}}=\frac{6}{{{u}_{n}}},\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\ \end{align} \right..$ D. ${{u}_{n}}={{\left( -4 \right)}^{2n+1}}$.
Lời giải
Chọn đáp án D
A. $\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{{{n}^{2}}+3n+3}{{{n}^{2}}+n+1},\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$, không phải là hằng số. Vậy $\left( {{u}_{n}} \right)$không phải là cấp số nhân.
B. $\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{\left( n+3 \right){{.3}^{n+1}}}{\left( n+2 \right){{.3}^{n}}}=\frac{3\left( n+3 \right)}{n+2},\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$, không phải là hằng số. Vậy $\left( {{u}_{n}} \right)$không phải là cấp số nhân.số nhân.
C. Từ công thức truy hồi của dãy số, suy ra ${{u}_{1}}=2;{{u}_{2}}=3;{{u}_{3}}=2;{{u}_{4}}=3;…$
Vì $\frac{{{u}_{3}}}{{{u}_{2}}}\ne \frac{{{u}_{2}}}{{{u}_{1}}}$nên $\left( {{u}_{n}} \right)$không phải là cấp số nhân.
D. $\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{{{\left( -4 \right)}^{2\left( n+1 \right)+1}}}{{{\left( -4 \right)}^{2n+1}}}=16,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$. Vậy $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp
Bài tập 2:
Tìm $x,y$ biết các số $5x-y;2x+3y;x+2y$ lập thành cấp số cộng và các số ${{\left( y+1 \right)}^{2}};xy+1;{{\left( x-1 \right)}^{2}}$ lập thành cấp số nhân.
A. $\left( 0;0 \right);\left( -\frac{3}{4};-\frac{3}{10} \right);\left( -\frac{10}{3};-\frac{4}{3} \right)$. B. $\left( 0;0 \right);\left( -\frac{3}{4};-\frac{3}{10} \right);\left( \frac{10}{3};\frac{4}{3} \right)$.
C. $\left( 0;0 \right);\left( -\frac{1}{2};\frac{3}{2} \right);\left( \frac{10}{3};\frac{4}{3} \right)$. D. $\left( 0;0 \right);\left( -\frac{3}{4};\frac{3}{10} \right);\left( \frac{10}{3};\frac{4}{3} \right)$.
Lời giải:
Chọn B
Dãy số $5x-y;2x+3y;x+2y$lập thành cấp số cộng $\Leftrightarrow 2\left( x+3y \right)=\left( 5x-y \right)+\left( x+2y \right)\Leftrightarrow y=\frac{2}{5}x(*)$
Dãy số ${{\left( y+1 \right)}^{2}};xy+1;{{\left( x-1 \right)}^{2}}$lập thành cấp số nhân $\Leftrightarrow {{\left( xy+1 \right)}^{2}}={{\left( y+1 \right)}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( xy+1 \right)}^{2}}={{\left( xy+x-y-1 \right)}^{2}}$
Trường hợp 1. $xy+1=xy+x-y-1\Leftrightarrow x-y=2(**).$ Từ (*) và (**) $\Rightarrow x=\frac{10}{3};y=\frac{4}{3}\Rightarrow \left( \frac{10}{3};\frac{4}{3} \right)$
Trường hợp 2. $xy+1=-xy-x+y+1\Leftrightarrow 2xy+x-y=0(**).$ Từ (*) và (**) $\Rightarrow \frac{4}{5}{{x}^{2}}+\frac{3}{5}x=0\Rightarrow \left[ \begin{align} & x=0;y=0 \\ & x=-\frac{3}{4};y=-\frac{3}{10} \\\end{align} \right.\Rightarrow \left( 0;0 \right);\left( -\frac{3}{4};-\frac{3}{10} \right)$.
Bài tập 3:
Tìm m để phương trình: $16{{x}^{4}}-a{{x}^{3}}+\left( 2a+17 \right){{x}^{2}}-ax+16=0$ có bốn nghiệmphân biệt lập thành cấp số nhân?
A. $a=170$ B. $a\in \left( 0;170 \right)$ C. $a=\frac{5}{2}$ D. $a=\frac{3}{2}$
Lời giải:
Chọn A
Giả sử phương trình: $a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e=0\quad \left( a\ne 0 \right)$có 4 nghiệm${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}$ theo định lý Viet bậc 4 ta có: $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}=-\frac{b}{a} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}{{x}_{3}}+{{x}_{1}}{{x}_{4}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{2}}{{x}_{4}}+{{x}_{3}}{{x}_{4}}=\frac{c}{a} \\\end{align} \right.$
Áp dụng vào bài ta có:
* Điều kiện cần:
Nếu $x=a$ là 1 nghiệm của phương trình thì $x=\frac{1}{a}$cũng là một nghiệm của phương trình
Giả sử 4 nghiệm đó là:$a;\ aq;\ a{{q}^{2}};\ a{{q}^{3}}$ với $a\ne 0;\ \left| q \right|\ge 1\Rightarrow \left| a \right|<\left| qa \right|<\left| {{q}^{2}}a \right|<\left| {{q}^{3}}a \right|$
Do $\frac{1}{a};\frac{1}{qa};\frac{1}{{{q}^{2}}a};\frac{1}{{{q}^{3}}a}$ cũng là nghiệm nên $a{{q}^{3}}=\frac{1}{a}\Leftrightarrow ;q={{a}^{-\frac{2}{3}}}$=> 4 nghiệm là:$a;{{a}^{\frac{1}{3}}};{{a}^{-\frac{1}{3}}};{{a}^{-1}}$
Theo Viet bậc 4 ta có: $\left\{ \begin{align} & a+{{a}^{\frac{1}{3}}}+{{a}^{-\frac{1}{3}}}+{{a}^{-1}}=\frac{a}{16} \\ & {{a}^{\frac{4}{3}}}+{{a}^{\frac{2}{3}}}+1+1+{{a}^{-\frac{2}{3}}}+{{a}^{-\frac{4}{3}}}=\frac{2a+17}{16} \\\end{align} \right.$
Đặt $t={{a}^{\frac{1}{3}}}+{{a}^{-\frac{1}{3}}}\ge 2$ta có: $ \left\{ \begin{align} & {{t}^{3}}-2t=\frac{a}{16} \\ & {{t}^{4}}-3{{t}^{2}}+2=\frac{2a+17}{16} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left( 2t-5 \right)\left( 2t-3 \right)\left( 4{{t}^{2}}-4t-1 \right)=0\Leftrightarrow \left( 2t-5 \right)\left( 2t-3 \right)\left[ {{\left( 2t-1 \right)}^{2}}-2 \right]=0 \\ \Leftrightarrow t=\frac{5}{2}\Rightarrow a=170 $
* Điều kiện đủ:
Với a = 170 ta có: $16{{x}^{4}}-170{{x}^{3}}+357{{x}^{2}}-170x+16=0$
Giải ra ta được ${{x}_{1}}=\frac{1}{8};{{x}_{2}}=\frac{1}{2};{{x}_{3}}=2;{{x}_{4}}=8$
Từ điều kiện cần và đủ suy ra a = 170
DẠNG 2: XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG ĐẦU CÔNG BỘI, XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG THỨ K, TÍNH TỔNG CỦA N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN:
Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công bội q và số hạng đầu ${{{u}_{1}}}$, giải hệ phương trình này tìm được q và ${{{u}_{1}}}$.
Để xác định số hạng thứ k, ta sử dụng công thức: ${{{u}_{k}}={{u}_{1}}.{{q}^{k-1}}}$.
Để tính tổng của n số hạng, ta sử dụng công thức: ${{{S}_{n}}={{u}_{1}}.\frac{1-{{q}^{n}}}{1-q},q\ne 1}$. Nếu ${q=1}$ thì ${{{u}_{1}}={{u}_{2}}={{u}_{3}}=…={{u}_{n}}}$, do đó ${{{S}_{n}}=n{{u}_{1}}}$.
Bài tập 1:
Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ biết $\left\{ \begin{align}& {{u}_{4}}-{{u}_{2}}=54 \\& {{u}_{5}}-{{u}_{3}}=108 \\\end{align} \right.$. Tìm số hạng đầu ${{u}_{1}}$ và công bội $q$ của cấp số nhân trên.
A. ${{u}_{1}}=9$; $q=2$. B. ${{u}_{1}}=9$; $q=-2$. C. ${{u}_{1}}=-9$; $q=-2$. D. ${{u}_{1}}=-9$; $q=2$.
Lời giải
Ta có: $\left\{ \begin{align} & {{u}_{4}}-{{u}_{2}}=54 \\ & {{u}_{5}}-{{u}_{3}}=108 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}{{q}^{3}}-{{u}_{1}}q=54 \\ & {{u}_{1}}{{q}^{4}}-{{u}_{1}}{{q}^{2}}=108 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}q\left( {{q}^{2}}-1 \right)=54 \\ & {{u}_{1}}{{q}^{2}}\left( {{q}^{2}}-1 \right)=108 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=9 \\ & q=2 \\\end{align} \right.$.
Vậy ${{u}_{1}}=9$; $q=2$.
Bài tập 2:
Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$có công bội $q$ và thỏa $\left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}=26 \\& u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}=364 \\\end{align} \right.$. Tìm $q$ biết rằng $q>1.$
A. $q=\frac{5}{4}.$ B. $q=4.$ C. $q=\frac{4}{3}.$ D. $q=3.$
Lời giải
Ta có
$\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}=26 \\ & u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}=364 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)=26 \\ & u_{1}^{2}\left( 1+{{q}^{2}}+{{q}^{4}} \right)=364 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} u_{1}^{2}{{\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)}^{2}}={{26}^{2}} & \left( 1 \right) \\ u_{1}^{2}\left( 1+{{q}^{2}}+{{q}^{4}} \right)=364 & \left( 2 \right) \\\end{array} \right..$
Lấy $\left( 1 \right)$ chia $\left( 2 \right)$, ta được
$\frac{{{\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)}^{2}}}{1+{{q}^{2}}+{{q}^{4}}}=\frac{{{26}^{2}}}{364}\Leftrightarrow 3{{q}^{4}}-7{{q}^{3}}-4{{q}^{2}}-7q+3=0\Leftrightarrow 3\left( {{q}^{2}}+\frac{1}{{{q}^{2}}} \right)-7\left( q+\frac{1}{q} \right)-4=0$.
Đặt $t=q+\frac{1}{q}$, $\left| t \right|\ge 2$. Phương trình trở thành $3{{t}^{2}}-7t-10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=-1\text{ }\left( loa\ddot{i}i \right) \\ & t=-\frac{10}{3} \\\end{align} \right..$
Với $t=-\frac{10}{3}$, suy ra $q+\frac{1}{q}=-\frac{10}{3}\Leftrightarrow 3{{q}^{2}}-10q+3=0\Leftrightarrow q=3$ hoặc $q=\frac{1}{3}$. Vì $q>1$ nên $q=3.$
Bài tập 3:
Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ được xác định bởi ${{u}_{1}}=a$ và ${{u}_{n+1}}=4{{u}_{n}}\left( 1-{{u}_{n}} \right)$ với mọi $n$ nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị của $a$ để ${{u}_{2018}}=0$.
A. ${{2}^{2016}}+1$. B. ${{2}^{2017}}+1$. C. ${{2}^{2018}}+1$. D. $3$.
Lời giải
Do ${{u}_{2018}}=4{{u}_{2017}}\left( 1-{{u}_{2017}} \right)$$\Rightarrow \left[ \begin{align} & {{u}_{2017}}=0 \\ & {{u}_{2017}}=1 \\\end{align} \right.$$\Rightarrow \left[ \begin{align} & {{u}_{2016}}=0 \\ & {{u}_{2016}}=1 \\\end{align} \right.$.$\Rightarrow \left[ \begin{align} & {{u}_{1}}=0 \\ & {{u}_{1}}=1 \\\end{align} \right.$
Trường hợp ${{u}_{1}}={{u}_{2}}=…={{u}_{2018}}=0$$\Rightarrow \left[ \begin{align} & a=0 \\ & a=1 \\\end{align} \right.$
Xét phương trình $4{{x}^{2}}-4x+m=0$ với $0<m<1$ có ${\Delta }’=4-4m>0$ nên phương trình luôn có $2$ nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ và ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1$, ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m}{4}$$\Rightarrow {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( 0;1 \right)$.
Ta có ${{u}_{2}}=1$ $\Rightarrow 4{{u}_{1}}-4u_{1}^{2}=1$$\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\frac{1}{2}$$\Rightarrow $ có ${{2}^{0}}$ nghiệm ${{u}_{1}}$.
${{u}_{3}}=1$ $\Rightarrow {{u}_{2}}=\frac{1}{2}$$\Rightarrow 4u_{1}^{2}-4{{u}_{1}}+\frac{1}{2}=0$$\Rightarrow $ có ${{2}^{1}}$ nghiệm ${{u}_{1}}$.
${{u}_{4}}=1$ $\Rightarrow {{u}_{3}}=\frac{1}{2}$$\Rightarrow 4u_{2}^{2}-4{{u}_{2}}+\frac{1}{2}=0$ có $2$ nghiệm ${{u}_{2}}\in \left( 0;1 \right)$$\Rightarrow $${{2}^{2}}$ nghiệm ${{u}_{1}}$.
${{u}_{2017}}=1$ có ${{2}^{2015}}$ nghiệm ${{u}_{1}}$.
Vậy có $2+{{2}^{0}}+{{2}^{1}}+{{2}^{2}}+…+{{2}^{2015}}$$=2+\frac{{{2}^{2016}}-1}{2-1}={{2}^{2016}}+1$.
DẠNG 3. MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN CẤP SỐ NHÂN
Bài tập 1:
Có hai cơ sở khoan giếng $A$ và $B$. Cơ sở $A$ giá mét khoan đầu tiên là $8000$ (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm $500$ (đồng) so với giá của mét khoan ngay trước đó. Cơ sở $B$: Giá của mét khoan đầu tiên là $6000$ (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm $7%$ giá của mét khoan ngay trước đó. Một công ty giống cây trồng muốn thuê khoan hai giếng với độ sâu lần lượt là $20$ (m) và $25$ (m) để phục vụ sản xuất. Giả thiết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau. Công ty ấy nên chọn cơ sở nào để tiết kiệm chi phí nhất?
A. Luôn chọn $A$.
B. Luôn chọn $B$.
C. Giếng $20$ (m) chọn $A$ còn giếng $25$ (m) chọn $B$.
D. Giếng $20$ (m) chọn $B$ còn giếng $25$ (m) chọn $A$.
Lời giải
Cơ sở $A$ giá mét khoan ðầu tiên là $8000$ (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm $500$ (đồng) so với giá của mét khoan ngay trước đó.
+ Nếu đào giếng $20$ (m) hết số tiền là: ${{S}_{20}}=\frac{20}{2}\left[ 2.8000+\left( 20-1 \right)500 \right]=255000$ (đồng).
+ Nếu đào giếng $25$ (m) hết số tiền là: ${{S}_{25}}=\frac{25}{2}\left[ 2.8000+\left( 25-1 \right)500 \right]=350000$ (đồng).
Cơ sở $B$ Giá của mét khoan đầu tiên là $6000$ (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm $7%$ giá của mét khoan ngay trước đó.
Bài tập 2:
Bạn A thả quả bóng cao su từ độ cao $10$m theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng $\frac{3}{4}$ độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn.
A. $40$m. B. $70$m. C. $50$m. D. $80$m.
Lời giải
Các quãng đường khi bóng đi xuống tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn có ${{u}_{1}}=10$và $q=\frac{3}{4}$.
Tổng các quãng đường khi bóng đi xuống là $S=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}$$=\frac{10}{1-\frac{3}{4}}$ $=40$.
Tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn $2S-10=70$(m).